2022-2023上海八年級數(shù)學上冊期末專題復習05 函數(shù)的概念及正比例函數(shù)（考點講解）（教師版）

專題05函數(shù)的概念及正比例函數(shù)【典例分析】【考點1】函數(shù)的概念1．下列各選項中分別有兩個變量x、y，則y不是x的函數(shù)的是（B）A．B．C．y=-2x-1D．在國內(nèi)投寄到外埠質(zhì)量為100g以內(nèi)的普通信函應付郵資如下表：信件質(zhì)量郵資y/元1.202.403.604.806.00【考點】函數(shù)的定義【專題】函數(shù)【分析】根據(jù)函數(shù)的概念“一般的，在一個變化過程中，如果有兩個變量x和y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，我們就把x稱為自變量，把y稱為因變量，y是x的函數(shù)．”即可求解．【解答】在函數(shù)關系中，對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應．B選項中，部分x值有兩個y值與其對應，所以B選項中的圖像y不是x的函數(shù)．故選：B．【點評】本題主要考查函數(shù)的定義，熟知定義并正確判斷是解題的關鍵．2．函數(shù)y＝的自變量x的取值范圍是__且____【考點】函數(shù)的定義域【專題】函數(shù)【分析】根據(jù)二次根式被開方數(shù)是非負數(shù)，分式分母不為0，列不等式即可得到答案．【解答】解：由題意可得：且，解得且，故答案為：且．【點評】本題考查函數(shù)自變量取值范圍求解，解題關鍵是掌握二次根式和分式有意義條件．3．在函數(shù)中，自變量x的取值范圍是__且_______．【考點】函數(shù)的定義域【專題】函數(shù)【分析】根據(jù)開平方時，被開方數(shù)不能小于零，分母不能為零，從而求出自變量x的取值范圍．【解答】解：由題可知，且，∴且，故答案為：且．【點評】本題考查了自變量的取值范圍，掌握此函數(shù)關系式中分母不為0，被開方數(shù)大于等于0是解題的關鍵．4．如果函數(shù)，那么_____．【考點】函數(shù)的值【專題】函數(shù)【分析】根據(jù)函數(shù)的定義，將代入進行計算即可．【解答】解：∵，∴；故答案為：．【點評】本題考查根據(jù)自變量的值，求函數(shù)值．熟練掌握函數(shù)的定義，以及分母有理化，是解題的關鍵．【考點2】正比例函數(shù)的圖像及性質(zhì)1．下列問題中兩個變量成正比例的是（

D

）A．正方形面積和它的邊長B．一條邊確定的長方形，其周長與另一邊長C．圓的面積與它的半徑D．半徑確定的圓中，弧長與該弧長所對圓心角的度數(shù)【考點】正比例的定義【專題】正比例函數(shù)【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的定義逐項判斷，即可得出答案．【解答】解：正方形面積等于邊長的平方，因此正方形面積和它的邊長不成正比例，故A選項不合題意；長方形的周長等于長、寬之和的兩倍，因此一條邊確定的長方形，其周長與另一邊長不成正比例，故B選項不合題意；圓的面積等于與半徑平方的積，因此圓的面積與它的半徑不成正比例，故C選項不合題意；弧長，半徑確定的圓中，是常數(shù)，因此弧長與該弧長所對圓心角的度數(shù)n成正比例，故D選項符合題意；故選D．【點評】本題考查正比例函數(shù)關系，熟練掌握正比例函數(shù)的定義是解題的關鍵．2．已知函數(shù)是正比例函數(shù)，則常數(shù)k的值為（C）A． B．0 C．2 D．【考點】正比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)【專題】正比例函數(shù)【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的定義：一般地，形如y=kx（k是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，即可得出答案．【解答】解：根據(jù)正比例函數(shù)定義得：k-2=0，∴k=2，故選：C．【點評】本題考查了正比例函數(shù)，掌握正比例函數(shù)定義：形如y=kx（k是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)叫做正比例函數(shù)是解題的關鍵．3．下列函數(shù)中，正比例函數(shù)是（A）A． B． C． D．【考點】正比例函數(shù)的定義【專題】正比例函數(shù)【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的的定義解答即可．【解答】解：A、是正比例函數(shù)，故選項正確，符合題意；B、不是正比例函數(shù)，故選項錯誤，不符合題意；C、不是正比例函數(shù)，故選項錯誤，不符合題意；D、不是正比例函數(shù)，故選項錯誤，不符合題意．故選：A．【點評】本題考查了正比例函數(shù)的定義，熟練掌握正比例函數(shù)的定義是解題的關鍵．正比例函數(shù)的定義：一般地，形如y=kx（k是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù)．4．已知正比例函數(shù)，則下列各點在該函數(shù)圖象上的是（

