第03講 簡(jiǎn)單事件的概率（4大考點(diǎn)）（解析版）

第03講簡(jiǎn)單事件的概率（4大考點(diǎn)）考點(diǎn)考點(diǎn)考向一、事件的可能性1、必然事件在一定條件下重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)，在每次試驗(yàn)中必然會(huì)發(fā)生的事件，叫做必然事件．2、不可能事件在每次試驗(yàn)中都不會(huì)發(fā)生的事件叫做不可能事件．3、隨機(jī)事件在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機(jī)事件.要點(diǎn)：必然發(fā)生的事件和不可能發(fā)生的事件均為“確定事件”，隨機(jī)事件又稱為“不確定事件”；4、事件可能性的大小要知道事件發(fā)生的可能性大小首先要確定事件是什么類型.一般地，必然發(fā)生的事件發(fā)生的可能性最大，不可能發(fā)生的事件發(fā)生的可能性最小，隨機(jī)事件發(fā)生的可能性有大有小，不同的隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小有可能不同.二、簡(jiǎn)單事件的概率1、概率的范圍（0≤P≤1）P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0；0＜P（隨機(jī)事件）＜12、概率的計(jì)算公式如果事件發(fā)生的各種可能性相同且相互排斥，結(jié)果總數(shù)為n，事件A包含其中的結(jié)果數(shù)為m（m≤n），那么事件A發(fā)生的概率為P（A）=.3、用列舉法和畫樹狀圖法求概率常用的列舉法有兩種：列表法和畫樹狀圖法.列表法當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及兩個(gè)因素，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時(shí)，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用列表法.列表法是用表格的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)生的可能的次數(shù)和方式，并求出概率的方法.要點(diǎn)：（1）列表法適用于各種情況出現(xiàn)的總次數(shù)不是很大時(shí)，求概率的問題；（2）列表法適用于涉及兩步試驗(yàn)的隨機(jī)事件發(fā)生的概率.畫樹狀圖法當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及3個(gè)或更多個(gè)因素時(shí)，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹形圖，也稱樹形圖、樹圖.樹形圖是用樹狀圖形的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)生的可能的次數(shù)和方式，并求出概率的方法.要點(diǎn)：(1)樹形圖法同樣適用于各種情況出現(xiàn)的總次數(shù)不是很大時(shí)，求概率的問題；(2)在用樹形圖法求可能事件的概率時(shí)，應(yīng)注意各種情況出現(xiàn)的可能性務(wù)必相同.用列舉法求概率的一般步驟（1）列舉（列表、畫樹狀圖）事件所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，并判斷所有結(jié)果發(fā)生的可能性是否都相等；（2）如果都相等，再確定所有可能的結(jié)果總數(shù)n和事件A包含其中的結(jié)果數(shù)m；（3）用公式計(jì)算所求事件A的概率.即P（A）=.三、用頻率估計(jì)概率概率的簡(jiǎn)單應(yīng)用1、頻率與概率定義頻率：在相同條件下重復(fù)n次實(shí)驗(yàn)，事件A發(fā)生的次數(shù)m與實(shí)驗(yàn)總次數(shù)n的比值.概率：事件A的頻率接近與某個(gè)常數(shù)，這時(shí)就把這個(gè)常數(shù)叫做事件A的概率，記作P（A）.2、頻率與概率的關(guān)系在相同條件下，當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)大量增加時(shí)，事件發(fā)生的頻率就穩(wěn)定在相應(yīng)的概率附近.因此我們可以通過大量重復(fù)試驗(yàn)，用一個(gè)事件發(fā)生的頻率來估計(jì)這一事件發(fā)生的概率.要點(diǎn)：（1）事件的概率是一個(gè)確定的常數(shù)，而頻率是不確定的，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)較少時(shí)，頻率的大小搖擺不定，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)增大時(shí)，頻率的大小波動(dòng)變小，并逐漸穩(wěn)定在概率附近.可見，概率是頻率的穩(wěn)定值，而頻率是概率的近似值；（2）頻率和概率在試驗(yàn)中可以非常接近，但不一定相等；（3）概率是事件在大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)中頻率逐漸穩(wěn)定到的值，但二者不能簡(jiǎn)單地等同，兩者存在一定的偏差是正常的，也是經(jīng)常的.3、利用頻率估計(jì)概率當(dāng)試驗(yàn)的可能結(jié)果不是有限個(gè)，或各種結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時(shí)，一般用統(tǒng)計(jì)頻率的方法來估計(jì)概率.要點(diǎn)：用試驗(yàn)去估計(jì)隨機(jī)事件發(fā)生的概率應(yīng)盡可能多地增加試驗(yàn)次數(shù)，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，結(jié)果將較為精確.考點(diǎn)精講考點(diǎn)精講一．可能性的大?。ü?小題）1．（2022?甌海區(qū)一模）一個(gè)不透明袋子中有3個(gè)紅球，4個(gè)白球，2個(gè)黑球，它們除顏色外其余都相同．從中任意摸出一個(gè)球是白球的可能性是（）A． B． C． D．【分析】用白球的個(gè)數(shù)除以球的總個(gè)數(shù)即可．【解答】解：從中任意摸出一個(gè)球共有9種等可能結(jié)果，其中摸出的球是白球的結(jié)果有4種，所以從中任意摸出一個(gè)球是白球的可能性是，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查可能性的大小，解題的關(guān)鍵是掌握隨機(jī)事件發(fā)生的可能性（概率）的計(jì)算方法．2．（2022?定海區(qū)一模）如圖，有5張形狀、大小、材質(zhì)均相同的卡片，正面分別印著北京2022年冬奧會(huì)的越野滑雪、速度滑冰、花樣滑冰、高山滑雪、單板滑雪大跳臺(tái)的體育圖標(biāo)，背面完全相同．