高中數(shù)學(xué)教學(xué)與測(cè)試-第3章

9幕函數(shù)與二次函數(shù)

本課導(dǎo)航

通過具體實(shí)例，結(jié)合函數(shù)y=x,y=~,y=x2,y=?,y=V的圖象了解

X

幕函數(shù)，理解它們的變化規(guī)律，了解它們的變化情況；理解并掌握二次函數(shù)的定

義、圖象及性質(zhì).

1.一般地，形如y=V(aeR)的函數(shù)稱為基函數(shù)，其中底數(shù)x是自變量，a

為常數(shù).

2.二次函數(shù)解析式的三種形式.一般式：f^^^+bx+cQ#0)；頂點(diǎn)式：

2

/(x)=a(x-h)+k(存0)；兩根式：f(x)=a(x-)(x-x2)(a#0).

n

3.有關(guān)器函數(shù)的幾個(gè)結(jié)論.對(duì)于形如/(x)=x"(其中機(jī)eN*,neZ,機(jī)與〃互

質(zhì))的幕函數(shù)：

(1)當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，/(x)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；

(2)當(dāng)加，〃都為奇數(shù)時(shí)，/(%)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；

(3)當(dāng)加為偶數(shù)時(shí)，x>0(或x?0),/(x)是非奇非偶函數(shù)，圖象位于

第一象限(或第一象限及原點(diǎn)處).

4.二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值.

設(shè)二次函數(shù)/(x)=ax?+bx+c(a>0),閉區(qū)間為

(1)當(dāng)時(shí)，最小值為/'(，”)，最大值為/(〃)；

2a

(2)當(dāng)機(jī)<一24竺士時(shí)，最小值為/(一凹，最大值為/(〃)；

(3)當(dāng)?shù)取匆槐P4〃時(shí)，最小值為/(_《)，最大值為/(〃?)；

(4)當(dāng)-2>〃時(shí)，最小值為了(〃)，最大值為了(加).

2a

課前熱身

1.己知基函數(shù)月(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(4,；),則/(2)=()

1V2

A.-B.4C.—D.2

42

【答案】C

【解析】設(shè)/(x)=x「?.?圖象過點(diǎn)(4,；),.?./(4)=4。=:,解得a=—

1V2

"⑵=2-二三

2.已知嘉函數(shù)1+2〃-2=1(〃eZ)的圖象關(guān)于〉軸對(duì)稱，且在(0,+oo)

上是減函數(shù)，則〃的值為()

A.-3B.lC.2D.1或2

【答案】B

【解析】由于/(x)為痔函數(shù)，所以f+2〃-2=1,解得〃=1或"=一3.當(dāng)

〃=1時(shí)，函數(shù)/(x)=x—2為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且/(x)在(0,+oo)

上是減函數(shù)，所以〃=1滿足題意；當(dāng)〃=一3時(shí)，函數(shù)/(x)=/為偶函數(shù)，其圖

象關(guān)于y軸對(duì)稱，而/(無)在(0,+oo)上是增函數(shù)，所以〃=一3不滿足題意，

舍去.故選B.

3.(多選)已矢口函數(shù)/(x)=—d+2x+l的定義域?yàn)?-2,3),貝U函數(shù)/(|x|)

的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.(-co,-1)B.(-3,-1)C.(0,1)D.(1,3)

【答案】BC

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)/(%)=-丁+2》+1的定義域?yàn)?-2,3),對(duì)稱軸為直線

x=\,開口向下，所以函數(shù)/(|x|)滿足-2<|x|<3,所以-3<x<3.又

=_/+2|幻+1=(一工+2*+1，,且/(%)=—f+2x+i圖象的對(duì)稱軸為

-x2-2x+l,-3<^<0,

直線廠一1,所以由二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知，函數(shù)/(|x|)的單調(diào)遞增區(qū)間是

(-3,-1)和(0,1).故選BC.

4.已知基函數(shù)的圖象過點(diǎn)^，乎］,則此函數(shù)的解析式為,

在區(qū)間上遞減.

【答案】y=”，(0,+00).

【解析】設(shè)y==因?yàn)閳D象過點(diǎn)［2,爭(zhēng)，代入解析式得a=—；,

則y=”，由性質(zhì)可知函數(shù)y=”在(0,+oo)上遞減.

課堂示例

例1已知二次函數(shù)/(x)滿足/(2)=-1,/(-I)=-1,且/(X)的最

大值是8,求二次函數(shù)/(x)的解析式.

【答案】f(x)=-4x2+4x+l.

【解析】法1：(利用二次函數(shù)的一般式)設(shè)f(x)=ax2+hx+c(分0).由題

4Q+2/?+C=-1,a=-4,

意得＜。一匕+。=一1,解得上=4,故所求二次函數(shù)為/(x)=-4x2+4x+7.

