勾股定理全章教案人教版

第十八章勾股定理

.勾股定理（一）

一、教學(xué)目標(biāo)

.了解勾股定理的發(fā)現(xiàn)過程，掌握勾股定理的內(nèi)容，會(huì)用面積法證明勾股定理。

.培養(yǎng)在實(shí)際生活中發(fā)現(xiàn)問題總結(jié)規(guī)律的意識(shí)和能力。

.介紹我國古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激發(fā)學(xué)生的愛國熱情，促其勤奮學(xué)習(xí)。

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)

.重點(diǎn)：勾股定理的內(nèi)容及證明。

.難點(diǎn)：勾股定理的證明。

三、例題的意圖分析

例（補(bǔ)充）通過對(duì)定理的證明，讓學(xué)生確信定理的正確性；通過拼圖，發(fā)散學(xué)生的思維,

鍛煉學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐能力；這個(gè)古老的精彩的證法，出自我國古代無名數(shù)學(xué)家之手。激發(fā)學(xué)

生的民族自豪感，和愛國情懷。

例使學(xué)生明確，圖形經(jīng)過割補(bǔ)拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會(huì)改變。進(jìn)一步讓

學(xué)生確信勾股定理的正確性。

四、課堂引入

目前世界上許多科學(xué)家正在試圖尋找其他星球的“人”，為此向宇宙發(fā)出了許多信號(hào)，如地

球上人類的語言、音樂、各種圖形等。我國數(shù)學(xué)家華羅庚曾建議，發(fā)射一種反映勾股定理的

圖形，如果宇宙人是“文明人”，那么他們一定會(huì)識(shí)別這種語言的。這個(gè)事實(shí)可以說明勾股定理

的重大意義。尤其是在兩千年前，是非常了不起的成就。

讓學(xué)生畫一個(gè)直角邊為和的直角△,用刻度尺量出的長。

以上這個(gè)事實(shí)是我國古代多年前有一個(gè)叫商高的人發(fā)現(xiàn)的，他說：“把一根直尺折成直角，

兩段連結(jié)得一直角三角形，勾廣三，股修四，弦隅五。'’這句話意思是說一個(gè)直角三角形較短

直角邊（勾）的長是，長的直角邊（股）的長是，那么斜邊（弦）的長是。

再畫一個(gè)兩直角邊為和的直角4,用刻度尺量的長。

你是否發(fā)現(xiàn)與的關(guān)系，和的關(guān)系，即，，那么就有勾股弦。

對(duì)于任意的直角三角形也有這個(gè)性質(zhì)嗎？

五、例習(xí)題分析

例（補(bǔ)充）已知：在△中，/。，/、/、N的對(duì)邊為、、。DC

求證：+。

分析：⑴讓學(xué)生準(zhǔn)備多個(gè)三角形模型，最好是有顏色的吹塑紙，讓R\

學(xué)生拼擺不同的形狀，利用面積相等進(jìn)行證明。

⑵拼成如圖所示，其等量關(guān)系為：A，卜正大正

x；+（-）,化簡可證。\

⑶發(fā)揮學(xué)生的想象能力拼出不同的圖形，進(jìn)行證明。人<=B

（4）勾股定理的證明方法，達(dá)余種。這個(gè)古老的精彩的證法，出自

我國古代無名數(shù)學(xué)家之手。激發(fā)學(xué)生的民族自豪感，和愛國情懷。

例已知：在△中，/。，/、/、/的對(duì)邊為、、。

求證：+o

分析：左右兩邊的正方形邊長相等，則兩個(gè)正方形的面積相等。

左邊X—+

2

右邊（）

左邊和右邊面積相等，即

xl+（）

2

化簡可證。

六、課堂練習(xí)

.勾股定理的具體內(nèi)容是：。

.如圖，直角△的主要性質(zhì)是:N°,（用幾何語言表示）

⑴兩銳角之間的關(guān)系：；

⑵若為斜邊中點(diǎn)，則斜邊中線;

⑶若N。，則/的對(duì)邊和斜邊：；

⑷三邊之間的關(guān)系：。

.△的三邊、、，若滿足+,則。；若滿足＞+，則/是角；若滿足

＜+.則/是角。

.根據(jù)如圖所示，利用面積法證明勾股定理。

七、課后練習(xí)

.已知在△中，/。,、、是△的三邊，則

⑴。（已知、，求）

⑵。（已知、,求）

⑶。（已知、，求）

.如下表，表中所給的每行的三個(gè)數(shù)、、，有＜＜，試根據(jù)表中已有數(shù)的規(guī)律，寫出當(dāng)時(shí)，.

