【奧數(shù)競賽對數(shù)學(xué)發(fā)散性思維的培養(yǎng)6700字（論文）】

奧數(shù)競賽對數(shù)學(xué)發(fā)散性思維的培養(yǎng)目錄TOC\o"1-3"\h\u1引言 12有關(guān)概念界定 22.1奧數(shù)競賽的內(nèi)容 22.2數(shù)學(xué)發(fā)散性思維概念 23奧數(shù)對發(fā)散思維發(fā)展的培養(yǎng) 23.1全面、扎實(shí)的基礎(chǔ)知識 23.2多角度思考問題 33.3清晰的數(shù)學(xué)思維 33.4轉(zhuǎn)變學(xué)生的思維方式 43.5營造寬松的課堂氣氛 43.6激發(fā)學(xué)生探究的欲望 54案例分析 64.1鼓勵一題多解，訓(xùn)練思維流暢性 64.2爭取一題巧解.挖掘思維獨(dú)特性 75結(jié)論 9參考文獻(xiàn) 9摘要：在應(yīng)試教育的大背景下，學(xué)校培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維有一定的難度.數(shù)學(xué)奧林匹克競賽中思維雖然難度較大，但能夠真正培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，然而用數(shù)學(xué)的創(chuàng)造性思維思考問題，解決問題，課堂教學(xué)又是極為重要的.因此，如何在奧數(shù)競賽中去使學(xué)生養(yǎng)成發(fā)散性思維，怎樣創(chuàng)新把養(yǎng)成學(xué)生思維水平與教學(xué)的不同階段相融合，讓每個學(xué)生皆可以實(shí)現(xiàn)良性發(fā)展，這是我們需要注重的.本文以奧數(shù)對學(xué)生發(fā)散思維的影響為切入點(diǎn)，對學(xué)生的培養(yǎng)途徑進(jìn)行研究.關(guān)鍵詞：奧數(shù)競賽；數(shù)學(xué)發(fā)散思維；培養(yǎng)中圖分類號：O1431引言擁有創(chuàng)造性的思維模式和創(chuàng)造能力是人才培養(yǎng)的主要目的，而創(chuàng)造性思維的重要構(gòu)成部分則是發(fā)散性思維，可以應(yīng)對思維方法和角度的變化，能夠從許多層面和角度、許多方面，更好地理解問題或得出新結(jié)論.發(fā)散思維不受特定問題解決模型的約束.它從問題的性質(zhì)出發(fā)，從不同方向和角度的假設(shè)，擴(kuò)展和發(fā)展中尋求共同的規(guī)范和差異.它有助于培養(yǎng)善于觀察，互動，提出問題，思考和獨(dú)特改變能力的學(xué)生.因此對于學(xué)生來說，發(fā)展不一樣的思維比闡述知識要點(diǎn)更為重要.在教學(xué)環(huán)節(jié)中我們需要充分強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思維教育的重要性.近幾年來，數(shù)學(xué)奧林匹克競賽引起了諸多外界的關(guān)注和爭議，既有人表示強(qiáng)烈反對，也有不少親身經(jīng)歷的人對奧數(shù)表明充分的積極肯定的態(tài)度.那么數(shù)學(xué)奧林匹克競賽和發(fā)展創(chuàng)造性思維到底有什么關(guān)系呢？構(gòu)成多樣化和創(chuàng)造性思維是奧林匹克數(shù)學(xué)解決問題的創(chuàng)新想法，有一定數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的孩子能夠通過自主思考和教師的啟發(fā)，能夠誕生主動探究難題的興趣，并逐漸領(lǐng)悟怎樣大幅度動用用自己的頭腦，展現(xiàn)出自己的最大潛能，并且能夠積極主動地解決難題，享受著攻克難題后帶來的成功喜悅的感覺，從而引起他們對于學(xué)習(xí)的信心和興趣.