4ac-b2

4a

法2：(利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)式)設(shè)/(x)-a(x-m)2+n(分0).V/(2)

?..拋物線對(duì)稱軸為戶號(hào)4又根據(jù)題意函數(shù)有最

大值8,???九二8,；?y=/(%)=〃+8.?//(2)=-1,/?a+8=—1，

解得。二-4,f(x)=-4+8=―4廠+4x+7.

法3：(利用二次函數(shù)的零點(diǎn)式)由已知/(%)+1=0的兩根為玉=2,々=2,

故可設(shè)f(x)+l=a(x—2)Cx+l),即/*)=6？-or-2a-1.又函數(shù)有最大值ynax=8,

即4g2a二!)M=8,解得a=-4或。=0(舍去)，故所求函數(shù)解析式為

f(x)=-4x2+4x+7.

【情景與層級(jí)】本題情景為課程教學(xué)情景，層級(jí)為基礎(chǔ)性.

【題眼與方法】本題的題眼為通過設(shè)出二次函數(shù)的解析式，應(yīng)用選定系數(shù)法,

結(jié)合求最值的方法求得解析式.

【能力與素養(yǎng)】本題考查的學(xué)科素養(yǎng)為邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算，運(yùn)算求解能力

在問題解決的過程得到了充分體現(xiàn).

變式1(1)已知二次函數(shù)/(x)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-2,-1),且圖

象經(jīng)過點(diǎn)(1,0),則函數(shù)的解析式為/(x)=.

(2)已知二次函數(shù)/(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(4,3),它在x軸上截得的線段長(zhǎng)

為2,并且對(duì)任意xeR,都有/(2—尤)寸X2+x),則函數(shù)的解析式/(x)=_______.

【答案】(1)/(x)=1x2+^x-|；(2)f(x)=x2-4x+3.

【解析】(1)法1：設(shè)所求解析式為/(乃=依2+辰+。(。，0).由已知得

-j,1

2aa~9,

2

4ac-b.皿R

--——二-1,解得《人=1,所以所求解析式為=+

4。

Q+/7+C=0,5

C---

9'

-^-=-2,

2a

法2：設(shè)所求解析式為/(x)=ox2+Z?x+c(存0).依題意得，解

4a

a+b+c=0,

1

Q=

9-

得人=3所以所求解析式為/(x)=#+*|.

5

[9'

法3：設(shè)所求解析式為/(x)=a(x-〃＞+女.由已知得/(x)=a(x+2)2-1,將

點(diǎn)(1,0)代入，得a=[,所以/(X)="(X+2)2-1,即/(x)=+[x一怖.

(2)V/(2-x)=f(2+x)對(duì)xeR恒成立，：.f(x)的對(duì)稱軸為42.又二/

(x)的圖象被x軸截得的線段長(zhǎng)為2,.?./(x)=0的兩根為1和3.設(shè)/(x)的

解析式為/(x)=a(%—1)(%—3)(a/0).又?；/(無)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(4,3),

3a=3,a=l.，所求/(X)的解析式為/(x)=(x—1)-(X—3),即/(x)=x2-4x+3.

變式2已知函數(shù)/。0凱％)=/+2%.

(1)求函數(shù)/(x)的解析式；

(2)若方程/")=。-2'-4在區(qū)間(0,2)內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)

a的取值范圍.

【答案】(1)/(x)=4'+2川；(2)6＜。＜7.

【解析】⑴設(shè)E*,feR,則x=2',f(t)=22'+2-2'=4'+2'+',：.

f(x)=4x+2x+'.

(2)?.?方程/。)="2、-4在區(qū)間(0,2)內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，，

4'+(2-“)2，+4=0在(0,2)內(nèi)有兩個(gè)不相等實(shí)根.令2'=加，則機(jī)e(1,4),

h(m)=m2+(2-a)m+4,：.h(〃力=0在(1,4)上有兩個(gè)不相等的實(shí)根，

(2-a)2-16>0,

.a—2

<<2<'解得6<a<7.

7-a>0,

28—4。>0,

例2若函數(shù)/(%=加+2"+1在［1,2］上有最大值4,則。的值為.

【答案】|

8

【解析】f(x)-a(x+1)2+1—a.①當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間［1,2］Jt

的值為常數(shù)1,不符合題意，舍去；②當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)/(x)在區(qū)間［1,2］上是

增函數(shù)，最大值為/(2)=8a+l=4,解得。=2；③當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)/(無)在區(qū)

8

間［1,2］上是減函數(shù)，最大值為/(I)=3a+l=4,解得a=l,不符合題意，舍去.

綜上可知，a的值為士.

8

【情景與層級(jí)】本題情景為課程學(xué)習(xí)情景與探索創(chuàng)新情景，其考查層級(jí)為基

礎(chǔ)性、綜合性.

【題眼與方法】本題的題眼為發(fā)現(xiàn)對(duì)稱為定值，以此為突破口，運(yùn)用分類討

論、函數(shù)的單調(diào)性解決問題.

【能力與素養(yǎng)】本題考查的學(xué)科素養(yǎng)為邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算，而轉(zhuǎn)化與化歸、

分類討論、邏輯思維是解決本題的關(guān)鍵能力.