的值，并把、用含的代數(shù)式表示出來。

、、

、、

、、

、、

...

，、

.在△中，Z0,1073,一動(dòng)點(diǎn)從向以每秒2cm的速度移動(dòng)，問當(dāng)點(diǎn)移動(dòng)多少秒時(shí)，與腰

垂直。

.已知：如圖，在△中，，在的延長線上。

求證：（D—

⑵若在上，結(jié)論如何，試證明你的結(jié)論。

.勾股定理（二）

一、教學(xué)目標(biāo)

.會(huì)用勾股定理進(jìn)行簡單的計(jì)算.

.樹立數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論思想。

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)

.重點(diǎn)：勾股定理的簡單計(jì)算。

.難點(diǎn)：勾股定理的靈活運(yùn)用。

三、例題的意圖分析

例（補(bǔ)充）使學(xué)生熟悉定理的使用，剛開始使用定理，讓學(xué)生畫好圖形，并標(biāo)好圖形，

理清邊之間的關(guān)系。讓學(xué)生明確在直角三角形中，已知任意兩邊都可以求出第三邊。并學(xué)會(huì)

利用不同的條件轉(zhuǎn)化為已知兩邊求第三邊。

例（補(bǔ)充）讓學(xué)生注意所給條件的不確定性，知道考慮問題要全面，體會(huì)分類討論思想。

例（補(bǔ)充）勾股定理的使用范圍是在直角三角形中，因此注意要?jiǎng)?chuàng)造直角三角形，作高

是常用的創(chuàng)造直角三角形的輔助線做法。讓學(xué)生把前面學(xué)過的知識(shí)和新知識(shí)綜合運(yùn)用，提高

綜合能力。

四、課堂引入

復(fù)習(xí)勾股定理的文字?jǐn)⑹觯还垂啥ɡ淼姆?hào)語言及變形。學(xué)習(xí)勾股定理重在應(yīng)用。

五、例習(xí)題分析

例（補(bǔ)充）在4,z°

⑴已知，求。

（2）已知，求。

⑶已知，求。

（4）已知：：，求。

⑸已知，Z°,求，。

分析：剛開始使用定理，讓學(xué)生畫好圖形，并標(biāo)好圖形，理清邊之間的關(guān)系。⑴已知兩

直角邊，求斜邊直接用勾股定理。⑵⑶已知斜邊和一直角邊，求另一直角邊，用勾股定理的

便形式。⑷⑸已知一邊和兩邊比，求未知邊。通過前三題讓學(xué)生明確在直角三角形中，已知

任意兩邊都可以求出第三邊。后兩題讓學(xué)生明確已知一邊和兩邊關(guān)系，也可以求出未知邊，

學(xué)會(huì)見比設(shè)參的數(shù)學(xué)方法，體會(huì)由角轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系的轉(zhuǎn)化思想。

例（補(bǔ)充）已知直角三角形的兩邊長分別為和，求第三邊。

分析：已知兩邊中較大邊可能是直角邊，也可能是斜邊，因此應(yīng)分兩種情況分別進(jìn)形計(jì)算。

讓學(xué)生知道考慮問題要全面，體會(huì)分類討論思想。

例（補(bǔ)充）已知：如圖，等邊△的邊長是。C

⑴求等邊4的高?！?/p>

⑵求A。

分析：勾股定理的使用范圍是在直角三角形中，因此注意

要

創(chuàng)造直角三角形，作高是常用的創(chuàng)造直角三角形的輔助線做

法。欲求高，可將其置身于△或△中，ADB

但只有一邊已知，根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)，可求則

2

此題可解。

六、課堂練習(xí)

.填空題

⑴在△,/。，，，貝h

⑵在△,N。,，,則。

⑶在4，/。，，：：，貝I」，。

⑷一個(gè)宜角三角形的三邊為三個(gè)連續(xù)偶數(shù)，則它的三邊長分別為。

⑸己知直角三角形的兩邊長分別為和，，則第三邊長為。

⑹已知等邊三角形的邊長為2cm,則它的高為，面積為。

.己知：如圖，在△中，Z0,4石，，是邊上的高，求的

長。

.已知等腰三角形腰長是，底邊長是，求這個(gè)等腰三角形

的面積。

七、課后練習(xí)

.填空題

在小，Z°,

⑴如果，,則。

⑵如果N。,,則。

⑶如果N。,，則。

⑷如果,,則。

⑸如果、、是連續(xù)整數(shù)，則。

⑹如果，：：，貝人

.已知I：如圖，四邊形中，〃，±,

±,1cm,求的長。

八、參考答案

課堂練習(xí)

