數(shù)學(xué)（選修23）練習(xí)8.2.4第2課時(shí)離散型隨機(jī)變量的概率分布活頁作業(yè)13

活頁作業(yè)(十三)離散型隨機(jī)變量的概率分布一、選擇題1．某射手射擊所得環(huán)數(shù)X的概率分布如下：X45678910P0.020.040.060.090.280.290.22則此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)大于7”的概率為A．0.28 B．0.88C．0.79 D．0.51解析：P(射擊一次命中環(huán)數(shù)大于7)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79.答案：C2．某一隨機(jī)變量ξ的概率分布如下表，且m＋2n＝1.2，則m－eq\f(n,2)的值為()ξ0123P0.1mn0.1A．－0.2 B．0.2C．0.1 D．－0.1解析：由離散型隨機(jī)變量概率分布的性質(zhì)可得m＋n＋0.2＝1；又m＋2n＝1.2，解得m＝n＝0.4.∴m－eq\f(n,2)＝0.2.答案：B3．若P(X≤n)＝1－a，P(X≥m)＝1－b，其中m＜n，則P(m≤X≤n)等于()A．(1－a)(1－b) B．1－a(1－b)C．1－(a＋b) D．1－b(1－a)解析：∵P(X≥m)＝1－b，∴P(X＜m)＝1－(1－b)＝b.∴P(m≤X≤n)＝P(X≤n)－P(X＜m)＝1－a－b＝1－(a＋b).答案：C4．拋擲兩枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和X是一個(gè)隨機(jī)變量，則P(X≤4)等于()A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)解析：根據(jù)題意，有P(X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)．拋擲兩枚骰子，按所得的點(diǎn)數(shù)共有36個(gè)基本事件，而“X＝2”對(duì)應(yīng)(1,1)，“X＝3”對(duì)應(yīng)(1,2)，(2,1)，“X＝4”對(duì)應(yīng)(1,3)，(3,1)，(2,2)，故P(X＝2)＝eq\f(1,36)，P(X＝3)＝eq\f(2,36)＝eq\f(1,18)，P(X＝4)＝eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).所以P(X≤4)＝eq\f(1,36)＋eq\f(1,18)＋eq\f(1,12)＝eq\f(1,6).答案：A二、填空題5．隨機(jī)變量Y的概率分布如下：Y＝y(tǒng)i123456P(Y＝y(tǒng)i)0.1x0.350.10.150.2則：(1)x＝________；(2)P(Y＞3)＝________；(3)P(1＜Y≤4)＝________.解析：(1)由eq\i\su(i＝1,6,p)i＝1，得x＝0.1.(2)P(Y＞3)＝P(Y＝4)＋P(Y＝5)＋P(Y＝6)＝0.1＋0.15＋0.2＝0.45.(3)P(1＜Y≤4)＝P(Y＝2)＋P(Y＝3)＋P(Y＝4)＝0.1＋0.35＋0.1＝0.55.答案：(1)0.1(2)0.45(3)0.556．隨機(jī)變量X的概率分布為P(X＝k)＝eq\f(C,kk＋1)，k＝1,2,3，C為常數(shù)，則P(0.5＜X＜2.5)＝____________.解析：由P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1，得eq\f(C,1×2)＋eq\f(C,2×3)＋eq\f(C,3×4)＝1.解得C＝eq\f(4,3).∴分布列為X123Peq\f(2,3)eq\f(2,9)eq\f(1,9)∴P(0.5＜X＜2.5)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝eq\f(2,3)＋eq\f(2,9)＝eq\f(8,9).答案：eq\f(8,9)三、解答題7．若離散型隨機(jī)變量X的概率分布為X＝xi01P(X＝xi)9a2－3－8求常數(shù)a及相應(yīng)的概率分布．解：由離散型隨機(jī)變量的性質(zhì)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9a2－a＋3－8a＝1，,0≤9a2－a≤1，,0≤3－8a≤1，))解得a＝eq\f(1,3)，或a＝eq\f(2,3)(舍)．所以隨機(jī)變量X的概率分布為X＝xi01P(X＝xi)eq\f(2,3)eq\f(1,3)8．某電視臺(tái)舉行記者選拔大獎(jiǎng)賽，在選手綜合素質(zhì)測(cè)試中，有一道把我國(guó)四大文學(xué)名著《水滸傳》《三國(guó)演義》《西游記》《紅樓夢(mèng)》與它們的作者連線的題目，每連對(duì)一個(gè)得3分，連錯(cuò)不得分．記一名選手該題得分為X.(1)求該選手得分不少于6分的概率；(2)求X的概率分布．解：(1)P(X＝6)＝eq\f(C\o\al(2,4),A\o\al(4,4))＝eq\f(1,4)，P(X＝12)＝eq\f(1,A\o\al(4,4))＝eq\f(1,24)，該選手得分不少于6分的概率為P＝P(X＝6)＋P(X＝12)＝eq\f(7,24).