2019-2020學(xué)年江蘇省南京市玄武區(qū)八年級(jí)（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含詳解答案）

2019-2020學(xué)年江蘇省南京市玄武區(qū)八年級(jí)（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分，在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰

有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)前的字母代號(hào)填涂在答題卡相應(yīng)位置上）

1.（2分）下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）

2.（2分）在一個(gè)不透明的盒子里裝有3個(gè)紅球和2個(gè)白球，每個(gè)球除顏色外都相同，從中

任意摸出3個(gè)球，下列事件中，不可能事件是（）

A.摸出的3個(gè)球都是紅球

B.摸出的3個(gè)球都是白球

C.摸出的3個(gè)球中有2個(gè)紅球1個(gè)白球

D.摸出的3個(gè)球中有2個(gè)白球1個(gè)紅球

3.（2分）下列運(yùn)算中，正確的是（）

A.R3x-ny3

-x-yx-y2x+y2

D.丫七

x+yx2-y2x3

4.（2分）下列說(shuō)法正確的是（）

A.一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形

B.對(duì)角線相等的四邊形是矩形

C.每一條對(duì)角線都平分一組對(duì)角的四邊形是菱形

D.對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形

5.（2分）如圖，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=K（x>0）的圖象上，C是y軸上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作

X

軸，垂足為8,連接AC、BC.若aABC的面積為3,則A的值為（）

A.9B.6C.3D.1.5

6.（2分）如圖，在矩形ABC。中，AB=5,BC=6,點(diǎn)E在BC邊上，且BE=2,F為AB

邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF,以EF為邊作等邊△EFG,且點(diǎn)G在矩形ABCD內(nèi)，連接

CG,則CG的最小值為（）

A.3B.2.5C.4D.2%

二.填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分。不需寫出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案直接

填寫在答題卡相應(yīng)位置上）

7.（2分）代數(shù)式后I在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是.

8.（2分）若分式二全的值為0,則x的值為_(kāi)_____.

x-2

9.（2分）計(jì)算億?屆（〃20）=.

10.（2分）一個(gè)不透明的袋子中裝有若干個(gè)除顏色外都相同的小球，小明每次從袋子中隨

機(jī)摸出一個(gè)球，記錄下顏色，然后放回，重復(fù)這樣的試驗(yàn)3000次，記錄結(jié)果如下:

實(shí)驗(yàn)次數(shù)〃100200300500800100020003000

摸到紅球次數(shù)m6512417830248162012401845

摸到紅球頻率典0.650.620.5930.6040.6010.6200.6200.615

n

估計(jì)從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球恰好是紅球的概率約為.（精確到0.1）

11.（2分）用配方法解一元二次方程x2+6x+l=0時(shí)，配方后方程可化為：.

12.（2分）己知點(diǎn)A（-1,力）、B（2,光）在反比例函數(shù)y=QL的圖象上，且力＞）2,

X

則m的取值范圍是.

13.（2分）如圖，順次連接菱形ABC。的各邊中點(diǎn)E、F、G、H.若AC=a,BD=b,則

四邊形EFGH的面積是.

14.（2分）已知一次函數(shù)匕（扃，。為常數(shù)）與反比例函數(shù)”=絲儀2為常數(shù)），函

x

數(shù)以、”與自變量X的部分對(duì)應(yīng)值分別如表1、表2所示：

x

15.（2分）如圖，菱形紙片A8CZ）,AB=4,ZB=60°,將該菱形紙片折疊，使點(diǎn)8恰好

落在CD邊的中點(diǎn)8'處，折痕與邊8C、84分別交于點(diǎn)例、N,則B例的長(zhǎng)為.

16.（2分）如圖，將邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD繞點(diǎn)4按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到正方形AB'

C'。'，連接BC',在旋轉(zhuǎn)角從0°到180°的整個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)時(shí),

△BB'C的面積為

C'

三、解答題（本大題共11小題，共88分。請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文

字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）

17.（8分）計(jì)算：

（1）方-多

（2）遙浮幕Xg.

18.（8分）解分式方程：

（1）5X±2=3；

x2+xx+1

（2）3.-2.

x-12x-2

19.（10分）解一元二次方程：

（1）X2+2X-1=0；

（2）（x-3）2=2X-6.

20.（6分）先化簡(jiǎn)，再求值：（x+」^）+（1+二」），其中；（：=-1.

21.（7分）某中學(xué)圖書館將全部圖書分為自然科學(xué)、文學(xué)藝術(shù)、社會(huì)百科、哲學(xué)等四個(gè)類

別，為了了解圖書的借閱情況，圖書管理員隨機(jī)抽取了某月圖書的借閱情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，

并繪制成如下尚不完整的統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖.

