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文檔簡介

江西南昌十所重點中學(xué)2024屆高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設(shè)、,數(shù)列滿足,,,則()A.對于任意,都存在實數(shù),使得恒成立B.對于任意,都存在實數(shù),使得恒成立C.對于任意,都存在實數(shù),使得恒成立D.對于任意,都存在實數(shù),使得恒成立2.若復(fù)數(shù),則()A. B. C. D.203.“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”學(xué)習(xí)平臺是由中宣部主管,以深入學(xué)習(xí)宣傳新時代中國特色社會主義思想為主要內(nèi)容,立足全體黨員?面向全社會的優(yōu)質(zhì)平臺,現(xiàn)日益成為老百姓了解國家動態(tài)?緊跟時代脈搏的熱門?該款軟件主要設(shè)有“閱讀文章”?“視聽學(xué)習(xí)”兩個學(xué)習(xí)模塊和“每日答題”?“每周答題”?“專項答題”?“挑戰(zhàn)答題”四個答題模塊?某人在學(xué)習(xí)過程中,“閱讀文章”不能放首位,四個答題板塊中有且僅有三個答題板塊相鄰的學(xué)習(xí)方法有()A.60 B.192 C.240 D.4324.將函數(shù)的圖象向右平移個周期后,所得圖象關(guān)于軸對稱,則的最小正值是()A. B. C. D.5.已知集合(),若集合,且對任意的,存在使得,其中,,則稱集合A為集合M的基底.下列集合中能作為集合的基底的是()A. B. C. D.6.已知函數(shù)的圖像向右平移個單位長度后,得到的圖像關(guān)于軸對稱,,當(dāng)取得最小值時,函數(shù)的解析式為()A. B.C. D.7.已知我市某居民小區(qū)戶主人數(shù)和戶主對戶型結(jié)構(gòu)的滿意率分別如圖和如圖所示,為了解該小區(qū)戶主對戶型結(jié)構(gòu)的滿意程度,用分層抽樣的方法抽取的戶主進(jìn)行調(diào)查,則樣本容量和抽取的戶主對四居室滿意的人數(shù)分別為A.240,18 B.200,20C.240,20 D.200,188.設(shè)等差數(shù)列的前項和為,若,則()A.23 B.25 C.28 D.299.設(shè)是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)()A. B. C. D.10.若函數(shù)的圖象經(jīng)過點,則函數(shù)圖象的一條對稱軸的方程可以為()A. B. C. D.11.已知集合,則=A. B. C. D.12.給定下列四個命題:①若一個平面內(nèi)的兩條直線與另一個平面都平行,則這兩個平面相互平行;②若一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線,則這兩個平面相互垂直;③垂直于同一直線的兩條直線相互平行;④若兩個平面垂直,那么一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直.其中,為真命題的是()A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.不等式的解集為________14.已知實數(shù)滿足,則的最大值為________.15.如圖,在中,,,,點在邊上,且,將射線繞著逆時針方向旋轉(zhuǎn),并在所得射線上取一點,使得,連接,則的面積為__________.16.?dāng)?shù)列的前項和為,數(shù)列的前項和為,滿足,,且.若任意,成立,則實數(shù)的取值范圍為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,四邊形中,,,,沿對角線將翻折成,使得.(1)證明:;(2)求直線與平面所成角的正弦值.18.(12分)已知分別是橢圓的左焦點和右焦點,橢圓的離心率為是橢圓上兩點,點滿足.(1)求的方程;(2)若點在圓上,點為坐標(biāo)原點,求的取值范圍.19.(12分)已知在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù).).以坐標(biāo)原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為,曲線與直線其中的一個交點為,且點極徑.極角(1)求曲線的極坐標(biāo)方程與點的極坐標(biāo);(2)已知直線的直角坐標(biāo)方程為,直線與曲線相交于點(異于原點),求的面積.20.(12分)如圖,在三棱錐A-BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,點E,F(xiàn)(E與A,D不重合)分別在棱AD,BD上,且EF⊥AD.求證:(1)EF∥平面ABC;(2)AD⊥AC.21.(12分)已知為坐標(biāo)原點,單位圓與角終邊的交點為,過作平行于軸的直線,設(shè)與終邊所在直線的交點為,.(1)求函數(shù)的最小正周期;(2)求函數(shù)在區(qū)間上的值域.22.(10分)已知函數(shù)的最大值為2.(Ⅰ)求函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間;(Ⅱ)中,,角所對的邊分別是,且,求的面積.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

取,可排除AB;由蛛網(wǎng)圖可得數(shù)列的單調(diào)情況,進(jìn)而得到要使,只需,由此可得到答案.【詳解】取,,數(shù)列恒單調(diào)遞增,且不存在最大值,故排除AB選項;由蛛網(wǎng)圖可知,存在兩個不動點,且,,因為當(dāng)時,數(shù)列單調(diào)遞增,則;當(dāng)時,數(shù)列單調(diào)遞減,則;所以要使,只需要,故,化簡得且.故選:D.【點睛】本題考查遞推數(shù)列的綜合運(yùn)用,考查邏輯推理能力,屬于難題.2、B【解析】

