第1章 三角形的初步認(rèn)識(shí)（基礎(chǔ)、典型、易錯(cuò)、壓軸）分類專項(xiàng)訓(xùn)練（解析版）

三角形的初步認(rèn)識(shí)（基礎(chǔ)、典型、易錯(cuò)、壓軸）分類專項(xiàng)訓(xùn)練【基礎(chǔ)】一、單選題1．（2022·浙江金華·八年級(jí)階段練習(xí)）下列個(gè)圖形中，是全等圖形的是（

）A．，，， B．與 C．，， D．與【答案】D【分析】根據(jù)全等圖形的概念求解即可．【詳解】解：由圖可知，與是全等圖形，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了全等圖形的識(shí)別，熟知能夠完全重合的圖形叫全等圖形是解題的關(guān)鍵．2．（2022·浙江金華·八年級(jí)階段練習(xí)）小明在學(xué)習(xí)了全等三角形的相關(guān)知識(shí)后，發(fā)現(xiàn)了一種測量距離的方法．如圖，小明直立在河岸邊的處，他壓低帽子帽沿，使視線通過帽沿，恰好落在河對(duì)岸的處，然后轉(zhuǎn)過身，保持和剛才完全一樣的姿勢，這時(shí)視線落在水平地面的處（，，三點(diǎn)在同一水平直線上），小明通過測量，之間的距離，即得到，之間的距離．小明這種方法的原理是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)垂直的定義和全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論．【詳解】小明直立在河岸邊的處，說明保持和剛才完全一樣的姿勢說明∵CO為與共邊．∴與全等的條件為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的知識(shí)點(diǎn)，掌握該知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．3．（2021·浙江金華·八年級(jí)期中）如圖，一塊玻璃碎成三片，小智只帶了第③塊去玻璃店，就能配一塊一模一樣的玻璃，你能用三角形的知識(shí)解釋，這是為什么？（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】已知三角形破損部分的邊角，得到原來三角形的邊角，根據(jù)三角形全等的判定方法，即可求解．【詳解】解：第③塊不僅保留了原來三角形的兩個(gè)角還保留了一邊，則可以根據(jù)ASA來配一塊一樣的玻璃．應(yīng)帶③去．故選A．【點(diǎn)睛】此題主要考查學(xué)生對(duì)全等三角形的判定方法的靈活運(yùn)用，要求對(duì)常用的幾種方法熟練掌握．4．（2021·浙江杭州·八年級(jí)期中）可伸縮的遮陽篷是依據(jù)平行四邊形的（

）A．不穩(wěn)定性 B．穩(wěn)定性 C．伸縮性 D．可變性【答案】A【分析】根據(jù)平行四邊形的不穩(wěn)定性即可判斷．【詳解】解：平行四邊形具有不穩(wěn)定性，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是結(jié)合實(shí)際并掌握平行四邊形的不穩(wěn)定性．5．（2020·浙江·八年級(jí)期末）下列選項(xiàng)中屬于命題的是（

）A．任意一個(gè)三角形的內(nèi)角和一定是嗎？ B．畫一條直線C．異號(hào)兩數(shù)之和一定是負(fù)數(shù) D．連結(jié)A、B兩點(diǎn)【答案】C【分析】根據(jù)命題的定義即可作出判斷．【詳解】解：A、任意一個(gè)三角形的內(nèi)角和一定是180°嗎？不是命題；B、畫一條直線，不是結(jié)論，不是命題；C、異號(hào)兩數(shù)之和一定是負(fù)數(shù)，符合命題的定義，是命題；D、連接A，B兩點(diǎn)，不是結(jié)論，不是命題．只有C中有“是”判斷詞，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查命題的定義：判斷一件事情的語句，有“是”，“不是”等判斷詞．6．（2022·浙江金華·八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)A，B，C分別代表王老師的家，圖書館，學(xué)校．已知圖書館B在王老師家A的北偏東32°方向上，學(xué)校C在圖書館B的北偏西32°方向上．則∠ABC的度數(shù)是（

）A．112° B．114° C．116° D．118°【答案】C【分析】過點(diǎn)A作ADBE交BC于點(diǎn)D，BE方向?yàn)檎狈较?，根?jù)平行線的性質(zhì)求得，進(jìn)而根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】如圖，過點(diǎn)A作ADBE交BC于點(diǎn)D，BE方向?yàn)檎狈较?，根?jù)題意可得，，，∴，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了方位角，三角形內(nèi)角和定理，掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．7．（2022·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）下列命題是假命題的是(

)A．如果∠1＝∠2，∠2＝∠3，那么∠1＝∠3 B．對(duì)頂角相等C．如果一個(gè)數(shù)能被4整除，那么它也能被2整除 D．內(nèi)錯(cuò)角相等【答案】D【分析】利用對(duì)頂角的性質(zhì)、實(shí)數(shù)的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．【詳解】解：A、如果，，那么，正確，是真命題，不符合題意；B、對(duì)頂角相等，正確，是真命題，不符合題意；C、如果一個(gè)數(shù)能被4整除，那么它也能被2整除，正確，是真命題，不符合題意；D、兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解對(duì)頂角的性質(zhì)、實(shí)數(shù)的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，難度不大．8．（2022·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，由作圖痕跡做出如下判斷，其中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)和直角三角形的三邊關(guān)系，逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：由圖可知：PC是∠APB的平分線，ED是線段PQ的垂直平分線，A．過點(diǎn)H作HI⊥PF，垂足為I，如圖，∵PC平分∠APB，∴HI=HG，在Rt△FIH中，HI為直角邊，F(xiàn)H為斜邊，∴FH>HI，∴FH>GH，∴A結(jié)論正確；B．由A可知，B結(jié)論不正確；C．EF與FH沒有必然的大小關(guān)系，無法判斷，故C結(jié)論不正確；D．EF與FH沒有必然的大小關(guān)系，無法判斷，故D結(jié)論不正確．故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)、直角三角形的三邊關(guān)系，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．9．（2022·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，∠A＝α，∠DBC＝3∠DBA，∠DCB＝3∠DCA，則∠BDC的大小為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意設(shè)，根據(jù)三角形內(nèi)角和公式定理，進(jìn)而表示出，進(jìn)而根據(jù)三角形內(nèi)角和定理根據(jù)即可求解【詳解】解：∵∠A＝α，∠DBC＝3∠DBA，∠DCB＝3∠DCA，設(shè)，∴即故選A【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．10．（2020·浙江·八年級(jí)期末）如圖是雨傘在開合過程中某時(shí)刻的裁面圖，傘骨，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，是連接彈簧和傘骨的支架，且．已知彈簧在向上滑動(dòng)的過程中，總有，其判定依據(jù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用SSS證得三角形全等得出答案即可．【詳解】解：∵分別是的中點(diǎn)，∴，，∵，∴，在△ADM和△AEM中，，∴△ADM≌△AEM（SSS）．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定方法是解決問題的關(guān)鍵．11．（2021·浙江·八年級(jí)期中）如圖，被木板遮住了一部分，其中，則的值不可能是（