變式1設(shè)函數(shù)/(x)=-2x+2,Z+l］,ZGR,求函數(shù)f(x)的最小

值.

t2+1,/<0,

【答案】/(-x)min~-1,0</<l,

產(chǎn)—2r+2jNL

【解析】f(x)=x2-2x+2=(x-l)2+l,xe［t,t+l］,reR,函數(shù)圖象的對(duì)稱

軸為x=l.當(dāng)f+lWl,即，<0時(shí)，函數(shù)圖象如圖1所示，函數(shù)/(x)在區(qū)間［3t+1］

上為減函數(shù)，所以最小值為/(什1)f+l；當(dāng)即0<t<l時(shí)，函數(shù)

圖象如圖2所示，在對(duì)稱軸戶1處取得最小值，最小值為/(1)=1；當(dāng)此1時(shí)，

函數(shù)圖象如圖3所示，函數(shù)/(x)在區(qū)間［3什1］上為增函數(shù)，所以最小值為f

v+1,t<0,

(力=產(chǎn)一2什2.綜上可知，/(x)min=<1,0</<1,

z2-2r+2,r>l.

變式2若函數(shù)g(x)=x2+2/nx-/〃2在［1,2)上存在最小值2,求實(shí)數(shù)機(jī)的

值.

【答案】〃『1

【解析】g(x)-x2+2mx-m2=(x+m)2-2m2,此二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為

直線廣一〃?.①當(dāng)2,即加4-2時(shí)，如圖1,g(x)在［1,2)上單調(diào)遞減，

不存在最小值；②當(dāng)1(一機(jī)＜2,即-2＜最?。?1時(shí),如圖2,g(x)在［1,-

m)上單調(diào)遞減，在(一機(jī)，2)上單調(diào)遞增，此時(shí)g(x)min=g(-m)=-2療H2；

③當(dāng)—即機(jī)上-1時(shí)，如圖3,g(x)在［1,2)上單調(diào)遞增，此時(shí)

g(X)min=g(D=l+2小一加2,令l+2m-〃r=2,解得m=1.綜上，m=l.

圖1圖2

新題在線

已知函數(shù)/。)=［:-2皿+6'"：叫其中m＜o(jì),若存在實(shí)數(shù)鼠使得關(guān)于萬

x,x＞m9

的方程/(x)—后0恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則，”的取值范圍是()

A.(—oo,—3)B.(—oo,—6)C.［—3＞0)D.(一6,0)

【答案】B

x2-2mx+6,x<m,

【解析】當(dāng)機(jī)＜0時(shí),作出函數(shù)/(x)=，

x2,x>m,

象如圖所示,當(dāng)/(%)=x2-2mx+6=(x-m)2+6=(x-m)2+6-nr26—加？時(shí)，

機(jī)<0,所以若要存在實(shí)數(shù)匕使得關(guān)于x的方程/(x)—仁0恰有三個(gè)不同的實(shí)

數(shù)根，則必須6-><m~(m<0)>解得/〃<，所以加的取值范圍是(一oo,

-V3).故選B.

課堂反饋

1.函數(shù)/*)=依2+3-3?+1在區(qū)間[-1,+oo)上是遞減的，則實(shí)數(shù)。的取值

范圍是()

A.[—3,0)B.(—8,-3]C.[-2,0]D.[-3,0]

【答案】D

【解析】(1)當(dāng)。=0時(shí)，f(x)=—3x+l在[―1,+oo)上遞減，滿足題意.

,<0,

當(dāng)。加時(shí)，/'(x)的對(duì)稱軸為犬=匕￡,由/(x)在[-1,+8)上遞減知J3-a

2a----<-1,

I2a

解得-3Wa<0.綜上，a的取值范圍為[—3,0].

'7'

2.若函數(shù)y=/-3x+4的定義域?yàn)閇0,m],值域?yàn)槎?4,則機(jī)的取值范圍

為()

3)

A.(0,4]B.P4-2D.-,+oo

2'2,

【答案】C

【解析】丁=%2_3%+4=(4一|)+(的定義域?yàn)閇0,刈，顯然，在x=0時(shí),

產(chǎn)4,又值域?yàn)?,4,根據(jù)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性知故選C.

.4J2

3.(多選)設(shè)函數(shù)/(x)=a?+法+。(。和)，對(duì)任意實(shí)數(shù)r都有/(4+/)=f

(一t)成立，則函數(shù)值八一1),八1),八2),1A5)中，最小的可能是()

A./(-1)B./(1)C.f(2)D./(5)

【答案】ACD

【解析】因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù)t都有f(4+0=于Q-t)成立，所以函數(shù)

f(x)=ax2+bx+c(存0)的對(duì)稱軸是％=2.當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)值/(—1),/(1),

/(2),/(5)中，最小的是/(2)；當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)值/(一1),/(1),/(2),

f(5)中，最小的是/(一1)和/(5).