現(xiàn)將這5張卡片洗勻并正面向下放在桌上，從中隨機(jī)抽取一張，抽出的卡片正面恰好是“滑冰”項(xiàng)目的圖案的可能性是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)概率公式求解即可．【解答】解：從中隨機(jī)抽取一張，抽出的卡片正面恰好是“滑冰”項(xiàng)目的圖案的可能性大小為，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查可能性的大小，解題的關(guān)鍵是掌握隨機(jī)事件發(fā)生的可能性（概率）的計(jì)算方法．3．（2022?杭州模擬）如圖是一個(gè)游戲轉(zhuǎn)盤．自由轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)后，指針落在數(shù)字1，2，3，4所示區(qū)域內(nèi)可能性最大的是（）A．1號(hào) B．2號(hào) C．3號(hào) D．4號(hào)【分析】先求出數(shù)字1對(duì)應(yīng)扇形圓心角度數(shù)，再比較圓心角度數(shù)大小即可．【解答】解：由圖形知，1對(duì)應(yīng)扇形圓心角度數(shù)為360°﹣（50°+125°+65°）＝120°，所以數(shù)字3對(duì)應(yīng)扇形圓心角度數(shù)最大，所以指針落在數(shù)字1，2，3，4所示區(qū)域內(nèi)可能性最大的是3號(hào)，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查可能性的大小，解題的關(guān)鍵是掌握隨機(jī)事件發(fā)生的可能性（概率）的計(jì)算方法．二．概率的意義（共4小題）4．（2022?海曙區(qū)校級(jí)開學(xué)）某校學(xué)生小明每天騎自行車上學(xué)時(shí)都要經(jīng)過一個(gè)十字路口，該十字路口有紅、黃、綠三色交通信號(hào)燈，他在路口遇到紅燈的概率為，遇到黃燈的概率為，那么他遇到綠燈的概率為．【分析】根據(jù)在路口遇到紅燈、黃燈、綠燈的概率之和是1，再根據(jù)在路口遇到紅燈的概率為，遇到黃燈的概率為，即可求出他遇到綠燈的概率．【解答】解：∵經(jīng)過一個(gè)十字路口，共有紅、黃、綠三色交通信號(hào)燈，∴在路口遇到紅燈、黃燈、綠燈的概率之和是1，∵在路口遇到紅燈的概率為，遇到黃燈的概率為，∴遇到綠燈的概率為1﹣＝；故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了概率的意義，用到的知識(shí)點(diǎn)是概率公式，如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）＝．5．（2021秋?越城區(qū)期末）小敏同學(xué)連續(xù)拋了兩次硬幣，都是正面朝上，那么他第三次拋硬幣時(shí)，出現(xiàn)正面朝上的概率是（）A．0 B．1 C． D．【分析】根據(jù)概率的意義判斷即可．【解答】解：小敏同學(xué)連續(xù)拋了兩次硬幣，都是正面朝上，那么他第三次拋硬幣時(shí)，出現(xiàn)正面朝上的概率是：，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了概率的意義，熟練掌握概率的意義是解題的關(guān)鍵．6．（2021秋?湖州期末）拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣2021次，正面朝上最有可能接近的次數(shù)為（）A．800 B．1000 C．1200 D．1400【分析】先求出拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上的概率即可解答．【解答】解：∵拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上的概率是，∴2021×≈1010，∴拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣2021次，正面朝上最有可能接近的次數(shù)為1000次，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了概率的意義，準(zhǔn)確求出拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上的概率是解題的關(guān)鍵．7．（2022?寧波模擬）一枚正方體骰子六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，若連續(xù)拋擲四次，朝上一面的點(diǎn)數(shù)都為6，則第五次拋擲朝上一面的點(diǎn)數(shù)為6的概率為．【分析】根據(jù)概率的意義，即可解答．【解答】解：一枚正方體骰子六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，若連續(xù)拋擲四次，朝上一面的點(diǎn)數(shù)都為6，則第五次拋擲朝上一面的點(diǎn)數(shù)為6的概率為：，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了概率的意義，熟練掌握概率的意義是解題的關(guān)鍵．三．游戲公平性（共1小題）8．（2022?柯橋區(qū)一模）甲乙兩人玩一個(gè)游戲，他們輪流從磚墻上拿下一塊或兩塊相鄰的磚．縫隙可能會(huì)產(chǎn)生的新的墻，墻只有一磚高．例如，如圖，一組（4，2）的墻磚可以通過一次操作變成以下中的任何一種：（3，2），（1，2，2），（2，1，2），（4），（4，1），（2，2）或（1，1，2）．若甲先開局，而拿下最后一塊磚的選手獲勝，對(duì)于以下開局，甲沒有必勝策略的開局是（）A．（6，1，1） B．（6，2，1） C．（6，3，1） D．（6，2，2）【分析】根據(jù)游戲規(guī)則總結(jié)規(guī)律然后分析各個(gè)選項(xiàng)得出結(jié)論即可．【解答】解：A選項(xiàng)中6個(gè)連續(xù)的磚墻無論先拿幾塊對(duì)方都能拿到最后一塊，后面的兩個(gè)1塊的磚墻需要拿兩次，∴A選項(xiàng)是甲沒有必勝策略的開局，故A選項(xiàng)符合題意；B選項(xiàng)中后面的一個(gè)2塊連續(xù)的墻磚，一個(gè)1塊的墻磚即可以分三次也能兩次拿完，∴6個(gè)連續(xù)的磚墻無論誰拿到最后一塊，甲都能拿下最后一塊磚，故B選項(xiàng)不符合題意；C選項(xiàng)先拿走6塊連續(xù)墻磚邊上的兩個(gè)，無論對(duì)方怎么拿都讓他拿到這6塊連續(xù)墻磚的最后一塊，然后拿3塊連續(xù)墻磚邊上的兩個(gè)即可保證甲能拿最后一塊；故C選項(xiàng)不符合題意；D選項(xiàng)同理B，后面的兩個(gè)2塊連續(xù)的墻磚，即可以分三次也能分四次拿完，∴6個(gè)連續(xù)的磚墻無論誰拿到最后一塊，甲都能拿下最后一塊磚，D選項(xiàng)不符合題意；故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查推理能力，根基游戲規(guī)則總結(jié)磚墻的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．