）A．11 B．9 C．7 D．5【答案】D【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系判斷即可．【詳解】解：∵AB=6，∴AC+BC＞AB=6，∴11，9，7都滿足，5不滿足，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握三角形兩邊之和大于第三邊．12．（2019·浙江·八年級(jí)期末）沿折疊，折痕為，則圖中之間的關(guān)系中，下列式子中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)求解，即可得到答案．【詳解】解：如圖，記與的交點(diǎn)為∵將△ADE沿DE折疊，∴∠A=∠A′，即∠1=∠A′，∵，∴∠3=2∠1+∠2，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換（折疊問題），三角形的外角的性質(zhì)．圖形在折疊的過程，會(huì)出現(xiàn)全等的圖形--相等的線段、相等的角，是隱含的條件，注意運(yùn)用．二、填空題13．（2022·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）指出下列命題的題設(shè)和結(jié)論：（1）“平行于同一直線的兩條直線互相平行”命題的題設(shè)、結(jié)論．題設(shè)是：_____，結(jié)論是：_____．（2）“兩個(gè)負(fù)數(shù)的和是負(fù)數(shù)”命題的題設(shè)、結(jié)論．題設(shè)是：_____，結(jié)論是：_____．（3）“相交的兩條直線一定不平行”命題的題設(shè)、結(jié)論．題設(shè)是：_____，結(jié)論是：_____．（4）“任意兩個(gè)偶數(shù)之差是偶數(shù)”命題的題設(shè)、結(jié)論．題設(shè)是：_____，結(jié)論是：_____．【答案】

兩條直線平行于同一條直線

這兩條直線互相平行

有兩個(gè)負(fù)數(shù)

它們的和是負(fù)數(shù)

兩條直線相交

它們一定不平行

有任意兩個(gè)偶數(shù)

它們的差是偶數(shù)【分析】對(duì)每一個(gè)命題，根據(jù)命題的結(jié)構(gòu)，寫出題設(shè)、結(jié)論即可求解．【詳解】解：（1）“平行于同一直線的兩條直線互相平行”可以改寫成“如果兩條直線平行于同一條直線，那么這兩條直線互相平行”．題設(shè)是：兩條直線平行于同一條直線，結(jié)論是：這兩條直線互相平行；（2）“兩個(gè)負(fù)數(shù)的和是負(fù)數(shù)”可以改寫成“如果有兩個(gè)負(fù)數(shù)，那么它們的和是負(fù)數(shù)”．題設(shè)是：有兩個(gè)負(fù)數(shù)，結(jié)論是：它們的和是負(fù)數(shù)；（3）“相交的兩條直線一定不平行”可以改寫成“如果兩條直線相交，那么它們一定不平行”．題設(shè)是：兩條直線相交，結(jié)論是：它們一定不平行；（4）“任意兩個(gè)偶數(shù)之差是偶數(shù)”可以改寫成“如果有任意兩個(gè)偶數(shù)，那么它們的差是偶數(shù)”．題設(shè)是：有任意兩個(gè)偶數(shù)，結(jié)論是：它們的差是偶數(shù)故答案為兩條直線平行于同一條直線，這兩條直線互相平行；有兩個(gè)負(fù)數(shù)，它們的和是負(fù)數(shù)；兩條直線相交，它們一定不平行；有任意兩個(gè)偶數(shù)，它們的差是偶數(shù)．【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理，命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，找題設(shè)和結(jié)論的關(guān)鍵是會(huì)把命題寫成“如果…那么…”的形式．14．（2021·浙江紹興·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，直線a，b所成的角跑到畫板外面了，某同學(xué)發(fā)現(xiàn)只要量出一條直線分別與直線a，b相交所形成的角的度數(shù)就可求得該角，已知∠1＝71°，∠2＝78°，則直線a，b所形成的角的度數(shù)為_____°．【答案】31【分析】直線a，b交于點(diǎn)A，與邊框的交點(diǎn)分別為B，C，由對(duì)頂角的性質(zhì)可求解∠ABC和∠ACB的度數(shù)，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求解．【詳解】解：直線a，b∠交于點(diǎn)A，與邊框的交點(diǎn)分別為B，C，如圖，∵∠1＝71°，∠2＝78°，∴∠ABC＝∠1＝71°，∠ACB＝∠2＝78°，∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠A＝180°﹣71°﹣78°＝31°，故答案為31．【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)頂角，三角形的內(nèi)角和定理，利用對(duì)頂角的性質(zhì)求解∠ABC，∠ACB的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．三、解答題15．（2022·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）判斷下列語句是否是命題．如果是，請(qǐng)寫出它的題設(shè)和結(jié)論．(1)內(nèi)錯(cuò)角相等；(2)對(duì)頂角相等；(3)畫一個(gè)60°的角．【答案】(1)是命題．題設(shè)是：兩個(gè)角是內(nèi)錯(cuò)角，結(jié)論是：這兩個(gè)角相等(2)是命題．題設(shè)是：兩個(gè)角是對(duì)頂角，結(jié)論是：這兩個(gè)角相等(3)不是命題【分析】（1）先根據(jù)命題的定義判斷，然后找到相應(yīng)的條件和結(jié)論作為命題的題設(shè)和結(jié)論即可；（2）先根據(jù)命題的定義判斷，然后找到相應(yīng)的條件和結(jié)論作為命題的題設(shè)和結(jié)論即可；（3）根據(jù)命題的定義判斷即可．（1）解：是命題．題設(shè)是：兩個(gè)角是內(nèi)錯(cuò)角，結(jié)論是：這兩個(gè)角相等；（2）是命題．題設(shè)是：兩個(gè)角是對(duì)頂角，結(jié)論是：這兩個(gè)角相等；（3）不是命題．【點(diǎn)睛】本題考查了命題，解決本題的關(guān)鍵是理解命題是判斷一件事情的語句，命題的題設(shè)為條件部分，結(jié)論為由條件得到的結(jié)論．16．（2021·浙江湖州·八年級(jí)階段練習(xí)）已知三條線段，，，以這三條線段為邊能構(gòu)成三角形嗎？請(qǐng)說明理由．【答案】能，理由見解析【分析】根據(jù)三線段構(gòu)成三角形的條件即可判斷．【詳解】∵是最長線段，而∴以這三條線段為邊能構(gòu)成三角形【點(diǎn)睛】本題考查了構(gòu)成三角形的條件，一般地：由于最長線段與任一線段的和總是大于第三邊的，因此只要考慮兩條短線段的和是否大于最長線段，即可判斷三線段是否構(gòu)成三角形．17．（2022·浙江杭州·八年級(jí)期末）在探索并證明三角形的內(nèi)角和定理“三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°”時(shí)，圓圓同學(xué)添加的輔助線為“過點(diǎn)作直線DEBC”．請(qǐng)寫出“已知”、“求證”，并補(bǔ)全證明．已知：DEBC．求證：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°．證明：過點(diǎn)作直線DEBC．【分析】過點(diǎn)A作DEBC，依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到，，再根據(jù)平角的定義，即可得到三角形的內(nèi)角和為180°．【詳解】解：已知：，，是的三個(gè)內(nèi)角，求證：．證明：如圖，過點(diǎn)作直線．∴，，∵點(diǎn)D，A，E在同一條直線上，∴∠BAC+∠DAB+∠EAC＝180°，∴，即三角形的內(nèi)角和為180°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理的運(yùn)用，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．（2022·浙江金華·八年級(jí)期末）如圖，A，B兩點(diǎn)分別位于一個(gè)池塘的兩端，小明通過構(gòu)造△ABC與△BCD來測量A，B間的距離，其中，．那么量出的BD的長度就是AB的距離．請(qǐng)你判斷小明這個(gè)方法正確與否，并給出相應(yīng)理由．【答案】小明這個(gè)方法正確，理由見解析【分析】結(jié)合題意，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)分析，即可得到答案．【詳解】根據(jù)題意，在和中∴≌∴∴小明這個(gè)方法正確．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的性質(zhì)，從而完成求解．【典型】一、單選題1．（2020·浙江嘉興·八年級(jí)期末）下列命題中正確的是（）A．有兩條邊相等的兩個(gè)等腰三角形全等B．一個(gè)銳角和一條邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等C．一條直角邊相等且另一條直角邊上的中線相等的兩個(gè)直角三角形全等D．兩邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等【答案】C【分析】利用全等三角形的判定定理分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．【詳解】解：A、有兩條邊相等的兩個(gè)等腰三角形全等，錯(cuò)誤，不符合題意；B、一個(gè)銳角和一條邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等，錯(cuò)誤，不符合題意；C、一條直角邊相等且另一條直角邊上的中線相等的兩個(gè)直角三角形全等，正確，符合題意；D、兩邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等，錯(cuò)誤，不符合題意，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解全等三角形全等的幾種判定方法，難度不大．2．（2021·浙江·義烏市稠州中學(xué)教育集團(tuán)八年級(jí)期中）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．分別以AB、AC、BC為邊在AB的同側(cè)作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四塊陰影部分的面積分別為S1、S2、S3、S4．則S1﹣S2+S3+S4等于（）A．4 B．6 C．8 D．12【答案】B【分析】本題先根據(jù)正方形的性質(zhì)和等量代換得到判定全等三角形的條件,再根據(jù)全等三角形的判定定理和面積相等的性質(zhì)得到S、S、、與△ABC的關(guān)系,即可表示出圖中陰影部分的面積和.本題的著重點(diǎn)是等量代換和相互轉(zhuǎn)化的思想.【詳解】解：如圖所示,過點(diǎn)F作FG⊥AM交于點(diǎn)G,連接PF.根據(jù)正方形的性質(zhì)可得:AB=BE,BC=BD,∠ABC+∠CBE=∠CBE+∠EBD=90,即∠ABC=∠EBD.在△ABC和△EBD中,AB=EB，∠ABC=∠EBD,BC=BD所以△ABC≌△EBD(SAS),故S=,同理可證,△KME≌△TPF,△FGK≌△ACT,因?yàn)椤螿AG=∠AGF=∠AQF=90,所以四邊形AQFG是矩形,則QF//AG,又因?yàn)镼P//AC,所以點(diǎn)Q、P,F三點(diǎn)共線,故S+S=,S=.因?yàn)椤螿AF+∠CAT=90,∠CAT+∠CBA=90,所以∠QAF=∠CBA,在△AQF和△ACB中,因?yàn)椤螦QF=∠ACB,AQ=AC,∠QAF=∠CAB所以△AQF≌△ACB(ASA),同理可證△AQF≌△BCA,故S1﹣S2+S3+S4==34=6,故本題正確答案為B.【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形和全等三角形的判定與性質(zhì).3．（2020·浙江·杭州育才中學(xué)八年級(jí)期末）如圖是作的作圖痕跡，則此作圖的已知條件是（

