2021-2022學年北京市房山區(qū)九年級（上）期末數(shù)學試卷（解析版）

2021-2022學年北京市房山區(qū)九年級第一學期期末數(shù)學試卷

一、選擇題（本題共8道小題，每小題2分,，共16分），下面各題均有四個選項，其中只

有一個是符合題意的。

1.拋物線y=（x-3）2-1的對稱軸是（）

A.直線x=3B.直線x=-3C.直線x=lD.直線％=-1

2.若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點（3,-2）,則該反比例函數(shù)的表達式為（）

A6R6

A.y-----D.y------C.y——D.y=--

XXXX

3.如圖，在中，ZC=90°,AB=5,BC=3,則tanA的值為（）

AC

.sC.1D,1

AB

-5453

4.如圖，AB是。。的直徑,點C,D在。。上，若/ABD=50°,則/AC。的大小為（）

D

A.25°B.30°C.40°D.50°

5.把拋物線y=（x+5）2+3向上平移1個單位長度,則平移后所得拋物線的表達式為（）

A.y=（x+5）2+4B.y=（x+5）2+2C.y=:（尤+6）2+3D.y=（x+4）2+3

6.如圖所示，點O,E分別在AA3c的ASAC邊上,§LDE//BC.如果A。：DB=2：1,

那么AE：AC等于（）

C

一

ADB

A.2：1B.2：5C.2：3D.3：5

7.如圖，DC是。。的直徑，弦于則下列結(jié)論不一定成立的是（

C*****

c-AC=BCD-AD=BD

8.如圖，一次函數(shù)y=-2x+8與反比例函數(shù)>=色(x>0)的圖象交于A(1,6),B(3,

A.x<lB.x>3C.l<x<3D.OVxVl或x>3

二、選擇題(本題共8道小題，每小題2分，共16分)

9.已知△ABC,sinA=a，則NA=.

10.如果一個扇形的半徑是1,圓心角為120。，則扇形面積為

11.如圖，在中，ZBOC=80°,則N8AC的度數(shù)是

12.如圖，P4是。。的切線，A是切點.若NAPO=25°,則NAOP=

13.已知二次函數(shù)y=-/+6的圖象上兩點A（ai,bi）,B（勾，。2）,若則

bi岳（填“>”，或“="）.

14.如圖熱氣球的探測器顯示，從熱氣球上看一棟高樓頂部的仰角為60°,看這棟高樓底

部的俯角為30°,若熱氣球與高樓水平距離為60m，則這棟樓的高度為m.

15.下面是“過圓外一點作圓的切線”的尺規(guī)作圖過程.

已知：和。。外一點P.

求作：過點尸的。。的切線.

作法：如圖，

（1）連接OP；

（2）分別以點。和點尸為圓心，大于費。尸的長為半徑作弧，兩弧相交于M,N兩點;

（3）作直線MN,交OP于點C；

（4）以點C為圓心，C。的長為半徑作圓，交。。于A,3兩點；

（5）作直線PA,PB.

直線PA,尸8即為所求作。。的切線.

完成如下證明：

證明：連接。4,OB,

是OC直徑，點A在OC上

AZOAP=9Q°（）（填推理的依據(jù)）.

：.OA±AP.

又：點A在。。上，

直線PA是。。的切線（）（填推理的依據(jù)）.

同理可證直線PB是OO的切線.

16.從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度〃(單位：m)與小球的運動時間/(單位：s)

之間的關系式是/z=30f-5f2(0W/W6).小球運動的時間是s時，小球最高；

小球運動中的最大高度是m.

三、解答題(本題共12道小題，第17-22題，每題5分，第23-26題，每題6分，第27-28

題每題7分，共68分)

17.求值：sin30°+tan45--cos60°.

18.如圖，在Rt^ABC中，ZB=90°，點D在AC邊上，ZJELAC交2c于點E.

求證：ACDEs^CBA.

4.