4.設(shè)二次函數(shù)/。)=以2一2ax+c在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減，且/(0),

則實(shí)數(shù)，〃的取值范圍是.

【答案】［0,2］

【解析】依題意存0,二次函數(shù)/(X)=ax2-2ax+c圖象的對(duì)稱軸是直線x=l,

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)在區(qū)間［0,1］上單調(diào)遞減，所以a>0,即函數(shù)圖象的開口向上,

所以7(0)寸(2),則當(dāng)/(㈤W/(0)時(shí)，W0<m<2.

練習(xí)鞏固「

1.若幕函數(shù)y=x,y=x"'與丫=尤"在第一象限內(nèi)的圖&

象如圖所示，則m與n的取值情況為1,

()0\1~~T

A.-l<m<0<n<lB.—l<n<0<7?7第1題圖

C.—l<m<0<nD.—l<n<0<m<l

【答案】D

【解析】基函數(shù)>=j，當(dāng)a>0時(shí)，丫=/在(0,+00)上為增函數(shù)，且0<々<1

時(shí)，圖象上凸，，0<〃2<1；當(dāng)。<0時(shí)，y=x”在(0,+oo)上為減函數(shù)，不妨

令x=2,根據(jù)圖象可得2T<2",...-K”。，綜上所述，故選D.

2.函數(shù)/(x)=(x-2)(ax+b)為偶函數(shù)，且在(0,+oo)上單調(diào)遞增，則

/(2—x)>0的解集為()

A.{x|-2<x<2}B.{x\x>2,或x<-2}

C.{x|0<x<4}D.{x|x>4,或x<0}

【答案】D

【解析】函數(shù)/(x)=ax2+(b-2a)x-2b為偶函數(shù)，則b—2a=0,故

f(x)=ax2-4a=a(尤一2)(x+2),因?yàn)樵?0,+oo)單調(diào)遞增，所以a〉0.根據(jù)

二次函數(shù)的性質(zhì)可知，不等式f(2-x)>0的解集為{x|2-x>2,或

【答案】B

【解析】因?yàn)閳D象與x軸交于兩點(diǎn)，所以〃一4農(nóng)、>0,即〃>4ac,①正確；

h_

對(duì)稱軸為x=-1,即---=-1,2a~b=0②錯(cuò)誤；結(jié)合圖象，當(dāng)x=-1時(shí)，y>0,

2a9

即a-Hc>0,③錯(cuò)誤；由對(duì)稱軸為二一1知，。=2%又函數(shù)圖象開口向下，所

以〃<0,所以5。<2。，B|J5a<b9④正確.

4.若函數(shù)/(%)=d-2%+1在區(qū)間區(qū)a+2]上的最小值為4,則實(shí)數(shù)。的取值

集合為()

A.[—3,3]B.[—1,3]C.{13,3}D.{-1,-3,3}

【答案】C

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=x2-2x+l=(x-l)2的圖象的對(duì)稱軸為直線x=l,/

2

(尤)在區(qū)間［a,a+2］上的最小值為4,所以當(dāng)a21時(shí)，f(x)min=/(a)=(a-1)=4,

a=~\(舍去)或a=3；當(dāng)a+2Wl,即aW-1時(shí)，/5久而=f(a)=(a-=4,

a=l(舍去)或。=一3；當(dāng)a<l<a+l,即一l<a<l時(shí),/(x)min=/(l)=0^4.

故a的取值集合為{-3,3}.故選C.

5.(多選)已知函數(shù)/(X)=|爐一2ax+6|(xeR),給出下列命題,其中是真

命題的是()

A.若片一AW0,則/(x)在區(qū)間[a,+oo)上是增函數(shù)

B.存在aeR,使得/(x)為偶函數(shù)

C.若/(0)=/,(2),則/(x)的圖象關(guān)于41對(duì)稱

D.若/_b一2>(),則函數(shù)力(x)=f(x)—2有2個(gè)零點(diǎn)

【答案】AB

【解析】對(duì)于選項(xiàng)A,a2-b<0,BlJ/(x)=|(x-a)2+b-a2\

-(x-a)2+b-a2在區(qū)間[a,+8)上是增函數(shù)，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B,

當(dāng)a=0時(shí)，/(x)=|》2+切顯然是偶函數(shù)，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C,取a=0,b=

-2,函數(shù)/(%)=|爐一2"+加化為/(。=|爐+2|,滿足/(0)。(2),但/(%)

的圖象關(guān)于不對(duì)稱，故C錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)D,如圖，/一人一2>0,即a2-b>2,

則f(x)=|(x—a)?—8—4?一2有4個(gè)零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.