）A．已知兩邊及夾角 B．已知三邊 C．已知兩角及夾邊 D．已知兩邊及一邊對(duì)角【答案】C【分析】觀察的作圖痕跡，可得此作圖的條件.【詳解】解：觀察的作圖痕跡，可得此作圖的已知條件為：∠α，∠β，及線段AB,故已知條件為：兩角及夾邊，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形作圖及三角形全等的相關(guān)知識(shí).4．（2020·浙江嘉興·八年級(jí)階段練習(xí)）在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶4∶5，則△ABC是（

）A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形【答案】C【分析】根據(jù)題意可設(shè)∠A=x°,則∠B=,∠C=,再結(jié)合∠A+∠B+∠C=180°，列出方程x+4x+5x=180;解方程即可求得x的值,繼而可得出∠A、∠B、∠C的度數(shù).【詳解】解：設(shè)∠A=x°,則∠B=4x°,∠C=5x°，則x+4x+5x=180，18°，,故△ABC為直角三角形.故選C.【點(diǎn)睛】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求得∠A、∠B、∠C的大小，進(jìn)而判斷△ABC的形狀.二、填空題5．（2020·浙江·嵊州市三界鎮(zhèn)中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，已知，則需添加的一個(gè)條件是______可使．（只寫一個(gè)即可，不添加輔助線）．【答案】AB=DC（答案不唯一）【分析】因?yàn)楹凸策匓C，根據(jù)全等證明方法即可求得．【詳解】當(dāng)AB=DC時(shí)根據(jù)全等證明方法SAS可證故答案為：AB=DC（答案不唯一）【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定條件，掌握五種全等證明方法是解題的關(guān)鍵．6．（2020·浙江·諸暨市濱江初級(jí)中學(xué)八年級(jí)期中）要測量河岸相對(duì)兩點(diǎn)A，B的距離，已知AB垂直于河岸BF，先在BF上取兩點(diǎn)C，D，使CD＝CB，再過點(diǎn)D作BF的垂線段DE，使點(diǎn)A，C，E在一條直線上，如圖，測出DE＝20米，則AB的長是_____米．【答案】20【分析】由AB、ED垂直于BD,即可得到∠ABC＝∠EDC＝90°，從而證明△ABC≌△EDC此題得解.【詳解】解：∵AB⊥BD，ED⊥AB，∴∠ABC＝∠EDC＝90°，在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（ASA），∴AB＝ED＝20．故答案為：20．【點(diǎn)睛】考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，解題是熟練判定方法，本題屬于三角形全等的判定應(yīng)用.7．（2020·浙江·寧波咸祥中學(xué)八年級(jí)開學(xué)考試）如圖，AB∥CD，∠1=50°，∠2=110°，則∠3=___________度．【答案】60【分析】如圖所示，可根據(jù)鄰補(bǔ)角、內(nèi)錯(cuò)角以及三角形內(nèi)角和求出∠3的度數(shù)．【詳解】解：如圖所示：∵∠2＝110°，∴∠4＝70°，∵AB∥CD，∴∠5＝∠1＝50°，∴∠3＝180°?∠4?∠5＝60°，故答案為60.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，以及平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．8．（2020·浙江杭州·八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分線相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作EF∥AB交BC于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)O作OD⊥BC于D，下列四個(gè)結(jié)論：①∠AOB=90°+∠C；②AE+BF=EF；③當(dāng)∠C=90°時(shí)，E、F分別是AC、BC的中點(diǎn)；④若OD=CE+CF=則S△CEF=,其中正確的是______________【答案】①②④【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠BAC+∠ABC=180°-∠C，再根據(jù)角平分線的定義可得∠OAB+∠OBA=（∠BAC+∠ABC），然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解，判斷出①正確；由平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得出△BFO和△AEO是等腰三角形得出AE+BF=EF故②正確；根據(jù)角平分線的定義判斷出點(diǎn)O在∠ACB的平分線上，從而得到點(diǎn)O不是∠ACB的平分線的中點(diǎn)，然后判斷出③錯(cuò)誤；根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得點(diǎn)O到AC的距離等于OD，再利用三角形的面積公式列式計(jì)算即可得到S△CEF=ab，判斷出④正確．【詳解】在△ABC中，∠BAC+∠ABC=180°-∠C，

∵∠BAC和∠ABC的平分線相交于點(diǎn)O，

∴∠OAB+∠OBA=（∠BAC+∠ABC）=90°-∠C，

在△AOB中，∠AOB=180°-（90°-∠C）=90°+∠C，故①正確；

∵在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分線相交于點(diǎn)O，∴∠OBC=∠OBA，∠OAE=∠OAB，∵EF∥AB，∴∠OBA=∠BOF，∠BAO=∠AOE，∴∠BOF=∠FBO，∠OAE=∠AOE，∴FB=FO，EO=EA，∴EF=OE+OF=BF+AE，故②正確；∵∠BAC和∠ABC的平分線相交于點(diǎn)O，