四．利用頻率估計(jì)概率（共9小題）9．（2022?玉環(huán)市一模）在大量重復(fù)試驗(yàn)中，關(guān)于隨機(jī)事件發(fā)生的頻率與概率，下列說法正確的是（）A．頻率就是概率 B．頻率與試驗(yàn)次數(shù)無關(guān) C．概率是隨機(jī)的，與頻率無關(guān) D．隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率一般會(huì)越來越接近概率【分析】根據(jù)大量重復(fù)試驗(yàn)事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定到某個(gè)常數(shù)附近，可以用這個(gè)常數(shù)估計(jì)這個(gè)事件發(fā)生的概率解答．【解答】解：∵大量重復(fù)試驗(yàn)事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定到某個(gè)常數(shù)附近，可以用這個(gè)常數(shù)估計(jì)這個(gè)事件發(fā)生的概率，∴D選項(xiàng)說法正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用頻率估計(jì)概率的知識(shí)，大量重復(fù)試驗(yàn)事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定到某個(gè)常數(shù)附近，可以用這個(gè)常數(shù)估計(jì)這個(gè)事件發(fā)生的概率．10．（2022?麗水一模）在一個(gè)暗箱里放有a個(gè)除顏色外完全相同的球，這a個(gè)球中紅球只有3個(gè)．每次將球攪拌均勻后，任意摸出一個(gè)球，記下顏色后，再放回暗箱，通過大量的重復(fù)試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在25%．那么估計(jì)a大約有12個(gè)．【分析】在同樣條件下，大量反復(fù)試驗(yàn)時(shí)，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近，可以從比例關(guān)系入手，列出方程求解．【解答】解：由題意可得，×100%＝25%，解得，a＝12個(gè)．估計(jì)a大約有12個(gè)．故答案為：12．【點(diǎn)評(píng)】本題利用了用大量試驗(yàn)得到的頻率可以估計(jì)事件的概率．關(guān)鍵是根據(jù)紅球的頻率得到相應(yīng)的等量關(guān)系．11．（2022春?余杭區(qū)月考）一個(gè)不透明的袋子裝有除顏色外其余均相同的2個(gè)紅球和m個(gè)黃球，隨機(jī)從袋中摸出個(gè)球記錄下顏色，再放回袋中搖勻大量重復(fù)試驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸出紅球的頻率穩(wěn)定在0.2附近，則m的值為8．【分析】用紅球的個(gè)數(shù)除以摸到紅球的頻率求出球的總個(gè)數(shù)，繼而得出答案．【解答】解：根據(jù)題意，袋中球的總個(gè)數(shù)約為2÷0.2＝10（個(gè)），所以袋中黃球的個(gè)數(shù)約為10﹣2＝8（個(gè)），故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用頻率估計(jì)概率，大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率．12．（2022?西湖區(qū)一模）植樹節(jié)過后，歷下區(qū)園林綠化管理局為了考察樹苗的成活率，于是進(jìn)行了現(xiàn)場(chǎng)統(tǒng)計(jì)，表中記錄了樹苗的成活情況，則由此估計(jì)這種樹苗成活的概率約為0.9（結(jié)果精確到0.1）．移植總數(shù)n400150035007000900014000成活數(shù)m369133532036335807312628成活的頻率0.9230.8900.9150.9050.8970.902【分析】用頻率的集中趨勢(shì)來估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率．【解答】解：根據(jù)表格數(shù)據(jù)可知：樹苗移植成活的頻率近似值為0.9，所以估計(jì)這種樹苗移植成活的概率約為0.9．故答案為：0.9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用頻率估計(jì)概率，大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率．13．（2022?富陽(yáng)區(qū)二模）在一個(gè)不透明的布袋中，有除顏色外完全相同的4個(gè)黑球，若干個(gè)白球，每次搖勻后隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下顏色后再放回袋中，通過大量重復(fù)摸球試驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到白球的頻率穩(wěn)定于0.6，由此可估計(jì)袋中白球的個(gè)數(shù)約為6個(gè)．【分析】設(shè)袋中白球的個(gè)數(shù)約為x個(gè)，根據(jù)概率公式列出方程，然后求出x的值即可．【解答】解：設(shè)袋中白球的個(gè)數(shù)約為x個(gè)，根據(jù)題意得：＝0.6，解得：x＝6，經(jīng)檢驗(yàn)x＝6是原方程的解，答：估計(jì)袋中白球的個(gè)數(shù)約為6個(gè)；故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了利用頻率估計(jì)概率，本題利用了用大量試驗(yàn)得到的頻率可以估計(jì)事件的概率．關(guān)鍵是根據(jù)白球的頻率得到相應(yīng)的等量關(guān)系14．（2022春?海曙區(qū)校級(jí)期末）下表是某種幼苗在一定條件下移植后成活率的試驗(yàn)結(jié)果．移植總數(shù)n55020050010003000成活數(shù)m4451884769512850成活的頻率0.80.90.940.9520.9510.95則在相同條件下這種幼苗可成活的概率可估計(jì)為0.95．【分析】概率是大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)的情況下，頻率的穩(wěn)定值可以作為概率的估計(jì)值，即次數(shù)越多的頻率越接近于概率．【解答】解：概率是大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)的情況下，頻率的穩(wěn)定值可以作為概率的估計(jì)值，即次數(shù)越多的頻率越接近于概率，∴這種幼苗可成活的概率可估計(jì)為0.95，故答案為：0.95．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了利用頻率估計(jì)概率，大量反復(fù)試驗(yàn)下頻率穩(wěn)定值即概率．