(2)X的可能取值是0,3,6,12.P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(1,4)×2,A\o\al(4,4))＝eq\f(1,3)，P(X＝0)＝1－eq\f(7,24)－eq\f(1,3)＝eq\f(9,24)＝eq\f(3,8).所以X的概率分布為X＝i03612P(X＝i)eq\f(3,8)eq\f(1,3)eq\f(1,4)eq\f(1,24)一、選擇題1．設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01Peq\f(a,2)eq\f(a2,2)則X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝()A．2 B．2或eq\f(1,2)C．eq\f(1,2) D．1解析：由題意知，eq\f(a,2)＋eq\f(a2,2)＝1，a＞0，∴a＝1.∴E(X)＝0×eq\f(1,2)＋1×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).故選C．答案：C2．已知隨機(jī)變量X的概率分布為X－2－10123Peq\f(1,12)eq\f(3,12)eq\f(4,12)eq\f(1,12)eq\f(2,12)eq\f(1,12)若P(X2＜x)＝eq\f(11,12)，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是()A．4≤x≤9 B．4＜x≤9C．4≤x＜9 D．4＜x＜9解析：若P(X2＜x)＝eq\f(11,12)，則X要取遍0，±1，±2各個(gè)值．當(dāng)x≤4時(shí)，X2≤3，X取不到±2；當(dāng)x＞9時(shí)，X2≤9，X取到3.均與已知矛盾．∴4＜x≤9.答案：B二、填空題3．已知隨機(jī)變量X只能取三個(gè)值x1，x2，x3，其概率依次成等差數(shù)列，則公差d的取值范圍是________________．解析：設(shè)X取x1，x2，x3時(shí)的概率分別為a－d，a，a＋d，則(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，∴a＝eq\f(1,3).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－d≥0，,\f(1,3)＋d≥0，))得－eq\f(1,3)≤d≤eq\f(1,3).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3)))4．隨機(jī)變量X的概率分布如下：X－101P(X)abc其中a，b，c成等差數(shù)列，則P(|X|＝1)＝________.解析：∵a，b，c成等差數(shù)列，∴2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，∴b＝eq\f(1,3).∴P(|X|＝1)＝a＋c＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)三、解答題5．設(shè)S是不等式x2－x－6≤0的解集，整數(shù)m，n∈S.(1)記“使得m＋n＝0成立的有序數(shù)組(m，n)”為事件A，試列舉A包含的基本事件；(2)設(shè)X＝m2，求X的概率分布．解：(1)由x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，即S＝{x|－2≤x≤3}．由于m，n∈Z，m，n∈S，且m＋n＝0，所以A包含的基本事件為(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．(2)由于m的所有不同取值為－2，－1,0,1,2,3，所以X＝m2的所有不同取值為0,1,4,9，且有P(X＝0)＝eq\f(1,6)，P(X＝1)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(X＝4)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(X＝9)＝eq\f(1,6).故X的概率分布為X＝i0149P(X＝i)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(1,3)eq\f(1,6)6．在一個(gè)盒子中，放有標(biāo)號(hào)分別為1,2,3的三張卡片．現(xiàn)從這個(gè)盒子中，有放回地先后抽得兩張卡片的標(biāo)號(hào)分別為x，y，記ξ＝|x－2|＋|y－x|.(1)求隨機(jī)變量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；(2)求隨機(jī)變量ξ的概率分布．解：(1)∵x，y可能的取值為1,2,3，∴|x－2|≤1，|y－x|≤2.∴ξ≤3，且當(dāng)x＝1，y＝3或x＝3，y＝1時(shí)，ξ＝3.因此，隨機(jī)變量ξ的最大值為3.∵有放回抽兩張卡片的所有情況有3×3＝9種，∴P(ξ＝3)＝eq\f(2,9).故隨機(jī)變量ξ的最大值為3，事件“ξ取得最大值”的概率為eq\f(2,9).(2)ξ的所有取值為0,1,2,3.∵ξ＝0時(shí)，只有x＝2，y＝2這一種情況；ξ＝1時(shí)，有x＝1，y＝1或x＝2，y＝1或x＝2，y＝3或x＝3，