.;;>:,,;或J34；V3,V3；

課后練習(xí)

2百

.:A/3；V2；

亍

課后反思：

.勾股定理（三）

一、教學(xué)目標(biāo)

.會(huì)用勾股定理解決簡單的實(shí)際問題。

.樹立數(shù)形結(jié)合的思想。

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)

.重點(diǎn)：勾股定理的應(yīng)用。

.難點(diǎn)：實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化。

三、例題的意圖分析

例（教材頁探究）明確如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，注意條件的轉(zhuǎn)化；學(xué)會(huì)如何利

用數(shù)學(xué)知識(shí)、思想、方法解決實(shí)際問題。

例（教材頁探究）使學(xué)生進(jìn)一步熟練使用勾股定理，探究直角三角形三

邊的關(guān)系：保證一邊不變，其它兩邊的變化。

四、課堂引入

勾股定理在實(shí)際的生產(chǎn)生活當(dāng)中有著廣泛的應(yīng)用。勾股定理的發(fā)現(xiàn)和使

用解決了許多生活中的問題，今天我們就來運(yùn)用勾股定理解決一些問題，你

可以嗎？試一試。

五、例習(xí)題分析

例（教材頁探究）

分析：⑴在實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化過程中，注意勾股定理的使用條件，

即門框?yàn)殚L方形，四個(gè)角都是直角。⑵讓學(xué)生深入探討圖中有幾個(gè)直角三角形？圖中標(biāo)字母

的線段哪條最長？⑶指出薄木板在數(shù)學(xué)問題中忽略厚度，只記長度，探討以何種方式通過？

⑷轉(zhuǎn)化為勾股定理的計(jì)算，采用多種方法。⑸注意給學(xué)生小結(jié)深化數(shù)學(xué)建模思想，激發(fā)數(shù)學(xué)

興趣。

例（教材頁探究）

分析：⑴在△中，已知，，利用勾股定理計(jì)算。

（2）在△中，已知，，利用勾股定理計(jì)算。

則一，通過計(jì)算可知九

⑶進(jìn)一步讓學(xué)生探究和的關(guān)系，給不同的值，計(jì)算。

六、課堂練習(xí)

.小明和爸爸媽媽十一登香山，他們沿著度的坡路走了米，看到了一棵紅葉樹，這棵紅葉

樹的離地面的高度是米。

.如圖，山坡上兩株樹木之間的坡面距離是4Ji米，則這兩株樹之間的垂直距離是

米，水平距離是米。

C

題圖題圖

.如圖，一根米高的電線桿兩側(cè)各用米的鐵絲固定，兩個(gè)固定點(diǎn)之間的距離是。

.如圖，原計(jì)劃從地經(jīng)地到地修建一條高速公路，后因技術(shù)攻關(guān)，可以打隧道由地到地直

接修建，已知高速公路一公里造價(jià)為萬元，隧道總長為公里，隧道造價(jià)為萬元，公里，公里,

則改建后可省工程費(fèi)用是多少？

七、課后練習(xí)

.如圖，欲測量松花江的寬度，沿江岸取、兩點(diǎn)，在江

對(duì)岸取一點(diǎn)，使垂直江岸，測得米，

BC

z°,則江面的寬度為。

.有一個(gè)邊長為米正方形的洞口，想用一個(gè)圓形蓋去蓋住這

個(gè)洞口，則圓形蓋半徑至少為米。

.一根厘米的繩子被折成如圖所示的形狀釘在、兩點(diǎn)，厘米,

且_L,則厘米。

.如圖，鋼索斜拉大橋?yàn)榈妊切危е呙?，NN°,、

分別為、中點(diǎn)，試求、兩點(diǎn)之間的距離，鋼索和的長度。

（精確到米）

BEDFC

八、參考答案:

課堂練習(xí)：

.250VL26；

.米；

課后練習(xí)

.50Vl米;

.米，米，米;

課后反思:

勾股定理（四）

一、教學(xué)目標(biāo)

.會(huì)用勾股定理解決較綜合的問題。

.樹立數(shù)形結(jié)合的思想。

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)

.重點(diǎn)：勾股定理的綜合應(yīng)用。

.難點(diǎn)：勾股定理的綜合應(yīng)用。

三、例題的意圖分析

例（補(bǔ)充）“雙垂圖”是中考重要的考點(diǎn)，熟練掌握“雙垂圖''的圖形結(jié)構(gòu)和圖形性質(zhì)，通過

討論、計(jì)算等使學(xué)生能夠靈活應(yīng)用。目前“雙垂圖”需要掌握的知識(shí)點(diǎn)有：個(gè)直角三角形，三個(gè)

