高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題檢測(cè)（四）常用邏輯用語、定積分、推理與證明、函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用、排列與組合 理（普通生含解析）-人教版高三數(shù)學(xué)試題

專題檢測(cè)（四）常用邏輯用語、定積分、推理與證明、函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用、排列與組合一、選擇題1．(2018·南寧聯(lián)考)命題“?x0∈R，x0＋cosx0－ex0>1”的否定是()A．?x0∈R，x0＋cosx0－ex0<1B．?x0∈R，x0＋cosx0－ex0≥1C．?x∈R，x＋cosx－ex≥1D．?x∈R，x＋cosx－ex≤1解析：選D因?yàn)樗o命題是一個(gè)特稱命題，所以其否定是一個(gè)全稱命題，即“?x∈R，x＋cosx－ex≤1”．2．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，－2≤x≤0，,x＋1，0＜x≤2，))則eq\i\in(-2,2,)f(x)dx的值為()A.eq\f(4,3) B．4C．6 D.eq\f(20,3)解析：選Deq\i\in(-2,2,)f(x)dx＝eq\i\in(-2,0,)x2dx＋eq\i\in(0,2,)(x＋1)dx＝eq\f(1,3)x3eq\b\lc\|(\a\vs1\al\co1(0,-2))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2＋x))eq\b\lc\|(\a\vs1\al\co1(2,0))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＋\f(8,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\f(1,2)×4＋2－0))＝eq\f(20,3).3．(2018·南昌調(diào)研)已知m，n為兩個(gè)非零向量，則“m與n共線”是“m·n＝|m·n|”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選D當(dāng)m與n反向時(shí)，m·n<0，而|m·n|>0，故充分性不成立．若m·n＝|m·n|，則m·n＝|m|·|n|cos〈m，n〉＝|m|·|n|·|cos〈m，n〉|，則cos〈m，n〉＝|cos〈m，n〉|，故cos〈m，n〉≥0，即0°≤〈m，n〉≤90°，此時(shí)m與n不一定共線，即必要性不成立．故“m與n共線”是“m·n＝|m·n|”的既不充分也不必要條件，故選D.4．(2018·安徽八校聯(lián)考)某參觀團(tuán)根據(jù)下列約束條件從A，B，C，D，E五個(gè)鎮(zhèn)選擇參觀地點(diǎn)：①若去A鎮(zhèn)，也必須去B鎮(zhèn)；②D，E兩鎮(zhèn)至少去一鎮(zhèn)；③B，C兩鎮(zhèn)只去一鎮(zhèn)；④C，D兩鎮(zhèn)都去或者都不去；⑤若去E鎮(zhèn)，則A，D兩鎮(zhèn)也必須去．則該參觀團(tuán)至多去了()A．B，D兩鎮(zhèn) B．A，B兩鎮(zhèn)C．C，D兩鎮(zhèn) D．A，C兩鎮(zhèn)解析：選C若去A鎮(zhèn)，根據(jù)①可知一定去B鎮(zhèn)，根據(jù)③可知不去C鎮(zhèn)，根據(jù)④可知不去D鎮(zhèn)，根據(jù)②可知去E鎮(zhèn)，與⑤矛盾，故不能去A鎮(zhèn)；若不去A鎮(zhèn)，根據(jù)⑤可知也不去E鎮(zhèn)，再根據(jù)②知去D鎮(zhèn)，再根據(jù)④知去C鎮(zhèn)，再根據(jù)③可知不去B鎮(zhèn)，再檢驗(yàn)每個(gè)條件都成立，所以該參觀團(tuán)至多去了C，D兩鎮(zhèn)．故選C.5．從5個(gè)不同的小球中選4個(gè)放入3個(gè)箱子中，要求第一個(gè)箱子放入1個(gè)小球，第二個(gè)箱子放入2個(gè)小球，第三個(gè)箱子放入1個(gè)小球，則不同的放法共有()A．120種 B．96種C．60種 D．48種解析：選C第一步，從5個(gè)不同的小球中選4個(gè)，共有Ceq\o\al(4,5)＝5種不同的方法；第二步，從選出的4個(gè)小球中選出1個(gè)放入第一個(gè)箱子，共有Ceq\o\al(1,4)＝4種不同的方法；第三步，從剩余的3個(gè)小球中選出2個(gè)放入第二個(gè)箱子，共有Ceq\o\al(2,3)＝3種不同的方法；第四步，將最后1個(gè)小球放入第三個(gè)箱子，共有Ceq\o\al(1,1)＝1種不同的方法．故不同的放法共有5×4×3×1＝60種．6．(2018·遼寧五校協(xié)作體聯(lián)考)在《爸爸去哪兒》第二季第四期中，村長(zhǎng)給6位“萌娃”布置一項(xiàng)搜尋空投食物的任務(wù)．