勾股定理全章教案人教版

第十八章勾股定理

.勾股定理（一）

一、教學目標

.了解勾股定理的發(fā)現(xiàn)過程，掌握勾股定理的內(nèi)容，會用面積法證明勾股定理。

.培養(yǎng)在實際生活中發(fā)現(xiàn)問題總結規(guī)律的意識和能力。

.介紹我國古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激發(fā)學生的愛國熱情，促其勤奮學習。

二、重點、難點

.重點：勾股定理的內(nèi)容及證明。

.難點：勾股定理的證明。

三、例題的意圖分析

例（補充）通過對定理的證明，讓學生確信定理的正確性；通過拼圖，發(fā)散學生的思維,

鍛煉學生的動手實踐能力；這個古老的精彩的證法，出自我國古代無名數(shù)學家之手。激發(fā)學

生的民族自豪感，和愛國情懷。

例使學生明確，圖形經(jīng)過割補拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變。進一步讓

學生確信勾股定理的正確性。

四、課堂引入

目前世界上許多科學家正在試圖尋找其他星球的“人”，為此向宇宙發(fā)出了許多信號，如地

球上人類的語言、音樂、各種圖形等。我國數(shù)學家華羅庚曾建議，發(fā)射一種反映勾股定理的

圖形，如果宇宙人是“文明人”，那么他們一定會識別這種語言的。這個事實可以說明勾股定理

的重大意義。尤其是在兩千年前，是非常了不起的成就。

讓學生畫一個直角邊為和的直角△,用刻度尺量出的長。

以上這個事實是我國古代多年前有一個叫商高的人發(fā)現(xiàn)的，他說：“把一根直尺折成直角，

兩段連結得一直角三角形，勾廣三，股修四，弦隅五。'’這句話意思是說一個直角三角形較短

直角邊（勾）的長是，長的直角邊（股）的長是，那么斜邊（弦）的長是。

再畫一個兩直角邊為和的直角4,用刻度尺量的長。

你是否發(fā)現(xiàn)與的關系，和的關系，即，，那么就有勾股弦。

對于任意的直角三角形也有這個性質(zhì)嗎？

五、例習題分析

例（補充）已知：在△中，/。，/、/、N的對邊為、、。DC

求證：+。

分析：⑴讓學生準備多個三角形模型，最好是有顏色的吹塑紙，讓R\

學生拼擺不同的形狀，利用面積相等進行證明。

⑵拼成如圖所示，其等量關系為：A，卜正大正

x；+（-）,化簡可證。\

⑶發(fā)揮學生的想象能力拼出不同的圖形，進行證明。人<=B

（4）勾股定理的證明方法，達余種。這個古老的精彩的證法，出自

我國古代無名數(shù)學家之手。激發(fā)學生的民族自豪感，和愛國情懷。

例已知：在△中，/。，/、/、/的對邊為、、。

求證：+o

分析：左右兩邊的正方形邊長相等，則兩個正方形的面積相等。

左邊X—+

2

右邊（）

左邊和右邊面積相等，即

xl+（）

2

化簡可證。

六、課堂練習

.勾股定理的具體內(nèi)容是：。

.如圖，直角△的主要性質(zhì)是:N°,（用幾何語言表示）

⑴兩銳角之間的關系：；

⑵若為斜邊中點，則斜邊中線;

⑶若N。，則/的對邊和斜邊：；

⑷三邊之間的關系：。

.△的三邊、、，若滿足+,則。；若滿足＞+，則/是角；若滿足

＜+.則/是角。

.根據(jù)如圖所示，利用面積法證明勾股定理。

七、課后練習

.已知在△中，/。,、、是△的三邊，則

⑴。（已知、，求）

⑵。（已知、,求）

⑶。（已知、，求）

.如下表，表中所給的每行的三個數(shù)、、，有＜＜，試根據(jù)表中已有數(shù)的規(guī)律，寫出當時，.

的值，并把、用含的代數(shù)式表示出來。

、、

、、

、、

、、

...