勾股定理及推導(dǎo)式，兩對(duì)相等銳角，四對(duì)互余角，及。或。特殊角的特殊性質(zhì)等。

例（補(bǔ)充）讓學(xué)生注意所求結(jié)論的開放性，根據(jù)已知條件，作適當(dāng)輔助線求出三角形中

的邊和角。讓學(xué)生掌握解一般三角形的問題常常通過作高轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題。使學(xué)生

清楚作輔助線不能破壞已知角。

例（補(bǔ)充）讓學(xué)生掌握不規(guī)則圖形的面積，可轉(zhuǎn)化為特殊圖形求解，本題通過將圖形轉(zhuǎn)

化為直角三角形的方法，把四邊形面積轉(zhuǎn)化為三角形面積之差。在轉(zhuǎn)化的過程中注意條件的

合理運(yùn)用。讓學(xué)生把前面學(xué)過的知識(shí)和新知識(shí)綜合運(yùn)用，提高解題的綜合能力。

例（教材頁探究）讓學(xué)生利用尺規(guī)作圖和勾股定理畫出數(shù)軸上的無理數(shù)點(diǎn)，進(jìn)一步體會(huì)

數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)的理論。

四、課堂引入

復(fù)習(xí)勾股定理的內(nèi)容。本節(jié)課探究勾股定理的綜合應(yīng)用。

五、例習(xí)題分析

例（補(bǔ)充）.已知：在△中，N。，，于，N。，拒,

求線段的長。

分析：本題是“雙垂圖''的計(jì)算題，“雙垂圖”是中考重要的考點(diǎn)，所以要求學(xué)生對(duì)圖形及性質(zhì)掌

握非常熟練，能夠靈活應(yīng)用。目前“雙垂圖''需要掌握的知識(shí)點(diǎn)有：個(gè)直角三角形，三個(gè)勾股定

理及推導(dǎo)式，兩對(duì)相等銳角，四對(duì)互余角，及。或。特殊角的特殊

性質(zhì)等。

要求學(xué)生能夠自己畫圖，并正確標(biāo)圖.引導(dǎo)學(xué)生分析：欲求,

可由，分別在兩個(gè)三角形中利用勾股定理和特殊角，求出和?；?/p>

欲求，可由=,分別在兩個(gè)三角形中利用勾股

定理和特殊角，求出和。

例（補(bǔ)充）己知：如圖，△中，，Z°,/。，根據(jù)題設(shè)可知

什么？

分析：由于本題中的△不是直角三角形，所以根據(jù)題設(shè)只能直

接求得N。。在學(xué)生充分思考和討論后，發(fā)現(xiàn)添置邊上的高這條

輔助線，就可以求得，，，，及…讓學(xué)生充分討論還可以作其它

輔助線嗎？為什么？

小結(jié)：可見解一般三角形的問題常常通過作高轉(zhuǎn)化為直角

三角形的問題。并指出如何作輔助線？

解略。

例（補(bǔ)充）已知：如圖，ZZ°,Z°,,?求：四邊形的

面積。

分析：如何構(gòu)造直角三角形是解本題的關(guān)鍵，可以連結(jié)，或

延長、交于，或延長、交于，根據(jù)本題給定的角應(yīng)選后兩種,

進(jìn)一步根據(jù)本題給定的邊選第三種較為簡單。教學(xué)中要逐層E

展示給學(xué)生，讓學(xué)生深入體會(huì)。

解：延長、交于。

VZZ°,z°,

,J484-\/3o

y/n2V3o

.11?/i

22

小結(jié)：不規(guī)則圖形的面積，可轉(zhuǎn)化為特殊圖形求解，本題通過將圖形轉(zhuǎn)化為直角三角形

的方法，把四邊形面積轉(zhuǎn)化為三角形面積之差。

例（教材頁探究）

分析：利用尺規(guī)作圖和勾股定理畫出數(shù)軸上的無理數(shù)點(diǎn)，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一

對(duì)應(yīng)的理論。

變式訓(xùn)練：在數(shù)軸上畫出表示6-1,2的點(diǎn)。

六、課堂練習(xí)

.△中，25cm,高20cm，則，△。

.△中，若NNN,2后，則/度，N度,/度,，“

.△中，N。，，26，，于，則，，，A。A

.已知：如圖，△中，，，，

求A0

--------C

七、課后練習(xí)

.在4中，Z°,J_于，z°,也，。

.在4中，Z°,A,,且V,貝I」，。

.已知：如圖，在△中，N。，Z°,2V2,

求（）的長；（）A。

.在數(shù)軸上畫出表示一歷+君的點(diǎn)。

八、參考答案：

課堂練習(xí)：

.30cm,300cm；

.,,,,2-\/3；

.，V3,,,2-\/3；

.作，于，設(shè)，貝IJ,

1

A一,；

2

課后練習(xí)：

??