用到的知識(shí)點(diǎn)為：頻率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．15．（2022?瑞安市校級(jí)開學(xué)）在一個(gè)不透明的袋子里，裝有6枚白色球和若干枚黑色球，這些球除顏色外都相同．將袋子里的球搖勻，隨機(jī)摸出一枚球，記下它的顏色后再放回袋子里．不斷重復(fù)這一過程，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，摸到白色球的頻率穩(wěn)定在0.2，由此估計(jì)袋子里黑色球的個(gè)數(shù)為24．【分析】設(shè)袋子里黑色棋子的個(gè)數(shù)為x個(gè)，根據(jù)概率公式列出算式，再進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．【解答】解：設(shè)袋子里黑色棋子的個(gè)數(shù)為x個(gè)，根據(jù)題意得：＝0.2，解得：x＝24，經(jīng)檢驗(yàn)：x＝24是分式方程的解，估計(jì)袋子里黑色棋子的個(gè)數(shù)為24個(gè)．故答案為：24．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了利用概率的求法估計(jì)總體個(gè)數(shù)，利用如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）＝是解題關(guān)鍵．16．（2022?鄞州區(qū)校級(jí)開學(xué)）一口袋中裝有10個(gè)紅球和若干個(gè)黃球（這些球除顏色外都相同），通過大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)得知，摸到紅球的頻率為0.4．據(jù)此估計(jì)：口袋中約有15個(gè)黃球．【分析】通過大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)得知，摸到紅球的頻率為0.4，即紅球占總數(shù)的0.4，列方程求解即可．【解答】解：設(shè)有黃球x個(gè)，由題意得，＝0.4，解得，x＝15，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝15是原方程的解，故答案為：15．【點(diǎn)評(píng)】本題考查頻率估計(jì)概率，理解頻率和概率之間的關(guān)系是正確解答的關(guān)鍵．17．（2022?海曙區(qū)校級(jí)開學(xué)）一個(gè)不透明的盒子里有n個(gè)除顏色外其他完全相同的小球，其中有9個(gè)黃球，每次摸球前先將盒子里的球搖勻，任意摸出一個(gè)球記下顏色后再放回盒子，通過大量重復(fù)摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到黃球的頻率穩(wěn)定在30%，估計(jì)盒子中小球的個(gè)數(shù)n＝30．【分析】根據(jù)利用頻率估計(jì)概率得到摸到黃球的概率為30%，然后根據(jù)概率公式計(jì)算n的值．【解答】解：根據(jù)題意得＝30%，解得n＝30，所以這個(gè)不透明的盒子里大約有30個(gè)除顏色外其他完全相同的小球．故答案為：30．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用頻率估計(jì)概率：大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率．當(dāng)實(shí)驗(yàn)的所有可能結(jié)果不是有限個(gè)或結(jié)果個(gè)數(shù)很多，或各種可能結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時(shí)，一般通過統(tǒng)計(jì)頻率來估計(jì)概率．鞏固鞏固提升一、單選題1．（2021·哈爾濱市第十七中學(xué)校）已知一個(gè)口袋中裝有7個(gè)只有顏色不同的球，其中3個(gè)白球，4個(gè)黑球．從中隨機(jī)摸取出一個(gè)黑球的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用概率公式直接得出取出一個(gè)黑球的概率．【詳解】解：∵一個(gè)口袋中裝有7個(gè)只有顏色不同的球，其中3個(gè)白球，4個(gè)黑球，∴從中隨機(jī)抽取出一個(gè)黑球的概率是：，故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了概率公式，正確掌握概率求法是解題關(guān)鍵．2．（2021·貴陽(yáng)市第十九中學(xué)九年級(jí)月考）甲、乙兩人各自擲一個(gè)普通的正方體骰子，如果兩者之和為偶數(shù)，甲得1分；如果兩者之和為奇數(shù)，乙得1分，此游戲（）A．是公平的 B．對(duì)乙有利 C．對(duì)甲有利 D．以上都不對(duì)【答案】C【分析】甲、乙兩人各自擲一個(gè)普通的正方體骰子，共有36種結(jié)果，其中兩者之積為偶數(shù)有27種，兩者之積為奇數(shù)有9種，據(jù)此計(jì)算兩種情況的概率即可.【詳解】解：甲、乙兩人各自擲一個(gè)普通的正方體骰子，共有36種結(jié)果，其中兩者之積為偶數(shù)有27種，兩者之積為奇數(shù)有9種，兩者之積為偶數(shù)的概率為，則兩者之積為奇數(shù)的概率為，，故選擇C.【點(diǎn)睛】本題考查了利用概率判斷游戲的公平性，掌握概率的計(jì)算是解題的關(guān)鍵.3．（2021·山東濟(jì)南市·中考真題）某學(xué)校組織學(xué)生到社區(qū)開展公益宣傳活動(dòng)，成立了“垃圾分類”“文明出行”“低碳環(huán)?！比齻€(gè)宣傳隊(duì)，如果小華和小麗每人隨機(jī)選擇參加其中一個(gè)宣傳隊(duì)，則她們恰好選到同一個(gè)宣傳隊(duì)的概率是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，用列表法求出概率即可．【詳解】根據(jù)題意，設(shè)三個(gè)宣傳隊(duì)分別為列表如下：小華\小麗總共由9種等可能情況，她們恰好選擇同一個(gè)宣傳隊(duì)的情況有3種，則她們恰好選到同一個(gè)宣傳隊(duì)的概率是．故選C【點(diǎn)睛】本題考查了用列表法求概率，掌握列表法求概率是解題的關(guān)鍵．列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果數(shù)，概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．4．（2021·浙江衢州市·九年級(jí)期末）下列屬于必然事件的是（）A．水中撈月 B．甕中捉鱉 C．守株待兔 D．大海撈針【答案】B【分析】依據(jù)必然事件、隨機(jī)事件的概念判斷即可．