（1）該月四類圖書的借閱冊(cè)數(shù)一共是冊(cè)，其中“自然科學(xué)”類所占的百分比

是;

（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖，并算出扇形統(tǒng)計(jì)圖中“哲學(xué)”對(duì)應(yīng)扇形的圓心角度數(shù)為°；

（3）若該中學(xué)打算購(gòu)買四類圖書共10000冊(cè)，根據(jù)上述信息，請(qǐng)你估算“哲學(xué)”類圖書

應(yīng)購(gòu)買多少冊(cè)？

某中學(xué)圖書館某月各類圖書某中學(xué)圖書館某月各類圖書的

借閱冊(cè)數(shù)分布扇形統(tǒng)計(jì)圖

科學(xué)藝術(shù)百料

22.(8分)一輛貨車和一輛轎車從南京出發(fā)，均沿滬寧高速公路勻速駛向目的地上海，己

知滬寧高速公路全長(zhǎng)約300h〃.設(shè)貨車的速度是到達(dá)上海所用的時(shí)間為皿.

(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；

(2)滬寧高速公路規(guī)定：貨車的速度不得超過(guò)90km求貨車到達(dá)上海所需的最短時(shí)間；

(3)若轎車的速度是貨車的1.5倍，轎車到達(dá)上海所用的時(shí)間比貨車少1小時(shí)15分鐘，

求轎車的速度.

23.(8分)如圖，在。ABC。中，將對(duì)角線BO分別向兩個(gè)方向延長(zhǎng)至點(diǎn)E、F,且BE=DF.連

接A尸、CF、CE、AE.

(1)求證：四邊形AECF是平行四邊形；

(2)若AQ=4,BE=3,NA￡?B=NCB￡>=90°,當(dāng)四邊形AECF是矩形時(shí)，貝IBQ的

長(zhǎng)為.

24.(8分)己知關(guān)于x的一元二次方程(x-zn)2+2(x-m)=0(機(jī)為常數(shù)).

(1)求證：不論由為何值，該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

(2)若該方程有一個(gè)根為4,求〃?的值.

25.(6分)如圖，在下列方格紙中，A、B是兩個(gè)格點(diǎn)，請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺在方格紙中完成

下列畫圖.(不寫畫法，保留畫圖痕跡)

(1)畫出一個(gè)NABC,使得N4BC=45°；

(2)畫出線段AB的垂直平分線.

26.(9分)(1)如圖①，在菱形4BCO中，P、。分別是邊8C、C。上的點(diǎn)，連接4P、AQ,

且N%Q=NB.求證：AP—AQ.

下面是小文對(duì)這道試題的思考，先研究特殊情況，再證明一般情況.

(I)如圖②，當(dāng)4PL8C于點(diǎn)P時(shí)，請(qǐng)?jiān)谙铝锌驁D中補(bǔ)全他的證明思路.

小文的證明思路

要證AP=A。，只要證△4BP空△A。。.由己如條件知四邊形4BCC是菱形，可得48=

AD,,故只要證由,得NAPB=NAPC=90°,故只

要證/AQ￡)=90°.即證NAQC=90°,易證NB4Q+/A尸C+/C+乙4QC=360°,故只

要證.由已知條件知/R4Q=NB,易證/8+/C=180°,即可得證.

(II)如圖①，當(dāng)4P與BC不垂直時(shí)，……請(qǐng)你完成證明.

小文完成證明后，又進(jìn)一步思考，提出下列問(wèn)題，請(qǐng)你完成解答.

(2)如圖③，在菱形ABCQ中，P、Q分別是BC、CO延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且/若

AB=4,NB=60°,ZAPB=45°,則四邊形ABC。的面積是.

圖①圖②圖③

27.(10分)在平面直角坐標(biāo)系中，P是平面內(nèi)任意一點(diǎn)(坐標(biāo)軸上的點(diǎn)除外)，過(guò)點(diǎn)P分

別作x軸，y軸的垂線，如果由點(diǎn)P,原點(diǎn)，兩個(gè)垂足這4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的矩形的周長(zhǎng)與面

積相等，那么稱這個(gè)點(diǎn)P是平面直角坐標(biāo)系中的“奇點(diǎn)”，例如：如圖①，過(guò)點(diǎn)尸(4,4)

分別作x軸，y軸的垂線，垂足分別為A,B,矩形OAP8的周長(zhǎng)為16,面積也為16,周

長(zhǎng)與面積相等，所有點(diǎn)P是奇點(diǎn)，請(qǐng)根據(jù)以上材料回答下列問(wèn)題：

(1)已知點(diǎn)C(2,2),￡>(-4,-4),E(M-5),其中是平面直角坐標(biāo)系中的奇

3

點(diǎn)的有;(填字母代號(hào))

(2)我們可以從函數(shù)的角度研究奇點(diǎn)，已知點(diǎn)P(x,y)是第一象限內(nèi)的奇點(diǎn).