∴點(diǎn)O在∠ACB的平分線上，

∴點(diǎn)O不是∠ACB的平分線的中點(diǎn)，

∵EF∥AB，

∴E，F(xiàn)一定不是AC，BC的中點(diǎn)，故③錯(cuò)誤；

∵點(diǎn)O在∠ACB的平分線上，

∴點(diǎn)O到AC的距離等于OD，∴S△CEF=（CE+CF）?OD=×2b?a=ab，故④正確；

綜上所述，正確的是①②④故答案為①②④．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，三角形的面積，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．三、解答題9．（2020·浙江·嵊州市三界鎮(zhèn)中學(xué)八年級(jí)期中）已知，如圖，點(diǎn)，分別在，上，，．求證：．【分析】證明需要三個(gè)條件，題中已知一對(duì)邊和一對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，觀察圖形可得出一對(duì)公共角，進(jìn)而利用ASA可得出．【詳解】證明：在△ABE和△ACD中，∵∴（ASA）【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等證明方法ASA，掌握ASA證明方法是解題的關(guān)鍵．【易錯(cuò)】一．選擇題（共5小題）1．（2021秋?義烏市期中）如圖，∠B＝60°，∠ACD＝100°，那么∠A＝（）A．30° B．40° C．50° D．60°【分析】三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)計(jì)算即可．【解答】解：由三角形的外角的性質(zhì)可知，∠A＝∠ACD﹣∠B＝40°，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的外角的性質(zhì)，掌握三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．2．（2021秋?海曙區(qū)期末）一個(gè)三角形的兩邊長分別是2與3，第三邊的長不可能為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求得第三邊的取值范圍解答即可．【解答】解：設(shè)第三邊長x．根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得1＜x＜5，第三邊不可能為1，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形三邊關(guān)系的知識(shí)點(diǎn)，此題比較簡單，注意三角形的三邊關(guān)系．3．（2021秋?瑞安市月考）下列選項(xiàng)中，可以用來說明命題“若x2＞9，則x＞3”是假命題的反例是（）A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x＝4 D．x＝﹣4【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方、有理數(shù)的大小比較法則解答．【解答】解：當(dāng)x＝﹣4時(shí)，x2＝16＞9，而﹣4＜﹣3，∴“若x2＞9，則x＞3”是假命題，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是假命題的證明，要說明一個(gè)命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個(gè)命題是假命題，只需舉出一個(gè)反例即可．4．（2021秋?龍泉市期末）下列命題中，是真命題的是（）A．對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形是全等三角形 B．三個(gè)內(nèi)角之比為3：4：5的三角形是直角三角形 C．平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是點(diǎn)到x軸的距離 D．角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理、三角形內(nèi)角和定理、點(diǎn)的坐標(biāo)、角平分線的性質(zhì)定理判斷即可．【解答】解：A、對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形不一定是全等三角形，本選項(xiàng)說法是假命題，不符合題意；B、設(shè)三角形三個(gè)內(nèi)角分別為3x、4x、5x，則3x+4x+5x＝180°，解得：x＝15°，則三角形三個(gè)內(nèi)角分別為45°、60°、75°，∴三個(gè)內(nèi)角之比為3：4：5的三角形不是直角三角形，本選項(xiàng)說法是假命題，不符合題意；C、平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值是點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離，本選項(xiàng)說法是假命題，不符合題意；D、角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，本選項(xiàng)說法是真命題，符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．5．（2021秋?柯橋區(qū)月考）下列各圖中，作△ABC邊AC上的高，正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)三角形的高的概念判斷即可．【解答】解：A、AD是△ABC邊BC上的高，不符合題意；B、AD是△ADC邊AC上的高，不符合題意；C、BD是△DBC邊BC上的高，不符合題意；D、BD是△ABC邊AC上的高，符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的高的概念，從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向底邊作垂線，垂足與頂點(diǎn)之間的線段叫做三角形的高．二．填空題（共6小題）6．（2021秋?秀洲區(qū)校級(jí)月考）寫出命題“等邊三角形的三個(gè)角都是60°”的逆命題三個(gè)角都是60°的三角形是等邊三角形．【分析】把命題“等邊三角形的三個(gè)角都是60°”的題設(shè)和結(jié)論互換即可得到逆命題．【解答】解：命題“等邊三角形的三個(gè)角都是60°”的逆命題為：三個(gè)角都是60°的三角形是等邊三角形，故答案為：三個(gè)角都是60°的三角形是等邊三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查逆命題的寫法，命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)，一個(gè)命題可以寫成“如果…那么…”形式．7．（2021秋?余杭區(qū)月考）如圖，將一張三角形紙片ABC的一角折疊，使點(diǎn)A落在△ABC外的A'處，折痕為DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，則α，β，γ三者之間的等量關(guān)系是γ＝2α+β．【分析】根據(jù)三角形的外角得：∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，代入已知可得結(jié)論．【解答】解：由折疊得：∠A＝∠A'，∵∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，∵∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，∴∠BDA'＝γ＝α+α+β＝2α+β，故答案為：γ＝2α+β．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是關(guān)鍵．8．（2021秋?溫州校級(jí)期中）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)在AC上，AD＝BC，DF＝BE，要使△ADF≌△CBE，需添加一個(gè)條件是∠D＝∠B．（只需添加一個(gè)條件即可）【分析】利用全等三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)而得出當(dāng)∠D＝∠B時(shí)，△ADF≌△CBE．【解答】解：當(dāng)∠D＝∠B時(shí)，在△ADF和△CBE中∵，∴△ADF≌△CBE（SAS），故答案為：∠D＝∠B．（答案不唯一）【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正確掌握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．9．（2021春?東平縣期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠BAC＝75°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD與BE交于H，則∠CHD＝45°．【分析】延長CH交AB于點(diǎn)F，銳角三角形三條高交于一點(diǎn)，所以CF⊥AB，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出答案．【解答】解：延長CH交AB于點(diǎn)F，在△ABC中，三邊的高交于一點(diǎn)，所以CF⊥AB，∵∠BAC＝75°，且CF⊥AB，∴∠ACF＝15°，∵∠ACB＝60°，∴∠BCF＝45°在△CDH中，三內(nèi)角之和為180°，∴∠CHD＝45°，故答案為∠CHD＝45°．【點(diǎn)評(píng)】考查三角形中，三條邊的高交于一點(diǎn)，且內(nèi)角和為180°．10．