A

）A． B． C． D．【考點】正比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)【專題】正比例函數(shù)【分析】將選項各點坐標代入，即可判斷．【解答】A．當時，，故點在函數(shù)圖象上，A項符合題意；B．當時，，故點不在函數(shù)圖象上，B項不符合題意；C．當時，，故點不在函數(shù)圖象上，C項不符合題意；D．當時，，故點不在函數(shù)圖象上，D項不符合題意；故選：A．【點評】本題主要考查了正比例函數(shù)圖象上的點的坐標特征，掌握正比例函數(shù)的定義是解題的關鍵5．在中，若y是x的正比例函數(shù)，則常數(shù)____2_____．【考點】正比例函數(shù)的定義【專題】正比例函數(shù)【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的定義可得常數(shù)項為0，即可求解．一般地，兩個變量x、y之間的關系式可以表示成形如y=kx的函數(shù)（k為常數(shù)，x的次數(shù)為1，且），那么y=kx就叫做正比例函數(shù)．【解答】解：∵一次函數(shù)是正比例函數(shù)，∴，解得：．故答案為：2．【點評】本題考查了正比例函數(shù)的定義，掌握正比例函數(shù)的定義是解題的關鍵．6．若函數(shù)是關于x的正比例函數(shù)，則m的值為____3____．【考點】正比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)【專題】正比例函數(shù)【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的定義求解即可．【解答】解：∵函數(shù)是關于x的正比例函數(shù)，∴∴m=3，故答案為：3．【點評】本題主要考查了正比例函數(shù)的定義，求平方根的方法解方程，熟知正比例函數(shù)的定義是解題的關鍵：一般地，形如的函數(shù)叫做正比例7．已知正比例函數(shù)，它的圖象除原點外都在第二、四象限內(nèi)，則m的值為__-1___．【考點】正比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)【專題】正比例函數(shù)【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的性質(zhì)，得到關于m的方程，求解即可．【解答】解：正比例函數(shù)過二、四象限則，解得m=1（舍去）或m=-1故答案為-1【點評】此題考查了正比例函數(shù)的性質(zhì)，解題的關鍵是掌握正比例函數(shù)的有關性質(zhì)．8．已知y是x的正比例函數(shù)，當時，．求y關于x的函數(shù)表達式，以及當時的函數(shù)值．【考點】正比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)【專題】正比例函數(shù)【分析】根據(jù)題意，設這個正比例函數(shù)解析式為y=kx，待定系數(shù)法求得解析式，然后將，代入解析式即可求解．【解答】解：∵y是x的正比例函數(shù)，設這個正比例函數(shù)解析式為y=kx，當時，，∴，解得，∴這個正比例函數(shù)解析式為，當時，．【點評】本題考查了求正比例函數(shù)解析式，求函數(shù)值，掌握待定系數(shù)法求解析式是解題的關鍵．9．已知與成正比例，且當時，．(1)求y與x之間的函數(shù)解析式．(2)已知點在該函數(shù)的圖像上，且，求點的坐標．【考點】正比例函數(shù)的定義【專題】函數(shù)【分析】（1）根據(jù)題意可得：，再將（1，6）代入求解即可；（2）將點代入解析式，聯(lián)立，求解二元一次方程組即可．