?，；

.提示：作，于，，，2V3,26，42百；

.略。

課后反思：

.勾股定理的逆定理（一）

一、教學(xué)目標(biāo)

.體會(huì)勾股定理的逆定理得出過程，掌握勾股定理的逆定理。

.探究勾股定理的逆定理的證明方法。

.理解原命題、逆命題、逆定理的概念及關(guān)系。

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)

.重點(diǎn)：掌握勾股定理的逆定理及證明。

.難點(diǎn)：勾股定理的逆定理的證明。

三、例題的意圖分析

例（補(bǔ)充）使學(xué)生了解命題，逆命題，逆定理的概念，及它們之間的關(guān)系。

例（探究）通過讓學(xué)生動(dòng)手操作，畫好圖形后剪下放到一起觀察能否重合，激發(fā)學(xué)生的

興趣和求知欲，鍛煉學(xué)生的動(dòng)手操作能力，再通過探究理論證明方法，使實(shí)踐上升到理論,

提高學(xué)生的理性思維。

例（補(bǔ)充）使學(xué)生明確運(yùn)用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一般

步驟：①先判斷那條邊最大。②分別用代數(shù)方法計(jì)算出和的值。③判斷和是否相等，若相等,

則是直角三角形；若不相等，則不是直角三角形。

四、課堂引入

創(chuàng)設(shè)情境：⑴怎樣判定一個(gè)三角形是等腰三角形？

⑵怎樣判定一個(gè)三角形是直角三角形？和等腰三角形的判定進(jìn)行對(duì)比，從勾股定

理的逆命題進(jìn)行猜想。

五、例習(xí)題分析

例（補(bǔ)充）說出下列命題的逆命題，這些命題的逆命題成立嗎？

⑴同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩條直線平行。

⑵如果兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方相等，那么兩個(gè)實(shí)數(shù)平方相等。

⑶線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等。

⑷直角三角形中。角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。

分析：⑴每個(gè)命題都有逆命題，說逆命題時(shí)注意將題設(shè)和結(jié)論調(diào)換即可，但要分清題設(shè)

和結(jié)論，并注意語言的運(yùn)用。

⑵理順?biāo)麄冎g的關(guān)系，原命題有真有假，逆命題也有真有假，可能都真，也可能一真

一假，還可能都假。

解略。

例（探究）證明：如果三角形的三邊長，，滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形。

分析：⑴注意命題證明的格式，首先要根據(jù)題意畫出圖

形，然后寫己知求證。

⑵如何判斷一個(gè)三角形是直角三角形，現(xiàn)在只知道

若有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形，從而將問題

轉(zhuǎn)化為如何判斷一個(gè)角是直角。

⑶利用已知條件作一個(gè)直角三角形，再證明和原三

角形全等，使問題得以解決。

⑷先做直角，再截取兩直角邊相等，利用勾股定理計(jì)算斜邊，則通過三邊對(duì)應(yīng)相等的兩

個(gè)三角形全等可證。

⑸先讓學(xué)生動(dòng)手操作，畫好圖形后剪下放到一起觀察能否重合，激發(fā)學(xué)生的興趣和求知

欲，再探究理論證明方法。充分利用這道題鍛煉學(xué)生的動(dòng)手操作能力，由實(shí)踐到理論學(xué)生更

容易接受。

證明略。

例（補(bǔ)充）已知：在△中，/、/、N的對(duì)邊分別是、、，一，，+（＞）

求證：Z°o

分析：⑴運(yùn)用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一般步驟：①先判

斷那條邊最大。②分別用代數(shù)方法計(jì)算出和的值。③判斷和是否相等，若相等，則是直角三

角形；若不相等，則不是直角三角形。

⑵要證N。，只要證△是直角三角形，并且邊最大。根據(jù)勾股定理的逆定理只要證明即可。

⑶由于（一）+（）++,（+）++,從而，故命題獲證。

六、課堂練習(xí)

.判斷題?