（2021秋?金東區(qū)校級(jí)月考）如圖，△ABC≌△ADE，若∠C＝35°，∠D＝75°，∠DAC＝25°，則∠BAD＝45°．【分析】依據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等以及三角形內(nèi)角和定理，即可得到∠BAD的度數(shù)．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∠D＝75°，∴∠D＝∠B＝75°，又∵∠C＝35°，∴∠BAC＝70°，又∵∠DAC＝25°，∴∠BAD＝45°，故答案為：45．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，解題時(shí)注意：全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等．11．（2021秋?仙居縣校級(jí)月考）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分線，則∠ADB＝120度．【分析】依據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠ABC＝60°，再根據(jù)BD是∠ABC的平分線，可得∠ABD＝30°，依據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可得到∠ADB＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝120°．【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，又∵BD是∠ABC的平分線，∴∠ABD＝30°，∴∠ADB＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝120°，故答案為：120．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義的運(yùn)用，解題時(shí)注意：三角形內(nèi)角和是180°．三．解答題（共4小題）12．（2021秋?瑞安市月考）已知：如圖，在△ADF和△BCE中，點(diǎn)B，F(xiàn)，E，D依次在一條直線上，若AF∥CE，∠B＝∠D，BF＝DE，求證：AF＝CE．【分析】根據(jù)AF∥CE推∠AFD＝∠CEB，再根據(jù)BF＝DE，推BE＝DF，再加已知條件∠B＝∠D，根據(jù)（ASA）證明△ADF≌△CBE，得出AF＝CE．【解答】證明：∵AF∥CE∴∠AFD＝∠CEB，∵BF＝DE，∴EF+BF＝DE+EF，即BE＝DF，∵∠B＝∠D，∴△ADF≌△CBE（ASA），∴AF＝CE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)的應(yīng)用，平行線的性質(zhì)的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．13．（2021秋?越城區(qū)校級(jí)月考）探究問題：已知∠ABC，畫一個(gè)角∠DEF，使DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于點(diǎn)P．∠ABC與∠DEF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？（1）我們發(fā)現(xiàn)∠ABC與∠DEF有兩種位置關(guān)系：如圖1與圖2所示．①圖1中∠ABC與∠DEF數(shù)量關(guān)系為∠ABC+∠DEF＝180°；圖2中∠ABC與∠DEF數(shù)量關(guān)系為∠ABC＝∠DEF；請(qǐng)選擇其中一種情況說明理由．②由①得出一個(gè)真命題（用文字?jǐn)⑹觯喝绻麅蓚€(gè)角的兩邊互相平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．（2）應(yīng)用②中的真命題，解決以下問題：若兩個(gè)角的兩邊互相平行，且一個(gè)角比另一個(gè)角的2倍少30°，請(qǐng)直接寫出這兩個(gè)角的度數(shù)．【分析】（1）①利用平行線的性質(zhì)即可判斷；②根據(jù)平行線的性質(zhì)解決問題即可．（2）設(shè)兩個(gè)角分別為x和2x﹣30°，由題意x＝2x﹣30°或x+2x﹣30°＝180°，解方程即可解決問題．【解答】解：（1）①如圖1中，∠ABC+∠DEF＝180°．如圖2中，∠ABC＝∠DEF，故答案為：∠ABC+∠DEF＝180°，∠ABC＝∠DEF．理由：如圖1中，∵BC∥EF，∴∠DPB＝∠DEF，∵AB∥DE，∴∠ABC+∠DPB＝180°，∴∠ABC+∠DEF＝180°．如圖2中，∵BC∥EF，∴∠DPC＝∠DEF，∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DPC，∴∠ABC＝∠DEF．②結(jié)論：如果兩個(gè)角的兩邊互相平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．故答案為：如果兩個(gè)角的兩邊互相平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．（2）設(shè)兩個(gè)角分別為x和2x﹣30°，由題意x＝2x﹣30°或x+2x﹣30°＝180°，解得x＝30°或x＝70°，∴這兩個(gè)角的度數(shù)為30°，30°或70°和110°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．14．（2021秋?衢江區(qū)月考）如圖，在△ABE中，D、C分別在AE、BE上且CD＝CB，AC平分∠EAB，CH⊥AB于點(diǎn)H．（1）求證：∠ADC+∠B＝180°；（2）若AD＝3，AB＝8，求AH的長．【分析】（1）先證明Rt△DMC≌Rt△NHC（HL），推得DM＝BH，∠1＝∠B，等量代換后得∠ADC+∠B＝180°；（2）證明Rt△AMC≌Rt△AHC（HL），推得AM＝AH，設(shè)BH＝DM＝x，則AH＝8﹣x，AM＝3+x，列一元一次方程，解出x，就可求得AH的長．【解答】（1）證明：過點(diǎn)C作CM⊥DE，垂足為M，∵AC平分∠EAB，CH⊥AB，CM⊥DE，∴CM＝CH，∠CMA＝∠CHB＝90°，在Rt△DMC與Rt△NHC中，∴Rt△DMC≌Rt△NHC（HL），∴DM＝BH，∠1＝∠B，∵∠1+∠CDA＝180°，∴∠ADC+∠B＝180°；（2）解：∵∠CMA＝∠CHB＝90°，在Rt△AMC與Rt△AHC中，∴Rt△AMC≌Rt△AHC（HL），∴AM＝AH，設(shè)BH＝DM＝x，則AH＝8﹣x，AM＝3+x，∴8﹣x＝3+x，解得，x＝2.5，∴AH＝5.5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，熟練掌握這幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用，輔助線的做法是解題關(guān)鍵．15．（2021春?梅江區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝12，點(diǎn)D從B出發(fā)以每秒2個(gè)單位的速度在線段BC上從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E同時(shí)從C出發(fā)以每秒2個(gè)單位的速度在線段CA上向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，連接AD、DE，設(shè)D、E兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜4）（1）運(yùn)動(dòng)3秒時(shí)，AE＝DC；（2）運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)，△ABD≌△DCE能成立，并說明理由；（3）若△ABD≌△DCE，∠BAC＝α，則∠ADE＝90°﹣α（用含α的式子表示）．【分析】（1）依據(jù)BD＝CE＝2t，可得CD＝12﹣2t，AE＝8﹣2t，再根據(jù)當(dāng)AE＝DC，時(shí)，8﹣2t＝（12﹣2t），可得t的值；（2）當(dāng)△ABD≌△DCE成立時(shí)，AB＝CD＝8，根據(jù)12﹣2t＝8，可得t的值；（3）依據(jù)∠CDE＝∠BAD，∠ADE＝180°﹣∠CDE﹣∠ADB，∠B＝∠180°﹣∠BAD﹣∠ADB，即可得到∠ADE＝∠B，再根據(jù)∠BAC＝α，AB＝AC，即可得出∠ADE．【解答】解：（1）由題可得，BD＝CE＝2t，∴CD＝12﹣2t，AE＝8﹣2t，∴當(dāng)AE＝DC，時(shí)，8﹣2t＝（12﹣2t），解得t＝3，故答案為：3；（2）當(dāng)△ABD≌△DCE成立時(shí)，AB＝CD＝8，∴12﹣2t＝8，解得t＝2，∴運(yùn)動(dòng)2秒時(shí)，△ABD≌△DCE能成立；（3）當(dāng)△ABD≌△DCE時(shí)，∠CDE＝∠BAD，又∵∠ADE＝180°﹣∠CDE﹣∠ADB，∠B＝∠180°﹣∠BAD﹣∠ADB，∴∠ADE＝∠B，又∵∠BAC＝α，AB＝AC，∴∠ADE＝∠B＝（180°﹣α）＝90°﹣α．故答案為：90°﹣α．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用．利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得出方程是解題關(guān)鍵．【壓軸】一、單選題1．（2020·浙江·八年級(jí)單元測試）如圖，在等腰內(nèi)作正方形，使點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊上，在正方形中依次作正方形和正方形使．若正方形和正方形的面積分別為1和25，則陰影部分面積為（

