第1講 數(shù)與式（精講篇）-2020年數(shù)學(xué)初高中銜接講與練

第1講乘法公式、根式與指數(shù)運(yùn)算親愛(ài)的同學(xué)，大家好！祝賀你們進(jìn)入高中階段學(xué)習(xí)！此時(shí)我想到一種食品----牛軋花生糖，你們猜猜我的寓意是什么？我想借用這5個(gè)字“牛、軋、花生、糖”.下面談?wù)勎覍?duì)這5個(gè)字的理解.提起牛，人們會(huì)說(shuō)牛氣沖天、老黃牛、牛勁.是的，我們學(xué)習(xí)就是要一股牛氣，要有一股初生牛犢的精神，要有牛氣沖天的干勁，要不畏難、不怕苦，要勤于思考、敢于實(shí)踐，要有高漲而持續(xù)的學(xué)習(xí)熱情.牛在緊要關(guān)頭不僅有沖勁，在平時(shí)耕田拉車(chē)中還特有韌勁，我們學(xué)習(xí)特別需要能長(zhǎng)久維持的韌勁，它是我們成功的必要條件，有了這股韌勁，就能克服一切困難，集中精力，發(fā)奮讀書(shū)，即使身體小有不適或遇到一些困難，也能盡量堅(jiān)持學(xué)習(xí)，這是對(duì)自己意志的考驗(yàn).你們肩負(fù)父母的期望，氣如長(zhǎng)虹，意志如鋼！“軋”音同“扎”，寓意是學(xué)習(xí)要扎實(shí).數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的扎實(shí)表現(xiàn)在：（1）不滿足于聽(tīng)懂、看懂，關(guān)鍵要能準(zhǔn)確地書(shū)寫(xiě)表達(dá)出來(lái)，還要能舉一反三，否則，沒(méi)有真懂.要把老師說(shuō)的、書(shū)上寫(xiě)的經(jīng)過(guò)大腦思索“消化”為自己的心中之物.（2）運(yùn)算要既快又準(zhǔn).速度慢了不行，但算錯(cuò)了更不行?。?）關(guān)注細(xì)節(jié).哪怕是一個(gè)符號(hào)的錯(cuò)誤，都會(huì)讓你體會(huì)前功盡棄的滋味，細(xì)節(jié)決定命運(yùn)！現(xiàn)在做題如此，以后做事也一樣！要做到這3條，必須在課堂上認(rèn)真聽(tīng)講、用心思考、勤于演算、善于筆記、大膽發(fā)言.在課后還要通過(guò)一定數(shù)量模仿性練習(xí)、提高性練習(xí)等高質(zhì)量作業(yè)才能牢固掌握，做作業(yè)不互相對(duì)答案，不抄襲，遇有不懂問(wèn)題可以相互討論，但懂了以后自己再獨(dú)立做出了.還要自覺(jué)學(xué)會(huì)歸納解題成功的經(jīng)驗(yàn)和總結(jié)失敗的教訓(xùn)，做到吃一塹，長(zhǎng)一智，形成個(gè)人獨(dú)具特色的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法和理解力.花生的果實(shí)生長(zhǎng)在地下，默默的被大地滋潤(rùn)著，在直到成熟才離開(kāi)土地，營(yíng)養(yǎng)價(jià)值極高.滋潤(rùn)著學(xué)生成長(zhǎng)的是國(guó)家以及你們的父母和老師.“花生”的“生”單獨(dú)字面有陌生、生疏的意思，“花”有相間的意思，此處借用“花生”是想說(shuō)在學(xué)習(xí)過(guò)程中會(huì)時(shí)常出現(xiàn)一些新的問(wèn)題和困難，這需要我們以正確的態(tài)度去對(duì)待，是強(qiáng)調(diào)客觀原因，還是知難而進(jìn)，獨(dú)立思考，不恥下問(wèn)，是對(duì)每個(gè)同學(xué)學(xué)習(xí)毅力的考驗(yàn).“花生”的諧音是“化生”，借指數(shù)學(xué)中常用的方法––––化生為熟、化難為易、化繁為簡(jiǎn)、化遠(yuǎn)為近.這是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中解決問(wèn)題的一條重要途徑，是學(xué)會(huì)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的重要方法.你們是祖國(guó)的未來(lái)，一往無(wú)前，所向披靡！