⑴在一個(gè)三角形中，如果一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這條邊所對(duì)的角是直角。

⑵命題：“在一個(gè)三角形中，有一個(gè)角是。，那么它所對(duì)的邊是另一邊的一半?！钡哪婷}

是真命題。

⑶勾股定理的逆定理是：如果兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，那么這個(gè)三角形是

直角三角形。

⑷△的三邊之比是：：、歷，則△是直角三角形。

.△中/、N、N的對(duì)邊分別是、、，下列命題中的假命題是(〉

.如果/一//,則△是直角三角形。

.如果一，則^是直角三角形，且/°。

.如果(+)(一),則△是直角三角形。

.如果N：N：N：：,則△是直角三角形。

.下列四條線段不能組成直角三角形的是()

.V5,V3,V2

.已知：在△中，/、N、N的對(duì)邊分別是、、，分別為下列長度，判斷該三角形是否是直

角三角形？并指出那一個(gè)角是直角？

(1)73,2拒，V5；(2),,；

(3),百，77；(4),2屈，。

七、課后練習(xí)，

.敘述下列命題的逆命題，并判斷逆命題是否正確。

⑴如果〉，那么〉；

⑵如果三角形有一個(gè)角小于。，那么這個(gè)三角形是銳角三角形；

⑶如果兩個(gè)三角形全等，那么它們的對(duì)應(yīng)角相等；

⑷關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩條線段一定相等。

.填空題。

⑴任何一個(gè)命題都有，但任何一個(gè)定理未必都有。

(2)“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等?！钡哪娑ɡ硎?。

⑶在△中，若一，則△是三角形，是直角；

若〈一，則/是。

⑷若在△中，一，，+,則△是三角形。

.若三角形的三邊是⑴、百、；⑵LLL⑶,，⑷…

345

(5)(+)(+),(+)+；則構(gòu)成的是直角三角形的有()

.個(gè).3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

.已知：在△中，/、/、N的對(duì)邊分別是、、，分別為下列長度，判斷該三角形是否是

直角三角形？并指出那一個(gè)角是直角？

⑴,，；(2),,；

(3),2名，；⑷,，(〉)。

八、參考答案：

課堂練習(xí)：

.對(duì)，錯(cuò)，錯(cuò)，對(duì)；?;

.；.⑴是，N；⑵不是；⑶是，N；⑷是，N。

課后練習(xí)：

.⑴如果〉，那么〉；假命題。

⑵如果三角形是銳角三角形，那么有一個(gè)角是銳角；真命題。

⑶如果兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形全等；假命題。

⑷兩條相等的線段一定關(guān)于某條直線對(duì)稱；假命題。

.⑴逆命題，逆定理；⑵內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；⑶直角，N,鈍角；⑷直角。

..（D是，Z；⑵不是，；⑶是，Z；⑷是，Zo

課后反思:

勾股定理的逆定理（二）

一、教學(xué)目標(biāo)

.靈活應(yīng)用勾股定理及逆定理解決實(shí)際問題。

.進(jìn)一步加深性質(zhì)定理與判定定理之間關(guān)系的認(rèn)識(shí)。

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)

.重點(diǎn)：靈活應(yīng)用勾股定理及逆定理解決實(shí)際問題。

.難點(diǎn)：靈活應(yīng)用勾股定理及逆定理解決實(shí)際問題。

三、例題的意圖分析

例（例）讓學(xué)生養(yǎng)成利用勾股定理的逆定理解決實(shí)際問題的意識(shí)。

例（補(bǔ)充）培養(yǎng)學(xué)生利用方程思想解決問題，進(jìn)一步養(yǎng)成利用勾股定理的逆定理解決實(shí)

際問題的意識(shí)。

四、課堂引入

創(chuàng)設(shè)情境：在軍事和航海上經(jīng)常要確定方向和位置，從而使用一

些數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法。

五、例習(xí)題分析

例（例）

分析：⑴了解方位角，及方位名詞；

⑵依題意畫出圖形；

⑶依題意可得X,X,;

⑷因?yàn)?，根據(jù)勾股定理的逆定理，知/。；

（5）ZZZ°?

小結(jié)：讓學(xué)生養(yǎng)成“已知三邊求角，利用勾股定理的逆定理”的意識(shí)。

例（補(bǔ)充）一根米長的細(xì)繩折成段，圍成一個(gè)三角形，其中一條邊的長度比較短邊長米,

比較長邊短米，請(qǐng)你試判斷這個(gè)三角形的形狀。

分析：⑴若判斷三角形的形狀，先求三角形的三邊長;

⑵設(shè)未知數(shù)列方程，求出三角形的三邊長、、；

⑶根據(jù)勾股定理的逆定理，由，知三角形為直角三角形。

解略。

六、課堂練習(xí)