因此對于學(xué)生的而說，發(fā)展不同的思維比闡明知識要點(diǎn)更為重要，因此我們需要充分強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思維教育的目的。本課題運(yùn)用的研究方法采用的是文獻(xiàn)法、案例分析法。主要是通過查找閱讀大量的資料文獻(xiàn)以及鉆研探究奧數(shù)競賽題目，對奧數(shù)競賽對發(fā)散思維的培養(yǎng)作用進(jìn)行探究，探索奧數(shù)對學(xué)生的思維產(chǎn)生了怎樣的影響，找尋對學(xué)生發(fā)散思維培養(yǎng)的依據(jù)，主要通過典型例題來支撐論文的觀點(diǎn)，總結(jié)奧數(shù)競賽賽題的解題思路和方法，探索奧數(shù)競賽從各方面對學(xué)生思維能力培養(yǎng)，然后分析奧數(shù)競賽對數(shù)學(xué)發(fā)散性思維的培養(yǎng)作用，最后通過例題進(jìn)行證明。2有關(guān)概念界定2.1奧數(shù)競賽的內(nèi)容奧數(shù)并非數(shù)學(xué)奧林匹克，很多人往往弄混.它的簡稱是奧林匹克數(shù)學(xué).在中國奧數(shù)涵蓋了數(shù)學(xué)競賽和具有一定難度的數(shù)學(xué)題目.在小學(xué)時期，在輔導(dǎo)機(jī)構(gòu)所學(xué)習(xí)的難題被稱作奧數(shù)，難度較大的數(shù)學(xué)題和數(shù)學(xué)競賽也統(tǒng)稱為奧數(shù).其學(xué)習(xí)的關(guān)鍵部分為思考階段與理念方法，以增強(qiáng)學(xué)生的思維意識，使不同階段的學(xué)生可以獲得不同的感受[2].線下授課主要是普遍、一般的初級教育，而奧數(shù)作為學(xué)生自身開發(fā)智力的行為.它的實(shí)質(zhì)為工具，例如輪船、汽車、飛機(jī)作為交通工具，人們不會由于其危險性則放棄使用它們.奧數(shù)作為培養(yǎng)學(xué)生思維的載體，指引學(xué)生在處理問題同時還能學(xué)會鉆研、學(xué)會思考.2.2數(shù)學(xué)發(fā)散性思維概念數(shù)學(xué)發(fā)散性思維在創(chuàng)新行為中起著非常重要的影響：首先，它可以滋生豐富的想象.為創(chuàng)新行為提供豐富的素材，在之后的過程中產(chǎn)生較多的策略，能讓大眾享有多樣的選擇.其次，能夠掙脫慣性思維的約束[5].由于循環(huán)出現(xiàn)多次的行為能讓人滋生慣性思維，進(jìn)一步發(fā)展成思想定勢，約束創(chuàng)新思想的發(fā)展，對創(chuàng)造性行為的發(fā)生不利.可變性追求的是思路的轉(zhuǎn)換，其不但跨度大，數(shù)量多，且思維轉(zhuǎn)變大，順暢性要求的是產(chǎn)生的速度與思維方案的多少，而獨(dú)特性不僅具備此二類，此外追求超乎想象、與眾不同的成效[3].此三種特質(zhì)對應(yīng)發(fā)散思維的不同層次，分別為其本質(zhì)、速度和靈敏度.創(chuàng)造思維是以發(fā)散性思維為主，它是衡量創(chuàng)造力的標(biāo)尺.3奧數(shù)對發(fā)散思維發(fā)展的培養(yǎng)3.1全面、扎實(shí)的基礎(chǔ)知識知識顯示了人們對事物內(nèi)在本質(zhì)的認(rèn)知能力，同時展現(xiàn)了外部空間的規(guī)律.知識并非僅僅為數(shù)量多，除此之外應(yīng)當(dāng)具備涵括合理的知識架構(gòu)，知識新穎與質(zhì)量，健全的知識層次.科學(xué)的知識為創(chuàng)造力的主體，創(chuàng)造需要將現(xiàn)存的觀念再次排列融合，因此養(yǎng)成發(fā)散思維則一定需擁有綜合牢固的知識[1].老師第一要讓學(xué)生了解到，無論多么聰慧的頭腦都要有知識的凝結(jié).