糖是大家喜歡的食品，它給我們辛苦的學(xué)習(xí)帶來(lái)一絲甜意，我希望大家在繁重的學(xué)習(xí)間隙，可以唱支歌、跳曲舞來(lái)調(diào)節(jié)生活，來(lái)體驗(yàn)學(xué)習(xí)的甜蜜，體會(huì)生活的甜美.但是大家知道，生活并不全是歌舞.葡萄在成熟之前是苦膩的，這預(yù)示著我們今后4年的學(xué)習(xí)生活將是異常艱苦，那種時(shí)而忽然開(kāi)朗，眼前一片光明，時(shí)而百思不解，眼前一片黑暗，那種糾結(jié)、煩躁、甚至憤怒，沒(méi)有親身經(jīng)歷的人是難以體會(huì)的！這樣的經(jīng)歷是一個(gè)人成長(zhǎng)、成熟所必須的，我們只能面對(duì)，沒(méi)有逃避的余地，這或許是“先苦后甜”的深刻含義吧.這使我想起晚清學(xué)者王國(guó)維《人間詞話》中的：“古今之成大事業(yè)、大學(xué)問(wèn)者，必經(jīng)過(guò)三種之境界.‘昨夜西風(fēng)凋碧樹(shù)，獨(dú)上高樓，望盡天涯路’，此第一境也；‘衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴’，此第二境也；‘眾里尋他千百度，回頭驀見(jiàn)，那人正在燈火闌珊處’，此第三境也.”第一句話形容學(xué)海無(wú)涯，只有勇于登高遠(yuǎn)望者才能尋找到自己要達(dá)到的目標(biāo)，只有不畏懼孤獨(dú)寂寞，才能探索有成.第二句話比喻為了尋求真理或者追求自己的理想，廢寢忘食、夜以繼日，就是累瘦了也不覺(jué)得后悔.第三句話比喻經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的努力奮斗勞而無(wú)獲，正值困惑難以解脫之際，突然獲得成功.一種“踏破鐵鞋無(wú)覓處，得來(lái)全不費(fèi)工夫”的感覺(jué)油然而生，恍然間由失望達(dá)到久久期盼的愿望.體現(xiàn)的是偶然中的必然這一深刻哲理.同學(xué)們：學(xué)習(xí)中沒(méi)有永遠(yuǎn)的落后，暫時(shí)的落后并不可怕，只要把我們的聰明才智用到學(xué)習(xí)上，就一定能趕上！同時(shí)要求同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)上要做到：敢想、敢說(shuō)、敢問(wèn)、敢笑，在交流中要做到：大膽、大方、大聲、大度.學(xué)習(xí)困難時(shí)想到牛軋?zhí)?，我相信你們學(xué)習(xí)的信心更足、克服困難的意志更堅(jiān)強(qiáng)、解決問(wèn)題方法更多、成績(jī)提高得更快、明天的日子會(huì)更甜美！最后，請(qǐng)大家欣賞幾幅關(guān)于牛的圖片：這頭耕地的黃牛左邊是肥美的草地，但頭這頭水牛的右邊繁花似錦，偏偏把也不抬，專(zhuān)注拉犁頭扭向左邊，排除干擾，抵制誘惑盡.力做好現(xiàn)在“本職工作”---耕地.這是一頭討人喜歡的牛，它在認(rèn)準(zhǔn)目標(biāo)這幅圖的意思只有靠大家自己解讀以后，竭盡全力往前沖！一、乘法公式⑴平方差公式：⑵立方差公式：兩數(shù)差乘以兩數(shù)平方和+兩數(shù)積⑶立方和公式：兩數(shù)和乘以兩數(shù)平方和-兩數(shù)積⑷完全平方公式：，三數(shù)平方和+三數(shù)兩兩積的2倍⑸完全立方公式：一降一升一三一，左加右邊是正號(hào)，左減右邊正負(fù)間(6)前減后乘以前降后升，中間是加號(hào)乘法公式是數(shù)學(xué)運(yùn)算的基礎(chǔ)，必須牢牢掌握，并能熟練運(yùn)用.記憶乘法公式除了直接記公式，還可以用文字語(yǔ)言記憶，比如第（4）組第2個(gè)公式的文字語(yǔ)言表示：三個(gè)數(shù)和的平方等于這三個(gè)數(shù)平方和加上這三個(gè)數(shù)兩兩積的2倍.文字語(yǔ)言記憶的好處是能加上對(duì)公式的理解，不受字母變化的影響，比如第（4）組第2個(gè)公式中的a、b、c換成e、f、g，文字表達(dá)是一樣的.乘法公式還有圖形證法。