湖北省崇陽縣第一中學2023-2024學年高一下學期數學周測卷（七）

崇陽一中高一數學周測卷（七）一、單選題1．復數的虛部是（

）A． B． C． D．2．已知非零向量，，若，則（

）A．8 B． C．6 D．3．已知，向量，且，則（

）A． B． C． D．4．在中，角的對邊分別為，若，，則等于（

）A． B． C． D．5．函數的部分圖象如圖，則（

） B． C．1 D．6．函數的最大值為（

）A． B．2 C． D．7．在中，若，且，則（

）A．B．C．3D．28．如圖，在中，，，為邊AB的中點，線段AC與DE交于點，則（

）A． B． C． D．二、多選題9．在中，，則角的可能取值是（

）A． B． C． D．10．下面四個命題中的真命題為（

）A．若復數滿足，則B．若復數滿足，則C．已知，若，則D．已知，若，且，則，11．如圖所示，設是平面內相交成角的兩條數軸，分別是與軸正方向同向的單位向量，則稱平面坐標系為斜坐標系，若，則把有序數對叫做向量的斜坐標，記為.在的斜坐標系中，，則下列結論中，錯誤的是（

）A．B．C．D．在上的投影向量為三、填空題12．已知向量滿足，則.13．已知為銳角，，則.14．已知函數其中．若在區(qū)間上單調遞增，則的取值范圍是．四、解答題15．已知(1)化簡；(2)已知，求的值.16．已知函數的圖象關于直線對稱．(1)求的解析式及零點；(2)將的圖象向右平移個單位長度，再將所得圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，得到函數的圖象，求的單調遞減區(qū)間．17．在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并作答.問題：在中，內角所對的邊分別為，已知，且選擇條件______.(1)求角；(2)若為的平分線，且與交于點，求的周長.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.18．如圖，在中，是邊的中點，在邊上，與交于點．(1)以為基底表示；(2)若，求的值；(3)若，求的值．19．某大型商場為迎接新年的到來，在自動扶梯（米）的點的上方懸掛豎直高度為5米的廣告牌.如圖所示，廣告牌底部點正好為的中點，電梯的坡度.某人在扶梯上點處（異于點）觀察廣告牌的視角，當人在點時，觀測到視角的正切值為.

(1)設的長為米，用表示；(2)求扶梯的長；(3)當某人在扶梯上觀察廣告牌的視角最大時，求的長.崇陽一中周測卷（七）參考答案一、單選題1．復數的虛部是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據復數的除法法則，再結合虛部的概念即可得到答案．【詳解】由，所以其虛部為．故選：B．2．已知非零向量，，若，則（

）A．8 B． C．6 D．【答案】C【分析】根據向量共線的坐標表示求出，即可得到的坐標，從而求出其模.【詳解】因為非零向量，且，所以，（舍去）或，，即．故選：C3．已知，向量，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由求得，再利用夾角公式求解即可.【詳解】由，可得，因為所以，，解得：，所以所以.故選：B．4．在中，角的對邊分別為，若，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由誘導公式結合有，由余弦定理結合有，再結合余弦定理以及平方關系即可運算求解.【詳解】，所以，所以，即，解得，由余弦定理有，而，所以.故選：C.5．函數的部分圖象如圖，則（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】由圖可知，分別求出后，由，得，結合的范圍求出，最后得到函數表達式即可求解.【詳解】由圖可知，解得，又，所以，解得，注意到，從而，所以，所以.故選：B.6．函數的最大值為（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】設，根據，之間的關系將原函數轉化成二次函數的最值問題處理.【詳解】設，根據輔助角公式，，由，于是，故，當，取得最大值.故選：A7．在中，若，且，則（

）A． B． C．3 D．2【答案】D【分析】由，可得角；再結合正弦定理將中的角化邊，化簡整理后可求得，即可得解．【詳解】由，得，，．由題，由正弦定理有，故，即，故，即，由正弦定理有，故．故選：D．8．如圖，在中，，，為邊AB的中點，線段AC與DE交于點，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】借助幾何性質可得，借助余弦定理可得，再借助余弦定理的推論即可得解.【詳解】因為，，所以是等邊三角形，所以，因為，所以，所以，設，則，在中，由余弦定理可得，所以．故選：C.二、多選題9．在中，，則角的可能取值是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】由正弦定理解出，結合大邊對大角判斷出解的個數.【詳解】由正弦定理有，即，解得，注意到從而，所以角的可能取值是，.故選：BC.10．下面四個命題中的真命題為（

）A．若復數滿足，則B．若復數滿足，則C．已知，若，則D．已知，若，且，則，【答案】ABD【分析】對于A，由實數四則運算的封閉性可判斷；對于B，由共軛復數的概念、復數乘法以及模的計算公式即可啊、判斷；對于CD，舉反例即可判斷.【詳解】對于A，由于，而是實數的倒數，所以，故A正確；對于B，若，，則有，則，故B正確；對于C，取，顯然滿足，但不成立，故C錯誤；11．如圖所示，設是平面內相交成角的兩條數軸，分別是與軸正方向同向的單位向量，則稱平面坐標系為斜坐標系，若，則把有序數對叫做向量的斜坐標，記為.在的斜坐標系中，，則下列結論中，錯誤的是（