如果缺失之前刻苦的努力，未積累經(jīng)驗，其思維則為“無本之木，無源之水”，不能得到實(shí)效，從而無法成為天才.第二是老師要在教學(xué)里指引學(xué)生探索題目里的規(guī)律與含義，學(xué)會概括、提煉其蘊(yùn)藏的深層含義，當(dāng)其吃透相關(guān)知識、方法，方可奠定養(yǎng)成發(fā)散思維的基礎(chǔ).若對矛盾了解甚微，或匱乏對應(yīng)的經(jīng)驗與知識儲備，則難以“發(fā)散”.由于奧數(shù)的廣度與深度，其要求更多且高.發(fā)散思維產(chǎn)生的基礎(chǔ)時期應(yīng)把握堅實(shí)的知識，累積一些技巧經(jīng)驗，達(dá)到內(nèi)省與把握數(shù)學(xué)的效果[4].所以其并非無跡可尋，更不能說是胡亂編造的，相反是將一些思維行為方式、知識構(gòu)造與積累作為基礎(chǔ)，缺失此類因素，發(fā)散思維則為無本之木.解題經(jīng)驗豐富的人第一步將弄清題意，然后確定題型，憑借發(fā)散尋求此種題目的全部知識，找出大概道路.由于知識儲備為發(fā)散思維產(chǎn)生的基礎(chǔ)，因此其越全面多樣，大腦里就有越多有效的信息，越容易產(chǎn)生解題思路.因此，要解答奧數(shù)問題，就必須理解和掌握豐富的知識與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)解題技巧.3.2多角度思考問題僅僅從不同方向分析問題才能綜合了解，如此更貼近實(shí)質(zhì)，提出更科學(xué)合理的判定，采用合理的技巧.奧數(shù)發(fā)源于普數(shù)，是它的延伸和拓展，因此與普數(shù)更相比會更具難度.普數(shù)僅僅企圖把握一種技能知識，奧數(shù)則是不同知識技能的融合運(yùn)用，要求學(xué)生更多.在平時的學(xué)習(xí)里，學(xué)生受自身的思維模式、年齡特征、知識水平、經(jīng)驗儲備等條件的限制，大多僅僅由一個層面、一個角度去思考、觀察，加之思維定勢，引起了其處理辦法的單一與思維的淺顯，將會有礙于學(xué)生思路的拓展與延伸.奧數(shù)借助題型推廣或不同題目變形，培養(yǎng)學(xué)生多方面吸收知識，了解知識間的關(guān)聯(lián)，使其充分發(fā)展靈活性與變通性，拓寬思維，不但鍛煉了學(xué)生靈活使用不同思維水平，而且養(yǎng)成了其舉一反三的習(xí)慣，對其發(fā)展有利.3.3清晰的數(shù)學(xué)思維清楚的思維即富有邏輯的思維，其為推算的階段.它篩選有效信息，獲得合理的結(jié)果.其憑借剖析信息，尋求相關(guān)聯(lián)系來解題.在此時期，判定是連續(xù)的，矛盾的處理辦法源于現(xiàn)實(shí).憑借訓(xùn)練學(xué)生思維，拓展其答題思路，進(jìn)一步取得相關(guān)技巧方法，推動學(xué)生形成解題敏感力，增強(qiáng)解題水平.奧數(shù)里存在大量可以引發(fā)學(xué)生產(chǎn)生發(fā)散思維的不同題型，譬如“策略問題”、“植樹造林問題”、“年齡差異問題”、“行程距離問題”等等.此類題目激勵學(xué)生積極思考，啟示其把握事件的關(guān)聯(lián)和實(shí)質(zhì)，將學(xué)生完善思考時跳躍、模糊之處，提取拔高到理念層面，以實(shí)現(xiàn)其思維發(fā)展.憑借對題目的理解，能夠在起初的知識框架里挑選出符合處理當(dāng)前問題的技能與知識，匯成一系列處理現(xiàn)今問題的方法;若當(dāng)前的知識架構(gòu)無法處理問題，則對之前的展開重新結(jié)合來處理問題.學(xué)生歷經(jīng)對問題和條件的剖析，產(chǎn)生猜想且不斷試驗，不斷地修正假設(shè).