—A?2—9rX<()

6.(多選)已知函數(shù)/(X)=(.''一[若X]<X,<演<*4，且

\log2x|,X>O,

/(為)=/(w)=f(x3)=/(%4),則下列結(jié)論正確的是)

A.x}+x2=-1B.^x4=4C.1<x4<2D.0<<1

【答案】BCD

【解析】畫出函數(shù)/(x)的大致圖象如圖，得出

占+工2=-2,-log2x3=log2x4,貝U芻%4=1,故A錯(cuò)誤，B

正確；由圖可知1<%<2,故C正確；因?yàn)?2<%<-1,

=玉(-2—X］)=—x；—2玉=—(玉+1)~+1€(0,1),所以玉龍無4=龍/,e(0，

1),故D正確.故選BCD.

7.二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)(0,1),對(duì)稱軸為戶2,最小值為一1,則它的解析

式為.

【答案】f(x)=^x2-2x+］

【解析】依題意可設(shè)/(%)=。。-2)2-|(。>0),又其圖象過點(diǎn)(0,1),

所以4a—"1=1,所以a=g,所以/(x)=；(x-2)2-1=:爐-2x+l.

8.y=，2加+4%+0-1的值域?yàn)椋?,+00),則。的取值范圍是.

【答案】［0,2］

【解析】當(dāng)a=0時(shí)，y=J4x-1,值域?yàn)椋?,+oo),滿足條件；當(dāng)存0時(shí)，

要使y=j2/+4x+a-1的值域?yàn)椋?,+8),只需產(chǎn)。,"解得

［A=16-8(a-l)>0,

0<aV2.綜上，0<a<2.

/i\ax2-4x+3

9.已知函數(shù)f(x)=(J.

(1)若a=~l,求/(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若/(x)有最大值3,求a的值；

(3)若/(無)的值域是(0,+oo),求a的值.

【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間是(-2,+oo),單調(diào)遞減區(qū)間是(-8,-2)；(2)

1；(3)0.

/［、廠—4x+3

【解析】(1)當(dāng)a=-1時(shí)，/(%)=fjj,令/(》)=一X2一4%+3,由于

g(X)在(-00,-2)上單調(diào)遞增，在(-2,+00)上單調(diào)遞減，而指數(shù)函數(shù)y=

在R上單調(diào)遞減，所以/(x)在(一00,-2)上單調(diào)遞減，在(-2,+00)上

單調(diào)遞增，即函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-2,+oo),單調(diào)遞減區(qū)間是(一8,

-2).

(2)令8(幻=加-4》+3,/0)=(；),由于/(x)有最大值3,所以g

a>0,

(x)應(yīng)有最小值一1,因此必有，3a-4解得。=1，即當(dāng)/(龍)有最大值3

-----=-1,

Ia

時(shí)，。的值等于1.

(3)令g(x)=or2_4x+3,=,由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，要使

/(x)=Q的值域?yàn)?0，+8).應(yīng)使g(x)="2_4尤+3的值域?yàn)镽,因此只能

a=0(因?yàn)槿舸?,則g(x)為二次函數(shù)，其值域不可能為R).故/(x)的值域

為(0,+oo)時(shí)，a的值為0.

10.已知函數(shù)f(x)=x2+(2a—1)x—3.

(1)當(dāng)。=2,xe[—2,3]時(shí)，求函數(shù)/(x)的值域；

(2)若函數(shù)/(x)在[-1,3]上的最大值為1,求實(shí)數(shù)。的值.

r71"I1

【答案】(1)-—,15；(2)a=--或一1.

L4J3

【解析】(1)當(dāng)。=2時(shí)，y(x)=f+3x_3,xe[-2,3],對(duì)稱軸為彳=一^6

[—2,3],A=/ML/⑶=15,函數(shù)/

(x)的值域?yàn)?一,15.

_4_

(2)函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸為x=一次二L①當(dāng)一網(wǎng)二141,即時(shí)，

222

/(x)max=A3)=6a+3，.?.6a+3=l，即。=一;，滿足題意；②當(dāng)一即

。<一；時(shí)，/(x)max=/(—1)=-2a—1,...—2a—1=1,即a=-1,滿足題意.綜上

可知，a=一!或一1.

3

思考運(yùn)用

11.設(shè)函數(shù)/(》)=g2_如-1,若對(duì)于xe[l,3],/(x)<-w+4恒成立，則

實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為()

A.(-00,0]B.(0,-)C.(-00,0)U(0,-)D.(—8,-)

777

【答案】D

【解析】由題意，f(x)〈一根+4對(duì)于xe[l,3]恒成立，即加(j?一x+])<5對(duì)

于xe[l,3]恒成立,當(dāng)xe[l,3]時(shí)，x2-x+lG[L7],.,.不等式/(%)<-m+4

等價(jià)于加<2§，二?當(dāng)x=3時(shí)，25,取最小值H,若要不等式

機(jī)<一一對(duì)于xe[l,3]恒成立，則必須滿足相<』，因此，實(shí)數(shù)機(jī)的取值范

x—x+17

圍為(-8,—),故選D.