【詳解】解：A、水中撈月是不可能事件，不合題意；B、甕中捉鱉是必然事件，符合題意；C、守株待兔是隨機(jī)事件，不合題意；D、大海撈針是隨機(jī)事件，不合題意；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了必然事件的概念，在一定的條件下重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)，有的事件在每次試驗(yàn)中必然會(huì)發(fā)生，這樣的事件叫必然發(fā)生的事件，簡(jiǎn)稱必然事件．5．（2021·山東青島市·九年級(jí)期末）一個(gè)不透明的口袋中裝有10個(gè)黑球和若干個(gè)白球，小球除顏色外其余均相同，從中隨機(jī)摸出一球記下顏色，再放回袋中，不斷重復(fù)上述過程，一共摸了150次，其中有50次摸到黑球，由此估計(jì)口袋中白球的個(gè)數(shù)約為（）A．10個(gè) B．20個(gè) C．30個(gè) D．40個(gè)【答案】B【分析】在同樣條件下，大量反復(fù)試驗(yàn)時(shí)，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近，可以從比例關(guān)系入手，設(shè)未知數(shù)列出方程求解．【詳解】解：設(shè)白球有x個(gè)，根據(jù)題意得：，解得：x＝20，經(jīng)檢驗(yàn)x＝20是分式方程的解，即白球有20個(gè)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查利用頻率估計(jì)概率．大量反復(fù)試驗(yàn)下頻率穩(wěn)定值即概率．關(guān)鍵是根據(jù)白球的頻率得到相應(yīng)的等量關(guān)系．6．（2021·湖南師大附中博才實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)一模）我國(guó)古代有著輝煌的數(shù)學(xué)研究成果，其中《算經(jīng)十書》是指漢、唐一千多年間的十部著名的數(shù)學(xué)著作，這些數(shù)學(xué)著作曾經(jīng)是隋唐時(shí)代國(guó)子監(jiān)算學(xué)科的教科書．十部書的名稱是：《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《張丘建算經(jīng)》、《夏侯陽(yáng)算經(jīng)》、《五經(jīng)算術(shù)》、《緝古算經(jīng)》、《綴術(shù)》、《五曹算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《算經(jīng)十書》標(biāo)志著中國(guó)古代數(shù)學(xué)的高峰．《算經(jīng)十書》這10部專著，有著十分豐富多彩的內(nèi)容，是了解我國(guó)古代數(shù)學(xué)的重要文獻(xiàn)．這10部專著中據(jù)說有6部成書于魏晉南北朝時(shí)期．其中《張丘建算經(jīng)》、《夏侯陽(yáng)算經(jīng)》就成書于魏晉南北朝時(shí)期．某中學(xué)擬從《算經(jīng)十書》專著中的魏晉南北朝時(shí)期的6部算經(jīng)中任選2部作為“數(shù)學(xué)文化”進(jìn)行推廣學(xué)習(xí)，則所選2部專著恰好是《張丘建算經(jīng)》、《夏侯陽(yáng)算經(jīng)》的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)六部成書于魏晉南北朝的算經(jīng)分別用A、B、C、D、E、F表示，其中《張丘建算經(jīng)》、《夏侯陽(yáng)算經(jīng)》分別用A、B表示,列樹形圖表示所有等可能性，根據(jù)概率公式即可求解．【詳解】解：設(shè)六部成書于魏晉南北朝的算經(jīng)分別用A、B、C、D、E、F表示，其中《張丘建算經(jīng)》、《夏侯陽(yáng)算經(jīng)》分別用A、B表示，根據(jù)題意列樹形圖得由樹形圖得共有30種等可能性，其中兩部專著恰好是A、B即《張丘建算經(jīng)》、《夏侯陽(yáng)算經(jīng)》的有兩種等可能性，∴所選2部專著恰好是《張丘建算經(jīng)》、《夏侯陽(yáng)算經(jīng)》的概率為．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了列樹形圖求概率，根據(jù)題意分別用字母表示六種算經(jīng)并正確列出樹形圖是解題關(guān)鍵．二、填空題7．（2020·宜春市第三中學(xué)九年級(jí)月考）在一個(gè)不透明的布袋中，紅色、黑色、白色的玻璃球共有20個(gè)，除顏色外其他完全相同．每次摸球前先將袋中的球拌勻，隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色后再放回布袋中，小明通過大量摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)其中摸到紅色球、黑色球的頻率分別穩(wěn)定于0.25和0.55，則可估計(jì)布袋中白色球有___個(gè)．【答案】4【分析】先由頻率之和為1計(jì)算出白球的頻率，再由數(shù)據(jù)總數(shù)×頻率＝頻數(shù)計(jì)算白球的個(gè)數(shù)，即可求出答案．【詳解】解：∵摸到紅色球、黑色球的頻率穩(wěn)定在0.25和0.55，∴摸到白球的頻率為1﹣0.25﹣0.55＝0.2，故口袋中白色球的個(gè)數(shù)可能是20×0.2＝4（個(gè)）．故答案為：4．【點(diǎn)睛】此題考查了利用頻率估計(jì)概率，大量反復(fù)試驗(yàn)下頻率穩(wěn)定值即概率．用到的知識(shí)點(diǎn)為：頻率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．8．（2021·浙江衢州市·九年級(jí)期末）兩位同學(xué)玩“石頭、剪子、布”游戲，隨機(jī)出手一次，兩人手勢(shì)相同的概率是___．【答案】【分析】用列表法即可解決．【詳解】列表如下：石頭剪子布石頭石頭，石頭石頭，剪子石頭，布剪子剪子，石頭剪子，剪子剪子，布布布，石頭布，剪子布，布事件總的可能結(jié)果數(shù)為9，手勢(shì)相同的有3種，則兩人手勢(shì)相同的概率是．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了用樹狀圖或列表法求等可能事件的概率，根據(jù)概率計(jì)算公式，關(guān)鍵是由圖或表中得到事件所有可能的結(jié)果數(shù)及事件發(fā)生的結(jié)果數(shù)．9．（2021·浙江杭州市·翠苑中學(xué)九年級(jí)二模）箱子里有4個(gè)紅球和個(gè)白球，這些球除顏色外均差別，小李從中摸到一個(gè)白球的概率是，則__________．【答案】6【分析】根據(jù)白球的概率結(jié)合概率公式列出關(guān)于的方程，求出的值即可．【詳解】解：摸到一個(gè)白球的概率是，，解得．經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法與運(yùn)用，根據(jù)概率公式求解即可：如果一個(gè)事件有種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件出現(xiàn)種結(jié)果，那么事件的概率（A）．