【解答】（1）解：由題意可得：將（1，6）代入得，，解得即，化簡得：即（2）將點代入得，則，解得即【點評】此題考查了一次函數(shù)，掌握正比例函數(shù)的定義是解題的關鍵，形如的函數(shù)為正比例函數(shù)．10．已知正比例函數(shù)過點，點P在正比例函數(shù)圖像上，又且，求點P的坐標．【考點】正比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)【專題】正比例函數(shù)【分析】先求得正比例函數(shù)的解析式，再設出P點坐標，然后根據(jù)三角形面積公式得到關于n的方程，解方程即可．【解答】解：設正比例函數(shù)為，∵，∴，解得，∴正比例函數(shù)的解析式為：．設，∵，∴，∴，∴或，∴P點坐標為或．【點評】本題考查的是待定系數(shù)法求正比例函數(shù)的解析式，三角形的面積，熟知待定系數(shù)法是解答此題的關鍵．【課后練習】1．下列各圖象中，不能表示y是x的函數(shù)的是（C）A．B．C． D．【考點】函數(shù)的概念【專題】函數(shù)【分析】根據(jù)函數(shù)的概念：對于自變量x的每一個值，因變量y都有唯一的值與它對應，逐一判斷即可解答．【解答】解：A、對于自變量x的每一個值，因變量y都有唯一的值與它對應，所以能表示y是x的函數(shù)，不符合題意；B、對于自變量x的每一個值，因變量y都有唯一的值與它對應，所以能表示y是x的函數(shù)，不符合題意；C、對于自變量x的每一個值，因變量y不是都有唯一的值與它對應，所以不能表示y是x的函數(shù)，符合題意；D、對于自變量x的每一個值，因變量y都有唯一的值與它對應，所以能表示y是x的函數(shù)，不符合題意；故選：C．【點評】本題考查了函數(shù)的概念，熟練掌握對于自變量x的每一個值，因變量y都有唯一的值與它對應，是解題的關鍵．2．函數(shù)的自變量x的取值范圍是____且_______【考點】函數(shù)的定義域【專題】函數(shù)【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于等于0，分母不等于0，零指數(shù)冪底數(shù)不為0，列式計算即可得解．【解答】解：依題意有且且，解得且．故答案為：且．【點評】本題主要考查了函數(shù)自變量的范圍，一般從三個方面考慮：（1）當函數(shù)表達式是整式時，自變量可取全體實數(shù)；（2）當函數(shù)表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0；（3）當函數(shù)表達式是二次根式時，被開方數(shù)非負．3．已知函數(shù)，則＝.【考點】函數(shù)的值【專題】函數(shù)【分析】根據(jù)函數(shù)的定義，將代入進行計算即可．【解答】解：∵，∴；故答案為：．【點評】本題考查根據(jù)自變量的值，求函數(shù)值．熟練掌握函數(shù)的定義，以及分母有理化，是解題的關鍵．4．下列問題中，兩個變量之間成正比例關系的是（D）A．圓的面積S（cm2）與它的半徑r（cm）之間的關系B．某水池有水15m3，現(xiàn)打開進水管進水，進水速度為5m3/h，xh后這個水池有水ym3C．三角形面積一定時，它的底邊a（cm）和底邊上的高h（cm）之間的關系D．汽車以60km/h的速度勻速行駛，行駛路程y與行駛時間x之間的關系【考點】正比例的定義【專題】正比例函數(shù)【分析】分別列出每個選項的解析式，根據(jù)正比例函數(shù)的定義判斷即可．【解答】解：A選項，S=πr2，故該選項不符合題意；B選項，y=15+5x，故該選項不符合題意；C選項，∵ah=S，∴a=，故該選項不符合題意；D選項，y=60x，故該選項符合題意；故選：D．【點評】本題考查了正比例函數(shù)的定義，掌握形如y=kx（k≠0）的函數(shù)是正比例函數(shù)是解題的關鍵．5．下列變化過程中，y是x的正比例函數(shù)是（