7

12.(多選)若函數(shù)/(幻=|如2_(2m+1次+〃7+3|恰有4個(gè)單調(diào)區(qū)間，則實(shí)

數(shù)機(jī)的可能取值是)

A.-2B.-1D.0

4

【答案】ABC

【解析】若/(x)=|/nr?-(2加+1口+m+3|恰有4個(gè)單調(diào)

區(qū)間，則等價(jià)為函數(shù)>=如？-(2m+l)x+加+3與x軸有兩

個(gè)不同的交點(diǎn)，即〃伊0且判別式

A=(2m+1)2-4m(m+3)>0,即

4m2+4m+1-4m2-12m>0?即—8/w+l>0,解得m<,且即實(shí)數(shù)機(jī)的取

8

i31

值范圍為(-8,0)U(0,一)，在此范圍的“2可以是-二，一1,—,故選

8410

ABC.

’9

尤+“'-2(尤<c

13.已知函數(shù)/(x)=1'若c=0,則/(x)的值域是_____；若

一,c<xW3.

八)的值域是一!'2'則實(shí)數(shù)C的取值范圍是一,

【答案】［-1,-),人“

【解析】當(dāng)c=0時(shí)，當(dāng)xe［—2,0］時(shí),/(x)

當(dāng)xe(0,3］時(shí)，fCx)e；,+oo),所以/(x)的值域?yàn)?；,+oo).作出y=r2+x

和y=，的圖象如圖所示，當(dāng)/(x)=-1時(shí)，%=-—；當(dāng)f+x=2時(shí)，戶1或產(chǎn)

x42

-2；當(dāng)：=2時(shí)，x=g由圖象可知當(dāng)/(無)的值域?yàn)?;,2時(shí)，需滿足gwl.

14.已知值域?yàn)椋邸?,+oo)的二次函數(shù)f(x)滿足/(—1+JC)=f(―1—x),

且方程f(x)=0的兩個(gè)實(shí)根西,與滿足1%-々1=2.

(1)求/(%)的表達(dá)式；

(2)函數(shù)g(x)弓(x)—"在區(qū)間［—1,2］上的最大值為7(2),最小值

為/(一1),求實(shí)數(shù)&的取值范圍.

【答案】(1)/(x)=x2+2x；(2)(—oo,0］.

【解析】(1)由/(一1+x)=f(―1—x)可得/(x)的圖象關(guān)于直線x=-1

對(duì)稱，IS/(x)=6z(x+l)2+/z=o￥24-2ar+6z+/z(ar0),由函數(shù)/(x)的值域?yàn)椋垡?/p>

1,+00),可得/?=-1.根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得玉+々=-2，內(nèi)X,=l+4,所以

a

I-------------/4h

|玉一%21=Ja+工2)2-4%尤2=J----=2，解得4=1，所以/(X)=X?+2x.

(2)由題意得函數(shù)g(x)在區(qū)間［-1,2］上單調(diào)遞增，又

ck-9k-7

g(x)=f［x］-kx=x~-(左-2)x.所以g(x)的對(duì)稱軸方程為x=2，則2，

即ZW0,故％的取值范圍為(-8,0］.

15.若函數(shù)/(x)在阿，n］(m<n｝上的最小值為f且滿足t〈機(jī)，則稱函數(shù)

f(x)在［加，n］Cm<n)上具有“DK”性質(zhì).設(shè)/(x)=a?—x+2a—l.

(1)若”=1,判斷函數(shù)/(%)在［1,2］上是否具有“OK”性質(zhì)，說明理由；

(2)若。〉0,函數(shù)/(外在［1,2］上是否具有“OK”性質(zhì)，求。的取值范

圍.

【答案】(1)略；(2)(0,1］.

【解析】(1)因?yàn)閍=\時(shí)，f(x)=x2-x+\,所以xw［l,2］時(shí)，

/(x)mm=/(l)=lKl，所以/(X)在［1，2］上具有"DK”性質(zhì).

(2)因?yàn)閍>0,f(x)=u\x----1+2a------1,xe［l,2］.(T)當(dāng)0<—<1,

J<2a)4a2a

即時(shí)，/(x)在［1,2］上是增函數(shù)，所以/(Mm"/⑴=3。-2,因?yàn)?(x)

在［1,2］上是否具有“OK”性質(zhì)，所以3a—2W1,所以②當(dāng)1<」-<2,

22a

即時(shí)，f(x)==-因?yàn)?(無)在［1,2］上是否具有

42min\2a/4a

3"性質(zhì)，所以T得f所以上《.③當(dāng)

—>2,即0<4《工時(shí)，/(x)在［1,2］上是減函數(shù)，/(初皿=/(2)=6。-341恒

2a4

成立，滿足函數(shù)/(X)在口，2］上具有“DK”性質(zhì)，所以0<a〈L綜上所述，

4

函數(shù)f(x)在［1,2］上具有“DK”性質(zhì)時(shí)，。的取值范圍為(0,1］.