10．（2021·山東青島市·九年級(jí)期末）已知線段a的長(zhǎng)度為11，現(xiàn)從1～10這10條整數(shù)線段中任取兩條，能和線段a組成三角形的概率為___．【答案】【分析】由10條線段中任意取2條，是一個(gè)列舉法求概率問題，是無放回的問題，共有90種可能結(jié)果，每種結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會(huì)相同，滿足兩邊之和大于第三邊構(gòu)成三角形的有40個(gè)結(jié)果．因而就可以求出概率．【詳解】從1~10這10條整數(shù)線段中任意取1條，有10種可能結(jié)果；再?gòu)氖Ｏ?條線段中任意取1條，有9種可能結(jié)果；所以從1~10這10條整數(shù)線段中任意取2條有10×9=90種等可能的情況，三角形兩邊之和大于第三邊，其中能和線段a組成三角形，即這2條線段的長(zhǎng)度之和大于11的有：(2,10)，(3,9)，(3,10)，(4,8)，(4,9)，(4,10)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(5,10)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,5)，(7,6)，(7,8)，(7,9)，(7,10)，(8,4)，(8,5)，(8,6)，(8,7)，(8,9)，(8,10)(9,3)，(9,4)，(9,5)，(9,6)，(9,7)，(9,8)，(9,10)，(10,2)，(10,3)，(10,4)，(10,5)，(10,6)，(10,7)，(10,8)，(10,9)一共有1+2+3+4十4+5+6+7+8=40種等可能的情況；故能和線段a組成三角形的概率為：．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了概率計(jì)算以及三角形三邊關(guān)系，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比；組成三角形的兩條小邊之和大于最大的邊．11．（2021·銅陵市第十五中學(xué)九年級(jí)期末）如圖，把一個(gè)轉(zhuǎn)盤分成四等份，依次標(biāo)上數(shù)字1、2、3、4，若連續(xù)自由轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤二次，指針指向的數(shù)字分別記作a、b，把a(bǔ)、b作為點(diǎn)A的橫、縱坐標(biāo);求點(diǎn)A（a，b）的個(gè)數(shù)為：__________；點(diǎn)A（a，b）在函數(shù)的圖象上的概率為：______．【答案】16【分析】（1）根據(jù)題意采用列表法，即可求得所有點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）求得所有符合條件的情況，求其比值即可求得答案．【詳解】解：（1）列表得：點(diǎn)的個(gè)數(shù)是16；（2）當(dāng)時(shí)，在函數(shù)的圖象上，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上的有4種，分別是：，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上的概率是；故答案是：16，．【點(diǎn)睛】本題考查了用列表法或樹狀圖法求概率，解題的關(guān)鍵是掌握列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．三、解答題12．（2021·廣東深圳市·九年級(jí)期末）某校對(duì)該校學(xué)生最喜歡的球類運(yùn)動(dòng)的情況進(jìn)行了抽樣調(diào)查，從足球、乒乓球、籃球、排球等四個(gè)方面進(jìn)行了一次調(diào)查（每位同學(xué)必選擇一項(xiàng)且只能選擇一項(xiàng)），并將調(diào)查結(jié)果繪制了以下不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)根據(jù)圖中的信息解答以下問題：（1）本次調(diào)查一個(gè)選取了名學(xué)生，乒乓球所在扇形的圓心角的度數(shù)為°；（2）請(qǐng)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；（3）該校共有1600名同學(xué)，估計(jì)最喜歡籃球運(yùn)動(dòng)的同學(xué)有名；（4）甲、乙、丙、丁四位同學(xué)分別最喜歡足球、乒乓球、籃球、排球，現(xiàn)在要從這名同學(xué)中隨機(jī)抽取兩名同學(xué)，請(qǐng)你利用畫樹狀圖或列表的方法，求出這兩名同學(xué)最喜歡的球類運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目不一樣的概率．【答案】（1）50，144；（2）見解析；（3）480；（4）圖表見解析，【分析】（1）根據(jù)喜歡乒乓球的人數(shù)除以占的百分比求出被調(diào)查學(xué)生的總?cè)藬?shù)，360°乘以乒乓球人數(shù)占的百分比得出圓心角度數(shù)；（2）求出喜歡足球的人數(shù)，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖即可；（3）先求出本次調(diào)查中，喜歡籃球人數(shù)的比例，然后用總?cè)藬?shù)乘以喜歡籃球的人數(shù)的比例即可；（4）列出表格得出所有等可能的情況數(shù)，再由概率公式求解即可．【詳解】解：（1）本次調(diào)查選取的學(xué)生人數(shù)為：（名），乒乓球所在扇形的圓心角的度數(shù)為：，故答案為：50，144；（2）統(tǒng)計(jì)圖中喜歡足球的學(xué)生人數(shù)為：（名），將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整如圖：（3）喜歡籃球運(yùn)用的人數(shù)比例為：，估計(jì)喜歡籃球的共有：（人），故答案為：480；（4）根據(jù)題意得出表格：AB足球乒乓球籃球排球足球（乒，足）（籃，足）（排，足）乒乓球（足，乒）（籃，乒）（排，乒）籃球（足，籃）（乒，籃）（排，籃）排球（足，排）（乒，排）（籃，排）A表示第一個(gè)選取的同學(xué)最喜歡的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，B表示第二個(gè)選取的同學(xué)最喜歡的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，上表共有12種等可能結(jié)果，其中兩個(gè)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目不同的情況有10種∴（兩名同學(xué)最喜歡的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目不同）【點(diǎn)睛】題目主要考查了條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖以及列表法與樹狀圖法，弄清題意是解題的關(guān)鍵．