D

）A．某村共有耕地，該村人均占有耕地y（單位：）隨該村人數(shù)x（單位：人）的變化而變化B．一天內(nèi)，溫嶺市氣溫y（單位：）隨時間x（單位：時）的變化而變化C．汽車油箱內(nèi)的存油y（單位：升）隨行駛時間x（單位：時）的變化而變化D．某人一年總收入y（單位：元）隨年內(nèi)平均月收入x（單位：元）的變化而變化【考點】正比例的定義【專題】正比例函數(shù)【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的定義逐項判斷即可．【解答】解：A.由題意得：，故y不是x的正比例函數(shù)；B.因為溫嶺市一天的氣溫早晚較低，中午較高，故y不是x的正比例函數(shù)；C.因為在行駛時間為零時汽車油箱內(nèi)的存油y不是零，故y不是x的正比例函數(shù)；D.由題意得：，故y是x的正比例函數(shù)；故選：D．【點評】本題考查了正比例函數(shù)的定義，一般地，兩個變量x、y之間的關系式可以表示成形如y=kx的函數(shù)(k為常數(shù)，且k≠0)，那么y就叫做x的正比例函數(shù)6．下列變量之間關系中，一個變量是另一個變量的正比例函數(shù)的是（

A

）A．正方形的周長C隨著邊長x的變化而變化B．正方形的面積S隨著邊長x的變化而變化C．面積為20的三角形的一邊a隨著這邊上的高h的變化而變化D．水箱以0.5L/min的流量往外放水，水箱中的剩水量VL隨著放水時間tmin的變化而變化【考點】正比例的定義【專題】正比例函數(shù)【分析】先依據(jù)題意列出函數(shù)關系式，然后依據(jù)函數(shù)關系式進行判斷即可．【解答】解：A、C=4x是正比例函數(shù)，故此選項符合題意；B、S=x2不是正比例函數(shù)，故此選項不符合題意；C、a=不是正比例函數(shù)，故此選項不符合題意；D、V=10-0.5t不是正比例函數(shù)，此選項不符合題意．故選：A．【點評】本題主要考查的是正比例函數(shù)的定義，熟練掌握正比例函數(shù)的定義是解題的關鍵．7．若是y關于x的正比例函數(shù)，求該正比例函數(shù)的解析式．【考點】正比例函數(shù)的定義【專題】正比例函數(shù)【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的定義即可求解，一般地，兩個變量x、y之間的關系式可以表示成形如y=kx的函數(shù)（k為常數(shù)，x的次數(shù)為1，且），那么就叫做正比例函數(shù)．【解答】解：∵是y關于x的正比例函數(shù)，∴，解得m=-2．∴該正比例函數(shù)的解析式為y=-4x．【點評】本題考查了正比例函數(shù)的定義，掌握正比例函數(shù)的定義是解題的關鍵．8．正比例函數(shù)中，y隨x的增大而增大，則直線經(jīng)過（