，、

.在△中，Z0,1073,一動點從向以每秒2cm的速度移動，問當點移動多少秒時，與腰

垂直。

.已知：如圖，在△中，，在的延長線上。

求證：（D—

⑵若在上，結論如何，試證明你的結論。

.勾股定理（二）

一、教學目標

.會用勾股定理進行簡單的計算.

.樹立數(shù)形結合的思想、分類討論思想。

二、重點、難點

.重點：勾股定理的簡單計算。

.難點：勾股定理的靈活運用。

三、例題的意圖分析

例（補充）使學生熟悉定理的使用，剛開始使用定理，讓學生畫好圖形，并標好圖形，

理清邊之間的關系。讓學生明確在直角三角形中，已知任意兩邊都可以求出第三邊。并學會

利用不同的條件轉化為已知兩邊求第三邊。

例（補充）讓學生注意所給條件的不確定性，知道考慮問題要全面，體會分類討論思想。

例（補充）勾股定理的使用范圍是在直角三角形中，因此注意要創(chuàng)造直角三角形，作高

是常用的創(chuàng)造直角三角形的輔助線做法。讓學生把前面學過的知識和新知識綜合運用，提高

綜合能力。

四、課堂引入

復習勾股定理的文字敘述；勾股定理的符號語言及變形。學習勾股定理重在應用。

五、例習題分析

例（補充）在4,z°

⑴已知，求。

（2）已知，求。

⑶已知，求。

（4）已知：：，求。

⑸已知，Z°,求，。

分析：剛開始使用定理，讓學生畫好圖形，并標好圖形，理清邊之間的關系。⑴已知兩

直角邊，求斜邊直接用勾股定理。⑵⑶已知斜邊和一直角邊，求另一直角邊，用勾股定理的

便形式。⑷⑸已知一邊和兩邊比，求未知邊。通過前三題讓學生明確在直角三角形中，已知

任意兩邊都可以求出第三邊。后兩題讓學生明確已知一邊和兩邊關系，也可以求出未知邊，

學會見比設參的數(shù)學方法，體會由角轉化為邊的關系的轉化思想。

例（補充）已知直角三角形的兩邊長分別為和，求第三邊。

分析：已知兩邊中較大邊可能是直角邊，也可能是斜邊，因此應分兩種情況分別進形計算。

讓學生知道考慮問題要全面，體會分類討論思想。

例（補充）已知：如圖，等邊△的邊長是。C

⑴求等邊4的高?！?/p>

⑵求A。

分析：勾股定理的使用范圍是在直角三角形中，因此注意

要

創(chuàng)造直角三角形，作高是常用的創(chuàng)造直角三角形的輔助線做

法。欲求高，可將其置身于△或△中，ADB

但只有一邊已知，根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)，可求則

2

此題可解。

六、課堂練習

.填空題

⑴在△,/。，，，貝h

⑵在△,N。,，,則。

⑶在4，/。，，：：，貝I」，。

⑷一個宜角三角形的三邊為三個連續(xù)偶數(shù)，則它的三邊長分別為。

⑸己知直角三角形的兩邊長分別為和，，則第三邊長為。

⑹已知等邊三角形的邊長為2cm,則它的高為，面積為。

.己知：如圖，在△中，Z0,4石，，是邊上的高，求的

長。

.已知等腰三角形腰長是，底邊長是，求這個等腰三角形

的面積。

七、課后練習

.填空題

在小，Z°,

⑴如果，,則。

⑵如果N。,,則。