在反反復(fù)復(fù)過程中，學(xué)生的發(fā)散思維得到展現(xiàn)，發(fā)散思維能力得到發(fā)展，如果成功，學(xué)生會考慮是否有類似的例子并發(fā)展新的理論.3.4轉(zhuǎn)變學(xué)生的思維方式思維方式具備了理解性、目的性、條理性等特質(zhì)，能夠保證學(xué)生的學(xué)習(xí)方向可以依據(jù)合理的目標(biāo)與方向展開進(jìn)行，對其獲取知識有利，能夠加深其對知識的理解.學(xué)生擁有靈敏的觀察力，更易接受外界的刺激，從而迅速的弄清不同混亂資訊，把握問題的中心，剖析其本質(zhì)，進(jìn)一步解決問題.實(shí)際上觀察也能夠作為一種答題手段.憑借注意題目的要求與條件，剖析隱藏信息，探究其圖形的變化規(guī)律與數(shù)據(jù)聯(lián)系，有助于學(xué)生進(jìn)行思維的變通過程，理清數(shù)量之間的關(guān)系，洞察結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系.奧數(shù)培訓(xùn)憑借把握不同觀察方式，清晰的觀察目標(biāo)，合理的觀察步驟，促使學(xué)生使用不同感官展開觀察，最終借助相關(guān)程序訓(xùn)練其觀察水平.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、圖示法、操作法等方式引導(dǎo)學(xué)生改變思維方法，促進(jìn)觀察能力的提高.例如“比例和比問題”、“速算和簡算問題”、“分?jǐn)?shù)應(yīng)用問題”、“圖形應(yīng)用問題”.在答題過程中，運(yùn)用由數(shù)想形，由形思數(shù)的思考方式，能夠讓學(xué)生更好地理解數(shù)量關(guān)系的轉(zhuǎn)變，培養(yǎng)學(xué)生敏銳的觀察力，推動學(xué)生思維延展.3.5營造寬松的課堂氣氛數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)為充分的自由思考，此為數(shù)學(xué)身為一門學(xué)科的重點(diǎn).其創(chuàng)新的基礎(chǔ)也為自由且充分的思考.因此想使學(xué)生養(yǎng)成創(chuàng)新性思維水平，則必須要為其構(gòu)建自由輕松的精神氛圍與教學(xué)環(huán)境，由于學(xué)生心理源于周遭環(huán)境，有關(guān)探究表明，對學(xué)生發(fā)散性思維有作用的精神氛圍的創(chuàng)造，有二個前提：分別是“心理自由”前提與“心理安全前提.心理自由前提推動學(xué)生能說能想；心理安全前提幫助學(xué)生敢說敢想.營造輕松的課堂氛圍應(yīng)從此三個層面出發(fā)：第一，建立尊重和諧的教于學(xué)關(guān)系，打造優(yōu)異的創(chuàng)造環(huán)境.教師要明確教學(xué)中的地位，并非課堂中心的決斷和主導(dǎo)者，要變成課堂教學(xué)中的啟發(fā)者、引導(dǎo)者、啟發(fā)者、示范者.教師要當(dāng)學(xué)生的好朋友與引導(dǎo)者，則應(yīng)看重課上師生溝通，老師用幽默、輕塊的語言引導(dǎo)學(xué)生，按照其積極性來制定提問的方式與內(nèi)容，使學(xué)生能夠一直維持輕松愉快而又積極進(jìn)取的心態(tài).在教學(xué)過程中，使用問題來刺激學(xué)生的求知欲，運(yùn)用平等交流來處理困難.第二，合理評判學(xué)生的思維.課堂環(huán)境對于學(xué)生的思維十分重要.學(xué)生的思維會比較活躍如果處在比較放松的課堂環(huán)境中，這樣學(xué)生的精神會相對放松，遇到問題，就會產(chǎn)生各種各樣的想法，但往往產(chǎn)生的這些想法都是不完整的，有的想法甚至不正確，這時候作為教師來講，雖然知道這些想法的對錯與否，怎樣合理的反饋不會傷害到學(xué)生的積極性，是作為教師應(yīng)該解決的問題.每個人都希望能得到他人的認(rèn)同，學(xué)生也一樣，因此評價時要注重情感表達(dá)，保護(hù)學(xué)生的成就感.