.小強(qiáng)在操場上向東走80m后，又走了60m,再走100m

原地。小強(qiáng)在操場上向東走了80m后，又走60m的方向是。

.如圖，在操場上豎直立著一根長為米的測影竿，早晨測

的影長為米，中午測得它的影長為米，則、、三點(diǎn)能否構(gòu)成直

角形？為什么？

.如圖，在我國沿海有一艘不明國籍的輪船進(jìn)入我國海域，

我海軍甲、乙兩艘巡邏艇立即從相距海里的、兩個(gè)基地前去

攔截，六分鐘后同時(shí)到達(dá)地將其攔截。已知甲巡邏艇每小時(shí)

航行海里，乙巡邏艇每小時(shí)航行海里，航向?yàn)楸逼鳌?，問?/p>

甲巡邏艇的航向？

七、課后練習(xí)

.一根米繩子，折成三邊為三個(gè)連續(xù)偶數(shù)的三角形，則三邊長分別為，此三角形的形狀為。

.一根米的電線桿，用鐵絲、固定，現(xiàn)已知用去鐵絲米，米，A

又測得地面上、兩點(diǎn)之間距離是米，、兩點(diǎn)之間距離是米，則電A

線桿和地面是否垂直，為什么？/\

.如圖，小明的爸爸在魚池邊開了一塊四邊形土地種了一些/\

蔬菜，爸爸讓小明計(jì)算一下土地的面積，以便計(jì)算一下產(chǎn)量。D/\c

小明找了一卷米尺，測得米，米，米，米，又已知N。。vj\

A

八、參考答案：

課堂練習(xí)：

.向正南或正北。

.能，因?yàn)椋?，，所以?/p>

.由△是直角三角形，可知N/。，所以有N。，航向?yàn)楸逼珫|。。

課后練習(xí)：

.米，米，米，直角三角形；

.△、△是直角三角形，和地面垂直。

.提示：連結(jié)°,,因此N。，

四邊形△△平方米。

課后反思:

勾股定理的逆定理（三）

一、教學(xué)目標(biāo)

.應(yīng)用勾股定理的逆定理判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形。

.靈活應(yīng)用勾股定理及逆定理解綜合題。

.進(jìn)一步加深性質(zhì)定理與判定定理之間關(guān)系的認(rèn)識(shí)。

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)

.重點(diǎn)：利用勾股定理及逆定理解綜合題。

.難點(diǎn)：利用勾股定理及逆定理解綜合題。

三、例題的意圖分析

例（補(bǔ)充）利用因式分解和勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀。

例（補(bǔ)充）使學(xué)生掌握研究四邊形的問題，通常添置輔助線把它轉(zhuǎn)化為研究三角形的問

題。本題輔助線作平行線間距離無法求解。創(chuàng)造、、勾股數(shù)，利用勾股定理的逆定理證明就是

平行線間距離。

例（補(bǔ)充）勾股定理及逆定理的綜合應(yīng)用，注意條件的轉(zhuǎn)化及變形。

四、課堂引入

勾股定理和它的逆定理是黃金搭檔,經(jīng)常綜合應(yīng)用來解決一些難度較大的題目。

五、例習(xí)題分析

例（補(bǔ)充）已知：在△中，Z,/、/的對(duì)邊分別是、、，滿足。

試判斷△的形狀。

分析：⑴移項(xiàng)，配成三個(gè)完全平方；⑵三個(gè)非負(fù)數(shù)的和為，則

都為；⑶已知、、，利用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀為直角

三角形。

例（補(bǔ)充）已知：如圖，四邊形，〃，，，，。

求：四邊形的面積。

分析：（1）作〃，連結(jié)，則可以證明△三△（）;

（2）,,；⑶在△中，、、勾股數(shù)，△為直角三角形，!；⑷利用梯形面積公式可解，或利用三

角形的面積。

例（補(bǔ)充）已知：如圖，在△中，是邊上的高，且?。

求證：△是直角三角形。

分析：：，

（）

六、課堂練習(xí)

.若△的三邊、、，滿足（一）（H—），則△是（

.等腰三角形；

.直角三角形；

.等腰三角形或直角三角形；

.等腰直角三角形。

.若△的三邊、、，滿足：：：：血，試判斷△的形狀。

313

.已知：如圖，四邊形，，且，。

44

求：四邊形的面積。

.已知：在△中，Z°,_L于，且

求證：△中是直角三角形。

七、課后練習(xí)，

.若△的三邊、、滿足6al0c,求△的面積。

.在△中，13cm,24cm,中線5cm。

求證：△是等腰三角形。

.已知：如圖，ZZ,,為上一點(diǎn)，且，。

求證：。.已知△的三邊為、、，且，，V14,試判定△的形

狀。

八、參考答案：

課堂練習(xí)：

.△是等腰直角三角形;

9

14

.提示：?.?，，???