⑶如果N。,，則。

⑷如果,,則。

⑸如果、、是連續(xù)整數(shù)，則。

⑹如果，：：，貝人

.已知I：如圖，四邊形中，〃，±,

±,1cm,求的長。

八、參考答案

課堂練習

.;;>:,,;或J34；V3,V3；

課后練習

2百

.:A/3；V2；

亍

課后反思：

.勾股定理（三）

一、教學目標

.會用勾股定理解決簡單的實際問題。

.樹立數(shù)形結合的思想。

二、重點、難點

.重點：勾股定理的應用。

.難點：實際問題向數(shù)學問題的轉化。

三、例題的意圖分析

例（教材頁探究）明確如何將實際問題轉化為數(shù)學問題，注意條件的轉化；學會如何利

用數(shù)學知識、思想、方法解決實際問題。

例（教材頁探究）使學生進一步熟練使用勾股定理，探究直角三角形三

邊的關系：保證一邊不變，其它兩邊的變化。

四、課堂引入

勾股定理在實際的生產(chǎn)生活當中有著廣泛的應用。勾股定理的發(fā)現(xiàn)和使

用解決了許多生活中的問題，今天我們就來運用勾股定理解決一些問題，你

可以嗎？試一試。

五、例習題分析

例（教材頁探究）

分析：⑴在實際問題向數(shù)學問題的轉化過程中，注意勾股定理的使用條件，

即門框為長方形，四個角都是直角。⑵讓學生深入探討圖中有幾個直角三角形？圖中標字母

的線段哪條最長？⑶指出薄木板在數(shù)學問題中忽略厚度，只記長度，探討以何種方式通過？

⑷轉化為勾股定理的計算，采用多種方法。⑸注意給學生小結深化數(shù)學建模思想，激發(fā)數(shù)學

興趣。

例（教材頁探究）

分析：⑴在△中，已知，，利用勾股定理計算。

（2）在△中，已知，，利用勾股定理計算。

則一，通過計算可知九

⑶進一步讓學生探究和的關系，給不同的值，計算。

六、課堂練習

.小明和爸爸媽媽十一登香山，他們沿著度的坡路走了米，看到了一棵紅葉樹，這棵紅葉

樹的離地面的高度是米。

.如圖，山坡上兩株樹木之間的坡面距離是4Ji米，則這兩株樹之間的垂直距離是

米，水平距離是米。

C

題圖題圖

.如圖，一根米高的電線桿兩側各用米的鐵絲固定，兩個固定點之間的距離是。

.如圖，原計劃從地經(jīng)地到地修建一條高速公路，后因技術攻關，可以打隧道由地到地直

接修建，已知高速公路一公里造價為萬元，隧道總長為公里，隧道造價為萬元，公里，公里,

則改建后可省工程費用是多少？

七、課后練習

.如圖，欲測量松花江的寬度，沿江岸取、兩點，在江

對岸取一點，使垂直江岸，測得米，

BC

z°,則江面的寬度為。

.有一個邊長為米正方形的洞口，想用一個圓形蓋去蓋住這

個洞口，則圓形蓋半徑至少為米。

.一根厘米的繩子被折成如圖所示的形狀釘在、兩點，厘米,

且_L,則厘米。

.如圖，鋼索斜拉大橋為等腰三角形，支柱高米，NN°,、

分別為、中點，試求、兩點之間的距離，鋼索和的長度。

（精確到米）

BEDFC

八、參考答案:

課堂練習：

.250VL26；

.米；

課后練習

.50Vl米;

.米，米，米;

課后反思:

勾股定理（四）

一、教學目標

.會用勾股定理解決較綜合的問題。

.樹立數(shù)形結合的思想。

二、重點、難點

.重點：勾股定理的綜合應用。

.難點：勾股定理的綜合應用。

三、例題的意圖分析

例（補充）“雙垂圖”是中考重要的考點，熟練掌握“雙垂圖''的圖形結構和圖形性質(zhì)，通過

討論、計算等使學生能夠靈活應用。目前“雙垂圖”需要掌握的知識點有：個直角三角形，三個

勾股定理及推導式，兩對相等銳角，四對互余角，及?；?。特殊角的特殊性質(zhì)等。

例（補充）讓學生注意所求結論的開放性，根據(jù)已知條件，作適當輔助線求出三角形中

的邊和角。讓學生掌握解一般三角形的問題常常通過作高轉化為直角三角形的問題。使學生

清楚作輔助線不能破壞已知角。

例（補充）讓學生掌握不規(guī)則圖形的面積，可轉化為特殊圖形求解，本題通過將圖形轉

化為直角三角形的方法，把四邊形面積轉化為三角形面積之差。在轉化的過程中注意條件的

合理運用。讓學生把前面學過的知識和新知識綜合運用，提高解題的綜合能力。

例（教材頁探究）讓學生利用尺規(guī)作圖和勾股定理畫出數(shù)軸上的無理數(shù)點，進一步體會

數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應的理論。

四、課堂引入

復習勾股定理的內(nèi)容。本節(jié)課探究勾股定理的綜合應用。

五、例習題分析

例（補充）.已知：在△中，N。，，于，N。，拒,

求線段的長。

分析：本題是“雙垂圖''的計算題，“雙垂圖”是中考重要的考點，所以要求學生對圖形及性質(zhì)掌

握非常熟練，能夠靈活應用。目前“雙垂圖''需要掌握的知識點有：個直角三角形，三個勾股定

理及推導式，兩對相等銳角，四對互余角，及?；颉Ｌ厥饨堑奶厥?/p>

性質(zhì)等。

要求學生能夠自己畫圖，并正確標圖.引導學生分析：欲求,

可由，分別在兩個三角形中利用勾股定理和特殊角，求出和。或

欲求，可由=,分別在兩個三角形中利用勾股

定理和特殊角，求出和。

例（補充）己知：如圖，△中，，Z°,/。，根據(jù)題設可知

什么？

分析：由于本題中的△不是直角三角形，所以根據(jù)題設只能直

接求得N。。在學生充分思考和討論后，發(fā)現(xiàn)添置邊上的高這條

輔助線，就可以求得，，，，及…讓學生充分討論還可以作其它

輔助線嗎？為什么？

小結：可見解一般三角形的問題常常通過作高轉化為直角

三角形的問題。并指出如何作輔助線？

解略。

例（補充）已知：如圖，ZZ°,Z°,,?求：四邊形的

面積。

分析：如何構造直角三角形是解本題的關鍵，可以連結，或

延長、交于，或延長、交于，根據(jù)本題給定的角應選后兩種,

進一步根據(jù)本題給定的邊選第三種較為簡單。教學中要逐層E

展示給學生，讓學生深入體會。

解：延長、交于。

VZZ°,z°,

,J484-\/3o

y/n2V3o

.11?/i

22

小結：不規(guī)則圖形的面積，可轉化為特殊圖形求解，本題通過將圖形轉化為直角三角形

的方法，把四邊形面積轉化為三角形面積之差。

例（教材頁探究）

分析：利用尺規(guī)作圖和勾股定理畫出數(shù)軸上的無理數(shù)點，進一步體會數(shù)軸上的點與實數(shù)一一

對應的理論。

變式訓練：在數(shù)軸上畫出表示6-1,2的點。

六、課堂練習

.△中，25cm,高20cm，則，△。

.△中，若NNN,2后，則/度，N度,/度,，“

.△中，N。，，26，，于，則，，，A。A

.已知：如圖，△中，，，，

求A0

--------C

七、課后練習

.在4中，Z°,J_于，z°,也，。

.在4中，Z°,A,,且V,貝I」，。

.已知：如圖，在△中，N。，Z°,2V2,

求（）的長；（）A。

.在數(shù)軸上畫出表示一歷+君的點。

八、參考答案：

課堂練習：

.30cm,300cm；

.,,,,2-\/3；

.，V3,,,2-\/3；

.作，于，設，貝IJ,

1

A一,；

2

課后練習：

??