二、根式 式子叫做二次根式，其性質(zhì)如下：（1）（2）（3）（4）說(shuō)明(1)二次根式的化簡(jiǎn)結(jié)果應(yīng)滿足：①被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；②被開(kāi)方數(shù)不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式．(2)二次根式的化簡(jiǎn)常見(jiàn)類(lèi)型有下列兩種：①被開(kāi)方數(shù)是整數(shù)或整式．化簡(jiǎn)時(shí)，先將它分解因數(shù)或因式，然后把開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式開(kāi)出來(lái)；②分母中有根式或被開(kāi)方數(shù)有分母應(yīng)該有理化.三、分式1．分式的意義形如的式子，若B中含有字母，且，則稱為分式．當(dāng)M≠0時(shí)，分式具有下列性質(zhì)：；．上述性質(zhì)被稱為分式的基本性質(zhì)．2．繁分式像，這樣，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．本講知識(shí)結(jié)構(gòu)圖：數(shù)與式乘法公式二次根式及指數(shù)運(yùn)算律分式的基本性質(zhì)變形用公式熟悉幾種常見(jiàn)的轉(zhuǎn)化方法化分式為部分分式例1計(jì)算：（1） （2）（3） （4）（5）解（1）原式=.（2）原式=.（3）原式=.（4）原式=.另解原式===．（5）原式= 說(shuō)明第(1)-(2)題是直接用公式，第（3）-（5）要先變形再用公式.在進(jìn)行代數(shù)式運(yùn)算時(shí)，要觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)是否滿足乘法公式的結(jié)構(gòu)，有時(shí)要湊出滿足乘法公式的結(jié)構(gòu)．公式通常是等號(hào)從右到左要用好解題需要勤觀察運(yùn)用熟練能生巧例2已知：的值.分析要用x+y表示x3+y3+3xy，為此要對(duì)解.例3已知，求的值．分析從結(jié)論出發(fā)x+1xx2解：因?yàn)閤2-3x+1=0，且x≠0原式=. 說(shuō)明本題還可以從方程中解出的值后，再代入代數(shù)式求值，則計(jì)算較煩瑣．例2、例3是已知一個(gè)式子的值，求另一個(gè)代數(shù)式的值（稱為給值求值），解題時(shí)要設(shè)法湊出已知代數(shù)式，以便整體代換以簡(jiǎn)化計(jì)算，這里體現(xiàn)數(shù)學(xué)中的整體思想.例4已知，求的值．分析1已知條件不知怎么用，可以從結(jié)論出發(fā)：原式=，顯然每個(gè)分式的分子可以利用已知條件轉(zhuǎn)化：原式=.接下來(lái)就是要用已知條件表示a3a3+b3=(a+b)[(a+b)2-3ab]=-c(解1因?yàn)閍+b+c=0,所以 原式= ①又a3a3+把②代入①得原式=.分析2解法1是括號(hào)內(nèi)通分，這時(shí)分母有兩個(gè)字母，如果先去括號(hào)再通分，分母是一個(gè)字母，分子是另外兩個(gè)字母的和，這樣會(huì)更簡(jiǎn)單.解2a(1說(shuō)明當(dāng)條件不好直接使用時(shí)，可從結(jié)論入手分析，一步步尋找結(jié)論成立的條件（稱為“從需知看已知”），溝通已知與需知，使問(wèn)題得到解決.這種解題方法稱為分析法.本題兩種解法都是從結(jié)論出發(fā)把條件a+b+c=0轉(zhuǎn)化為：a+b=-c，b+c=-a，a+c=-b，體現(xiàn)整體思想.本題主要是從結(jié)論出發(fā)同學(xué)可以探求并證明：例5已知.分析隨著對(duì)a3+解1原式=a2解2原式=a=-a練習(xí)11．填空：（1）（）；（2）；（3）．2．已知，，求的值．3.計(jì)算：（1）（2）4.已知，，求的值．5.已知，求的值.6.已知求的值.7.已知的值.二、根式例6化簡(jiǎn)下列各式：(1) (2)解：(1)原式= (2)原式=說(shuō)明：請(qǐng)注意性質(zhì)的使用：當(dāng)化去絕對(duì)值符號(hào)但字母的范圍未知時(shí)，要對(duì)字母的取值分類(lèi)討論．