化簡得到,再計算模長得到答案.【詳解】,故.故選:.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算,復(fù)數(shù)的模,意在考查學(xué)生的計算能力.3、C【解析】

四個答題板塊中選三個捆綁在一起,和另外一個答題板塊用插入法.注意按“閱讀文章”分類.【詳解】四個答題板塊中選三個捆綁在一起,和另外一個答題板塊用插入法,由于“閱讀文章”不能放首位,因此不同的方法數(shù)為.故選:C.【點睛】本題考查排列組合的應(yīng)用,考查捆綁法和插入法求解排列問題.對相鄰問題用捆綁法,不相鄰問題用插入法是解決這類問題的常用方法.4、D【解析】

由函數(shù)的圖象平移變換公式求出變換后的函數(shù)解析式,再利用誘導(dǎo)公式得到關(guān)于的方程,對賦值即可求解.【詳解】由題意知,函數(shù)的最小正周期為,即,由函數(shù)的圖象平移變換公式可得,將函數(shù)的圖象向右平移個周期后的解析式為,因為函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱,所以,即,所以當(dāng)時,有最小正值為.故選:D【點睛】本題考查函數(shù)的圖象平移變換公式和三角函數(shù)誘導(dǎo)公式及正余弦函數(shù)的性質(zhì);熟練掌握誘導(dǎo)公式和正余弦函數(shù)的性質(zhì)是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、??碱}型.5、C【解析】

根據(jù)題目中的基底定義求解.【詳解】因為,,,,,,所以能作為集合的基底,故選:C【點睛】本題主要考查集合的新定義,還考查了理解辨析的能力,屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

先求出平移后的函數(shù)解析式,結(jié)合圖像的對稱性和得到A和.【詳解】因為關(guān)于軸對稱,所以,所以,的最小值是.,則,所以.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖像變換及性質(zhì).平移圖像時需注意x的系數(shù)和平移量之間的關(guān)系.7、A【解析】

利用統(tǒng)計圖結(jié)合分層抽樣性質(zhì)能求出樣本容量,利用條形圖能求出抽取的戶主對四居室滿意的人數(shù).【詳解】樣本容量為:(150+250+400)×30%=240,∴抽取的戶主對四居室滿意的人數(shù)為:故選A.【點睛】本題考查樣本容量和抽取的戶主對四居室滿意的人數(shù)的求法,是基礎(chǔ)題,解題時要認(rèn)真審題,注意統(tǒng)計圖的性質(zhì)的合理運(yùn)用.8、D【解析】

由可求,再求公差,再求解即可.【詳解】解:是等差數(shù)列,又,公差為,,故選:D【點睛】考查等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)、運(yùn)算求解能力和推理論證能力,是基礎(chǔ)題.9、D【解析】

利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,化簡復(fù)數(shù),即可求解,得到答案.【詳解】由題意,復(fù)數(shù),故選D.【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,其中解答中熟記復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則是解答的關(guān)鍵,著重考查了運(yùn)算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

由點求得的值,化簡解析式,根據(jù)三角函數(shù)對稱軸的求法,求得的對稱軸,由此確定正確選項.【詳解】由題可知.所以令,得令,得故選:B【點睛】本小題主要考查根據(jù)三角函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)求參數(shù),考查三角恒等變換,考查三角函數(shù)對稱軸的求法,屬于中檔題.11、C【解析】

本題考查集合的交集和一元二次不等式的解法,滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).采取數(shù)軸法,利用數(shù)形結(jié)合的思想解題.【詳解】由題意得,,則.故選C.【點睛】不能領(lǐng)會交集的含義易致誤,區(qū)分交集與并集的不同,交集取公共部分,并集包括二者部分.12、D【解析】

利用線面平行和垂直,面面平行和垂直的性質(zhì)和判定定理對四個命題分別分析進(jìn)行選擇.【詳解】當(dāng)兩個平面相交時,一個平面內(nèi)的兩條直線也可以平行于另一個平面,故①錯誤;由平面與平面垂直的判定可知②正確;空間中垂直于同一條直線的兩條直線還可以相交或者異面,故③錯誤;若兩個平面垂直,只有在一個平面內(nèi)與它們的交線垂直的直線才與另一個平面垂直,故④正確.綜上,真命題是②④.故選:D【點睛】本題考查命題真假的判斷,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查空間想象能力,是中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

