群時延新概念

群時延新概念

群時延的新概念

史錦順

1引言

群時延的概念由美國人［1］于二十世紀三十年代提出。本章指出：在

工程界流行了七十多年的群時延概念，是個不恰當的概念。分析了現行群

時延概念在邏輯、數學、物理以及應用諸方面的問題，提出關于群時延

的新概念及相應的時延奇異性的表征方法與計算方法。現行群時延

定義為相位對角頻率的微商：

d????1d??f??????

⑴d?2?df

從這個基本定義出發(fā)，早期的群時延測量儀器都采用調制、解調、

低頻測相的方案。稱調制頻率為裂頻，以裂頻充當定義式中的df［2］。近三

十年來，由于矢量網絡分析儀與精密相位計的發(fā)展，可直接測量出表征相

位對頻率關系的相頻特性曲線6(f)。只是由于受傳統(tǒng)概念的束縛，數據處

理方式、指標性能表達方式并未變化。

本文在深入研究時間、頻率、相位三者關系的基礎上，分析了現行

群時延概念的諸多問題，指出這個概念的要害是抹煞頻率在相位對時間

變換中的關鍵作用。本文提出關于群時延的新概念。其中的數據處理方法,

已在一項航天測控工程設備研制中應用。

2現行群時延概念的問題

現行群時延的定義如式(1),實際應用公式為：

?f???f???f???f?????1?2??2??g?f???

(2)2??f

群時延測量儀器的基本模型如圖l[2]o

載波信號調制器被測解調器測發(fā)生器

電路

相t

電調零

發(fā)生器電路路

圖1

用矢量網絡分析儀測量群時延的現行方法是先測出6⑴曲線，再按⑵

式求Tg(f)。有如下稱謂：

Tg(f)稱群時延特性或絕對群時延；

Tgd(f)稱群時延失真或相對群時延：

gd(f)T=Tg(f)-Tg(f)

⑶

以上是現行群時延概念的要點。

本文認為現行群時延概念有下列問題：

1.邏輯問題：外延不等。

定義是明確概念的邏輯方法[3]。下定義必須遵守的規(guī)則之一是定義者

的外延與被定義者的外延必須相等?，F行群時延概念的基本定義式⑴式違

反了這條規(guī)則。

被定義者群時延是群體的特性，它共屬于該群體之fl、f2、……fN各

頻率信號，是各頻率共有的性質，是共性，必須是個不隨頻率編號而變的

值。而定義者是相位對頻率的微商，通常依各頻率而不同。等式兩邊不等。

承認了定義式(1)，實際是承認了丁

資格，也就無法稱其為群時延了。

2.數學問題：全微分不全，變量當常量。

信號群體由頻率為fl、f2、……fN的簡諧振蕩，即正弦電磁場構成。

通過器件后，fl信號相移為61,時延為T1；f2信號相移為62,時延為

12；……fN信號相移為6N,時延為T十分明顯，Tj各不相同，寫成函

數關系與全微分關系，應為：

?i??2?fi?

⑷？？f,????2?f?

(5)???f,?????f,??????fdd??f,df?d??2??df?

2?(6)?f??

現行群時延概念的提出者與闡述者們，誤將變量當常量，沒有寫全⑹

式，僅寫出了其中的一半(含df項)。對射頻與中頻的帶通等選擇性電路

來說，恰恰是被忽略的一半(含dt項)起主要作用?？梢?，現行群時延概念

立論根基錯誤。

3.物理問題：抹煞相位對時間變換的關鍵一一頻率。

正弦電磁場的相、時、頻存在一一對應關系。相位與時延對應的基礎

是頻率，是實際存在的運行頻率。裂頻不是運行頻率。僅在特殊的情況下，

即當6(f)曲線為過零點直線時，時N。g隨頻率而變，這就否定了Tg做

為群體特性表征量的

延T為常數，方可由裂頻代替運行頻率而計算出常數T來。工作于射

頻或中頻的帶通等選擇性電路，6(f)曲線的直線段不過零點，裂頻不能代

替運行頻率。

忽視運行頻率，而利用隨意選取的裂頻△f,現行群時延概念遂成為

無源之水，無本之木；以至物理意義費解：說不清是什么頻率下的時延。

4.應用問題

(1)定義為微商，實行起來很難辦。理論上，Af很小才符合定義，但

因Af當分母，越小則誤差越大。越符合定義越不精確。

(2)Af選取的隨意性。

(3)實用中Af選得很大，常為帶寬，于是出現"改帶外性能，善帶內

指標"這一怪現象⑷。

(4)非線性指標，常取決于線性區(qū)大小的選取，這又是一個矛盾。

(5)每兩點算一時延，再比較，這是一種抽樣比較法，比較不完全。

現實中常遇到這樣的問題：對某微波器件，給出群時延100ns,按現

行群時延概念，將理解為微波能量傳輸時間是100ns。這可能是虛夸了上

百倍。這種誤解并非個人理解問題，而是現行群時延本身之誤。正確認識

了器件的時延，也必然認識到現行群時延概念確實不妥。

3群時延的新概念

引子

路程以長度單位計算，古時用里，現在用公里，這是人們所熟知的。

但是，自古以來，人們就有以時間論里程的習慣。常說還有幾日路程或說

耽擱了幾日行程。

小時聽啟蒙老師講故事，說古時有個舉子進京趕考，路上問一老者到

京城還有幾天路程。老者說：你向前走一百步再來問我。舉子照辦，老人

這才回答。老者并非刁難，這是因為只有了解舉子行進速度后，方好作答。

走得慢，要多走幾天；走得快，可以少走幾天。這是個簡單明白的道理:

一段路程轉化為行路時間，必須以速度為前提條件。

群時延概念雖似艱澀，思路卻像這個故事。

3.1從相位到時延

相是樣子、容貌。相位是正弦電磁場(簡諧振蕩信號)的態(tài)，是電磁

矢量的角度。人們從相位變化來認識電磁場的運動。人們從相位變化來認

識電磁場的運動。頻率以相位變化量測量，時延從相位變化量求得。

電磁場的相位變化分時間部分和空間部分。時延一語表征的是相位差

以時間來代替的等效量，也就是器件引入的相移等效于延長了多少時間。

設器件引入的相移為小⑴

?A?t??2?ft??

⑺。

?出？t?ft???f??2??o

(8)

有

???(f)??出？t?入？t?

(9)

空間相位差。⑴等效于一時延。(8)式可寫為:

?出？t?f?t??????2?o

(10)

聯立⑻式與(10)式，有

(11)2?f2?f

以上推導方法是同時觀察，即在同一時刻看輸出端、輸入端的相位。

另一種推導方法是同相觀察。認定某一相位，求此相位在輸出端、

輸入端出現的時間差。？？入?t??2?f11??o

(12)?t??出？？2?ft2??o???t?

(13)認定

???入？tl????出12?

(14)

有

??f???t?t??21

(15)2?f

以上所述時延，現行理論稱其為相位時延；本文稱其為時延一一對

它，不該加限定語而降低其地位。

傳播路徑引入的時延稱為傳播時延，記為T。。電磁波在自由空間中

的時空分布為：2?L??t,L??2?ft???o

(16)?

0??2??t,?ft??o

距離L的時延為:

2?L??L?L?????o

(17)2?ff?c

傳播時延T0是時延T的特例。式中C是光速，即電磁波的傳播速度。

3.2相頻特性曲線

信號通過器件(或網絡或系統(tǒng))產生相移。頻率不同，相移不同。相移

對頻率關系的特性

曲線，稱相頻特性曲線，簡稱6(f)曲線。

甲類：

圖形6(f)線為過零點直線，或小⑴線的延長線過零點。如圖2中之

0P與MN線。

f6

0-f

A-

?B

?M

?C

P-ND

圖2

實例自由空間，一定頻率范圍內的電纜。

特點時延與傳播時延為同一值，無必要再引入群時延。必要時稱

說群時延，也只能是該同一值。

乙類：

圖形6（f）線為包含有直線段的曲線，如圖2中之ABCD線。實用段

是準直線段BC。直線段的延長線不過零點。

實例帶通濾波器、帶通放大器以及其他有選擇功能的器件。

特點實用段是6（f）曲線的直線段BC。線上每一點的時延（縱橫坐標

之比）都互不相等，但該直線段有共同的斜率，此共同的斜率是線段內各

頻率的共有性質，此性質用群時延來表征。直線段的斜率是唯一的，群時

延是單一值。

通常的相位對頻率的關系（簡稱相頻關系）如圖2中的0P線或MN

線，相頻關系（時延T）不隨頻率變化，這是正常電路，或稱無色散電路

（例如一段自由空間，或以某頻率范圍的一段電纜）。圖2中的ABCD段,

相頻關系（時延T）隨頻率變化，這是一種相位色散現象（某效應隨頻率

而變化）。其中的直線部分BC段，稱線性相位色散。線性相位色散用群時

延定量描述。

3.3群時延的新定義

相頻特性曲線6（f）的直線段記為6（fj）,直線段6（fj）的斜率記為K。K

通常為負值。

定義群時延是載波或中頻信號的線性相位色散，等效于解調后信息

頻率的群體的時延。其數值等于相位角頻率特性曲線直線段的負斜率：

K?K??

(18)????q?2?

當直線段6(fj)的延長線過零點時，群時延Tq退化為時延T,是所對

應頻率群體E田］的時間延遲，但這時無相位色散，也就不必稱說群時延。

當直線段6(fj)的延長線不過零點時，群時延T

頻

Fj=fj-fo

(19)而言的相頻特性曲線6舊)為過零點直線時，群時延Tq是差頻q不是

所對應頻率fj或其集合E［fj］的時間延遲；而經頻率變換，即取差拍之后，

若對差Fj及其集合E［Fj］的時延。對工作于射頻或中頻的帶通等選擇

性電路來說，群時延不是射頻或中頻意義下的時延，而是潛在的、經解調

后將表現出的對信息頻率而言的時延。

3.4相頻特性曲線的頻率變換一一群時延與時延的定量關系

相頻特性曲線如圖2之ABCDo

工程應用中避開AB段與CD段，利用BC段。

f表射頻頻率，則信息頻率為：

F=f-fo

(20)射頻相移有關系：

6二2nf1

(21)以DC延長線與頻率軸交點為零點的特定頻率變換，有關系

6=2nfTq

(22)故可大致估計為

f??qF?