C

）A．第一、三象限 B．第二、三象限C．第二、四象限 D．第三、四象限【考點】正比例函數(shù)的性質(zhì)【專題】正比例函數(shù)【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的增減性，可得；則，據(jù)此判斷直線經(jīng)過的象限．【解答】解：∵正比例函數(shù)中，y隨x的增大而增大，∴，∴，∴直線經(jīng)過第二、四象限．故選：C．【點評】此題考查了正比例函數(shù)，熟練掌握正比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵．9．如果一個正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過不同象限的兩點A（3，m）、B（n，﹣2），那么一定有（B）A．m＞0，n＞0 B．m＞0，n＜0 C．m＜0，n＞0 D．m＜0，n＜0【考點】正比例函數(shù)的圖像【專題】正比例函數(shù)【分析】利用正比例函數(shù)的性質(zhì)，可得出點A，B分別在一、三象限，結(jié)合點A，B的坐標，可得出m＞0，n＜0．【解答】解：∵一個正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過不同象限的兩點A（3，m）、B（n，﹣2），∴點A，B分別在一、三象限，∴m＞0，n＜0．故選：B．【點評】此題考查了正比例函數(shù)的性質(zhì)，牢記“當k＞0時，正比例函數(shù)y＝kx的圖象在第一、三象限；當k＜0時，正比例函數(shù)y＝kx的圖象在第二、四象限”是解題的關鍵．10．已知正比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過點（2，﹣4），（1，），（﹣1，），那么與的大小關系是（A）A．＜ B．＝ C．＞ D．無法確定【考點】正比例函數(shù)的性質(zhì)【專題】正比例函數(shù)【分析】利用待定系數(shù)法求得k=-2＜0，則該正比例函數(shù)經(jīng)過第二、四象限，且y隨x的增大而減小，據(jù)此可以比較與的大?。窘獯稹拷猓骸哒壤瘮?shù)y=kx的圖象經(jīng)過點（2，-4），∴k==-2．則k＜0，∴正比例函數(shù)y=-2x的圖象經(jīng)過第二、四象限，且y隨x的增大而減小．又∵1＞-1，∴＜．故選：A．【點評】本題考查了正比例函數(shù)圖象上點的坐標特點．熟練掌握正比例函數(shù)的性質(zhì)是解題關鍵11．正比例函數(shù)圖像經(jīng)過點（1，-1），那么k=____-2______．【考點】正比例函數(shù)的圖像【專題】正比例函數(shù)【分析】由正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點的坐標，利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征可得出-1=k+1，即可得出k值．【解答】解：∵正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點（1，-1），∴-1=k+1，∴k=-2．故答案為：-2．【點評】本題考查了正比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，牢記直線上任意一點的坐標都滿足函數(shù)關系式y(tǒng)=kx是解題的關鍵．12．已知正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三象限，且經(jīng)過點（k，k+2），則k=____2____．【考點】正比例函數(shù)的圖像【專題】正比例函數(shù)【分析】先根據(jù)正比例函數(shù)的圖象可得，再將點代入函數(shù)的解析式可得一個關于的一元二次方程，解方程即可得．【解答】解：∵正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三象限，∴，由題意，將點代入函數(shù)得：，解得或（舍去），故答案為：2．【點評】本題考查了正比例函數(shù)的圖象、一元二次方程的應用，熟練掌握正比例函數(shù)的圖象特點是解題關鍵．13．若正比例函數(shù)的圖象從左到右逐漸上升，則m的取值范圍是_____________【考點】正比例函數(shù)的性質(zhì)【專題】正比例函數(shù)【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的性質(zhì)可得從而可得答案．【解答】解：∵正比例函數(shù)的圖象從左到右逐漸上升，∴正比例函數(shù)，y隨x的增大而增大，∴解得：故答案為：【點評】本題考查的是正比例函數(shù)的性質(zhì)，掌握“正比例函數(shù)當時，y隨x的增大而增大，當時，y隨x的增大而減小．”是解本題的關鍵．14．已知正比例函數(shù)y=kx圖像經(jīng)過點（2，-4），求：(1)這個函數(shù)的解析式；(2)判斷點A（2，-1）是否在這個函數(shù)圖像上；(3)圖像上兩點，，如果，比較，的大小．【考點】正比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)【專題】正比例函數(shù)【分析】（1）將（2，-4）代入y=kx，利用待定系數(shù)法求解；（2）將x=2代入（1）中所求解析式，看y值是否為-1即可；（3）根據(jù)k值判斷正比例函數(shù)圖象的增減性，即可求解．【解答】（1）解：∵正比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過點（2，-4），∴時，∴解得∴這個函數(shù)的解析式為；（2）解：將x=2代入中得：，∴點（2，-1）不在這個函數(shù)圖象上；（3）解：∵，∴y隨x的增大而減小，又∵∴．【點評】本題考查正比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)，解題的關鍵是利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，根據(jù)比例系數(shù)判斷函數(shù)圖象的增減性．15．已知y與x-1成正比例，且當x=3時，y=4．(1)求y與x之間的函數(shù)解析式；(2)當x=-1時，求y的值．【考點】正比例函數(shù)的定義、圖像【專題】正比例函數(shù)【分析】（1）設y與x之間的函數(shù)解析式為，再將x=3，y=4代入求解即可得；（2）將x=-1代入（1）中的函數(shù)解析式即可得．【解答】（1）解：由題意，設y與x與x之間的函數(shù)解析式為，將x=3，y=4代入得：，解得，則y與x之間的函數(shù)解析式為．（2）解：將x=-1代入得：．【點評】本題主要考查了利用待定系數(shù)法求正比例函數(shù)的解析式，熟練掌握待定系數(shù)法是解題關鍵．16．如圖，已知正比例函數(shù)y＝kx的圖像經(jīng)過點A，點A在第四象限，過點A作AH⊥x軸，垂足為H，點A的橫坐標為4，且△AOH的面積為8(1