已知：①食物投擲地點(diǎn)有遠(yuǎn)、近兩處；②由于Grace年紀(jì)尚小，所以要么不參與該項(xiàng)任務(wù)，但此時(shí)另需一位小孩在大本營陪同，要么參與搜尋近處投擲點(diǎn)的食物；③所有參與搜尋任務(wù)的小孩須被均分成兩組，一組去遠(yuǎn)處，一組去近處．那么不同的搜尋方案有()A．10種 B．40種C．70種 D．80種解析：選B若Grace不參與任務(wù)，則需要從剩下的5位小孩中任意挑出1位陪同，有Ceq\o\al(1,5)種挑法，再從剩下的4位小孩中挑出2位搜尋遠(yuǎn)處，有Ceq\o\al(2,4)種挑法，最后剩下的2位小孩搜尋近處，因此一共有Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(2,4)＝30種搜尋方案；若Grace參加任務(wù)，則其只能去近處，需要從剩下的5位小孩中挑出2位搜尋近處，有Ceq\o\al(2,5)種挑法，剩下3位小孩去搜尋遠(yuǎn)處，因此共有Ceq\o\al(2,5)＝10種搜尋方案．綜上，一共有30＋10＝40種搜尋方案，故選B.7．給出下面四個(gè)類比結(jié)論：①實(shí)數(shù)a，b，若ab＝0，則a＝0或b＝0；類比復(fù)數(shù)z1，z2，若z1z2＝0，則z1＝0或z2＝0.②實(shí)數(shù)a，b，若ab＝0，則a＝0或b＝0；類比向量a，b，若a·b＝0，則a＝0或b＝0.③實(shí)數(shù)a，b，有a2＋b2＝0，則a＝b＝0；類比復(fù)數(shù)z1，z2，有zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2)＝0，則z1＝z2＝0.④實(shí)數(shù)a，b，有a2＋b2＝0，則a＝b＝0；類比向量a，b，若a2＋b2＝0，則a＝b＝0.其中類比結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3解析：選C對(duì)于①，顯然是正確的；對(duì)于②，若向量a，b互相垂直，則a·b＝0，所以②錯(cuò)誤；對(duì)于③，取z1＝1，z2＝i，則zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2)＝0，所以③錯(cuò)誤；對(duì)于④，若a2＋b2＝0，則|a|＝|b|＝0，所以a＝b＝0，故④是正確的．綜上，類比結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是2.8．某商場(chǎng)為了解商品的銷售情況，對(duì)某種電器今年一至五月份的月銷售量Q(x)(臺(tái))進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得數(shù)據(jù)如下：x(月份)12345Q(x)(臺(tái))691086根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，你認(rèn)為能較好地描述月銷售量Q(x)(臺(tái))與時(shí)間x(月份)變化關(guān)系的模擬函數(shù)是()A．Q(x)＝ax＋b(a≠0)B．Q(x)＝a|x－4|＋b(a≠0)C．Q(x)＝a(x－3)2＋b(a≠0)D．Q(x)＝a·bx(a≠0，b>0且b≠1)解析：選C觀察數(shù)據(jù)可知，當(dāng)x增大時(shí)，Q(x)的值先增大后減小，且大約是關(guān)于Q(3)對(duì)稱，故月銷售量Q(x)(臺(tái))與時(shí)間x(月份)變化關(guān)系的模擬函數(shù)的圖象是關(guān)于x＝3對(duì)稱的，顯然只有選項(xiàng)C滿足題意，故選C.9．由曲線y＝eq\r(x)，直線y＝x－2及y軸所圍成的圖形的面積為()A．16 B.eq\f(16,3)C．2 D.eq\f(4,3)解析：選B圍成的圖形如圖中陰影部分所示，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－2，,y＝\r(x)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝2，))∴M(4,2)．由曲線y＝eq\r(x)，直線y＝x－2及y軸所圍成的圖形的面積S＝eq\i\in(0,4,)[eq\r(x)－(x－2)]dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x－\f(1,2)x2＋2x))eq\b\lc\|(\a\vs1\al\co1(4,0))＝eq\f(16,3).10．