）A．25 B． C． D．75【答案】B【分析】首先求出正方形和正方形的邊長，再求出正方形BEDF的面積，從而得到邊長，同時(shí)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AE和CF，利用勾股定理求出△BHI、△EIJ、△DGJ、△FGH的直角邊長，最后利用三角形面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：∵正方形和正方形的面積分別為1和25，∴MN=NO=OL=LM=1，JI=IH=HG=JG=5，∵四邊形BEDF是正方形，∴SDEBF=2S△EIJ+2S△DGJ+2S△FGH+2S△BHI+SMNOL=25×2-1=49，∴DE=DF=BE=BF=7，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠DCF=45°，∠AED=∠DFC=90°，∴△AED和△DFC是等腰直角三角形，∴AE=DE=DF=CF=7，由題意可知：△BHI≌△EIJ≌△DJG≌△FGH，∴BH=EI=DJ=GF，BI=EJ=DG=HF，設(shè)BI=x，BH=7-x，則，解得：x=4或3，即BI=EJ=DG=HF=4，BH=EI=DJ=GF=3，∴陰影部分面積=S△AIJ+S△CHG，===故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，正方形的面積，解題的關(guān)鍵是理解題意，讀懂圖形，找到圖中面積和線段之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系．2．（2020·浙江·八年級(jí)單元測試）如圖，已知中，，，，若把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，使它與原的重疊部分為等腰三角形．則為（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】C【分析】由∠BAC=90°，AB=AC可判斷△ABC為等腰直角三角形，則∠ABC=∠ACB=45°，再由BD∥AC得∠ABD=∠BAC=90°，則利用互余可計(jì)算出∠BAD=60°，由于把△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度α（0＜α＜90°），使它與原△ABC的重疊部分為等腰三角形，而等腰三角形的腰不能確定，所以分類討論：當(dāng)AE=AF時(shí)，如圖1，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠BAB′=α，∠B′AD=60°，可判斷△AEF為等邊三角形，得到∠1=∠2=60°，則可根據(jù)三角形外角性質(zhì)可計(jì)算出∠BAB′=∠1-∠ABC=15°，即α=15°；當(dāng)AFA=FC時(shí)，如圖2，∠BAB′=α，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠ACB=∠FAC=45°，所以∠BAB′=45°，即α=45°，由此得到α的值為15°或45°．【詳解】解：∵∠BAC=90°，AB=AC，∴△ABC為等腰直角三角形，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵BD∥AC，∴∠ABD=∠BAC=90°，∵∠D=30°，∴∠BAD=60°，把△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度α（0＜α＜90°），使它與原△ABC的重疊部分為等腰三角形，當(dāng)AE=AF時(shí)，如圖1，則∠BAB′=α，∠B′AD=60°，∴△AEF為等邊三角形，∴∠1=∠2=60°，而∠1=∠B+∠BAB′，∴∠BAB′=60°-45°=15°，即α=15°；當(dāng)AF=FC時(shí)，如圖2，則∠BAB′=α，∵∠ACB=45°，∴∠FAC=45°，∴∠BAB′=90°-45°=45°，即α=45°；綜上所述，α的值為15°或45°．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)．3．（2020·浙江金華·八年級(jí)期末）如圖，、是的角平分線，、相交于點(diǎn)F，已知，則下列說法中正確的個(gè)數(shù)是（