13．（2021·貴陽(yáng)市第十九中學(xué)九年級(jí)月考）貴陽(yáng)第十九中學(xué)八年級(jí)學(xué)生參加體育中考，現(xiàn)從八年級(jí)學(xué)生中抽取部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，通過分析整理繪制了如圖兩幅統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)根據(jù)兩幅統(tǒng)計(jì)圖中的信息回答下列問題：（1）求參與調(diào)查的學(xué)生中，參加排球考試的學(xué)生人數(shù)；（2）若八年級(jí)共有700名學(xué)生，請(qǐng)你估計(jì)八年級(jí)學(xué)生中有多少名學(xué)生參加籃球考試？（3）若從參加足球的3名男生和2名女生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，確定為學(xué)校足球運(yùn)動(dòng)員的重點(diǎn)培養(yǎng)對(duì)象，請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖的方法求抽取的兩名學(xué)生為一名男生和一名女生的概率．【答案】（1）6；（2）350；（3）【分析】（1）根據(jù)籃球的人數(shù)和所占的百分比求出總?cè)藬?shù)，進(jìn)而可求出參加排球考試的學(xué)生人數(shù)；（2）由總?cè)藬?shù)乘以參加籃球考試的學(xué)生的百分?jǐn)?shù)即可得解；（3）畫樹狀圖展示20種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出抽取的兩人恰好是一名男生和一名女生結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解即可．【詳解】解：（1）由題意可知調(diào)查的總?cè)藬?shù)＝30÷50%＝60（人），∴參加排球考試的學(xué)生人數(shù)＝60×10%＝6（人），答：參加排球考試的學(xué)生人數(shù)為6人；（2）∵該中學(xué)八年級(jí)共有700名學(xué)生，∴該中學(xué)八年級(jí)學(xué)生中參加籃球考試的學(xué)生有700×50%＝350（名），答：估計(jì)八年級(jí)學(xué)生中有350名學(xué)生參加籃球考試；（3）畫樹狀圖為：共有20種等可能的結(jié)果數(shù)，其中抽取的兩人恰好是一名男生和一名女生結(jié)果數(shù)為12，所以抽取的兩人恰好是一名男生和一名女生概率＝＝．【點(diǎn)睛】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果n，再?gòu)闹羞x出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后利用概率公式計(jì)算事件A或事件B的概率．也考查了統(tǒng)計(jì)圖．14．（2021·山東九年級(jí)期末）甲乙兩人用下面兩個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤做游戲，A轉(zhuǎn)盤被分成如圖所示的三份，并分別標(biāo)有數(shù)字1，2，﹣3；B轉(zhuǎn)盤被等分成三份，分別標(biāo)有數(shù)字﹣1，﹣2，3．甲乙兩人同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，指針?biāo)傅臄?shù)字之差的絕對(duì)值大于2，則甲勝；指針?biāo)傅臄?shù)字之差的絕對(duì)值小于2．則乙勝．請(qǐng)問，這個(gè)游戲?qū)滓覂扇斯絾?？說明理由．【答案】不公平，理由見解析【分析】用列舉法表示出所有可能的結(jié)果，利用數(shù)字之差的絕對(duì)值大于2，和數(shù)字之差的絕對(duì)值小于2的情況各有多少種，進(jìn)而計(jì)算該事件發(fā)生的概率，從而得出是否公平；【詳解】解：每次游戲可能出現(xiàn)的所有結(jié)果列表如下：BA-1-2312322341-3216-3216從表中看出：共有12種等可能的結(jié)果，其中數(shù)字之差絕對(duì)值大于2的有5種，數(shù)字之差的絕對(duì)值小于2的有3種，∴甲獲勝的概率P乙獲勝的概率P∵二人獲勝的概率不相等，因此游戲不公平【點(diǎn)睛】此題考查了概率的應(yīng)用．求某件事件發(fā)生的概率，必須先把所有可能的結(jié)果列舉出來，然后再求概率；游戲是否公平，就是判斷事件發(fā)生的概率是否相等．15．（2021·福建省福州第十九中學(xué)九年級(jí)月考）2020年“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”突然火了起來，甲想要用120天擺攤賺一些生活費(fèi)，甲從工廠租一些扭蛋機(jī)，每天只要定時(shí)去收錢就好了．這些扭蛋機(jī)租金每天合計(jì)36元，每個(gè)扭蛋成本為0.3元．由于無處存放，小明每天都必須將扭蛋機(jī)和扭蛋送回工廠，工廠以每個(gè)扭蛋0.1元的價(jià)格回收每天剩下的扭蛋．顧客每次需要花費(fèi)1元錢開啟扭蛋機(jī)，經(jīng)過廠家調(diào)試，開啟后“得到2個(gè)扭蛋”、“得到1個(gè)扭蛋”和“得不到扭蛋”這三種情況是等可能的．工廠為兩人提供了擺攤地點(diǎn)的120日需求量的部分?jǐn)?shù)據(jù)輔助小明銷售，如下表：日需求開啟量400500600700頻數(shù)（天數(shù)）6020其中，且為整數(shù)．（1）開啟一次扭蛋機(jī)得到的“得到2個(gè)扭蛋”的概率為____________（2）開啟一次扭蛋機(jī)得到的扭蛋個(gè)數(shù)的平均數(shù)____________（3）假設(shè)每次開啟扭蛋機(jī)必得個(gè)扭蛋，請(qǐng)分別計(jì)算小明每天都購(gòu)買500個(gè)扭蛋和每天都購(gòu)買600個(gè)扭蛋所獲得的總利潤(rùn)，以此作為決策依據(jù)，小明應(yīng)該每天都購(gòu)買500個(gè)扭蛋還是每天都購(gòu)買600個(gè)扭蛋?【答案】（1）；（2）1；（3）小明應(yīng)該每天都購(gòu)買500個(gè)扭蛋【分析】（1）根據(jù)概率公式計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)平均數(shù)公式計(jì)算即可求解；（3）根據(jù)利潤(rùn)公式計(jì)算每天購(gòu)買500個(gè)扭蛋和每天購(gòu)買600個(gè)扭蛋所獲得的總利潤(rùn)，比較即可求解．