高考數(shù)學(xué)（文）培優(yōu)增分一輪全國經(jīng)典版培優(yōu)講義第11章算法初步復(fù)數(shù)推理與證明第2講數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入

第2講數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入板塊一知識梳理·自主學(xué)習(xí)[必備知識]考點1復(fù)數(shù)的有關(guān)概念1．復(fù)數(shù)的概念形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a，b分別是它的實部和虛部．若b＝0，則a＋bi為實數(shù)，若b≠0，則a＋bi為虛數(shù)，若a＝0，b≠0，則a＋bi為純虛數(shù)．2．復(fù)數(shù)相等a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．3．共軛復(fù)數(shù)a＋bi與c＋di共軛?a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)．4．復(fù)數(shù)的模向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模r叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模，記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝eq\r(a2＋b2)(r≥0，r∈R)．考點2復(fù)數(shù)的幾何意義考點3復(fù)數(shù)的運算設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則1．加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；2．減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；3．乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；4．除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．[必會結(jié)論]1．(1±i)2＝±2i；eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i.2．－b＋ai＝i(a＋bi)．3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)．4．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．[考點自測]1．判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)方程x2＋1＝0沒有解．()(2)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)中，虛部為bi.()(3)復(fù)數(shù)的模等于復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點到原點的距離，也等于復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量的模．()(4)已知復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)eq\o(z,\s\up6(－))＝1＋2i，則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第三象限．()(5)復(fù)數(shù)中有相等復(fù)數(shù)的概念，因此復(fù)數(shù)可以比較大?。?)答案(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×2．[2017·全國卷Ⅲ]復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z＝i(－2＋i)的點位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限答案C解析∵z＝i(－2＋i)＝－1－2i，∴復(fù)數(shù)z＝－1－2i所對應(yīng)的復(fù)平面內(nèi)的點為Z(－1，－2)，位于第三象限．故選C.3．[2017·全國卷Ⅱ]eq\f(3＋i,1＋i)＝()A．1＋2i B．1－2iC．2＋i D．2－i答案D解析eq\f(3＋i,1＋i)＝eq\f(3＋i1－i,1＋i1－i)＝eq\f(3－3i＋i＋1,2)＝2－i.故選D.4．[2018·榆林模擬]設(shè)復(fù)數(shù)z＝－2＋i(i是虛數(shù)單位)，z的共軛復(fù)數(shù)為eq\o(z,\s\up6(－))，則|(1＋z)·eq\o(z,\s\up6(－))|等于()A.eq\r(5)B．2eq\r(5)C．5eq\r(2)D.eq\r(10)答案D解析∵z＝－2＋i，∴eq\o(z,\s\up6(－))＝－2－i，∴|(1＋z)·eq\o(z,\s\up6(－))|＝|(1－2＋i)·(－2－i)|＝|3－i|＝eq\r(1＋9)＝eq\r(10)，故選D.5．[2017·江蘇高考]已知復(fù)數(shù)z＝(1＋i)(1＋2i)，其中i是虛數(shù)單位，則z的模是________．答案eq\r(10)解析eq\a\vs4\al(解法一：)∵z＝(1＋i)(1＋2i)＝1＋2i＋i－2＝－1＋3i，∴|z|＝eq\r(－12＋32)＝eq\r(10).eq\a\vs4\al(解法二：)|z|＝|1＋i||1＋2i|＝eq\r(2)×eq\r(5)＝eq\r(10).6．