19.如圖，在△A3C中，ZB=30°,tanC=—,AO_L5C于點D.若A￡>=4,求3C的長.

3

20.在平面直角坐標系xOy中，若反比例函數(shù)y=K(ZW0)的圖象經(jīng)過點A(2,3)和點

x

B(-2,m),求用的值.

21.在平面內(nèi)，給定不在同一直線上的點A,B,C,如圖所示.點。到點A,B,C的距離

均等于丁。為常數(shù)),到點。的距離等于廠的所有點組成圖形G,NA8C的平分線交圖

形G于點。，連接A。，CD.

求證：AD=CD.

B

?C

Aa

22.在數(shù)學活動課上，老師帶領學生去測量位于良鄉(xiāng)的昊天塔的高度.如圖，在C處用高

L2米的測角儀CE測得塔頂A的仰角為30。，向塔的方向前進40米到達。處，在。處

測得塔頂A的仰角為60。，求昊天塔的高約為多少米？（結(jié)果精確到1米，

23.如圖，4B是OO的直徑，弦CDLAB于E,ZA=15°,AB=4.求弦CD的長.

24.如圖，在△A2C中，AB=4讓，ZB=45°,/C=60°.點E為線段AB的中點，點

尸是AC邊上任一點，作點A關于線段EF的對稱點P,連接AP,交EF于點M.連接

EP,FP.當尸P_LAC時，求AP的長.

25.在平面直角坐標系xOy中的第一象限內(nèi)，點A（2,4）在雙曲線力=必（znWO）上.

(1)求m的值;

(2)已知點尸在x軸上，過點P作平行于y軸的直線與力=皿，”=工的圖象分別相交

x

于點N,M,點N,M的距離為4,點N,M中的某一點與點尸的距離為如果4=

心，在如圖中畫出示意圖并且直接寫出點尸的坐標.

26.在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax-+bx+3a上有兩點A(-1,0)和點8(x,x+1).

(1)用等式表示。與。之間的數(shù)量關系，并求拋物線的對稱軸；

(2)當3&<AB《5近時，結(jié)合函數(shù)圖象，求。的取值范圍.

yf

6-

5-

H-7-()-5-4-3-2-12345678

一5

一()

27.如圖，點C是。。直徑A3上一點，過C作。0LA3交。。于點。，連接OA,DB.

(1)求證：ZADC=ZABD；

4

⑵連接DO,過點D做。。的切線，交BA的延長線于點P.若AC=3,tanZPDC=-^,

o

求3c的長.

28.對某一個函數(shù)給出如下定義：如果存在實數(shù)對于任意的函數(shù)值》都滿足yWM,

那么稱這個函數(shù)是有上界函數(shù).在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個函數(shù)的上確

界.例如，圖中的函數(shù)y=-(x-3)2+2是有上界函數(shù)，其上確界是2.

(1)函數(shù)①y=(+2苫+1和②y=2x-3(xW2)中是有上界函數(shù)的為(只填序號

即可)，其上確界為；

(2)如果函數(shù)y=-x+2(a4Wb,b>a)的上確界是4且這個函數(shù)的最小值不超過

2a+l,求a的取值范圍；

(3)如果函數(shù)y=N-2ar+2(1WXW5)是以3為上確界的有上界函數(shù)，求實數(shù)。的值.

參考答案

一、選擇題（本題共8道小題，每小題2分，共16分），下面各題均有四個選項，其中只

有一個是符合題意的。

1.拋物線y=（x-3）2-1的對稱軸是（）

A.直線x=3B.直線x=-3C.直線x=lD.直線x=-l

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的頂點式＞=（X-/Z）2+k,對稱軸為直線X=/7,得出即可.

解：拋物線y=（x-3）2-1的對稱軸是直線x=3.

故選：A.

2.若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點（3,-2）,則該反比例函數(shù)的表達式為（）

AA.y=—6口B.y=6C「.y——3門D.y=3

XXXX

【分析】函數(shù)經(jīng)過一定點，將此點坐標代入函數(shù)解析式y(tǒng)='（%W0）即可求得上的值.