通過平方,將無理不等式化為有理不等式求解即可。【詳解】由得,解得,所以解集是?!军c睛】本題主要考查無理不等式的解法。14、【解析】

作出不等式組所表示的平面區(qū)域,將目標(biāo)函數(shù)看作點與可行域的點所構(gòu)成的直線的斜率,當(dāng)直線過時,直線的斜率取得最大值,代入點A的坐標(biāo)可得答案.【詳解】畫出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域,如下圖所示,由得點,目標(biāo)函數(shù)表示點與可行域的點所構(gòu)成的直線的斜率,當(dāng)直線過時,直線的斜率取得最大值,此時的最大值為.故答案為:.【點睛】本題考查求目標(biāo)函數(shù)的最值,關(guān)鍵在于明確目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,屬于中檔題.15、【解析】

由余弦定理求得,再結(jié)合正弦定理得,進(jìn)而得,得,則面積可求【詳解】由,得,解得.因為,所以,,所以.又因為,所以.因為,所以.故答案為【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力,是中檔題16、【解析】

當(dāng)時,,可得到,再用累乘法求出,再求出,根據(jù)定義求出,再借助單調(diào)性求解.【詳解】解:當(dāng)時,,則,,當(dāng)時,,,,,,(當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立),,故答案為:.【點睛】本題主要考查已知求,累乘法,主要考查計算能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見證明;(2)【解析】

(1)取的中點,連.可證得,,于是可得平面,進(jìn)而可得結(jié)論成立.(2)運(yùn)用幾何法或向量法求解可得所求角的正弦值.【詳解】(1)證明:取的中點,連.∵,∴.又,∴.在中,,∴.又,∴平面,又平面,∴.(2)解法1:取的中點,連結(jié),∵,∴,又,∴.又由題意得為等邊三角形,∴,∵,∴平面.作,則有平面,∴就是直線與平面所成的角.設(shè),則,在等邊中,.又在中,,故.在中,由余弦定理得,∴,∴直線與平面所成角的正弦值為.解法2:由題意可得,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè),則在直角三角形中,可得,作于,則有平面幾何知識可得,∴.又可得,.∴,.設(shè)平面的一個法向量為,由,得,令,則得.又,設(shè)直線與平面所成的角為,則.所以直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】利用向量法求解直線和平面所成角時,關(guān)鍵點是恰當(dāng)建立空間直角坐標(biāo)系,確定斜線的方向向量和平面的法向量.解題時通過平面的法向量和直線的方向向量來求,即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補(bǔ)角,取其余角就是斜線與平面所成的角.求解時注意向量的夾角與線面角間的關(guān)系.18、(1);(2).【解析】

(1)根據(jù)焦點坐標(biāo)和離心率,結(jié)合橢圓中的關(guān)系,即可求得的值,進(jìn)而得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)設(shè)出直線的方程為,由題意可知為中點.聯(lián)立直線與橢圓方程,由韋達(dá)定理表示出,由判別式可得;由平面向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積定義,化簡可得,代入弦長公式化簡;由中點坐標(biāo)公式可得點的坐標(biāo),代入圓的方程,化簡可得,代入數(shù)量積公式并化簡,由換元法令,代入可得,再令及,結(jié)合函數(shù)單調(diào)性即可確定的取值范圍,即確定的取值范圍,因而可得的取值范圍.【詳解】(1)分別是橢圓的左焦點和右焦點,則,橢圓的離心率為則解得,所以,所以的方程為.(2)設(shè)直線的方程為,點滿足,則為中點,點在圓上,設(shè),聯(lián)立直線與橢圓方程,化簡可得,所以則,化簡可得,而由弦長公式代入可得為中點,則點在圓上,代入化簡可得,所以令,則,,令,則令,則,所以,因為在內(nèi)單調(diào)遞增,所以,即所以【點睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求法,直線與橢圓的位置關(guān)系綜合應(yīng)用,由韋達(dá)定理研究參數(shù)間的關(guān)系,平面向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算,弦長公式的應(yīng)用及換元法在求取值范圍問題中的綜合應(yīng)用,計算量大,屬于難題.19、(1)極坐標(biāo)方程為,點的極坐標(biāo)為(2)【解析】

(1)利用極坐標(biāo)方程、普通方程、參數(shù)方程間的互化公式即可;(2)只需算出A、B兩點的極坐標(biāo),利用計算即可.【詳解】(1)曲線C:(為參數(shù),),將代入,解得,即曲線的極坐標(biāo)方程為,點的極坐標(biāo)為.(2)由(1),得點的極坐標(biāo)為,由直線過原點且傾斜角為,知點的極坐標(biāo)為,.【點睛】本題考查極坐標(biāo)方程、普通方程、參數(shù)方程間的互化以及利用極徑求三角形面積,考查學(xué)生的運(yùn)算能力,是一道基礎(chǔ)題.20、(1)見解析(2)見解析【解析】試題分析:(1)先由平面幾何知識證明,再由線面平行判定定理得結(jié)論;(2)先由面面垂直性質(zhì)定理得平面,則,再由AB⊥AD及線面垂直判定定理得AD⊥平面ABC,即可得AD⊥AC.試題解析:證明:(1)在平面內(nèi),因為AB⊥AD,,所以.又因為平面ABC,平面ABC,所以EF∥平面ABC

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