?（）,AZ%

課后練習(xí)：

.提示：因?yàn)?，所以J_,根據(jù)線段垂直平分線的判定可知。

.提示：有得/。；由△三△,得,，NN。，根據(jù)線段垂直平分線的判定可知，則。

.提示：直角三角形，用代數(shù)方法證明，因?yàn)椋ǎ?，，，所以。又因?yàn)椋浴?/p>

課后反思:

第章勾股定理復(fù)習(xí)（一）

教學(xué)目標(biāo)

1.復(fù)習(xí)鞏固勾股定理相關(guān)知識(shí)

.會(huì)用勾股定理進(jìn)行簡單的計(jì)算，及解決簡單的實(shí)際問題

.樹立數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論思想

重點(diǎn)：勾股定理的簡單計(jì)算

難點(diǎn)：勾股定理的靈活運(yùn)用

教學(xué)過程：

一、回顧與思考

復(fù)習(xí)勾股定理的相關(guān)知識(shí)：

.直角三角形三邊的長有什么關(guān)系？找一個(gè)實(shí)際問題并用勾股定理解決。

.已知一個(gè)三角形的三邊，就能判斷它是不是直角三角形。你能舉個(gè)例子嗎？

.如果一個(gè)命題成立，它的逆命題一定成立嗎？請(qǐng)舉例說明.

二、例習(xí)題分析

例（補(bǔ)充）在ZC=900

（1）已知〃=匕=5,求c.&）已知”=Lc=2,求6

（3）已知,=17,6=8,求a.⑷已知a：1=l：2,c=5,求a.

⑸已知名=15,ZA=30°,求a，c

分析：讓學(xué)生畫好圖形，并標(biāo)好圖形，理清邊之間的關(guān)系.

⑴已知兩直角邊，求斜邊直接用勾股定理.

⑵⑶已知斜邊和一直角邊，求另一直角邊，用勾股定理的便形式.

⑷⑸已知一邊和兩邊比，求未知邊.通過前三題，讓學(xué)生明確在直角三角形中，已知任意兩

邊都可以求出第三邊.后兩題讓學(xué)生明確已知一邊和兩邊關(guān)系，也可以求出未知邊，繼續(xù)鞏

固見比設(shè)參的數(shù)學(xué)方法，體會(huì)由角轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系的轉(zhuǎn)化思想.

例（補(bǔ)充）已知直角三角形的兩邊長分別為和，求第三邊.

分析：已知兩邊中較大邊可能是直角邊，也可能是斜邊，因此應(yīng)分兩種情況分別進(jìn)形計(jì)算.讓

學(xué)生知道考慮問題要全面，體會(huì)分類討論思想.

例（補(bǔ)充）已知：如圖，等邊的邊長是6cm

⑴求等邊MBC的高

ADB

⑵求S^BC

分析：勾股定理的使用范圍是在直角三角形中，因此注意要?jiǎng)?chuàng)造直角三角形，作高是常用的

創(chuàng)造直角三角形的輔助線做法.欲求高，可將其置身于用4叱或必4吐中，但只有一邊

AD=BD=—AB=3cm

已知，根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)，可求2,則此題可解.

例4.(1)在中，ZACB=90°,AB=5cm9BC=3cm,CD_LAB于。，CD=

⑵已知直角三角形的兩直角邊長之比為3”,斜邊長為15,則這個(gè)三角形的面積為

⑶已知直角三角形的周長為3。斜邊長為13cm,則這個(gè)三角形的面積為

分析：在解直角三角形時(shí)，要想到勾股定理，及兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積.有

時(shí)可根據(jù)勾股定理列方程求解

---------------8==2/

解：(1)AC=vAB2-BC2=4,ABA.

⑵設(shè)兩直角邊的長分別為弘，4入(3公2+(4幻2=152,.."=3,S=54/

⑶設(shè)兩直角邊分別為。，b,貝ija+b=17,a2+b2=2S9,可得必=60D/

S=-ab=30

2cm：

三.課堂練習(xí)

.填空題

⑴在即AA3C,ZC=90°,a=8,b=\5,則c

⑵在心AA3C,ZB=90°,a=3,b=4,則c

⑶在R/AABC,NC=90°,c=10,a:b=3:4f則。，b

⑷一個(gè)直角三角形的三邊為三個(gè)連續(xù)偶數(shù)，則它的三邊長分別為

⑸已知直角三角形的兩邊長分別為3cm和5c,則第三邊長為

⑹已知等邊三角形的邊長為2?！?，則它的高為，面積為

.已知：如圖，在4RC中，ZC=60°,A8=40，

AC=4,4D是8C邊上的高，求3c的長

B

三、課堂小結(jié)