X

解：設反比例函數(shù)的解析式為y=K（AWO）,函數(shù)的圖象經(jīng)過點（3,-2）,

X

/.-2=—,得k=-6,

3

...反比例函數(shù)解析式為y=-旦.

x

故選：B.

3.如圖，在Rt^ABC中，ZC=9O°,AB=5,BC=3,則tanA的值為（）

【分析】先利用勾股定理計算出AC,然后根據(jù)正切的定義求解.

解：VZACB=90°,AB=5,BC=3,

22=4

???AC=/5-31

."=幽=3

AC4

故選：B.

4.如圖，AB是的直徑，點C,O在OO上，若乙48。=50°,則NACD的大小為（)

D

A.25°B.30°C.40°D.50°

【分析】根據(jù)圓周角定理求出答案即可.

解：,：ZABD=50°,

：.ZACD=ZABD=5Q°.

故選：D.

5.把拋物線＞=（X+5）2+3向上平移1個單位長度,則平移后所得拋物線的表達式為（）

A.尸（x+5）2+4B.尸（x+5）2+2C.尸（x+6）2+3D.y=（x+4）2+3

【分析】根據(jù)向上平移縱坐標加求得結(jié)論即可.

解：把拋物線＞=（尤+5）2+3向上平移1個單位長度,，則平移后所得拋物線的表達式為y

=（x+5）2+3+1,即y=（無+5）2+4.

故選：A.

6.如圖所示，點、D,￡分別在的AB,AC邊上，且DE〃BC如果AO：DB=2：1,

那么AE：AC等于（）

C

▲

ADB

A.2：1B.2：5C.2：3D.3：5

9

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得出黑=普二?求出AE=2EC,再代入AE：

DBEC

AC求出即可.

解：-JDE//BC,

?ADM

-，DB=EC'

?：AD：DB=2：1,

.AE2

"EC~=T

：.AE=2EC,

：AC_2EC_2

.".AE―2EC+EC-5

故選：C.

7.如圖，OC是。。的直徑，弦于"，則下列結(jié)論不一定成立的是（）

A.AM=BMB.CM=DMC.二BOD.AD=B0

【分析】根據(jù)垂徑定理進行判斷即可.

解：?.?弦43,8,C。過圓心。，

AC=BC，俞=俞，

即選項A、C、。都正確，

當根據(jù)已知條件不能推出CM和OM一定相等,

故選：B.

8.如圖，一次函數(shù)y=-2x+8與反比例函數(shù)丁=2（x>0）的圖象交于A（1,6）,B（3,

X

2）兩點.則使-2尤+8<旦成立的x的取值范圍是（）

A.x<lB.x>3C.IV尤V3D.OV尤VI或x>3

【分析】觀察函數(shù)圖象得到當OVxVl或x>3,一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)圖象下方.

解：在第一象限內(nèi)，一次函數(shù)值小于反比例函數(shù)值時自變量X的取值范圍是O<X<1或X

>3；

故選：D.

二、選擇題（本題共8道小題，每小題2分，共16分）

9.已知△ABC,sinA=p則44=30°.

【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值解答即可.

解：VsinA=-^-,

ZA=30°,

故答案為：30.

10.如果一個扇形的半徑是1,圓心角為120。，則扇形面積為二

【分析】直接根據(jù)扇形的面積公式求解.

解：這個扇形的面積=120兀X

3603

TT

故答案是：.

11.如圖，在OO中，NBOC=80°,則NBAC的度數(shù)是40。.

【分析】直接根據(jù)圓周角定理即可得出結(jié)論.

解：??,/BOC與NBAC是同弧所對的圓心角與圓周角，ZBOC=80°,

AZBAC=—ZBOC=40°.

2

故答案為：40°.

12.如圖，是。。的切線，A是切點.若/4尸。=25°,則/4。尸=65

【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到OALAP,根據(jù)直角三角形的兩銳角互余計算，得到答案.