）①；②；③；④．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】當(dāng)AF=FC、△AEF≌△CDF時(shí)，需要滿足條件∠BAC=∠BCA，據(jù)此可判斷①②；在AC上取AG=AE，連接FG，即可證得△AEG≌△AGF，得∠AFE=∠AFG；再證得∠CFG=∠CFD，則根據(jù)全等三角形的判定方法AAS即可證△GFC≌△DFC，可得DC=GC，即可得結(jié)論，據(jù)此可判斷③④．【詳解】解：①假設(shè)AF=FC．則∠1=∠4．∵AD、CE是△ABC的角平分線，∴∠BAC=2∠1，∠BCA=2∠4，∴∠BAC=∠BCA．∴當(dāng)∠BAC≠∠BCA時(shí)，該結(jié)論不成立；故①不一定正確；②假設(shè)△AEF≌△CDF，則∠2=∠3．同①，當(dāng)∠BAC=∠BCA時(shí)，該結(jié)論成立，∴當(dāng)∠BAC≠∠BCA時(shí)，該結(jié)論不成立；故②不一定正確；③如圖，在AC上取AG=AE，連接FG，∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2，在△AEF與△AGF中，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴∠AFE=∠AFG；∵AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，∴∠4+∠1=∠ACB+∠BAC=（∠ACB+∠BAC）=（180°-∠B）=60°，則∠AFC=180°-（∠4+∠1）=120°；∴∠AFC=∠DFE=120°，∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°，則∠CFG=60°，∴∠CFD=∠CFG，在△GFC與△DFC中，，∴△GFC≌△DFC（ASA），∴DC=GC，∵AC=AG+GC，∴AC=AE+CD．故③正確；④由③知，∠AFC=180°-∠ECA-∠DAC=120°，即∠AFC=120°；故④正確；綜上所述，正確的結(jié)論有2個(gè)．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．4．（2021·浙江·八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分線AE，BF相交于點(diǎn)O，AE交BC于E，BF交AC于F，過點(diǎn)O作OD⊥BC于D，下列四個(gè)結(jié)論：①∠AOB＝90°+∠C；②當(dāng)∠C＝60°時(shí)，AF+BE＝AB；③若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，則S△ABC＝ab．其中正確的是（）A．①② B．②③ C．①②③ D．①③【答案】C【分析】由角平分線的定義結(jié)合三角形的內(nèi)角和的可求解∠AOB與∠C的關(guān)系，進(jìn)而判定①；在AB上取一點(diǎn)H，使BH＝BE，證得△HBO≌△EBO，得到∠BOH＝∠BOE＝60°，再證得△HBO≌△EBO，得到AF＝AH，進(jìn)而判定②正確；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，根據(jù)三角形的面積可證得③正確．【詳解】解：∵∠BAC和∠ABC的平分線相交于點(diǎn)O，∴∠OBA＝∠CBA，∠OAB＝∠CAB，∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB＝180°﹣∠CBA﹣∠CAB＝180°﹣（180°﹣∠C）＝90°+∠C，①正確；∵∠C＝60°，∴∠BAC+∠ABC＝120°，∵AE，BF分別是∠BAC與ABC的平分線，∴∠OAB+∠OBA＝（∠BAC+∠ABC）＝60°，∴∠AOB＝120°，∴∠AOF＝60°，∴∠BOE＝60°，如圖，在AB上取一點(diǎn)H，使BH＝BE，∵BF是∠ABC的角平分線，∴∠HBO＝∠EBO，在△HBO和△EBO中，，∴△HBO≌△EBO（SAS），∴∠BOH＝∠BOE＝60°，∴∠AOH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠AOH＝∠AOF，在△HBO和△EBO中，，∴△HBO≌△EBO（ASA），∴AF＝AH，∴AB＝BH+AH＝BE+AF，故②正確；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，∵∠BAC和∠ABC的平分線相交于點(diǎn)O，∴點(diǎn)O在∠C的平分線上，∴OH＝OM＝OD＝a，∵AB+AC+BC＝2b∴S△ABC＝×AB×OM+×AC×OH+×BC×OD＝（AB+AC+BC）?a＝ab，④正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)和判定，正確作出輔助線證得△HBO≌△EBO，得到∠BOH＝∠BOE＝60°，是解決問題的關(guān)鍵．二、填空題5．（2020·浙江·八年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，C分別在x軸，y軸的正半軸上，點(diǎn)，點(diǎn)Q在x軸的負(fù)半軸上，且分別以、為腰，點(diǎn)C為直角項(xiàng)點(diǎn)在第一、第二象限作等腰、等腰，連接交y軸于P點(diǎn)，則的值為__________．【答案】7．【分析】先過N作NH∥CM，交y軸于H，再△HCN≌△QAC（ASA），得出CH＝AQ，HN＝QC，然后根據(jù)點(diǎn)C（0，4），S△CQA＝12，求得AQ＝6，最后判定△PNH≌△PMC（AAS），得出CP＝PH＝CH＝3，即可求得OP．【詳解】解：過N作NH∥CM，交y軸于H，則∠CNH+∠MCN＝180°，∵等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM，∴∠MCQ+∠ACN＝180°，∴∠ACQ+∠MCN＝360°﹣180°＝180°，∴∠CNH＝∠ACQ，又∵∠HCN+∠ACO＝90°，∠QAC+∠ACO＝90°，∴∠HCN＝∠QAC，在△HCN和△QAC中，，∴△HCN≌△QAC（ASA），∴CH＝AQ，HN＝QC，∵QC＝MC，∴HN＝CM，∵點(diǎn)C（0，4），S△CQA＝12，∴×AQ×CO＝12，即×AQ×4＝12，∴AQ＝6，∴CH＝6，∵NH∥CM，∴∠PNH＝∠PMC，∴在△PNH和△PMC中，，∴△PNH≌△PMC（AAS），∴CP＝PH＝CH＝3，又∵CO＝4，∴OP＝3+4＝7；故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積計(jì)算以及等腰直角三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等進(jìn)行推導(dǎo)計(jì)算．6．（2020·浙江·八年級(jí)期末）如圖為的角平分線，且，E為延長線上一點(diǎn)，，過E作于F，下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的是________．【答案】①②④【分析】根據(jù)SAS易證△ABD≌△EBC，可得∠BCE=∠BDA，AD=EC可得①②正確；再判斷AB∥CE，可得③錯(cuò)誤；判斷出Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），得出BG=BF，進(jìn)而判斷出Rt△CEG≌Rt△AEF，即可判斷出④正確．【詳解】解：①∵BD為△ABC的角平分線，∴∠ABD=∠CBD，又∵BD=BC，BD=BC，∴△ABD≌△EBC（SAS），即①正確；②∵△ABD≌△EBC，∴∠BCE=∠BDA，∴∠BCE+∠BDC=∠BDA+∠BDC=180°，即②正確；③根據(jù)已知條件，可得不一定成立，故③錯(cuò)誤；④如圖，過作于點(diǎn)，是上的點(diǎn)，，在Rt△BEG和Rt△BEF中，，∴Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），，在Rt△CEG和Rt△AFE中，，∴Rt△CEG≌Rt△AFE（HL），，，即④正確．故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中熟練求證三角形全等和熟練運(yùn)用全等三角形對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)邊相等性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2020·浙江·臺(tái)州市書生中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，把△ABC紙片沿DE折疊，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCDE內(nèi)時(shí)，∠A與∠1＋∠2之間有始終不變的關(guān)系是__________．【答案】2∠A＝∠1＋∠2【分析】根據(jù)∠1與∠AED的2倍和∠2與∠ADE的2倍都組成平角，結(jié)合△AED的內(nèi)角和為180°可求出答案．【詳解】∵△ABC紙片沿DE折疊，∴∠1＋2∠AED＝180°，∠2＋2∠ADE＝180°，∴∠AED＝（180°?∠1），∠ADE＝（180°?∠2），∴∠AED＋∠ADE＝（180°?∠1）＋（180°?∠2）＝180°?（∠1＋∠2）∴△ADE中，∠A＝180°?（∠AED＋∠ADE）＝180°?[180°?（∠1＋∠2）]＝（∠1＋∠2），即2∠A＝∠1＋∠2．故答案為：2∠A＝∠1＋∠2．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形的內(nèi)角和等于180°及圖形翻折變換的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．三、解答題8．（2022·浙江金華·八年級(jí)階段練習(xí)）問題背景：定義：四邊形，，，，分別是直線，直線上的一點(diǎn)，若，則稱四邊形是的“等腰倍角四邊形”．如圖1，四邊形是的“等腰倍角四邊形”，在四邊形內(nèi)部，探究圖中線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．(1)小慧同學(xué)探究此問題的方法是：延長到點(diǎn)，使．連結(jié)，先證明，再證明，可得出結(jié)論，她的結(jié)論應(yīng)是．(2)探索延伸：如圖2，四邊形是的“等腰倍角四邊形”，有一部分在四邊形外部，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)說明理由；若不成立，請(qǐng)求出相應(yīng)的結(jié)論（寫出過程）．(3)實(shí)際應(yīng)用：如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（處）北偏東60°的處，艦艇乙在指揮中心南偏西20°的處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正南方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿南偏東40°的方向以一定速度前進(jìn)2小時(shí)后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)，處，且兩艦艇之間的夾角為70°，此時(shí)兩艦艇之間的距離為280海里．試求艦艇乙前進(jìn)的速度．【答案】(1)；(2)不成立，；(3)80海里/小時(shí)【分析】（1）延長到點(diǎn)，使，連結(jié)，先利用SAS證明，得到BE＝DG，AE＝AG，∠BAE＝DAG，求出，再利用SAS證明，得到EF＝GF，進(jìn)而可得；（2）在DF上截取DG＝BE，先利用SAS證明，得到AE＝AG，∠BAE＝DAG，求出，再利用SAS證明，得到EF＝GF，進(jìn)而可得；（3）如圖作輔助線，求出∠OAE＋∠OBF＝180°，∠EOF＝∠AOB，延長EA到點(diǎn)M，使AM＝BF，同（1）可得：EF＝BF＋AE，求出BF即可解決問題．