為了能提高學(xué)生的全面發(fā)展，教師要給予學(xué)生適當(dāng)?shù)脑u價，切忌粗暴打斷或者夸大其詞，這樣不僅會激起學(xué)生產(chǎn)生對著干的意識，還會打擊學(xué)生思考的積極性，所以老師應(yīng)該多給予學(xué)生正能量，多多鼓勵他們，讓他們從內(nèi)心感覺到自己被肯定.3.6激發(fā)學(xué)生探究的欲望首先，要激發(fā)學(xué)生的探知欲，就要全方位考慮到學(xué)生的生心發(fā)展，學(xué)生的身心發(fā)展隨著不同的成長過程產(chǎn)生了不一樣的特征.隨著身心的發(fā)展，學(xué)生面臨升學(xué)的壓力，開始有了獨(dú)立的見解，同時抽象邏輯思維和形式邏輯思維也開始有了發(fā)展的苗頭，學(xué)生更加重視自己的未來發(fā)展.作為教師要不斷嘗試新方法通過鍛煉學(xué)生思維來提高他們成績.依據(jù)學(xué)生的年齡特點(diǎn)制定對應(yīng)的奧數(shù)教學(xué)內(nèi)容，將課堂上所學(xué)的知識與有趣的奧數(shù)現(xiàn)象相聯(lián)系，并運(yùn)用到現(xiàn)實(shí)生活中，激發(fā)學(xué)生渴求知識的欲望，鼓勵學(xué)生思考，主動學(xué)習(xí)奧數(shù)知識，探求解題辦法，在過程中領(lǐng)悟到學(xué)習(xí)奧數(shù)知識的快樂，體會數(shù)學(xué)的樂趣與思考.比如學(xué)生在思考問題時，突然想到解題辦法，這種突如其來的驚喜激發(fā)了學(xué)生對數(shù)學(xué)的研究以及對知識的渴望.再者，進(jìn)行教學(xué)時應(yīng)該注意教學(xué)之間的銜接，學(xué)生學(xué)知識同教學(xué)一樣需要由簡到繁，由近及遠(yuǎn)，由淺入深.在解決復(fù)雜的分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)之前要學(xué)會例和比；對于奧數(shù)的行程問題，只有學(xué)習(xí)了簡單的路程相遇問題才能解決較為復(fù)雜的追及問題.對于學(xué)生的知識水平，奧數(shù)不是越深奧、越難才能體現(xiàn)，若一味的提高難度，把奧數(shù)知識變難，超過學(xué)生現(xiàn)有的數(shù)學(xué)知識儲量，學(xué)生不但不能理解反而適得其反，只能機(jī)械的重復(fù)，這樣不僅不利于學(xué)生開拓思維的延伸，反而禁錮了他們的思維變通性和靈活性.作為教師，要認(rèn)真研究分析學(xué)生學(xué)習(xí)的知識、技能和方法三者之間的關(guān)系與聯(lián)系，將學(xué)生的現(xiàn)有水平和奧數(shù)之間的差距了解清楚，能在可提高的范圍內(nèi)提高學(xué)生的水平是最好的.4案例分析4.1鼓勵一題多解，訓(xùn)練思維流暢性為了訓(xùn)練學(xué)生思維的流暢性，跳出解題時只使用一種方式的固有思維，應(yīng)該怎么做呢？例1比較兩個數(shù)的大小和解而所以.分析在比較和大小之前，先舉一個例子讓同學(xué)們學(xué)會去找中間變量.如，相比誰更大，找到一個中間變量2，兩數(shù)的分子與分母都相差2，所以可通過比較，大小就能判斷原數(shù)大小，明白這個解題思路，這道題的特怔就是分子都是比分母小固定的數(shù)值.所以，呢？于是可以引出下面解法：解：如果，兩個數(shù)都乘以10，會得到，，那么現(xiàn)在兩數(shù)的墳?zāi)苟际潜确肿哟?了.兩種解法類似，但是只一昧尋找中間變量的做法會固化學(xué)生的思維，如果忘記比較大小的最基本的做差方法，應(yīng)該簡化計算步驟.解：所以4.2爭取一題巧解.挖掘思維獨(dú)特性數(shù)學(xué)賽活動的開展，可以更好地發(fā)現(xiàn)和培養(yǎng)優(yōu)秀學(xué)生，訓(xùn)練學(xué)生發(fā)散思維大有裨益.