）A．B．C．D．在上的投影向量為【答案】ACD【分析】結合向量新定義，由向量模的計算公式即可判斷A，由向量線性運算即可判斷B，由向量垂直的充要條件，驗證數量積是否為0即可判斷C，由投影向量的計算公式即可判斷D.【詳解】對于A，，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，，故C錯誤；對于D，在上的投影向量為，而由C選項分析可知，，由A選項分析可知，且注意到，所以在上的投影向量為，故D錯誤.故選：ACD.【點睛】關鍵點點睛：判斷D選項的關鍵是充分理解投影向量的計算公式，并結合前述結論，由此即可順利得解.三、填空題12．已知向量滿足，則.【答案】1【分析】對兩邊平方，結合即可運算求解.【詳解】因為，所以，解得.故答案為：1.13．已知為銳角，，則.【答案】【分析】根據題意得到，進而結合同角三角函數關系得到的值，利用配角法求得答案即可.【詳解】因為為銳角，所以，所以，所以，又因為，所以，所以.故答案為：14．已知函數其中．若在區(qū)間上單調遞增，則的取值范圍是．【答案】【分析】由復合函數單調性、正弦函數單調性得出關于不等式組，從而，進一步結合，又可得到關于的不等式組，結合即可得解.【詳解】由題意，所以在單調遞增，若在區(qū)間上單調遞增，則在上單調遞增，所以，其中，解得，從而等號不能同時成立，解得，又，所以只能或，即的取值范圍是.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：在得出后還要結合題意得，，由此即可順利得解.四、解答題15．已知(1)化簡；(2)已知，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據誘導公式直接化簡；（2）為待求表達式補上分母，然后分子分母同時除以即可.【詳解】（1）依題意得，（2）依題意得，，得到，于是16．已知函數的圖象關于直線對稱．(1)求的解析式及零點；(2)將的圖象向右平移個單位長度，再將所得圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，得到函數的圖象，求的單調遞減區(qū)間．【答案】(1)，.(2).【分析】（1）由題意先求出，再求出的零點；（2）由圖像平移與變換法則解出，再利用整體代入法即可得解.【詳解】（1）的圖象關于直線對稱，，得，又，，，令，即，得，的零點為.（2）由將的圖象向右平移個單位長度，得到的圖象；再將所得圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，得到，令，，可得，，故的單調遞減區(qū)間為．17．在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并作答.問題：在中，內角所對的邊分別為，已知，且選擇條件______.(1)求角；(2)若為的平分線，且與交于點，求的周長.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】(1)(2)【分析】（1）若選①，結合正弦定理或者余弦定理進行邊角轉換，由三角形內角和為及和差公式化簡等式，再根據角的范圍及函數值，即可求得A；若選②，根據平方關系及誘導公式得到，再利用正弦定理將角化邊，最后由余弦定理計算可得；若選③，利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理將邊化角，即可得解；（2）利用三角形面積公式與余弦定理得到關于的方程組，結合整體法即可得解.【詳解】（1）若選①，則，又因為，所以，即，所以，又因為，所以，所以，解得；若選②，則，由正弦定理可得，故，又，故.若選擇③；由正弦定理可得，再由余弦定理得，即，，．綜上所述，無論選①②③任何一個，都有；（2），，，因為，所以，又平分，所以，所以，則，即由余弦定理得，即，所以，解得或（負值舍去），故的周長為.18．如圖所示，在中，是邊的中點，在邊上，與交于點．(1)以為基底表示；(2)若，求的值；(3)若，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）結合圖形，根據平面向量的線性運算即可求解；（2）由三點共線及三點共線，結合平面向量共線定理列出方程組求解即可；（3）設，，再用表示出求得和，得出，結合即可得出．【詳解】（1）．（2）連接，則，因為，，所以，，因為三點共線，三點共線，所以，解得．（3）設，，則，，所以，解得，所以，，又因為，所以，即，所以．19．某大型商場為迎接新年的到來，在自動扶梯（米）的點的上方懸掛豎直高度為5米的廣告牌.如圖所示，廣告牌底部點正好為的中點，電梯的坡度.某人在扶梯上點處（異于點）觀察廣告牌的視角，當人在點時，觀測到視角的正切值為.

(1)設的長為米，用表示；(2)求扶梯的長；(3)當某人在扶梯上觀察廣告牌的視角最大時，求的長.【答案】(1)(2)10(3)【分析】（1）解直角三角形得，結合以及銳角三角函數的定義即可得解；（2）分別表示出，，，結合，由兩角和的正切公式列式求解，并結合建議即可；（3）作于點，設，則，，表示出，，由兩角差的正切公式得出的表達式，結合基本不等式的