I.求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量x的取值范圍；

II.借鑒研究一次函數(shù)和反比例函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，類似地可以對(duì)I中所求出的圖象和性質(zhì)進(jìn)

行探索，下列結(jié)論正確的是(填寫所有正確的序號(hào))；

①圖象與坐標(biāo)軸沒(méi)有交點(diǎn)；

②在第一象限內(nèi)，y隨著x的增大而減小；

③對(duì)于圖象上任意一點(diǎn)(x,y),(x-2)*(y-2)是一個(gè)定值.

(3)在第一象限內(nèi)，直線y=fcc+8(左為常數(shù))上奇點(diǎn)的個(gè)數(shù)隨著k的值變化而變化,

直接寫出奇點(diǎn)的個(gè)數(shù)及對(duì)應(yīng)的k的取值范

10-

S-

6-

4&rR4,4)

2-\,4

II尸III4

-2O_246810x

圍.①備用圖

2019-2020學(xué)年江蘇省南京市玄武區(qū)八年級(jí)（下）期末數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分，在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰

有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)前的字母代號(hào)填涂在答題卡相應(yīng)位置上）

I.（2分）下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念求解.

【解答】解：人不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

。、是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)正確.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形.解題的關(guān)鍵是掌握中心對(duì)稱圖形與軸

對(duì)稱圖形的概念：軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分沿對(duì)稱軸折疊后可重合;

中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合.

2.（2分）在一個(gè)不透明的盒子里裝有3個(gè)紅球和2個(gè)白球，每個(gè)球除顏色外都相同，從中

任意摸出3個(gè)球，下列事件中，不可能事件是（）

A.摸出的3個(gè)球都是紅球

B.摸出的3個(gè)球都是白球

C.摸出的3個(gè)球中有2個(gè)紅球I個(gè)白球

D.摸出的3個(gè)球中有2個(gè)白球1個(gè)紅球

【分析】根據(jù)必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念可區(qū)別各類事件.

【解答】解：A、摸出的3個(gè)球都是紅球是隨機(jī)事件，故A錯(cuò)誤；

8、只有2個(gè)白球，摸出的3個(gè)球都是白球是不可能事件，故8選項(xiàng)正確;

C、摸出的3個(gè)球中有2個(gè)紅球1個(gè)白球是隨機(jī)事件，故C錯(cuò)誤；

。、摸出的3個(gè)球中有2個(gè)白球1個(gè)紅球是隨機(jī)事件，故力錯(cuò)誤；

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了可能性的大小，解決本題需要正確理解必然事件、不可能事件、隨

機(jī)事件的概念.必然事件指在一定條件下一定發(fā)生的事件.不可能事件是指在一定條件

下，一定不發(fā)生的事件.不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不

發(fā)生的事件.

3.(2分)下列運(yùn)算中，正確的是()

A.―--=-一1_B.—

-x-yx-y2x+y2

2,21

C.D.Yr=-_1_

22

x+yx-yx+y

【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)逐個(gè)判斷即可.

【解答】解：A、-/-、-=-故本選項(xiàng)不符合題意；

-x-y-(x+y)x+y

B、=§,3x+y^3.,故本選項(xiàng)不符合題意；

2(x+y)22x4y2

222

C>=x+y,工+/_一Wx+y,故本選項(xiàng)不符合題意；

x+yx+y

。、七力、=-」一，故本選項(xiàng)符合題意；

22

x-y(x+y)(x-y)x+y

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的基本性質(zhì)，能熟記分式的基本性質(zhì)的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵.

4.(2分)下列說(shuō)法正確的是()

A.一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形

B.對(duì)角線相等的四邊形是矩形

C.每一條對(duì)角線都平分一組對(duì)角的四邊形是菱形

D.對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形

【分析】根據(jù)平行四邊形的判定，菱形的判定，正方形的判定逐個(gè)判斷即可.