[2018·湖北高中聯(lián)考]已知復(fù)數(shù)z＝1＋i(i是虛數(shù)單位)，則eq\f(2,z)－z2的共軛復(fù)數(shù)是________．答案1＋3i解析eq\f(2,z)－z2＝eq\f(2,1＋i)－(1＋i)2＝eq\f(21－i,1＋i1－i)－2i＝1－i－2i＝1－3i，其共軛復(fù)數(shù)是1＋3i.板塊二典例探究·考向突破考向復(fù)數(shù)的有關(guān)概念例1(1)[2017·全國卷Ⅰ]下列各式的運算結(jié)果為純虛數(shù)的是()A．i(1＋i)2B．i2(1－i)C．(1＋i)2D．i(1＋i)答案C解析A項，i(1＋i)2＝i(1＋2i＋i2)＝i×2i＝－2，不是純虛數(shù)．B項，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是純虛數(shù)．C項，(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i，是純虛數(shù)．D項，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是純虛數(shù)．故選C.(2)[2017·天津高考]已知a∈R，i為虛數(shù)單位，若eq\f(a－i,2＋i)為實數(shù)，則a的值為________．答案－2解析∵a∈R，eq\f(a－i,2＋i)＝eq\f(a－i2－i,2＋i2－i)＝eq\f(2a－1－a＋2i,5)＝eq\f(2a－1,5)－eq\f(a＋2,5)i為實數(shù)，∴－eq\f(a＋2,5)＝0，∴a＝－2.觸類旁通求解與復(fù)數(shù)概念相關(guān)問題的技巧復(fù)數(shù)的分類、復(fù)數(shù)的相等、復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)的概念都與復(fù)數(shù)的實部和虛部有關(guān)，所以解答與復(fù)數(shù)相關(guān)概念有關(guān)的問題時，需把所給復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根據(jù)題意列方程(組)求解．【變式訓(xùn)練1】(1)若復(fù)數(shù)z＝a2－1＋(a＋1)i(a∈R)是純虛數(shù)，則eq\f(1,z＋a)的虛部為()A．－eq\f(2,5)B．－eq\f(2,5)iC.eq\f(2,5)D.eq\f(2,5)i答案A解析由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－1＝0，,a＋1≠0，))所以a＝1，所以eq\f(1,z＋a)＝eq\f(1,1＋2i)＝eq\f(1－2i,1＋2i1－2i)＝eq\f(1,5)－eq\f(2,5)i，根據(jù)虛部的概念，可得eq\f(1,z＋a)的虛部為－eq\f(2,5).故選A.(2)[2018·福州調(diào)研]已知m∈R，i為虛數(shù)單位，若eq\f(1－2i,m－i)>0，則m＝()A．1B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D．－2答案B解析由已知得eq\f(1－2i,m－i)＝eq\f(1－2im＋i,m－im＋i)＝eq\f(m＋2＋1－2mi,m2＋1)，由eq\f(1－2i,m－i)>0，可得1－2m＝0，則m＝eq\f(1,2)，選B.考向復(fù)數(shù)的幾何意義例2(1)[2017·北京高考]若復(fù)數(shù)(1－i)(a＋i)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，1) B．(－∞，－1)C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)答案B解析∵(1－i)(a＋i)＝a＋i－ai－i2＝a＋1＋(1－a)i，又∵復(fù)數(shù)(1－i)(a＋i)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1＜0，,1－a＞0，))解得a＜－1.故選B.(2)[2018·貴陽模擬]已知i為虛數(shù)單位，a為實數(shù)，復(fù)數(shù)z＝eq\f(a－3i,1－i)在復(fù)平面上對應(yīng)的點在y軸上，則a＝________.答案－3解析z＝eq\f(a－3i,1－i)＝eq\f(a－3i1＋i,2)＝eq\f(a＋3＋a－3i,2)，由a＋3＝0，得a＝－3.觸類旁通復(fù)數(shù)幾何意義的理解及應(yīng)用復(fù)數(shù)集與復(fù)平面內(nèi)所有的點構(gòu)成的集合之間存在著一一對應(yīng)關(guān)系，每一個復(fù)數(shù)都對應(yīng)著一個點(有序?qū)崝?shù)對)．復(fù)數(shù)的實部對應(yīng)著點的橫坐標(biāo)，而虛部則對應(yīng)著點的縱坐標(biāo)，只要在復(fù)平面內(nèi)找到這個有序?qū)崝?shù)對所表示的點，就可根據(jù)點的位置判斷復(fù)數(shù)實部、虛部的取值．【變式訓(xùn)練2】(1)[2018·邯鄲?？糫已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z＝eq\f(2＋ai,2＋i)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，則實數(shù)a的值可以是()A．－2B．1C．2D．