解：：PA是。。的切線,

：.OA±AP,

：.ZAP0+ZA0P=9Q°,

VZAPO=25°,

AZAOP=90°-NAPO=90°-25°=65°,

故答案為：65.

13.已知二次函數(shù)y=-爐+6的圖象上兩點A(fli,bi),B(z,62),若ai<a2<0,則

bi<bz(填“>"，或"=").

【分析】根據(jù)拋物線開口方向及對稱軸可得x<0時y隨尤增大而增大，進而求解.

解：Vy=-x2+6,

...拋物線開口向下，對稱軸為y軸，

；.x<0時，y隨x增大而增大，

故答案為：<.

14.如圖熱氣球的探測器顯示，從熱氣球上看一棟高樓頂部的仰角為60°,看這棟高樓底

部的俯角為30°,若熱氣球與高樓水平距離為60m，則這棟樓的高度為80ym.

B

【分析】求這棟樓的高度，即BC的長度，根據(jù)BC=BD+DC,在和RtA4CD

中分別求出2。，8就可以.

解：在Rt^ABD中，ZBDA=90°,ZBAD=60°,AD=60m,

BD=ADtan60°=60X5/3=60^/3(m).

在RtZXACD中，ZADC=9Q°,ZCAD=30°,

.,.CD=A￡)tan30°=60義苧=20?(m).

...BC=BD+CD=60&+20&=80?(m)

故答案為：80T.

3

15.下面是“過圓外一點作圓的切線”的尺規(guī)作圖過程.

已知：。。和O。外一點尸.

求作：過點p的O。的切線.

作法：如圖，

（1）連接OP；

（2）分別以點。和點尸為圓心，大于/0P的長為半徑作弧，兩弧相交于M,N兩點；

（3）作直線MN,交0P于點C；

（4）以點C為圓心，CO的長為半徑作圓，交。。于A,8兩點；

（5）作直線PA,PB.

直線PA,PB即為所求作。。的切線.

完成如下證明：

證明：連接。4,0B,

是OC直徑，點A在OC上

ZOAP=90°（直徑所對的圓周角是直角）（填推理的依據(jù)）.

：.OA_LAP.

又：點A在。。上，

直線PA是OO的切線（經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線）

（填推理的依據(jù)）.

同理可證直線尸3是OO的切線.

*V

【分析】連接。8,根據(jù)圓周角定理可知/。4P=90°,再依據(jù)切線的判定證明結(jié)

論；

【解答】證明：連接04,OB,

??,0P是OC直徑，點A在OC上

ZOAP=90°（直徑所對的圓周角是直角），

：.OA±AP.

又：點A在。。上，

直線FA是O。的切線（經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線），

同理可證直線PB是的切線，

故答案為：直徑所對的圓周角是直角；經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓

的切線.

16.從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度力（單位：m）與小球的運動時間/（單位：$）

之間的關系式是/7=30f-5?（0W/W6）.小球運動的時間是3s時,小球最高；小

球運動中的最大高度是45m.

【分析】先理解題意，先把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題后，知道解此題就是求出72=30/-

5尸的頂點坐標即可.

解：h=30t-5t~=-5(f-3)z+45,

：-5<0,O0W6,

.?.當t=3時，//有最大值，最大值為45.

故答案為：3,45.

三、解答題（本題共12道小題，第17-22題，每題5分，第23-26題，每題6分，第27-28

題每題7分，共68分）

17.求值：sin30°+tan450-cos60°.

［分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值進而代入計算即可.

解：原式=3+1-

22

=1.

18.如圖，在Rt^ABC中，ZB=90°,點。在AC邊上，DE_LAC交BC于點E.

求證：

【分析】由DE±AC,ZB=90°可得出/CDE=/B,再結(jié)合公共角相等，即可證出4

CDEsMBA.

【解答】證明：'：DE±AC,NB=90°,

ZCDE=90°=ZB.