?，；

.提示：作，于，，，2V3,26，42百；

.略。

課后反思：

.勾股定理的逆定理（一）

一、教學目標

.體會勾股定理的逆定理得出過程，掌握勾股定理的逆定理。

.探究勾股定理的逆定理的證明方法。

.理解原命題、逆命題、逆定理的概念及關系。

二、重點、難點

.重點：掌握勾股定理的逆定理及證明。

.難點：勾股定理的逆定理的證明。

三、例題的意圖分析

例（補充）使學生了解命題，逆命題，逆定理的概念，及它們之間的關系。

例（探究）通過讓學生動手操作，畫好圖形后剪下放到一起觀察能否重合，激發(fā)學生的

興趣和求知欲，鍛煉學生的動手操作能力，再通過探究理論證明方法，使實踐上升到理論,

提高學生的理性思維。

例（補充）使學生明確運用勾股定理的逆定理判定一個三角形是否是直角三角形的一般

步驟：①先判斷那條邊最大。②分別用代數(shù)方法計算出和的值。③判斷和是否相等，若相等,

則是直角三角形；若不相等，則不是直角三角形。

四、課堂引入

創(chuàng)設情境：⑴怎樣判定一個三角形是等腰三角形？

⑵怎樣判定一個三角形是直角三角形？和等腰三角形的判定進行對比，從勾股定

理的逆命題進行猜想。

五、例習題分析

例（補充）說出下列命題的逆命題，這些命題的逆命題成立嗎？

⑴同旁內(nèi)角互補，兩條直線平行。

⑵如果兩個實數(shù)的平方相等，那么兩個實數(shù)平方相等。

⑶線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等。

⑷直角三角形中。角所對的直角邊等于斜邊的一半。

分析：⑴每個命題都有逆命題，說逆命題時注意將題設和結論調(diào)換即可，但要分清題設

和結論，并注意語言的運用。

⑵理順他們之間的關系，原命題有真有假，逆命題也有真有假，可能都真，也可能一真

一假，還可能都假。

解略。

例（探究）證明：如果三角形的三邊長，，滿足，那么這個三角形是直角三角形。

分析：⑴注意命題證明的格式，首先要根據(jù)題意畫出圖

形，然后寫己知求證。

⑵如何判斷一個三角形是直角三角形，現(xiàn)在只知道

若有一個角是直角的三角形是直角三角形，從而將問題

轉化為如何判斷一個角是直角。

⑶利用已知條件作一個直角三角形，再證明和原三

角形全等，使問題得以解決。

⑷先做直角，再截取兩直角邊相等，利用勾股定理計算斜邊，則通過三邊對應相等的兩

個三角形全等可證。

⑸先讓學生動手操作，畫好圖形后剪下放到一起觀察能否重合，激發(fā)學生的興趣和求知

欲，再探究理論證明方法。充分利用這道題鍛煉學生的動手操作能力，由實踐到理論學生更

容易接受。

證明略。

例（補充）已知：在△中，/、/、N的對邊分別是、、，一，，+（＞）

求證：Z°o

分析：⑴運用勾股定理的逆定理判定一個三角形是否是直角三角形的一般步驟：①先判

斷那條邊最大。②分別用代數(shù)方法計算出和的值。③判斷和是否相等，若相等，則是直角三

角形；若不相等，則不是直角三角形。

⑵要證N。，只要證△是直角三角形，并且邊最大。根據(jù)勾股定理的逆定理只要證明即可。

⑶由于（一）+（）++,（+）++,從而，故命題獲證。

六、課堂練習

.判斷題?

⑴在一個三角形中，如果一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這條邊所對的角是直角。

⑵命題：“在一個三角形中，有一個角是。，那么它所對的邊是另一邊的一半?！钡哪婷}

是真命題。

⑶勾股定理的逆定理是：如果兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，那么這個三角形是

直角三角形。

⑷△的三邊之比是：：、歷，則△是直角三角形。

.△中/、N、N的對邊分別是、、，下列命題中的假命題是(〉

.如果/一//,則△是直角三角形。

.如果一，則^是直角三角形，且/°。

.如果(+)(一),則△是直角三角形。

.如果N：N：N：：,則△是直角三角形。

.下列四條線段不能組成直角三角形的是()