3答案A解析z＝eq\f(2＋ai,2＋i)＝eq\f(2＋ai2－i,2＋i2－i)＝eq\f(4＋a＋2a－2i,5)，因為復(fù)數(shù)z＝eq\f(2＋ai,2＋i)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4＋a>0，,2a－2<0，))解得－4<a<1，選A.(2)已知復(fù)數(shù)z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它們在復(fù)平面上對應(yīng)的點分別為A，B，C，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，(λ，μ∈R)，則λ＋μ的值是________．答案1解析由條件得eq\o(OC,\s\up6(→))＝(3，－4)，eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－1,2)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(1，－1)，由eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－λ＋μ＝3，,2λ－μ＝－4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－1，,μ＝2.))∴λ＋μ＝1.考向復(fù)數(shù)的代數(shù)運算命題角度1復(fù)數(shù)的乘法運算例3[2017·山東高考]已知a∈R，i是虛數(shù)單位．若z＝a＋eq\r(3)i，z·eq\x\to(z)＝4，則a＝()A．1或－1 B.eq\r(7)或－eq\r(7)C．－eq\r(3) D.eq\r(3)答案A解析依題意得(a＋eq\r(3)i)(a－eq\r(3)i)＝4，即a2＋3＝4，∴a＝±1.故選A.命題角度2復(fù)數(shù)的除法運算例4[2015·全國卷Ⅰ]設(shè)復(fù)數(shù)z滿足eq\f(1＋z,1－z)＝i，則|z|＝()A．1B.eq\r(2)C.eq\r(3)D．2答案A解析由題意知1＋z＝i－zi，所以z＝eq\f(i－1,i＋1)＝eq\f(i－12,i＋1i－1)＝i，所以|z|＝1.命題角度3復(fù)數(shù)的混合運算例5[2018·紹興模擬]i是虛數(shù)單位，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),1－i)))2018＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))7＝________.答案0解析原式＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),1－i)))2))1009＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))7＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,－2i)))1009＋i7＝i4×252＋1＋i3＝i－i＝0.觸類旁通復(fù)數(shù)的混合運算與實數(shù)的混合運算類似，需要注意in的運算周期性．【變式訓(xùn)練3】[2018·香坊模擬]已知復(fù)數(shù)z＝eq\f(5a,2＋i)＋eq\f(1＋i,1－i)，a∈R，若復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在復(fù)平面內(nèi)位于第四象限，則實數(shù)a的取值范圍是()A．a(chǎn)>1B．a(chǎn)<0C．0<a<1D．a(chǎn)<1答案A解析z＝eq\f(5a2－i,2＋i2－i)＋eq\f(1＋i1＋i,1－i1＋i)＝2a＋(1－a)i，若復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在復(fù)平面內(nèi)位于第四象限，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a>0，,1－a<0，))解得a>1.故選A.核心規(guī)律1．實軸上的點都表示實數(shù)．除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)．2．設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，利用復(fù)數(shù)相等和相關(guān)性質(zhì)將復(fù)數(shù)問題實數(shù)化是解決復(fù)數(shù)問題的常用方法．3．在復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算中，加、減、乘運算按多項式運算法則進行，除法法則需分母實數(shù)化．滿分策略1．判定復(fù)數(shù)是不是實數(shù)，僅注意虛部等于0是不夠的，還需考慮它的實部是否有意義．2．注意復(fù)數(shù)和虛數(shù)是包含關(guān)系，不能把復(fù)數(shù)等同為虛數(shù)，如虛數(shù)不能比較大小，但說兩個復(fù)數(shù)不能比較大小就不對了．3．注意不能把實數(shù)集中的所有運算法則和運算性質(zhì)照搬到復(fù)數(shù)集中來．例如，若z1，z2∈C，zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2)＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z2<0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有可能成立.