例7計(jì)算：（1）+；（2）.分析被開(kāi)方式含有根號(hào)要設(shè)法配成完全平方，分母含有根號(hào)要分母有理化.解（1）＝＝＝＝＝．或＝＝＝＝＝．所以，原式=7-1+3（2）原式=12=(例8試比較下列各組數(shù)的大小：（1）和；（2）和.分析比較兩個(gè)正數(shù)a,b的大小常用方法：a>b>0，則a-b>0,反之亦真，或a>b>0，則1第（1）題把兩個(gè)式子分母看成是1，分子有理化以后，分子相同，只要比較分母大小.第（2）題先對(duì)分子有理化，再與前一項(xiàng)比較大小.解（1），，又，所以＜．（2）因?yàn)橛?＞2eq\r(2)，所以eq\r(6)＋4＞eq\r(6)＋2eq\r(2)，從而＜.注分子有理化是高中常用方法，應(yīng)于重視.例9設(shè)，求的值．分析直接計(jì)算顯然較繁，可對(duì)xy先分母有理化進(jìn)行化簡(jiǎn)，再求值.解原式=說(shuō)明已知代數(shù)式中字母的值，求代數(shù)式的值通常是先化簡(jiǎn)后求值，對(duì)復(fù)雜的代數(shù)式求值，可根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)化，再代入條件，有時(shí)整體代入可簡(jiǎn)化計(jì)算量，如本題求出x+y=14和xy=1整體代入簡(jiǎn)便易行．例10已知,且,其中,求證:.分析已知條件直接平方顯然太繁，所以把左邊移一項(xiàng)到右邊再平方.證明,,邊平方,整理得,,,,,.說(shuō)明本例的背景源自高中階段橢圓的第一定義,移項(xiàng)平方是消去根號(hào)的基本手段,練習(xí)21．填空：（1）＝_________；（2）若，則的取值范圍是_______；（3）若，則_______．2．選擇題：等式成立的條件是（）（A）（B）（C）（D）3．比較大?。?－eq\r(3)eq\r(5)－eq\r(4)（填“＞”，或“＜”）．4.化簡(jiǎn)：5.已知，化簡(jiǎn)：.6.已知，求的值．7.在直角坐標(biāo)系xOy中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(m,n)滿足等式m2-n2=a2,B(2a,0)的距離之積等于P到原點(diǎn)O三、分式高中數(shù)學(xué)常用將一個(gè)分式化成一個(gè)整式（或一個(gè)常數(shù)）加上一個(gè)分式的形式，根據(jù)具體分式的特點(diǎn)，有時(shí)用湊分母、有時(shí)用換元法、有時(shí)用綜合除法.例11若，求常數(shù)的值．分析等式右邊通分合并同類(lèi)項(xiàng)后的分子與左邊分子比較，對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等，可得方程組，解方程組求出A，B的值.解因?yàn)?，所以解得．說(shuō)明這種求A，B的方法稱為待定系數(shù)法.一個(gè)分式化兩式常用待定系數(shù)法例12把下列分式化成一個(gè)整式（或一個(gè)常數(shù)）加上一個(gè)分式的形式：（1）2x+3x-1(2)x分析（1）的分子、分母次數(shù)相同，可在分子湊出分母，約分得到常數(shù)，（2）頁(yè)可以湊分母，也可以用換元法，（3）用綜合除法.解（1）2x+3x-1(2)解1（換元法）令t=x-1，則x=t+1，那么x2解2（湊分母）x2+2x+3x-1(3)用綜合除法（見(jiàn)圖）可得：x4說(shuō)明運(yùn)用綜合除法時(shí)，如果被除式缺少某一項(xiàng)，可以把該項(xiàng)看作0，這一點(diǎn)不能高次分式化分式綜合除法也可湊注“高次分式”指分子次數(shù)高于分母例13求11×2+分析需要把一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)的差，然后相鄰兩項(xiàng)相互抵消：1解11×211×2例14已知,,求的值.分析注意到，就會(huì)想到把已知條件中的前兩個(gè)作差，