又：/C=NC,

:.ACDEs4CBA.

A

19.如圖，在△ABC中，ZB=30°,tanC=—,AD_LBC于點￡).若AD=4,求BC的長.

3

【分析】分別解兩個直角三角形求出3。和CZ）的長即可.

解：-：AD±BC,

AZADB=ZADC=90°,

VZB=30°,

：.AB=2AD=8,

-'?BD=VAB2-AD2=V82-42=4V3-

QQ

ACD=—AD=—X4=3,

44

:?BC=BD+CD=4y+3.

20.在平面直角坐標系10y中，若反比例函數(shù)y=K(ZW0)的圖象經(jīng)過點A(2,3)和點

x

B(-2,m),求相的值.

【分析】由點A的坐標利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征即可得出左值，再結(jié)合點B

在反比例函數(shù)圖象上，由此即可得出關于熱的一元一次方程，解方程即可得出結(jié)論.

解：?.?反比例函數(shù)y=K(%W0)的圖象經(jīng)過點A(2,3),

X

:.k=2X3=6.

,?,點8(-2,m)在反比例函數(shù)>='(左W0)的圖象上，

x

???左=6=-2m,

解得：m--3.

故初的軸為-3.

21.在平面內(nèi)，給定不在同一直線上的點A,B,C,如圖所示.點。到點A,B,C的距離

均等于廣。為常數(shù))，到點。的距離等于廠的所有點組成圖形G,/ABC的平分線交圖

形G于點D,連接ADCD.

求證：AD=CD.

B

【分析】由題意畫圖，再根據(jù)圓周角定理的推論即可得證結(jié)論.

【解答】證明：根據(jù)題意作圖如下：

；BD是圓周角ABC的角平分線，

ZABD=ZCBD,

AD=CT-

：.AD=CD.

22.在數(shù)學活動課上，老師帶領學生去測量位于良鄉(xiāng)的昊天塔的高度.如圖，在C處用高

1.2米的測角儀CE測得塔頂A的仰角為30°,向塔的方向前進40米到達。處，在。處

測得塔頂A的仰角為60°,求昊天塔的高約為多少米？（結(jié)果精確到1米，遮心L73,

血七1.41）

【分析】設AG=x米，分別在RtAAFG和RtAAEG中，表示出FG和GE的長度，然后

根據(jù)CO=40米，求出x的值，繼而可求出電視塔的高度AB.

解：如圖，

A

設AG=x米，

在RtzXAFG中，ZAFG=60°，tanZAFG=-=J3，

FGV

:.FG=&X,

3

在Rt^AEG中，ZAEG=30°,tanZAEG=—=2^1,

EG3

.,.EG—y[2>C,

'''/3X-土耳=40,

3

解得：x=20?.

...AG=20?米，

則AB=20&+1.2-35.8（米）.

答：這個電視塔的高度AB約為35.8米.

23.如圖，是。。的直徑，弦CDLA2于￡,ZA=15°,AB=4.求弦CD的長.

【分析】根據(jù)NA=15°,求出/COB的度數(shù)，再求出CE的長.根據(jù)垂徑定理即可求出

CD的長.

解：VZA=15°,

ZCOB=30°.

,：AB=4,

：.OC=2.

:弦CZ）_LAB于E,

：.CE=—CD.

2

在RtZXOCE中，ZCEO=90°,ZCOB=30°,OC=2,

：.CE=1.

：.CD=2.

24.如圖，在△ABC中，AB=4&,ZB=45°,ZC=60°.點E為線段AB的中點，點

廠是AC邊上任一點，作點A關于線段所的對稱點P,連接AP,交EF于點、M.連接

EP,FP.當P_F_LAC時，求AP的長.

【分析】如圖1中，過點A作ADLBC于D.根據(jù)三角函數(shù)的定義得到AD=4,如圖2

中，根據(jù)垂直的定義得到NPE4=90°,根據(jù)折疊的性質(zhì)得到NAFE=/PFE=45°,AF

=PF,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

圖1

在中，AD=AB?sin45°=4&X第=4.