板塊三啟智培優(yōu)·破譯高考數(shù)學(xué)思想系列12——解決復(fù)數(shù)問題的實數(shù)化思想[2018·金華模擬]已知z∈C，解方程z·eq\o(z,\s\up6(－))－3ieq\o(z,\s\up6(－))＝1＋3i.解題視點設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，根據(jù)已知中恒等的條件，列出一組含a，b的方程，解方程組使問題獲得解決．解設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i.根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2－3b＝1，,－3a＝3，))解之得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝3.))∴z＝－1或z＝－1＋3i.答題啟示1復(fù)數(shù)問題要把握一點，即復(fù)數(shù)問題實數(shù)化，這是解決復(fù)數(shù)問題最基本的思想方法.2本題求解的關(guān)鍵是先把z用復(fù)數(shù)的形式表示出來，再用待定系數(shù)法求解，這是常用的數(shù)學(xué)方法.3本題易錯原因為想不到利用待定系數(shù)法，或不能將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)方程求解.跟蹤訓(xùn)練[2018·金版創(chuàng)新]設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z＋|eq\o(z,\s\up6(－))|＝2＋i，則z＝()A．－eq\f(3,4)＋iB.eq\f(3,4)＋iC．－eq\f(3,4)－iD.eq\f(3,4)－i答案B解析設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，由已知得a＋bi＋eq\r(a2＋b2)＝2＋i，由復(fù)數(shù)相等可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋\r(a2＋b2)＝2，,b＝1.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(3,4)，,b＝1，))故z＝eq\f(3,4)＋i，故選B.板塊四模擬演練·提能增分[A級基礎(chǔ)達標(biāo)]1．[2017·全國卷Ⅲ]設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1＋i)z＝2i，則|z|＝()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2)D．2答案C解析eq\a\vs4\al(解法一：)由(1＋i)z＝2i，得z＝eq\f(2i,1＋i)＝1＋i，∴|z|＝eq\r(2).故選C.eq\a\vs4\al(解法二：)∵2i＝(1＋i)2，∴由(1＋i)z＝2i＝(1＋i)2，得z＝1＋i，∴|z|＝eq\r(2).故選C.2．[2018·湖南模擬]已知eq\f(1－i2,z)＝1＋i(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z＝()A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i答案D解析由eq\f(1－i2,z)＝1＋i，得z＝eq\f(1－i2,1＋i)＝eq\f(－2i,1＋i)＝eq\f(－2i1－i,1＋i1－i)＝－1－i.3．[2018·江西模擬]已知復(fù)數(shù)z1＝cos23°＋isin23°和復(fù)數(shù)z2＝cos37°＋isin37°，則z1·z2為()A.eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i B.eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)iC.eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)i D.eq\f(\r(3),2)－eq\f(1,2)i答案A解析z1·z2＝(cos23°＋isin23°)·(cos37°＋isin37°)＝cos60°＋isin60°＝eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i.故選A.4．設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于實軸對稱，z1＝2＋i，則eq\f(z1,z2)＝()A．1＋i B.eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)iC．1＋eq\f(4,5)i D．1＋eq\f(4,3)i答案B解析因為復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于實軸對稱，z1＝2＋i，所以z2＝2－i，所以eq\f(z1,z2)＝eq\f(2＋i,2－i)＝eq\f(2＋i2,5)＝eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)i.故選B.5．[2018·天津模擬]已知復(fù)數(shù)z滿足(i－1)(z－i3)＝2i(i為虛數(shù)單位)，則z的共軛復(fù)數(shù)為()A．i－1B．1＋2iC．1－iD．1－2i答案B解析依題意可得z＝eq\f(2i,i－1)＋i3＝eq\f(－2i1＋i,1－i1＋i)－i＝－(i－1)－i＝1－2i，其共軛復(fù)數(shù)為1＋2i，故選B.6．