在下列結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)是()①命題p：“?x0∈R，xeq\o\al(2,0)－2≥0”的否定形式為綈p：“?x∈R，x2－2<0”；②O是△ABC所在平面上一點(diǎn)，若eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))·eq\o(OC,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))·eq\o(OA,\s\up7(→))，則O是△ABC的垂心；③“M>N”是“eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))M>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))N”的充分不必要條件；④命題“若x2－3x－4＝0，則x＝4”的逆否命題為“若x≠4，則x2－3x－4≠0”．A．1 B．2C．3 D．4解析：選C由特稱(存在性)命題與全稱命題的關(guān)系可知①正確．∵eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))·eq\o(OC,\s\up7(→))，∴eq\o(OB,\s\up7(→))·(eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→)))＝0，即eq\o(OB,\s\up7(→))·eq\o(CA,\s\up7(→))＝0，∴eq\o(OB,\s\up7(→))⊥eq\o(CA,\s\up7(→)).同理可知eq\o(OA,\s\up7(→))⊥eq\o(BC,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))⊥eq\o(BA,\s\up7(→))，故點(diǎn)O是△ABC的垂心，∴②正確．∵y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))x是減函數(shù)，∴當(dāng)M>N時(shí)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))M<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))N，當(dāng)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))M>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))N時(shí)，M<N.∴“M>N”是“eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))M>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))N”的既不充分也不必要條件，∴③錯(cuò)誤．由逆否命題的寫法可知，④正確．∴正確的結(jié)論有3個(gè)．11．(2018·廣州調(diào)研)某學(xué)校獲得5個(gè)高校自主招生推薦名額，其中甲大學(xué)2個(gè)，乙大學(xué)2個(gè)，丙大學(xué)1個(gè)，并且甲大學(xué)和乙大學(xué)都要求必須有男生參加，學(xué)校通過選拔定下3男2女共5個(gè)推薦對(duì)象，則不同的推薦方法共有()A．36種 B．24種C．22種 D．20種解析：選B根據(jù)題意，分兩種情況討論：第一種，3名男生每個(gè)大學(xué)各推薦1個(gè)，2名女生分別推薦給甲大學(xué)和乙大學(xué)，共有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,2)＝12種推薦方法；第二種，將3名男生分成兩組分別推薦給甲大學(xué)和乙大學(xué)，共有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝12種推薦方法．故共有24種推薦方法．12．一天，小亮看到家中的塑料桶中有一個(gè)豎直放置的玻璃杯，桶和玻璃杯的形狀都是圓柱形，桶口的半徑是杯口半徑的2倍，其正視圖如圖所示．小亮決定做個(gè)試驗(yàn)：把塑料桶和玻璃杯看作一個(gè)容器，對(duì)準(zhǔn)杯口勻速注水，注水過程中杯子始終豎直放置，則下列能反映容器最高水位h與注水時(shí)間t之間關(guān)系的大致圖象是()解析：選C向玻璃杯內(nèi)勻速注水，水面逐漸升高，當(dāng)玻璃杯中水滿時(shí)，開始向塑料桶內(nèi)流，這時(shí)水位高度不變，因?yàn)楸雍屯暗酌姘霃奖仁?∶2，則底面積的比為1∶4，在高度相同情況下體積比為1∶4，杯子內(nèi)水的體積與杯子外水的體積比是1∶3，所以高度不變時(shí)，杯外注水時(shí)間是杯內(nèi)注水時(shí)間的3倍，當(dāng)桶的水面高度與玻璃杯的水面高度一樣后，繼續(xù)注水，水面高度再升高，升高的速度開始慢，結(jié)合圖象知選C.13．觀察下列各式：55＝3125,56＝15625,57＝78125,58＝390625,59＝1953125，…，則52018的末四位數(shù)字為()A．