第7章三角函數(shù)（單元提升卷）

第7章三角函數(shù)（單元提升卷）（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）一、填空題（本大題滿分54分）本大題共有12題，16題每題4分，712題每題5分，1．已知函數(shù)，其中在，，上是嚴(yán)格增函數(shù)，則的最大值為．【分析】由整體代入法得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，對(duì)比，，即可得解．【解答】解：由于函數(shù)滿足的單調(diào)遞增區(qū)間為，，解得，；故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；故，；故，，即的最大值為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．2．若將函數(shù)向右平移個(gè)單位后其圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則．【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖像變換及三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【解答】解：函數(shù)向右平移個(gè)單位后，得到函數(shù)的圖像，此時(shí)函數(shù)圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則，，即，，又，所以時(shí)，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)圖像的變換及三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．3．函數(shù)，，的增區(qū)間為．【分析】由，，求得的范圍，令，即可求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．【解答】解：由，，可得，令，解得，即函數(shù)在，的單調(diào)增區(qū)間為．故答案為：．（開閉均可）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4．函數(shù)，的振幅是2，最小正周期是，初始相位是，則它的解析式為．【分析】直接利用函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的解析式．【解答】解：函數(shù)，的振幅是2，最小正周期是，所以；；初始相位是，故解析式為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角函數(shù)的函數(shù)的關(guān)系式的求法，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．5．已知函數(shù)，，，的部分圖象如圖所示，則的解析式是．【分析】由函數(shù)圖象可知的值，周期，由周期公式可解得的值，由點(diǎn)，在函數(shù)圖象上，可得：，結(jié)合范圍，可求的值，即可得解．【解答】解：由函數(shù)圖象可知：，周期，由周期公式可得：，由點(diǎn)，在函數(shù)圖象上，可得：，解得：，，又，從而可得：，可得：，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了由的部分圖象確定其解析式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識(shí)的考查．6．將的圖象向左平移個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位之后，可得的圖象，則．【分析】直接利用三角函數(shù)的關(guān)系式的平移變換的應(yīng)用求出函數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)一步求出函數(shù)的值．【解答】解：函數(shù)的圖象向下平移1個(gè)單位后，得到的圖象，再向右平移個(gè)單位，得到的圖象，所以，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的平移變換，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．7．函數(shù)的定義域?yàn)?，，．【分析】根?jù)函數(shù)，可得，再結(jié)合余弦函數(shù)的圖象，求得的范圍．【解答】解：根據(jù)函數(shù)，可得，可得，故函數(shù)的定義域?yàn)?，，，故答案為：，，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查余弦函數(shù)的圖象的特征，解三角不等式，屬于基礎(chǔ)題．8．已知函數(shù)，，函數(shù)的對(duì)稱中心與對(duì)稱軸的最小距離為，則．【分析】由函數(shù)的部分圖象求解析式，由周期求出，由五點(diǎn)法作圖求出的值，可得函數(shù)的解析式．【解答】解：函數(shù)，，函數(shù)的對(duì)稱中心與對(duì)稱軸的最小距離為，．再根據(jù)，，令，可得，故，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查由函數(shù)的部分圖象求解析式，由周期求出，由五點(diǎn)法作圖求出的值，屬于中檔題．9．如圖所示為函數(shù)的部分圖象，其中，則．【分析】由題意，由圖可得間的縱向距離為4，故可由勾股定理計(jì)算間的橫向距離，即半個(gè)周期，進(jìn)而得，再利用函數(shù)圖象過點(diǎn)，且此點(diǎn)在減區(qū)間上，代入函數(shù)解析式即可求出值．【解答】解：由圖可知函數(shù)的振幅為2，半周期為間的橫向距離，，，即，，由圖象知函數(shù)過點(diǎn)，，或，，，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，由的部分圖象確定其解析式的方法，三角函數(shù)周期，是中檔題．10．已知函數(shù)，若將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位，所得圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則實(shí)數(shù)的值所組成的集合為．【分析】直接利用函數(shù)的關(guān)系式的變換，把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步利用函數(shù)的性質(zhì)求出結(jié)果．【解答】解：．