【詳解】解：（1）∵開啟后“得到2個(gè)扭蛋”、“得到1個(gè)扭蛋”和“得不到扭蛋“這三種情況是等可能的，∴開啟一次扭蛋機(jī)得到的“得到2個(gè)扭蛋”的概率為，故答案為：；（2），故開啟一次扭蛋機(jī)得到的拼蛋個(gè)數(shù)的平均數(shù)為1，故答案為：1；（3）當(dāng)購(gòu)買500個(gè)時(shí)，總利潤(rùn)=400×60+500×60+0.1×（500-400）×60-500×0.3×120-36×120=32280（元），當(dāng)購(gòu)買600個(gè)時(shí)，總利潤(rùn)=400×60+500m+600（60-m）+0.1（200×60+100m）-0.3×600×120-36×120=（35820-90m）（元），∵32280-（35820-90m）=90m-3000，∵34＜m≤40，∴0＜60＜90m-3000≤600，∴32280＞35280-90m．答：小明應(yīng)該每天都購(gòu)買500個(gè)扭蛋．【點(diǎn)睛】本題考查概率公式，平均數(shù)、利潤(rùn)的計(jì)算公式，熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)，重視計(jì)算能力是關(guān)鍵．16．（2021·浙江衢州市·九年級(jí)期末）一個(gè)黑箱子里裝有紅、白兩種顏色的球4只，他們除顏色外，其他都相同，小明將球攪勻后從箱子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下顏色，再把它放回不斷重復(fù)實(shí)驗(yàn)，將多次實(shí)驗(yàn)結(jié)果畫出如下頻率統(tǒng)計(jì)圖．（1）當(dāng)摸球次數(shù)很大時(shí)，摸到白球的頻率將會(huì)接近（精確到0.01），從箱子中摸一次球，摸到紅球的概率是；（2）從該箱子里隨機(jī)摸出一個(gè)球，不放回，再摸出一個(gè)球．用樹狀圖或列表法求出摸到一個(gè)紅球一個(gè)白球的概率．【答案】（1）0.75，0.25；（2）【分析】（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖可知當(dāng)摸球次數(shù)很大時(shí)，摸到白球的頻率將會(huì)接近0.75，則摸到紅球的頻率將會(huì)接近0.25；（2）列表展示出所有的可能性的結(jié)果，然后得到∴摸到一個(gè)紅球一個(gè)白球的結(jié)果數(shù)，利用概率公式求解即可．【詳解】（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖可知當(dāng)摸球次數(shù)很大時(shí)，摸到白球的頻率將會(huì)接近0.75，則摸到紅球的頻率將會(huì)接近0.25，故答案為：0.75，0.25；（2）∵箱子一個(gè)有4個(gè)球，摸到白球的頻率為0.75，∴白球的數(shù)量=4×0.75=3，∴紅球的數(shù)量為1列表如下：白白白紅白白白白白白紅白白白白白白紅白白白白白白紅紅紅白紅白紅白如表所示，一共有12種可能性的結(jié)果，摸到一個(gè)紅球一個(gè)白球的結(jié)果數(shù)為6種，∴摸到一個(gè)紅球一個(gè)白球的概率．【點(diǎn)睛】本題主要考查了用頻率估計(jì)概率，用頻率求數(shù)量，列表法或樹狀圖法求概率，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．17．（2021·浙江杭州市·翠苑中學(xué)九年級(jí)二模）為了更好的滿足顧客的支付需求，一商場(chǎng)隨機(jī)抽取了若干名顧客的支付情況，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)并繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)結(jié)合圖中所給的信息解答下列問題：（1）求出本次調(diào)查參與的人數(shù)，并將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；（2）若某假期該商場(chǎng)有1800人進(jìn)行購(gòu)物支付，估計(jì)有多少人會(huì)選擇“刷臉或現(xiàn)金”這種支付方式；（3）在某一天的購(gòu)物中，小紅和小高都想從“微信”、“支付寶”兩種支付方式中選一種方式進(jìn)行支付，請(qǐng)用畫樹狀圖或列表格的方法，求出兩人恰好選擇同一種支付方式的概率．【答案】（1）240人，統(tǒng)計(jì)圖見解析；（2）300人；（3）【分析】（1）由選擇“支付寶”支付的人數(shù)除以所占百分比求出本次調(diào)查參與的人數(shù)，即可解決問題；（2）由某假期該商場(chǎng)進(jìn)行購(gòu)物支付的總?cè)藬?shù)乘以選擇“刷臉或現(xiàn)金”這種支付方式的人數(shù)所占的比例即可；（3）畫樹狀圖，共有4種等可能的結(jié)果，小紅和小高兩人恰好選擇同一種支付方式的結(jié)果有2種，再由概率公式求解即可．【詳解】解：（1）本次調(diào)查參與的人數(shù)為：60÷25%=240（人），則用“銀行卡”支付的人數(shù)為：240-60-40-60=80（人），將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整如下：（2）1800×=300（人），即若某假期該商場(chǎng)有1800人進(jìn)行購(gòu)物支付，估計(jì)有300人會(huì)選擇“刷臉或現(xiàn)金”這種支付方式；（3）把“微信”、“支付寶”兩種支付方式分別記為A、B，畫樹狀圖如圖：共有4種等可能的結(jié)果，小紅和小高兩人恰好選擇同一種支付方式的結(jié)果有2種，∴小紅和小高兩人恰好選擇同一種支付方式的概率為．【點(diǎn)睛】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率以及條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖．列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．18．（2021·沈陽(yáng)市第一三四中學(xué)）小明和小亮是上海某高校的大學(xué)生，他們參加世博志愿者選拔并與甲、乙二人都進(jìn)入了前4名．現(xiàn)從這4名入選者中確定2名作為志愿者．試用畫樹形圖或列表的方法求出：（1）小明和小亮同時(shí)入選的概率；（2）小明和小亮至少有一人入選的概率．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由題意，采用列表法，列舉出符合題意的各種情況的個(gè)數(shù)，再根據(jù)概率公式解答即可；（2）由（1）可知，求出至少有一人入選的個(gè)數(shù)，再根據(jù)概率公式解答即可．【詳解】解：（1）根據(jù)題意，如下表：一共有12種可能結(jié)果，小明和小亮同時(shí)入選的可能結(jié)果有2種，因此，小明和小亮同時(shí)人選的概率=．（2）由（1）可知，小明和小亮至少有一人入選的結(jié)果有10種，∴小明和小亮至少有一人入選的概率為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有