.V5,V3,V2

.已知：在△中，/、N、N的對邊分別是、、，分別為下列長度，判斷該三角形是否是直

角三角形？并指出那一個角是直角？

(1)73,2拒，V5；(2),,；

(3),百，77；(4),2屈，。

七、課后練習，

.敘述下列命題的逆命題，并判斷逆命題是否正確。

⑴如果〉，那么〉；

⑵如果三角形有一個角小于。，那么這個三角形是銳角三角形；

⑶如果兩個三角形全等，那么它們的對應角相等；

⑷關于某條直線對稱的兩條線段一定相等。

.填空題。

⑴任何一個命題都有，但任何一個定理未必都有。

(2)“兩直線平行，內(nèi)錯角相等?！钡哪娑ɡ硎?。

⑶在△中，若一，則△是三角形，是直角；

若〈一，則/是。

⑷若在△中，一，，+,則△是三角形。

.若三角形的三邊是⑴、百、；⑵LLL⑶,，⑷…

345

(5)(+)(+),(+)+；則構成的是直角三角形的有()

.個.3個C.4個D.5個

.已知：在△中，/、/、N的對邊分別是、、，分別為下列長度，判斷該三角形是否是

直角三角形？并指出那一個角是直角？

⑴,，；(2),,；

(3),2名，；⑷,，(〉)。

八、參考答案：

課堂練習：

.對，錯，錯，對；?;

.；.⑴是，N；⑵不是；⑶是，N；⑷是，N。

課后練習：

.⑴如果〉，那么〉；假命題。

⑵如果三角形是銳角三角形，那么有一個角是銳角；真命題。

⑶如果兩個三角形的對應角相等，那么這兩個三角形全等；假命題。

⑷兩條相等的線段一定關于某條直線對稱；假命題。

.⑴逆命題，逆定理；⑵內(nèi)錯角相等，兩直線平行；⑶直角，N,鈍角；⑷直角。

..（D是，Z；⑵不是，；⑶是，Z；⑷是，Zo

課后反思:

勾股定理的逆定理（二）

一、教學目標

.靈活應用勾股定理及逆定理解決實際問題。

.進一步加深性質(zhì)定理與判定定理之間關系的認識。

二、重點、難點

.重點：靈活應用勾股定理及逆定理解決實際問題。

.難點：靈活應用勾股定理及逆定理解決實際問題。

三、例題的意圖分析

例（例）讓學生養(yǎng)成利用勾股定理的逆定理解決實際問題的意識。

例（補充）培養(yǎng)學生利用方程思想解決問題，進一步養(yǎng)成利用勾股定理的逆定理解決實

際問題的意識。

四、課堂引入

創(chuàng)設情境：在軍事和航海上經(jīng)常要確定方向和位置，從而使用一

些數(shù)學知識和數(shù)學方法。

五、例習題分析

例（例）

分析：⑴了解方位角，及方位名詞；

⑵依題意畫出圖形；

⑶依題意可得X,X,;

⑷因為,，根據(jù)勾股定理的逆定理，知/。；

（5）ZZZ°?

小結：讓學生養(yǎng)成“已知三邊求角，利用勾股定理的逆定理”的意識。

例（補充）一根米長的細繩折成段，圍成一個三角形，其中一條邊的長度比較短邊長米,

比較長邊短米，請你試判斷這個三角形的形狀。

分析：⑴若判斷三角形的形狀，先求三角形的三邊長;