3125 B．5625C．0625 D．8125解析：選B55＝3125,56＝15625,57＝78125,58＝390625,59＝1953125，……，可得59與55的后四位數(shù)字相同，由此可歸納出5m＋4k與5m(k∈N*，m＝5,6,7,8)的后四位數(shù)字相同，又2018＝4×503＋6，所以52018與514．埃及數(shù)學(xué)中有一個(gè)獨(dú)特現(xiàn)象：除eq\f(2,3)用一個(gè)單獨(dú)的符號(hào)表示以外，其他分?jǐn)?shù)都要寫成若干個(gè)單位分?jǐn)?shù)和的形式，例如eq\f(2,5)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,15).可以這樣理解：假定有兩個(gè)面包，要平均分給5個(gè)人，若每人分得一個(gè)面包的eq\f(1,2)，不夠，若每人分得一個(gè)面包的eq\f(1,3)，還余eq\f(1,3)，再將這eq\f(1,3)分成5份，每人分得eq\f(1,15)，這樣每人分得eq\f(1,3)＋eq\f(1,15).形如eq\f(2,n)(n＝5,7,9，11，…)的分?jǐn)?shù)的分解：eq\f(2,5)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,15)，eq\f(2,7)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,28)，eq\f(2,9)＝eq\f(1,5)＋eq\f(1,45)，按此規(guī)律，eq\f(2,n)＝()A.eq\f(2,n＋1)＋eq\f(2,nn＋1) B.eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,nn＋1)C.eq\f(1,n＋2)＋eq\f(1,nn＋2) D.eq\f(1,2n＋1)＋eq\f(1,2n＋12n＋3)解析：選A根據(jù)分面包原理知，等式右邊第一個(gè)數(shù)的分母應(yīng)是等式左邊數(shù)的分母加1的一半，第二個(gè)數(shù)的分母是第一個(gè)數(shù)的分母與等式左邊數(shù)的分母的乘積，兩個(gè)數(shù)的原始分子都是1，即eq\f(2,n)＝eq\f(1,\f(n＋1,2))＋eq\f(1,\f(nn＋1,2))＝eq\f(2,n＋1)＋eq\f(2,nn＋1).15．一個(gè)人騎車以6m/s的速度勻速追趕停在交通信號(hào)燈前的汽車，當(dāng)他離汽車25m時(shí)，交通信號(hào)燈由紅變綠，汽車開始做變速直線行駛(汽車與人的前進(jìn)方向相同)，若汽車在時(shí)刻t的速度v(t)＝A．可在7秒內(nèi)追上汽車B．不能追上汽車，但其間最近距離為16mC．不能追上汽車，但其間最近距離為14mD．不能追上汽車，但其間最近距離為7m解析：選D因?yàn)槠囋跁r(shí)刻t的速度v(t)＝t(m/s)，所以加速度a＝eq\f(vt,t)＝1，所以汽車是勻加速運(yùn)動(dòng)，以汽車停止位置為參照，人所走過的位移為S1＝－25＋6t，汽車在時(shí)間t內(nèi)的位移為S2＝eq\f(t2,2)，故設(shè)相對(duì)位移為ym，則y＝－25＋6t－eq\f(t2,2)＝－eq\f(1,2)(t－6)2－7，故不能追上汽車，且當(dāng)t＝6時(shí)，其間最近距離為7m，故選D.16．“干支紀(jì)年法”是中國歷法上自古以來使用的紀(jì)年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被稱為“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字開始，“地支”以“子”字開始，兩者按干支順序相配，組成了干支紀(jì)年法，其相配順序?yàn)椋杭鬃?、乙丑、丙寅……癸酉、甲戌、乙亥、丙子……癸未、甲申、乙酉、丙戌……癸巳……共得?0個(gè)組合，周而復(fù)始，循環(huán)記錄．已知1894年是“干支紀(jì)年法”中的甲午年，那么2020年是“干支紀(jì)年法”中的()A．己亥年 B．戊戌年C．辛丑年 D．庚子年解析：選D由題知，天干的周期為10，地支的周期為12，因?yàn)?894年為甲午年，所以2014年為甲午年，從2014年到2020年，經(jīng)過了6年，所以天干中的甲變?yōu)楦?，地支中的午變?yōu)樽?，?020年是庚子年，故選D.二、填空題17.eq\i\in(1,e,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))dx＝________.解析：eq\i\in(1,e,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)＋lnx))eq\b\lc\|(\a\vs1\al\co1(e,1))＝eq\f(e2,2)＋1－eq\f(1,2)＝eq\f(e2＋1,2).