如圖2中，AC=.區(qū)=石=孥,

sinoU-T-3

A

*：PF_LAC,

：.ZPFA=90°,

???沿EF將AAE尸折疊得到△PEE

???AAEF^APEF,

AZAFE=ZPFE=45°,AF=PF,

ZAFE=ZB9

?：/EAF=NCAB,

：.AAEF^AACB,

.?.竺=粵即畀=整，

ABACW2型應

o

:?AF=2&,

AP=y[^\F=2加.

25.在平面直角坐標系xOy中的第一象限內(nèi)，點A(2,4)在雙曲線與=四(加#0)上.

x

(1)求機的值；

(2)已知點尸在x軸上，過點尸作平行于y軸的直線與乃=見，丫2=%的圖象分別相交

x

于點N,M,點、N,M的距離為4，點N,M中的某一點與點尸的距離為心，如果4=

辦，在如圖中畫出示意圖并且直接寫出點尸的坐標.

【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；

（2）畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象即可求得.

解：（1）,點A（2,4）在雙曲線％=必（mWO）上,

x

.*.??i=2X4=8,

'.m的值為8；

由圖象可知，點P的坐標為（2,0）或（4,0）或（-2,0）或（-4,0）.

26.在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax1+bx+3a上有兩點A（-1,0）和點B（x,x+1）.

（1）用等式表示〃與6之間的數(shù)量關系，并求拋物線的對稱軸;

（2）當&&＜皿45或時，結(jié)合函數(shù)圖象，求。的取值范圍.

-H-7-6—5—4—3—2一旦2345678

一3

-4

-5

一6

【分析】（1）將（-1,0）代入函數(shù)解析式可得6=4”,則拋物線對稱軸為直線工=-3

2a一

（2）由點3坐標可得所在直線為y=x+l,過點8作軸交x軸于點C,可得

AB為等腰直角三角形的斜邊，從而可得點B當48=3加時和48=5我時點B的坐標為

（2,3）或（4,3）或（-4,-3）或（-6,-5）,再分類討論拋物線開口向上或向

下求解.

解：（1）將（-1,0）y—a^+bx+^a^Q=a-b+3a,

...b=4〃，

???拋物線對稱軸為直線X=-3=-#=-2.

（2）:點8坐標為（x,x+1）,

???點3所在直線為y=i+l,

???點A在直線y=x+l上,

過點B作BC.Lx軸交x軸于點C,

則3C=|x+l|,AC=\x+l\,

：.AB為等腰直角三角形的斜邊,

?,?當A8=3血時，AC=3C=3,當A8=5y時，AC=8C=5,

\xc-XA|=3或|XC-XA\=5,

?,?點3坐標為（2,3）或（4,3）或（-4,-3）或（-6,-5）

:拋物線經(jīng)過點（-1,0）,對稱軸為直線x=-2,

拋物線經(jīng)過點（-3,0）,

.?.拋物線開口向上時，拋物線不經(jīng)過B4,

將（2,3）代入>=依2+4辦+3。得3=9。+8。+3。,

將（4,5）代入丁=加+4辦+3。得5=16a+16a+3。，

解得a=y,

720

a<0時，拋物線開口向下，拋物線不經(jīng)過Bi,Bi,

將（-4,-3）代入得-3=16。T6〃+3〃，

解得a=-1,

將（-6,-5）代入>=加+4以+3。得-5=36。-24。+3〃，

解得a=-

9

.*?-IWaW-

9

綜上所述，?或-IWaW-

27.如圖，點。是。0直徑A8上一點，過。作C0LA3交。。于點0,連接D4,DB.

（1）求證：ZADC=ZABD；

4.

(2)連接OO,過點。做。。的切線，交3A的延長線于點尸.若AC=3,tanN尸Z)C=

O

【分析】(1)根據(jù)圓周角定理得到NA