⑵設未知數(shù)列方程，求出三角形的三邊長、、；

⑶根據(jù)勾股定理的逆定理，由，知三角形為直角三角形。

解略。

六、課堂練習

.小強在操場上向東走80m后，又走了60m,再走100m

原地。小強在操場上向東走了80m后，又走60m的方向是。

.如圖，在操場上豎直立著一根長為米的測影竿，早晨測

的影長為米，中午測得它的影長為米，則、、三點能否構成直

角形？為什么？

.如圖，在我國沿海有一艘不明國籍的輪船進入我國海域，

我海軍甲、乙兩艘巡邏艇立即從相距海里的、兩個基地前去

攔截，六分鐘后同時到達地將其攔截。已知甲巡邏艇每小時

航行海里，乙巡邏艇每小時航行海里，航向為北偏西。，問：

甲巡邏艇的航向？

七、課后練習

.一根米繩子，折成三邊為三個連續(xù)偶數(shù)的三角形，則三邊長分別為，此三角形的形狀為。

.一根米的電線桿，用鐵絲、固定，現(xiàn)已知用去鐵絲米，米，A

又測得地面上、兩點之間距離是米，、兩點之間距離是米，則電A

線桿和地面是否垂直，為什么？/\

.如圖，小明的爸爸在魚池邊開了一塊四邊形土地種了一些/\

蔬菜，爸爸讓小明計算一下土地的面積，以便計算一下產(chǎn)量。D/\c

小明找了一卷米尺，測得米，米，米，米，又已知N。。vj\

A

八、參考答案：

課堂練習：

.向正南或正北。

.能，因為，，，所以；

.由△是直角三角形，可知N/。，所以有N。，航向為北偏東。。

課后練習：

.米，米，米，直角三角形；

.△、△是直角三角形，和地面垂直。

.提示：連結°,,因此N。，

四邊形△△平方米。

課后反思:

勾股定理的逆定理（三）

一、教學目標

.應用勾股定理的逆定理判斷一個三角形是否是直角三角形。

.靈活應用勾股定理及逆定理解綜合題。

.進一步加深性質(zhì)定理與判定定理之間關系的認識。

二、重點、難點

.重點：利用勾股定理及逆定理解綜合題。

.難點：利用勾股定理及逆定理解綜合題。

三、例題的意圖分析

例（補充）利用因式分解和勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀。

例（補充）使學生掌握研究四邊形的問題，通常添置輔助線把它轉化為研究三角形的問

題。本題輔助線作平行線間距離無法求解。創(chuàng)造、、勾股數(shù)，利用勾股定理的逆定理證明就是

平行線間距離。

例（補充）勾股定理及逆定理的綜合應用，注意條件的轉化及變形。

四、課堂引入

勾股定理和它的逆定理是黃金搭檔,經(jīng)常綜合應用來解決一些難度較大的題目。

五、例習題分析

例（補充）已知：在△中，Z,/、/的對邊分別是、、，滿足。

試判斷△的形狀。

分析：⑴移項，配成三個完全平方；⑵三個非負數(shù)的和為，則

都為；⑶已知、、，利用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀為直角

三角形。

例（補充）已知：如圖，四邊形，〃，，，，。

求：四邊形的面積。

分析：（1）作〃，連結，則可以證明△三△（）;

（2）,,；⑶在△中，、、勾股數(shù)，△為直角三角形，!；⑷利用梯形面積公式可解，或利用三

角形的面積。

例（補充）已知：如圖，在△中，是邊上的高，且?。

求證：△是直角三角形。

分析：：，

（）

六、課堂練習

.若△的三邊、、，滿足（一）（H—），則△是（

.等腰三角形；

.直角三角形；

.等腰三角形或直角三角形；

.等腰直角三角形。

.若△的三邊、、，滿足：：：：血，試判斷△的形狀。

313

.已知：如圖，四邊形，，且，。

44

求：四邊形的面積。

.已知：在△中，Z°,_L于，且

求證：△中是直角三角形。

七、課后練習，

.若△的三邊、、滿足6al0c,求△的面積。

.在△中，13cm,24cm,中線5cm。

求證：△是等腰三角形。

.已知：如圖，ZZ,,為上一點，且，。

求證：。.已知△的三邊為、、，且，，V14,試判定△的形

狀。

八、參考答案：

課堂練習：

.△是等腰直角三角形;

9

14

.提示：?.?，，???