（1）證明：如圖1，延長到點(diǎn)，使，連結(jié)，∵，，∴，又∵，∴（SAS），∴BE＝DG，AE＝AG，∠BAE＝DAG，∵，∴，∴，又∵AF＝AF，AE＝AG，∴（SAS），∴EF＝GF，∴EF＝GF＝DF＋DG＝DF＋BE，故答案為：；（2）不成立，正確的結(jié)論為：；證明：如圖2，在DF上截取DG＝BE，∵，，∴，又∵，∴（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝DAG，∵，∴，∴，又∵AF＝AF，AE＝AG，∴（SAS），∴EF＝GF，∴DF＝DG＋GF＝BE＋EF，即；（3）如圖3，點(diǎn)G在y軸正半軸上，BH交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)H，AE交x軸于點(diǎn)K，過點(diǎn)B作CD∥y軸，連接EF，由題意得：∠OAE＝∠GOA＝60°，∠CBO＝∠BOH＝20°，∠DBF＝40°，OA＝OB，∴∠AOK＝30°，∠OBF＝180°－∠CBO－∠DBF＝120°，∴∠OAE＋∠OBF＝180°，∵∠AOB＝∠AOK＋∠KOH＋∠BOH＝140°，∠EOF＝70°，∴∠EOF＝∠AOB，延長EA到點(diǎn)M，使AM＝BF，同（1）可得：EF＝BF＋AE，∵EF＝280海里，AE＝60×2＝120海里，∴BF＝280－120＝160海里，∴艦艇乙前進(jìn)的速度為：160÷2＝80海里/小時(shí)．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，全等三角形的判定和性質(zhì)，方位角等知識(shí)，作出合適的輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．9．（2021·浙江·八年級(jí)期末）如圖（1）是一個(gè)三角形的紙片，點(diǎn)D、E分別是邊上的兩點(diǎn)，研究（1）：如果沿直線折疊，寫出與的關(guān)系，并說明理由．研究（2）：如果折成圖2的形狀，猜想和的關(guān)系，并說明理由．研究（3）：如果折成圖3的形狀，猜想和的關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）∠BDA′=2∠A，理由見解析；（2）∠BDA′+∠CEA′=2∠A，理由見解析；（3）∠BDA′-∠CEA′=2∠A，理由見解析【分析】（1）翻折問題要在圖形是找著相等的量．圖1中DE為折痕，有∠A=∠DA′A，再利用外角的性質(zhì)可得結(jié)論∠BDA′=2∠A；（2）根據(jù)圖2中∠A與∠DA′E是相等的，再結(jié)合四邊形的內(nèi)角和及互補(bǔ)角的性質(zhì)可得結(jié)論∠BDA′+∠CEA′=2∠A；（3）根據(jù)圖3中由于折疊∠A與∠DA′E是相等的，再兩次運(yùn)用三角形外角的性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】解：（1）∠BDA′=2∠A；根據(jù)折疊的性質(zhì)可知∠DA′E=∠A，∠DA′E+∠A=∠BDA′，故∠BDA′=2∠A；（2）∠BDA′+∠CEA′=2∠A，理由：在四邊形ADA′E中，∠A+∠DA′E+∠ADA′+∠A′EA=360°，∴∠A+∠DA′E=360°-∠ADA′-∠A′EA，∵∠BDA′+∠ADA′=180°，∠CEA′+∠A′EA=180°，∴∠BDA′+∠CEA′=360°-∠ADA′-∠A′EA，∴∠BDA′+∠CEA′=∠A+∠DA′E，∵△A′DE是由△ADE沿直線DE折疊而得，∴∠A=∠DA′E，∴∠BDA′+∠CEA′=2∠A；（3）∠BDA′-∠CEA′=2∠A，理由：如圖3，DA′交AC于點(diǎn)F，∵∠BDA′=∠A+∠DFA，∠DFA=∠A′+∠CEA′，∴∠BDA′=∠A+∠A′+∠CEA′，∴∠BDA′-∠CEA′=∠A+∠A′，∵△A′DE是由△ADE沿直線DE折疊而得，∴∠A=∠DA′E，∴∠BDA′-∠CEA′=2∠A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形內(nèi)角和定理以及翻折變換的性質(zhì)，遇到折疊的問題，一定要找準(zhǔn)相等的量，結(jié)合題目所給出的條件在圖形上找出之間的聯(lián)系則可．10．（2020·浙江·八年級(jí)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)，點(diǎn)C的坐標(biāo)，點(diǎn)P是軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)C出發(fā)，沿軸的負(fù)半軸方向運(yùn)動(dòng)，速度為2個(gè)單位/秒，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，點(diǎn)B在軸的負(fù)半軸上，且的面積：的面積．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)D在軸上，是否存在點(diǎn)P，使以為頂點(diǎn)的三角形與全等？若存在，直接寫出點(diǎn)D坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）點(diǎn)Q是軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)A出發(fā)，向軸的負(fù)半軸運(yùn)動(dòng)，速度為2個(gè)單位/秒．若P、Q分別從C、A兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，求：t為何值時(shí)，以三點(diǎn)構(gòu)成的三角形與全等．【答案】（1）B（-2，0）；（2）存在，（0，4），（0，-4），（0，2），（0，-2）；（3）1s或4s【分析】（1）先求出，進(jìn)而得出的面積，即可得出的面積，最后得出點(diǎn)坐標(biāo)；（2）由于，所以分兩種情況討論計(jì)算即可；（3）先按時(shí)間分成三種情況，每種情況中同（2）的方法即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）點(diǎn)的坐標(biāo)，點(diǎn)的坐標(biāo)，，，，，，設(shè)，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，，，，；（2）在軸上，在軸，，以、、為頂點(diǎn)的三角形與全等，①，，或②，，或，即：滿足條件的的坐標(biāo)為，，，．（3）在軸上，在軸，，由運(yùn)動(dòng)知，，，，，當(dāng)時(shí)，，，以、、為頂點(diǎn)的三角形與全等，①，，，，滿足條件，即：②，，，，，不滿足條件，舍去；當(dāng)時(shí)，，，以、、為頂點(diǎn)的三角形與全等，①，，，，，不滿足條件，舍去；②，，，，，不滿足條件，舍去；當(dāng)時(shí)，，，以、、為頂點(diǎn)的三角形與全等，①，，，，不滿足條件，舍去；，②，，，，，滿足條件，即：t=4s，即：滿足條件的時(shí)間t=1s或4s．【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，主要考查了三角形的面積公式，全等三角形的判定，解本題的關(guān)鍵是分類討論，要考慮全面是解本題的難點(diǎn)．11．（2020·浙江·八年級(jí)單元測試）在中，，直線經(jīng)過點(diǎn)C，且于D，于E，（1）當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，顯然有：（不必證明）；（2）當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，求證：；（3）當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，試問、、具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出這個(gè)等量關(guān)系．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）DE=BE-AD【分析】（1）由于△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，由此即可證明△ADC≌△CEB，然后利用全等三角形的性質(zhì)即可解決問題；（2）由于△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，由此仍然可以證明△ADC≌△CEB，然后利用全等三角形的性質(zhì)也可以解決問題；（3）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（3）的位置時(shí)，仍然△ADC≌△CEB，然后利用全等三角形的性質(zhì)可以得到DE=BE-AD．【詳解】解：（1）∵△ABC中，∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，又直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC=∠CEB=90°∴∠ACD+∠DAC=90°，∴∠BCE=∠DAC，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴CD=BE，CE=AD，∴DE=CD+CE=AD+BE；（2）∵△ABC中，∠ACB=90°，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC=∠CEB=90°，∠ACD+∠BCE=∠BCE+∠CBE=90°，而AC=BC，∴△ADC≌△CEB，∴CD=BE，CE=AD，∴DE=CE-CD=AD-BE；（3）如圖3，∵△ABC中，∠ACB=90°，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC=∠CEB=90°，∠ACD+∠BCE=∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE，∵AC=BC，∴△ADC≌△CEB，∴CD=BE，CE=AD，∴DE=CD-CE=BE-AD；DE、AD、BE之間的關(guān)系為DE=BE-AD．【點(diǎn)睛】此題需要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，也利用了直角三角形的性質(zhì)，是一個(gè)探究性題目，對(duì)于學(xué)生的能力要求比較高．12．（2020·浙江·臺(tái)州市書生中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）【提出問題】我們已經(jīng)知道了三角形全等的判定方法（SAS，ASA，AAS，SSS）和直角三角形全等的判定方法（HL），請(qǐng)你繼續(xù)對(duì)“兩邊分別相等且其中一組等邊的對(duì)角相等的兩個(gè)三角形（SSA）”的情形進(jìn)行探究．【探索研究】已知：在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E．（1）如圖①，當(dāng)∠B＝∠E＝90°時(shí)，根據(jù)，可知Rt△ABC≌Rt△DEF；（2）如圖②，當(dāng)∠B＝∠E＜90°時(shí)，請(qǐng)用直尺和圓規(guī)作出△DEF，通過作圖，可知△ABC與△DEF全等．（填“一定”或“不一定”）（3）如圖③，當(dāng)∠B＝∠E＞90°時(shí)，△ABC與△DEF是否全等？若全等，請(qǐng)加以證明：若不全等，請(qǐng)舉出反例．【歸納總結(jié)】（4）如果兩個(gè)三角形的兩邊分別相等且其中一組等邊的對(duì)角相等，那么當(dāng)這組對(duì)角是__________時(shí)，這兩個(gè)三角形一定全等．（填序號(hào)）①銳角；②直角；③鈍角．【答案】（1）HL；（2）不一定；（3）△ABC≌△DEF，見解析；（4）②③【分析】（1）根據(jù)HL即可判斷；（2）畫出圖形，可知兩個(gè)三角形不一定全等．（3）結(jié)論：△ABC≌△DEF．如圖③中，作AG⊥CB交CB的延長線于G，作DH⊥FE交FE的延長線于H．利用3次全等解決問題即可；（4）利用（1）（3）中結(jié)論即可解決問題．【詳解】（1）在Rt△ABC和