將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位，得到，所得圖像關(guān)于軸對(duì)稱，故函數(shù)為偶函數(shù)，所以，解得．故實(shí)數(shù)的值所組成的集合為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：函數(shù)的圖象的平移變換，函數(shù)的性質(zhì)，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．11．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，若，則．【分析】先利用函數(shù)的圖象確定函數(shù)的最小正周期，從而得到的值，利用最高點(diǎn)的坐標(biāo)求出的值，從而得到，然后利用角的變換，將所求解的角轉(zhuǎn)化為，再利用同角三角函數(shù)關(guān)系以及兩角差的余弦公式求解即可．【解答】解：設(shè)的最小正周期為，則有，故，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，則，不符合題意；當(dāng)時(shí)，則，又，所以，故，則，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，故，所以．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由的部分圖象確定其解析式，同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，兩角和差公式的運(yùn)用，考查了邏輯推理能力與化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題．12．函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后與函數(shù)的圖象重合，寫出所有真命題的序號(hào)①②③．①的一個(gè)周期為；②的圖象關(guān)于對(duì)稱；③是的一個(gè)零點(diǎn)；④在，上嚴(yán)格遞減．【分析】根據(jù)三角函數(shù)的平移變換求出的解析式，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)分別判斷即可．【解答】解：由題意函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后，得函數(shù)，故，的最小正周期是，是的一個(gè)周期，①正確；由，解得：，，當(dāng)時(shí)，，②正確；令，解得：，令，則，即是的一個(gè)零點(diǎn)，③正確；由，解得：，故在，上單調(diào)遞增，④錯(cuò)誤，故答案為：①②③．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，周期，對(duì)稱性以及零點(diǎn)問題，是中檔題．二、選擇題（本大題滿分18分）本大題共有4題，每題只有一個(gè)正確答案，13/14題每題4分，15/16題5分。13．我們把正切函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)的圖像看作一組“平行曲線”．而“平行曲線”具有性質(zhì)：任意一條平行于橫軸的直線與兩條相鄰的“平行掃線”相交，被截得的線段長(zhǎng)度相等，已知函數(shù)圖像中的兩條和鄰“平行曲線”與直線相交于、兩點(diǎn)，且，已知命題：①；②函數(shù)在，上有4048個(gè)零點(diǎn)，則以下判斷正確的是A．①和②均為真命題 B．①和②均為假命題 C．①為真命題，②為假命題 D．①為假命題，②為真命題【分析】求解函數(shù)的周期，推出，然后求解函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【解答】解：由題意可得：，所以，所以，所以①不正確．函數(shù)圖像，在一個(gè)周期內(nèi)，只有一個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)在，上有4048個(gè)周期，因此，函數(shù)有4048個(gè)零點(diǎn)，所以②正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．14．對(duì)于函數(shù)，給出下列結(jié)論：（1）函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；（2）將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖像；則下列說法正確的是A．（1）（2）都正確 B．（1）正確（2）錯(cuò)誤 C．（1）錯(cuò)誤（2）正確 D．（1）（2）都錯(cuò)誤【分析】（1）利用二倍角公式，兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可判斷；（2）利用函數(shù)的圖象變換即可判斷．【解答】解：（1），因?yàn)?，所以函?shù)的圖像不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，錯(cuò)誤；（2）將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖像，正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二倍角公式，兩角差的正弦公式的應(yīng)用，考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的圖象變換，屬于基礎(chǔ)題．15．將函數(shù)的圖像向上平移1個(gè)單位，得到的圖像，若，則的最小值是A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)題意化簡(jiǎn)，可得，結(jié)合的周期，算出的最小值．【解答】解：函數(shù)的圖像向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像；若，則，即，根據(jù)函數(shù)的周期，當(dāng)，時(shí)，，此時(shí)，達(dá)到最小值．綜上所述，的最小值是1．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角函數(shù)的周期性等知識(shí)，考查了計(jì)算能力、概念理解能力，屬于基礎(chǔ)題．16．已知函數(shù)，，的部分圖像如圖所示．若，則的最大值為A．2 B． C．4 D．【分析】根據(jù)圖象先求出，然后根據(jù)函數(shù)過點(diǎn)和在單調(diào)遞減得到，代入函數(shù)解析式，利用兩角和與差的正弦公式即可求解．【解答】解：由圖可知，，，則，，又，且在單調(diào)遞減，，，，，又，，，．