?（）,AZ%

課后練習：

.提示：因為，所以J_,根據(jù)線段垂直平分線的判定可知。

.提示：有得/。；由△三△,得,，NN。，根據(jù)線段垂直平分線的判定可知，則。

.提示：直角三角形，用代數(shù)方法證明，因為（），，，所以。又因為，所以。

課后反思:

第章勾股定理復習（一）

教學目標

1.復習鞏固勾股定理相關知識

.會用勾股定理進行簡單的計算，及解決簡單的實際問題

.樹立數(shù)形結合的思想、分類討論思想

重點：勾股定理的簡單計算

難點：勾股定理的靈活運用

教學過程：

一、回顧與思考

復習勾股定理的相關知識：

.直角三角形三邊的長有什么關系？找一個實際問題并用勾股定理解決。

.已知一個三角形的三邊，就能判斷它是不是直角三角形。你能舉個例子嗎？

.如果一個命題成立，它的逆命題一定成立嗎？請舉例說明.

二、例習題分析

例（補充）在ZC=900

（1）已知〃=匕=5,求c.&）已知”=Lc=2,求6

（3）已知,=17,6=8,求a.⑷已知a：1=l：2,c=5,求a.

⑸已知名=15,ZA=30°,求a，c

分析：讓學生畫好圖形，并標好圖形，理清邊之間的關系.

⑴已知兩直角邊，求斜邊直接用勾股定理.

⑵⑶已知斜邊和一直角邊，求另一直角邊，用勾股定理的便形式.

⑷⑸已知一邊和兩邊比，求未知邊.通過前三題，讓學生明確在直角三角形中，已知任意兩

邊都可以求出第三邊.后兩題讓學生明確已知一邊和兩邊關系，也可以求出未知邊，繼續(xù)鞏

固見比設參的數(shù)學方法，體會由角轉化為邊的關系的轉化思想.

例（補充）已知直角三角形的兩邊長分別為和，求第三邊.

分析：已知兩邊中較大邊可能是直角邊，也可能是斜邊，因此應分兩種情況分別進形計算.讓

學生知道考慮問題要全面，體會分類討論思想.

例（補充）已知：如圖，等邊的邊長是6cm

⑴求等邊MBC的高

ADB

⑵求S^BC

分析：勾股定理的使用范圍是在直角三角形中，因此注意要創(chuàng)造直角三角形，作高是常用的

創(chuàng)造直角三角形的輔助線做法.欲求高，可將其置身于用4叱或必4吐中，但只有一邊

AD=BD=—AB=3cm

已知，根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)，可求2,則此題可解.

例4.(1)在中，ZACB=90°,AB=5cm9BC=3cm,CD_LAB于。，CD=

⑵已知直角三角形的兩直角邊長之比為3”,斜邊長為15,則這個三角形的面積為

⑶已知直角三角形的周長為3。斜邊長為13cm,則這個三角形的面積為

分析：在解直角三角形時，要想到勾股定理，及兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積.有

時可根據(jù)勾股定理列方程求解

---------------8==2/

解：(1)AC=vAB2-BC2=4,ABA.

⑵設兩直角邊的長分別為弘，4入(3公2+(4幻2=152,.."=3,S=54/

⑶設兩直角邊分別為。，b,貝ija+b=17,a2+b2=2S9,可得必=60D/

S=-ab=30

2cm：

三.課堂練習

.填空題

⑴在即AA3C,ZC=90°,a=8,b=\5,則c

⑵在心AA3C,ZB=90°,a=3,b=4,則c

⑶在R/AABC,NC=90°,c=10,a:b=3:4f則。，b

⑷一個直角三角形的三邊為三個連續(xù)偶數(shù)，則它的三邊長分別為

⑸已知直角三角形的兩邊長分別為3cm和5c,則第三邊長為

⑹已知等邊三角形的邊長為2?！?，則它的高為，面積為

.已知：如圖，在4RC中，ZC=60°,A8=40，

AC=4,4D是8C邊上的高，求3c的長

B

三、課堂小結