【解答】解：A、一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形可能是等腰梯形，故本選項(xiàng)不

符合題意;

8、對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，故本選項(xiàng)不符合題意;

?在△AQB和中

'N1=N2

<BD=BD，

Z3=Z4

:.4ADB咨4CDB(.ASA),

：.AD=CD,AB=CB,

同理△AC。部△ACB,

：.AB=AD,BC=DC,

即AB^=BC=CD=AD,

...四邊形ABC。是菱形，故本選項(xiàng)符合題意；

。、對(duì)角線相等且垂直的平行四邊形是正方形，故本選項(xiàng)不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的判定，菱形的判定，正方

形的判定等知識(shí)點(diǎn)，能熟記知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵.

5.（2分）如圖，點(diǎn)A在反比例函數(shù)>=區(qū)（x>0）的圖象上，C是y軸上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作

x

軸，垂足為8,連接AC、BC.若aABC的面積為3,則4的值為（）

A.9B.6C.3D.1.5

【分析】連結(jié)04如圖，利用三角形面積公式得到SAOAB=S.BC=3,再根據(jù)反比例函

數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義得到工用=3,然后去絕對(duì)值即可得到滿足條件的k的值.

2

【解答】解：連結(jié)04如圖,

???AB_Lx軸，

，OC//AB,

S^OAB=S^ABC=3，

而SAQ43=ak|,

2

???都=3,

.,.2=6.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義：在反比例函數(shù)y=區(qū)圖象中任

x

取一點(diǎn)，過(guò)這一個(gè)點(diǎn)向x軸和y軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值

6.（2分）如圖，在矩形ABCO中，AB=5,BC=6,點(diǎn)E在BC邊上，且8E=2,F為AB

邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF,以EF為邊作等邊AEFG,且點(diǎn)G在矩形ABCD內(nèi)，連接

CG,則CG的最小值為（）

A.3B.2.5C.4D.2?

【分析】由題意分析可知，點(diǎn)下為主動(dòng)點(diǎn)，G為從動(dòng)點(diǎn)，所以以點(diǎn)E為旋轉(zhuǎn)中心構(gòu)造全

等關(guān)系，得到點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡，再通過(guò)垂線段最短構(gòu)造直角三角形獲得CG最小值.

【解答】解：由題意可知，點(diǎn)F是主動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)G是從動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)G也

一定在直線軌跡上運(yùn)動(dòng)，

D

將繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)60°,使EF與EG重合，得到△EFBgAEHG,

從而可知△EBH為等邊三角形，點(diǎn)G在垂直于"E的直線HN上，

作CM工HN,則CM即為CG的最小值，

作EP1CM,可知四邊形HEPM為矩形，

則CM=MP+CP=HE+皂C=2+2=4,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，線段極值問(wèn)題，分清主動(dòng)點(diǎn)和從動(dòng)點(diǎn)，通過(guò)旋轉(zhuǎn)構(gòu)造

全等，從而判斷出點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡，是本題的關(guān)鍵，之后運(yùn)用垂線段最短，構(gòu)造圖形計(jì)

算，是極值問(wèn)題中比較典型的類型.

二.填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分。不需寫出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案直接

填寫在答題卡相應(yīng)位置上）

7.（2分）代數(shù)式后在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是.

【分析】先根據(jù)二次根式有意義的條件列出關(guān)于x的不等式，求出x的取值范圍即可.

【解答】解：：后1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，

.?.X-120,

解得

故答案為：尤》1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次根式有意義的條件，即被開(kāi)方數(shù)大于等于0.

8.（2分）若分式二支的值為0,則x的值為-2.

x-2

【分析】直接利用分式的值為零，則分子為零，且分母不為零，進(jìn)而得出答案.

【解答】解：由題意，得

,-4=0且》-2/0,

解得x=-2,

故答案為：-2.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查分式的值為零的問(wèn)題，若分式的值為零，需同時(shí)具備兩個(gè)條件：（1）

分子為0；（2）分母不為0.這兩個(gè)條件缺一不可.

9.（2分）計(jì)算22a8a（a20）=4a

【分析】直接利用二次根式乘法運(yùn)算計(jì)算，進(jìn)而化簡(jiǎn)即可.

【解答】解：怎?每（a，0）=任/=4公

故答案為：4a.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的乘除運(yùn)算，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵.

10.（2分）一個(gè)不透明的袋子中裝有若干個(gè)除顏色外都相同的小球，小明每次從袋子中隨

機(jī)摸出一個(gè)球，記錄下顏色，然后放回，重復(fù)這樣的試驗(yàn)3000次，記錄結(jié)果如下：

實(shí)驗(yàn)次數(shù)〃100200300500800100020003000

摸到紅球次數(shù)m6512417830248162012401845

摸到紅球頻率則0.650.620.5930.6040.6010.6200.6200.615

n

估計(jì)從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球恰好是紅球的概率約為0.6.（精確到0.1）

【分析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以估計(jì)從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球恰好是紅球的概率，本

題得以解決.