(23)

4關于群時延的形象思維

(1)馬群圖

牧人趕著一群馬在草原上游牧。某一時刻觀察，馬態(tài)各異：有的站,

有的臥，有的吃草，有的嬉戲；另一時刻又是另一種情形：有的走，有的

跑，有的朝左，有的朝右。然而，馬群之所以成為馬群，必要條件是大

采樣時間下，各馬運動的平均速度(方向和速率)必須相等。把馬群的

速度定義為每匹馬的速度是不妥的。試想，倘老虎闖入馬群，受驚之馬狂

奔亂

跳，四處逃竄，各馬雖有各自的速度，但馬群已散，無從再談起馬群

的速度。

談群體的共性必須是針對有共性的群體；不能用個性代替共性。

(2)龜行圖

甲乙兩輛汽車，各載兩只烏龜。二車橫排，齊頭并進。車上烏龜橫排

車尾，向前爬。車速10米/秒；龜速0.1米/秒。

過一小河后，乙車比甲車落后10米。剛過河，二車上各有一只烏龜

同時跳下，相互距離10米。車、龜原速前進。10米距離等效于時間延遲

多少？這要看針對哪種速度。如指汽車或乘車之龜，則時延為1秒；如指

已跳下車之烏龜，則時延為100秒。

落后一定距離等效于到達目的地遲到一定時間。求此時間延遲，必

須借助于實際運行的速度。抹煞了速度，無從談起時延與距離的對應。

時延與距離的對應離不開速度；同樣，時延與相位的對應離不開頻率。

(3)測路類比

群時延奇異性的表征方法，類似于測路面傾斜度與不平度的方法。

方法甲：設路面寬9米，橫向每隔1米取一中介點，共10個中介點。

將5米長的直桿

橫放路面，桿的中點對準第一個中介點，桿兩端頭所示路面二點為第

一對采樣點，測出該二點的高度差，這是第一個高度差；再將

桿的中點對準第二個中介點，桿兩端頭所示路面二點為第二對采樣點，測

出該二點的高度差，這是第二個高度差；依次將桿的中點對準各個中介點,

測出10個高度差。高度差的平均值與桿長之比為路面的傾斜度，各高度

差對平均值的偏離程度為路面的不平度。

這樣做，使路外多點(-2.5m,-1.5m,-0.5m,9.5m,10.5m,11.5m)成為采

樣點，參與路面衡量，不當。怎能用填平路旁水道的辦法來修平路面本身！

細一想，問題還不僅如此；豈只參與，簡直是路外狀況決定路面基本

量，試看算高度差平均值的求和操作(M——采樣，G——路旁溝，L——路

面)：

M(0)+M(l)+M(2)+M(3)+M(4)+M(5)+M(6)+M(7)+M(8)+M(9)

路面14個采樣點數據中10個數據沖消，僅靠兩邊各兩個數據有效;

路面僅取4點，而路外取6點，實在荒謬。

方法乙測量路面橫向各點的相對高度值，擬合一條直線。直線的斜

率為路面傾斜度；

各點高度與擬合直線之差為路面不平度。

方法甲類似現行群時延概念；方法乙類似群時延的新概念。本文否定

方法甲，提倡方法乙。

5關于群時延的測量和數據處理

5.1關于群時延的測量方法

測量群時延的基本點是測量相頻特性曲線，基本技術是相位測量。矢

量網絡分析儀、精密相位計都可用來測量群時延。測量框圖如圖3。

現有的專用群時延測量儀，是現行群時延概念的產物，是技術發(fā)展過

程中的一點沉積，大可不必受其拘泥。

頻綜fi待測器件6(fi)測相小i

圖3

5.2群時延的數據擬合

測量群時延，就是測量相頻特性曲線。頻率是自變量。為處理數據的

需要，要等間隔取頻率點，點應多些，10點以上。點數取奇數，處理方便。

可以用作圖法求斜率K,但精確的方法是對測得值作擬合處理。

以下先推導一般形式的直線數據擬合公式，再代入我們的取值，得出

群時延擬合公式。設函數為：

設直線為：Y=A+KX

(24)對應Xi測得值為Yio

作函數：

n2Q???Yi?A?KXi?

(25)

i??n

令

有

???2?Yi?A?KXi?0

(26)??

i?lN?Q?O?A?Q?O?K

N

?2Yi?A????KXi?Xi??0

(27)i?l

整理

NN

K?Yi?NA??Xi?0

(28)

i?li?l

NNN2

XY?AX?KX???iiii?0

(29)

i?li?li?l

取自變量的對稱形式

Xi?fi?

其中？1NfiN?

i?l必有

N0

?Xi?

i?l

聯立方程簡化為N?Yi?NA?0

i?l

NN?Yi?fi???K??fi??2

?0i?li?l

解（32）式與（33）式的聯立方程，并將Y