答案：eq\f(e2＋1,2)18．設(shè)命題p：?a>0，a≠1，函數(shù)f(x)＝ax－x－a有零點(diǎn)，則綈p：______________.解析：全稱命題的否定為特稱(存在性)命題，綈p：?a0>0，a0≠1，函數(shù)f(x)＝aeq\o\al(x,0)－x－a0沒有零點(diǎn)．答案：?a0>0，a0≠1，函數(shù)f(x)＝aeq\o\al(x,0)－x－a0沒有零點(diǎn)19．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,x)))n的展開式中第二項(xiàng)與第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則直線y＝nx與曲線y＝x2圍成的封閉圖形的面積為________．解析：因?yàn)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,x)))n的展開式中第2項(xiàng)與第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，所以Ceq\o\al(1,n)＝Ceq\o\al(3,n)，所以n＝4，由直線y＝4x與曲線y＝x2，可得交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)，(4,16)，作出直線y＝4x與y＝x2圍成的封閉圖形如圖中陰影部分所示，所以直線y＝nx與曲線y＝x2圍成的封閉區(qū)域面積為eq\i\in(0,4,)(4x－x2)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2－\f(1,3)x3))eq\b\lc\|(\a\vs1\al\co1(4,0))＝eq\f(32,3).答案：eq\f(32,3)20．已知某房地產(chǎn)公司計(jì)劃出租70套相同的公寓房．當(dāng)每套房月租金定為3000元時(shí)，這70套公寓房能全部租出去；當(dāng)月租金每增加50元時(shí)(設(shè)月租金均為50元的整數(shù)倍)，就會(huì)多一套房子不能出租．設(shè)已出租的每套房子每月需要公司花費(fèi)100元的日常維修等費(fèi)用(設(shè)沒有出租的房子不需要花這些費(fèi)用)，則要使公司獲得最大利潤，每套房月租金應(yīng)定為________元．解析：設(shè)利潤為y元，租金定為3000＋50x(0≤x≤70，x∈N)元．則y＝(3000＋50x)(70－x)－100(70－x)＝(2900＋50x)(70－x)＝50(58＋x)(70－x)≤50eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(58＋x＋70－x,2)))2＝204800，當(dāng)且僅當(dāng)58＋x＝70－x，即x＝6時(shí)，等號(hào)成立，故每月租金定為3000＋300＝3300(元)時(shí)，公司獲得最大利潤．答案：330021．(2018·全國卷Ⅰ)從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有________種．(用數(shù)字填寫答案)解析：法一：(直接法)按參加的女生人數(shù)可分兩類：只有1位女生參加有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)種，有2位女生參加有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,4)種．故共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,4)＝2×6＋4＝16(種)．法二：(間接法)從2位女生，4位男生中選3人，共有Ceq\o\al(3,6)種情況，沒有女生參加的情況有Ceq\o\al(3,4)種，故共有Ceq\o\al(3,6)－Ceq\o\al(3,4)＝20－4＝16(種)．答案：1622．使用“□”和“○”按照如下規(guī)律從左到右進(jìn)行排位：□，○，□，○，○，○，□，○，○，○，○，○，□，○，○，○，○，○，○，○，…，若每一個(gè)“□”或“○”占一個(gè)位置，如上述圖形中，第1位是“□”，第4位是“○”，第7位是“□”，則第2019位之前(不含第2019位)，共有______個(gè)“○”．解析：記“□，○”為第1組，“□，○，○，○”為第2組，“□，○，○，○，○，○”為第3組，以此類推，第k組共有2k個(gè)圖形，故前k組共有k(k＋1)個(gè)圖形，因?yàn)?4×45＝1980<2018<45×46＝2070，所以在這2018個(gè)圖形中有45個(gè)“□”，1973個(gè)“○”．答案：197323．(2018·東北三校聯(lián)考)甲、乙、丙三位教師分別在哈爾濱、長(zhǎng)春、沈陽的三所中學(xué)里教不同的