已知a為實數(shù)，若復(fù)數(shù)z＝(a2－1)＋(a＋1)i為純虛數(shù)，則eq\f(a＋i2016,1＋i)＝()A．1B．0C．1＋iD．1－i答案D解析z＝(a2－1)＋(a＋1)i為純虛數(shù)，則有a2－1＝0，a＋1≠0，得a＝1，則有eq\f(1＋i2016,1＋i)＝eq\f(1＋1,1＋i)＝eq\f(21－i,1＋i1－i)＝1－i，選D.7．[2018·郴州模擬]設(shè)z＝1－i(i是虛數(shù)單位)，若復(fù)數(shù)eq\f(2,z)＋z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量為eq\o(OZ,\s\up6(→))，則向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模是()A．1B.eq\r(2)C.eq\r(3)D．2答案B解析z＝1－i(i是虛數(shù)單位)，復(fù)數(shù)eq\f(2,z)＋z2＝eq\f(2,1－i)＋(1－i)2＝eq\f(21＋i,1－i1＋i)－2i＝1－i.向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模：eq\r(12＋－12)＝eq\r(2).故選B.8．[2018·溫州模擬]滿足eq\f(z＋i,z)＝i(i為虛數(shù)單位)的復(fù)數(shù)是________．答案eq\f(1,2)－eq\f(i,2)解析由已知得z＋i＝zi，則z(1－i)＝－i，即z＝eq\f(－i,1－i)＝eq\f(－i1＋i,1－i1＋i)＝eq\f(1－i,2)＝eq\f(1,2)－eq\f(i,2).9．若eq\f(a,1－i)＝1－bi，其中a，b都是實數(shù)，i是虛數(shù)單位，則|a＋bi|＝________.答案eq\r(5)解析∵a，b∈R，且eq\f(a,1－i)＝1－bi，則a＝(1－bi)(1－i)＝(1－b)－(1＋b)i，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1－b，,0＝1＋b，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－1，))∴|a＋bi|＝|2－i|＝eq\r(22＋－12)＝eq\r(5).10．[2017·浙江高考]已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虛數(shù)單位)，則a2＋b2＝________，ab＝________.答案52解析(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi.由(a＋bi)2＝3＋4i，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－b2＝3，,ab＝2.))解得a2＝4，b2＝1.所以a2＋b2＝5，ab＝2.[B級知能提升]1．[2018·成都模擬]已知復(fù)數(shù)z1＝2＋6i，z2＝－2i，若z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為A，B，線段AB的中點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z，則|z|＝()A.eq\r(5)B．5C．2eq\r(5)D．2eq\r(17)答案A解析復(fù)數(shù)z1＝2＋6i，z2＝－2i，若z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為A(2,6)，B(0，－2)，線段AB的中點C(1，2)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z＝1＋2i，則|z|＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5).故選A.2．[2017·全國卷Ⅰ]設(shè)有下面四個命題p1：若復(fù)數(shù)z滿足eq\f(1,z)∈R，則z∈R；p2：若復(fù)數(shù)z滿足z2∈R，則z∈R；p3：若復(fù)數(shù)z1，z2滿足z1z2∈R，則z1＝eq\x\to(z)2；p4：若復(fù)數(shù)z∈R，則eq\x\to(z)∈R.其中的真命題為()A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4答案B解析設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)．對于p1，若eq\f(1,z)∈R，即eq\f(1,a＋bi)＝eq\f(a－bi,a2＋b2)∈R，則b＝0?z＝a＋bi＝a∈R，所以p1為真命題．對于p2，若z2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，則ab＝0.當(dāng)a＝0，b≠0時，z＝a＋bi＝bi∈/R，所以p2為假命題．對于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，則a1b2＋a2b1＝0.而z1＝eq\x\to(z)2，即a1＋b1i＝a2－b2i?a1＝a2，b1＝－b2.因為a1b2＋a2b1＝0?/a1＝a2，b1＝－b2，所以p3為假命題．對于p4，若z∈R，即a＋bi∈R，則b＝0?eq\x\to(z)＝a－bi＝a∈R，所以p4為真命題．故選B.3．[2018·廈門模擬]已知復(fù)數(shù)z＝x＋yi，且|z－2|＝eq\r(3)，則eq\f(y,x)的最大值為________．答案eq\r(3)解析