在數(shù)解題教學(xué)中，不僅要引導(dǎo)學(xué)生深刻解基礎(chǔ)知識、基技能，還要讓學(xué)生解數(shù)學(xué)知識的精髓，提高學(xué)生的發(fā)散思維能力，從而提高分析間題、解決間題的能力，解決數(shù)中的一些難題.衡量解題水平的一個標(biāo)志是解題速度，在了解題目背景和知識后，選擇一種最佳的解題思路和方法或者特別的特殊解法，思維的獨(dú)特性起著十分重要的作用.教師在平時的解題教學(xué)中要時刻啟考學(xué)生思路，找出獨(dú)特的解題方法.例2已知是非負(fù)實(shí)數(shù)，且，求證解不妨設(shè)，則有，，因此由，以.另，，（）則有，分析：題目中條件和求證不等式中三元.的結(jié)構(gòu)形式，讓人容易聯(lián)想到三次多項式的韋達(dá)定理，因此考慮構(gòu)造多項式函數(shù)來解決.例3十四所學(xué)校的104名選手們來參加某地參加華杯賽決賽.試證明：一定有來自兩所學(xué)校的選手人數(shù)相同.證假如每個學(xué)校參賽人數(shù)都不同，參賽總?cè)藬?shù)最小值為，計算所得105與題目所給104名不一致，所以肯定有兩所學(xué)校選手人數(shù)相同的情況.分析首先閱讀完試題，發(fā)現(xiàn)試題只給了學(xué)校數(shù)目和總?cè)藬?shù)，其次，要根據(jù)每個學(xué)校參賽人數(shù)判斷是否有兩所學(xué)校人數(shù)相同.將所有可能的組合列出，這是十分困難和繁瑣的，有時候會少寫或?qū)戝e，所以可以換個方式解決思維受限問題.對于這道題，可以利用逆向思維.假如這14所學(xué)校參賽人數(shù)都不同，得出的結(jié)果與題目中所給的相矛盾，這問題就可以得到證明.例4已知數(shù)a和數(shù)b,根據(jù)公式c=ab+a+b，可得新數(shù)c,按此規(guī)律進(jìn)行數(shù)據(jù)擴(kuò)增.從a,b,c三個數(shù)中任意選擇其中兩個按上述公式進(jìn)行擴(kuò)增，每擴(kuò)增一次就稱之為一次操作.若只有2和3，能否完成操作得到擴(kuò)增新數(shù)5183呢？試解答并闡述理由.解2和3可以擴(kuò)增得到5183.理由如下：因為所以取數(shù)，可得新數(shù)：,,,即;同理可得;設(shè)擴(kuò)充后的新數(shù)為利用公式可得，其中均為整數(shù)；當(dāng),時，,又因為，所以5183可由2和3通過擴(kuò)增公式擴(kuò)充得到.分析閱讀本題，這是屬于“存在性”或者“是否能通過”一類的問題.這是一個一般性命題的特例，只需要按照題目要求進(jìn)行判斷即可，深入分析，是否可將本題改為一般性的命題，表示出新數(shù)的一般表達(dá)形式，在將題目所給定數(shù)值帶入，看其是否成立，若成立則證明可以擴(kuò)充，反則反之.例5從-3，-2，-1,0,3這五個數(shù)中隨機(jī)抽取一個數(shù)設(shè)為，作為函數(shù)和關(guān)于的一元二次方程中的的值.若恰好使函數(shù)的圖象經(jīng)過第一三象限，且使方程也有實(shí)數(shù)根，則求滿足條件的的值.解根據(jù)題意函數(shù)圖象經(jīng)過第一、三象限;所以，解得又因為一元二次方程有實(shí)數(shù)根，所以，,且解得綜上所述3,0,-1,-2,-3中符合條件的只有-2.分析本題主要考察學(xué)生對一次函數(shù)圖象的性質(zhì)是否了解，對一元二次方程根的判別式的掌握情況.根據(jù)函數(shù)圖像經(jīng)過一、三象限，一次函數(shù)的系數(shù)大于0，因此可求解的取值范圍;再根據(jù)一元二次方程也有實(shí)數(shù)根，寫出根的判別式又得到的另一取值范圍.綜上二者的交集，就是滿足條件的的值.5結(jié)論