人教A版高中數(shù)學(xué)必修4.1.1 n次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪（二）

【新教材】4.1.1n次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪教學(xué)設(shè)計（人教A版）學(xué)生在初中學(xué)習(xí)了數(shù)的開平方、開立方以及二次根式的概念，又學(xué)習(xí)了正整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的概念，以及整數(shù)指數(shù)冪的運算法則。有了這些知識作儲備，教科書通過實際問題引入分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，說明了擴(kuò)張指數(shù)范圍的必要性。課程目標(biāo)1.理解n次方根、根式的概念與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念．2.掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和根式之間的互化、化簡、求值；3.掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)。數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)1.數(shù)學(xué)抽象：n次方根、根式的概念與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念；2.邏輯推理：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和根式之間的互化；3.數(shù)學(xué)運算：利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)化簡求值；4.數(shù)學(xué)建模：通過與初中所學(xué)的知識進(jìn)行類比，得出分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念，和指數(shù)冪的性質(zhì)。重點：（1）根式概念的理解；分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的理解；掌握并運用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì).難點：根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪概念的理解．教學(xué)方法：以學(xué)生為主體，采用類比發(fā)現(xiàn)，誘思探究式教學(xué)，精講多練。教學(xué)工具：多媒體。情景導(dǎo)入我們已經(jīng)知道…是正整數(shù)指數(shù)冪，它們的值分別為….那么，的意義是什么呢？這正是我們將要學(xué)習(xí)的知識.下面，我們一起將指數(shù)的取值范圍從整數(shù)推廣到實數(shù).為此，需要先學(xué)習(xí)根式的知識.要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察.研探.二、預(yù)習(xí)課本，引入新課閱讀課本104-106頁，思考并完成以下問題(1)n次方根是怎樣定義的？(2)根式的定義是什么？它有哪些性質(zhì)？(3)有理數(shù)指數(shù)冪的含義是什么？怎樣理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪？(4)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化遵循哪些規(guī)律？(5)如何利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)進(jìn)行化簡？要求：學(xué)生獨立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。三、新知探究1．n次方根定義一般地，如果xn＝a，那么X叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*個數(shù)n是奇數(shù)a＞0x＞0x僅有一個值，記為a＜0x＜0n是偶數(shù)a＞0x有兩個值，且互為相反數(shù)，記為a＜0x不存在2．根式(1)定義：式子叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)．(2)性質(zhì)：(n＞1，且n∈N*)①(eq\r(n,a))n＝.②eq\r(n,an)＝3．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義分?jǐn)?shù)指數(shù)冪正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪規(guī)定：a＝eq\r(n,am)(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪規(guī)定：a＝＝eq\f(1,\r(n,am))(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)0的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義4．有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)(1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)．(2)(ar)s＝(a＞0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝(a＞0，b＞0，r∈Q)．四、典例分析、舉一反三題型一根式的化簡(求值)例1求下列各式的值【答案】解題技巧：（根式求值）（1）化簡nan時,首先明確根指數(shù)n是奇數(shù)還是偶數(shù),然后依據(jù)根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡;化簡(na關(guān)鍵是明確na是否有意義,只要na有意義,則((2)在對根式進(jìn)行化簡時,若被開方數(shù)中含有字母參數(shù),則要注意字母參數(shù)的取值范圍,即確定中a的正負(fù),再結(jié)合n的奇偶性給出正確結(jié)果.跟蹤訓(xùn)練一1.化簡(1)eq\r(n,x－πn)(x＜π，n∈N*)；(2)eq\r(6,4a2－4a＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a≤\f(1,2))).【答案】見解析【解析】(1)∵x＜π，∴x－π＜0.當(dāng)n為偶數(shù)時，eq\r(n,x－πn)＝|x－π|＝π－x；當(dāng)n為奇數(shù)時，eq\r(n,x－πn)＝x－π.綜上可知，eq\r(n,x－πn)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(π－x，n為偶數(shù)，n∈N*，,x－π，n為奇數(shù)，n∈N*.))(2)∵a≤eq\f(1,2)，∴1－2a≥0，∴eq\r(6,4a2－4a＋1)＝eq\r(6,2a－12)＝eq\r(6,1－2a2)＝eq\r(3,1－2a).題型二分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的簡單計算問題例2求值【答案】見解析【解析】解題技巧：(分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運算技巧)1.對于既含有分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,又含有根式的式子,一般把根式統(tǒng)一化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式,以便于計算.如果根式中的根指數(shù)不同,也應(yīng)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式.2.對于計算題的結(jié)果,不強(qiáng)求統(tǒng)一用什么形式來表示,但結(jié)果不能同時含有根號和分?jǐn)?shù)指數(shù),也不能既含有分母又含有負(fù)指數(shù).跟蹤訓(xùn)練二1.計算(1)12527-23;(2)0.008-23;(3)812401-【答案】見解析【解析】(1)12527(2)0.008-23=(0.23)-23=0.2-2=1(3)812(4)(2a+1)0=1(5)56-35-題型三根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化例3用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表或下列各式（a＞0）【答案】見解析【解析】解題技巧：（根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化）（1）根指數(shù)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)的分母，被開方數(shù)(式)的指數(shù)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)的分子．（2）在具體計算時，通常會把根式轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，然后利用有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)解題．跟蹤訓(xùn)練三1．下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化正確的是()A．－eq\r(x)＝(－x)(x＞0) B.eq\r(6,y2)＝y(tǒng)eq\f(1,3)(y＜0)C．x－eq\f(3,4)＝eq\r(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))3)(x＞0) D．x－eq\f(1,3)＝－eq\r(3,x)(x≠0)【答案】C【解析】－eq\r(x)＝－x(x＞0)；eq\r(6,y2)＝[(y)2]＝－y(y＜0)；x－eq\f(3,4)＝(x－3)＝eq\r(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))3)(x＞0)；x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\r(3,\f(1,x))(x≠0)．題型四利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)化簡求值例4計算:0.064-13--【答案】14380【解析】原式=(0.43)-13-1+(-2)-4+(24)-34+(0.12)1解題技巧：（利用指數(shù)冪的運算性質(zhì)化簡求值的方法）(1)進(jìn)行指數(shù)冪的運算時，一般化負(fù)指數(shù)為正指數(shù)，化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，化小數(shù)為分?jǐn)?shù)，同時兼顧運算的順序．(2)在明確根指數(shù)的奇偶(或具體次數(shù))時，若能明確被開方數(shù)的符號，則可以對根式進(jìn)行化簡運算．(3)對于含有字母的化簡求值的結(jié)果，一般用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示．跟蹤訓(xùn)練四1.計算:2350+2-2×214-122.化簡:3a72a【答案】見解析【解析】(1)原式=1+1=1+16(2)原式=3=3=a2五、課堂小結(jié)讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)主要知識及解題技巧六、板書設(shè)計4.1.1n4.1.1n次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪1.n次方根與根式定義例1