拓展探究

已知aeR,若函數(shù)/(x)=；V—|x—20有三個(gè)或者四個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)

g(x)=爾+4x+l的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.1或2B.2C.1或0D.0或1或2

【答案】A

【解析】???函數(shù)/(x)=；Y—|x-2a|有三個(gè)或者四個(gè)零點(diǎn)，

二函數(shù)皿x)=與函數(shù)力(x)=|x-2a|有三個(gè)或者四個(gè)不同的交

點(diǎn)，作函數(shù)加(x)=；V與函數(shù)/均=|%一2〃|的圖象如圖所示，結(jié)合圖象可知,

-0.5<2a<0.5,故一當(dāng)a=0時(shí)，B^^(x)=ax2+4x+lW一個(gè)零點(diǎn);

44

當(dāng)存0時(shí)，A=16-4a>0,故函數(shù)g(x)=ax?+4x+l有兩個(gè)零點(diǎn).故選A.

10指數(shù)與對(duì)數(shù)

本課導(dǎo)航

了解指數(shù)暴的拓展過程，掌握指數(shù)暴的運(yùn)算性質(zhì)；理解對(duì)數(shù)的概念和運(yùn)算性

質(zhì)，知道用換底公式能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù).

1.分?jǐn)?shù)指數(shù)累.

(1)我們規(guī)定正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)嘉的意義是/=痂(a>0,機(jī)，〃GN*,

且〃>1).于是，在條件a>0,a,neN*,且“>1下，根式都可以寫成分?jǐn)?shù)指

數(shù)幕的形式.正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義與負(fù)整數(shù)指數(shù)幕的意義相仿，我們規(guī)定

-色1

a"=—(。>0,根，neN*,且〃>1).0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)基等于0；0的負(fù)分?jǐn)?shù)

an

指數(shù)幕沒有意義.

(2)有理數(shù)指數(shù)哥的運(yùn)算性質(zhì)：a'as=ar+s,(")'="*,(ab)r=arbr,其

中a〉0,b>0,r,seQ.

2.對(duì)數(shù)的概念.

一般地，如果優(yōu)=N(a>0,且存1),那么數(shù)x叫作以。為底N的對(duì)數(shù),

記作x=log“N,其中。叫作對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫作真數(shù).

3.對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則與性質(zhì).

(1)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則：如果a>0,且存1,Al>0,N>0,那么

①log“(MN)=log?M+loguN；

②logo.=log“M一log”N；

③log“M"=nlog(,M(〃eR).

(2)對(duì)數(shù)的性質(zhì)：①/《N=N；②log/=N(a>0,且存1).

(3)對(duì)數(shù)的換底公式：log/=^&(a>0,且存1；c>0,且存1；b>0).

log,a

課前熱身

1.下列各式正確的是()

A.(Va)3=nB.?/7)4=-7C.(V?)5=|a|D."=a

【答案】A

【解析】A.(正尸=a正確；B.(</7)4=7,故B錯(cuò)誤；C.(V^)5=?,故C錯(cuò)

誤；W/=|a|,故D錯(cuò)誤.

_3

2,若(3-2幻々有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是()

A.(-8,+8)B.1-°°,T)ulT'”)

D.停+8

【答案】c

-13

【解析】要使(3-2尤)4有意義，需使3—2x>0,SPx<-.

2

3.(多選)有以下四個(gè)結(jié)論，其中正確的是()

A.lg(lgl())=()B.ln(lne)=()

C.若10=lgx,則410D.若e=lnx,則x=e?

【答案】AB

【解析】lg(lglO)=lgl=O,ln(lne)=lnl=(),故AB正確；若l()=lgx,則

x=1(嚴(yán)，故C錯(cuò)誤;若e=lnx,則％=3,故D錯(cuò)誤.

4.lgg+21g=-----------

【答案】-1

【解析】lg|+21g2-W=lg5-lg2+21g2-2=lg5+lg2-2

=lgl()-2=-l.

課堂示例

例1求值：

(1)(3公+。產(chǎn)+管丫“。_1鳴32；

log63

(2)log3V27-log,2-log,3-6-1gV2-1g>/5.

【解析】(1)原式=

210-1x1-21325

(3++(I)-l-log22=^+100+1-l-|=99.

23]

(2)>5^=10§332-1-3-^^=--4--=-3.

【情景與層級(jí)】本題情景為課程學(xué)習(xí)情景，層級(jí)為基礎(chǔ)性.

【題眼與方法】本題的題眼為小數(shù)化分?jǐn)?shù)、帶分?jǐn)?shù)化假分?jǐn)?shù)、底數(shù)或真數(shù)轉(zhuǎn)

化為分?jǐn)?shù)指數(shù)基形式，通過化簡(jiǎn)整理轉(zhuǎn)化為可以運(yùn)用指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)形式.

【能力與素養(yǎng)】本題考查的學(xué)科素養(yǎng)為數(shù)學(xué)運(yùn)算，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算求解能力.

變式1求值：

-2

(1)0.027-5+256

(2)2(lgV2)2+1gV2.1g5+7dgV2)2-1g2+1.

【解析】(1)原式=f—"l3-36+26--+l=—+28--+1-32；

333

(2)原式=1g及(21g&+1g5)+J(lg&-1)』=1g及(1g2+1g5)+1-1g夜=1.