故的最大值為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查由的部分圖象確定其解析式，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．三、解答題（本大題共有5題78分，1719題每題14分，20/21每題18分），解答下列各題必須寫出必要的步驟。17．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，用五點(diǎn)法作出函數(shù)一個(gè)周期內(nèi)的圖像；（2）若函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【分析】（1）化簡(jiǎn)，列表，描點(diǎn)，平滑曲線連接即可；（2）利用三角函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)取值范圍即可．【解答】解：（1），當(dāng)時(shí)，，列表00200作圖（2）由（1）得，因?yàn)椋?，又函?shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，所以，即，解得，，又，解得，所以的取值范圍為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了由部分函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)的解析式，還考查了正弦函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．18．已知函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)中，相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為，且圖象上一個(gè)最低點(diǎn)為．（1）求的解析式和周期．（2）當(dāng)時(shí)，求的值域．【分析】（1）由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出，由周期求出，由特殊點(diǎn)的坐標(biāo)求出的值，可得函數(shù)的解析式，從而求得它的周期（2）當(dāng)時(shí)，利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得當(dāng)時(shí)，的值域．【解答】解：（1）由題意可得，．根據(jù)圖象上一個(gè)最低點(diǎn)為，可得，，，可得，，故它的周期為．（2）當(dāng)時(shí)，，，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值為2，故函數(shù)的值域?yàn)椋军c(diǎn)評(píng)】本題主要考查由函數(shù)的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出，由周期求出，由特殊點(diǎn)的坐標(biāo)求出的值，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．19．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）若函數(shù)的圖像是由函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．【分析】（1）先利用同角三角函數(shù)關(guān)系式、二倍角公式以及輔助角公式將函數(shù)的解析式化簡(jiǎn)，然后由三角函數(shù)的周期計(jì)算公式求解即可；（2）利用三角函數(shù)的圖象變換求出函數(shù)的解析式，然后由正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，列式求解即可．【解答】解：（1）函數(shù)，所以的最小正周期為；（2）函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得函數(shù)，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，可得函數(shù)，令，解得，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同角三角函數(shù)關(guān)系式、二倍角公式以及輔助角公式的應(yīng)用，三角函數(shù)的周期計(jì)算公式的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查了邏輯推理能力與化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題．20．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的振幅、頻率、初始相位，以及在，上的增區(qū)間；（2）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，函數(shù)，當(dāng)，且時(shí)，有，求的值．【分析】（1）根據(jù)函數(shù)解析式，利用振幅、頻率、初始相位的定義，正弦函數(shù)的增區(qū)間，得出結(jié)論．（2）由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，三角恒等變換，得到的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，求得的值．【解答】解：（1）對(duì)于函數(shù)，它的振幅為，頻率，初始相位，在，上，它的增區(qū)間為和．（2）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，函數(shù)，當(dāng)，且時(shí)，有，即，．再根據(jù)的圖象的對(duì)稱性，，，故．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調(diào)性，三角恒等變換，正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，屬于中檔題．21．函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，為圖象的最高點(diǎn)，、為圖象與軸的交點(diǎn)，且為正三角形．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若，且，求的值；（3）若的最小值為，求的取值．【分析】（1）直接利用函數(shù)的關(guān)系式的恒等變換和函數(shù)的圖象的應(yīng)用求出函數(shù)的關(guān)系式；（2）利用（1）的結(jié)論，進(jìn)一步利用角的變換求出結(jié)果