2

-2

變式2(1)計(jì)算：-2e°+Igl-lg4+lg5+log34xlog49.

fi

(2)已知A=log/8,B=log3(9-A),求實(shí)數(shù)B的值.

【解析】(1)原式=

9ins3291

--2+0-2(lg2+lg5)+21og,2x——='—2+0-2+2=—；

421og3244

B

(2)?；A=log/8=6,AB=log3(9-6),，3“=(3">-6；即

(38)2-38-6=0,，3"=3或3"=-2(舍)，：.B=\.

例2已知log“2=機(jī)，log“3=〃，求/…的值.

【解析】?.?log“2=/w,log“3=〃，.?.〃"=2,a"=3,：.

/〃,-"=a2,n+膻=gmy+屋=22+3=±

3

【情景與層級(jí)】本題情景為課程學(xué)習(xí)情景，其考查層級(jí)為基礎(chǔ)性.

【題眼與方法】本題的題眼為將對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化為指數(shù)式.

【能力與素養(yǎng)】本題考查的學(xué)科素養(yǎng)為邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算，而轉(zhuǎn)化方法是

解決本題的關(guān)鍵能力.

變式1已知a,b,c為正實(shí)數(shù)，a'=hy=cz,—+—+—=0,求的值.

xyz

【解析】言"，。為正實(shí)數(shù)，ax=by=cz=k>O,k^\,：.x=^,y=躍,

IgaIgb

z工vl+l+l=0,二應(yīng)蛀辿=幽"=0,...g

IgexyzTgkIgk

變式2設(shè)X,y,z均為正數(shù)，且3'=4V=61

（1）試求X,y,Z之間的關(guān)系；

（2）求使2x=py成立，且與p最近的正整數(shù)（即求與。的差的絕對(duì)值最小

的整數(shù)）；

（3）比較3x,4y,6z的大小.

【解析】設(shè)3'=4"=&=3由x,y,z均為正數(shù)知，＞1,故取以，為底的對(duì)

數(shù)，幣」得xlog,3=ylog,4=zlog,6=1,/.x=------,y=--------，z=--------

log,3-log,4log,6

⑴

l-j=log,6-log,3=log,2=ilog,4=^y,z之間的關(guān)系為

￡

zx2y

2r2

(2)p=—=-------108,4=240834=108316,由9<16<27,得

y1嗚3

log39<log316<log327,從而2Vpv3.而p-2=log316-log39=log3^,

Q,k127,1627256,.1627.

3—p=log27—log?16—log^—.由—：---------->1知n—>—,??

3331696243916

p—2=log,—>log,—=3-/.從而p>-，所求正整數(shù)為3.

916?2

(3)V

3x-4y=31og.f—41ogJ=也-史史=[2J吐1蝕21lgt=庶’(lg43-lg34),

lg3lg4IIg3.lg4)6Ig3-lg4°S

而lgf>(),lg3>(),lg4>0,Ig43<lg34,，3x<4y.又：

4y-6z=2(2log41-3log61)=

2翳鼾筆胃=筆”，而叱。」一

lg6>0>lg62<lg43,4y<6z.故有3x<4y<6z.

新題在線

（多選）已知2、=3,3V=4,則()

3

AA.x<一B.xy=2C.x>yD.x+y>2V2

2

【答案】BCD

【解析】因?yàn)?*=3,3,=4,所以x=log23,y=log34.對(duì)于A,因?yàn)?/p>

2

^log22=log2V8<log23=x,所以x>?對(duì)于C,因?yàn)?/p>

xy=log,31og34=log24=2；對(duì)于D,因?yàn)閤>0,y>0,所以x+y22^^=2>/2,

又因?yàn)樵趛,所以x+y〉2夜.故選BCD.

課堂反饋

1.化簡(jiǎn)［(-6)2戶的值等于

x/3

B.V3D.-V3

【答案】C

【解析】［(-6)2］弓=3.11_73

2.設(shè)Iog34-log48?log8m=log4164[]in的值為

【答案】B

【解析】13log34-log48-log8m=log416,則log?加=log44?=2,即

log,m=log,32,解得m=9.

172

3.（多選）已知Q=G6,b=10^,C=6啕3，則〃,/?,c的大小關(guān)系為（）

A.a>bB.a>cC.c>hD.c>a

【答案】ACD

nni_jj_

【解析】。=莊=3五=（3°）w，8=103=（]（）4）萬，因?yàn)?曾>1（）4,故

而log23>log22=1,則a=<（&）3=36<6<，故c>a,故c>a>b.

4.已知a=log25,4"=9,貝i」2"+”=,log53=（用a,b表

示）.

【答案】15；

a

【解析】因?yàn)閍=log25,4"=9,則2"=5,2"=3,2""=2"x2〃=15,所

log23_Z?

以log23-h,log53

log25a

練習(xí)鞏固

1.已知〃嚴(yán)=2,則〃尸