【解答】解：由表格中的數(shù)據(jù)可得，

從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球恰好是紅球的概率約為0.6,

故答案為：0.6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用頻數(shù)估計(jì)概率，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用概率的知識(shí)解

答.

11.（2分）用配方法解一元二次方程/+6x+l=0時(shí)，配方后方程可化為：（X+3）2=8.

【分析】移項(xiàng)，配方，再根據(jù)完全平方公式進(jìn)行變形，即可得出答案.

【解答】解：：/+6；1+1=0,

2

Ax+6x=-1,

o

.'.x+6x+9=-1+9,

(x+3)2=8,

故答案為：(x+3)2=8.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程，能夠正確配方是解此題的關(guān)鍵.

12.(2分)已知點(diǎn)A(-1,x)、B(2,”)在反比例函數(shù)y=QL的圖象上，且yi>>2，

x

則m的取值范圍是切<1.

【分析】根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)和力>”可以判定該雙曲線在第二、四象限，則〃l1<0.由

此可以求得，”的取值范圍.

【解答】解：(-1,力)、B(2,”)是反比例函數(shù)y=QL的圖象上的兩點(diǎn)，且》

X

〉>2，

...反比例函數(shù)丫=空支的圖象在第二、四象限，

X

：.m-1<0,

解得m<\

故答案為：m<\.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.關(guān)鍵是根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)特征確定函

數(shù)圖象的位置范圍.

13.(2分)如圖，順次連接菱形ABCC的各邊中點(diǎn)E、F、G、H.若AC=a,則

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)、矩形的判定定理可以證得四邊形EFGH是矩形.由三角形中

位線定理和矩形的面積公式進(jìn)行填空.

【解答】解：???點(diǎn)￡、尸分別是菱形A8、BC邊上的中點(diǎn)，

...EF是aABC的中位線，

：.EF=1AC,一旦E/〃AC.

2

同理，HG=1AC,JELHG//AC,

2

：.EF=HG,JiEF//HG.

...四邊形EFGH是平行四邊形.

：.EH//FG,EH=FG=LD.

2

又；四邊形ABCD是菱形，

：.ACLBD,

：.EF±EH,

：.四邊形EFGH的面積?工=[江

224

故答案是：-^-ab.

4

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了中點(diǎn)四邊形.解答該時(shí)，利用了三角形中位線定理，菱形的對(duì)角線

互相垂直平分的性質(zhì)，以及矩形的判定與性質(zhì).

14.（2分）已知一次函數(shù)（所，6為常數(shù)）與反比例函數(shù)”=絲（比為常數(shù)），函

x

數(shù)力、%與自變量X的部分對(duì)應(yīng)值分別如表1、表2所示:

表1：

X???-203…

???

y\-3-12…

表2：

X???-136…

…

y2-621…

則關(guān)于x的不等式%x+〃〈絲的解集是工＜-2或0。＜3.

X

【分析】用待定系數(shù)法求出兩個(gè)函數(shù)的解析式，再畫出草圖，根據(jù)函數(shù)圖象的位置關(guān)系

求得不等式的解集.

【解答】解：把x=-2,），=-3和工=0,y=-1代入一次函數(shù)的解析式以=411+〃得，

'-2k[+b=-3

＞=-1

解得,『1=1,

lb=-l

...一次函數(shù)的解析式為：%=x-l；

把x=3,y=2代入反比例函數(shù)的解析式”=空中得，

X

k=6,

二反比例函數(shù)的解析式為：yA

2X

y=x-1

聯(lián)立方程組|6，

y=Y

解得，卜=-2,或h=3,

ly=-3ly=2

...直線），|=X-1與雙曲線y&的交點(diǎn)為：

2x

（-2,-3）或（3,2）,

由函數(shù)圖象可知，當(dāng)雙曲線在直線上方時(shí)，x<-2或0<x<3,

關(guān)于x的不等式k、x+b<—2的解集是x<-2或0<x<3,

x

故答案為：x<-2或0Vx<3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，

利用反比例函數(shù)的性質(zhì)和一次函數(shù)的性質(zhì)解答.

15.（2分）如圖，菱形紙片A8CD,AB=4,ZB=60°,將該菱形紙片折疊，使點(diǎn)B恰好

落在C￡）邊的中點(diǎn)8,處，折痕與邊BC、54分別交于點(diǎn)M、N,則的長(zhǎng)為2.8.

D

【分析】過(guò)點(diǎn)B'作B'ELBC,與8c的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,解直角三角形B'CE得B'

E,CE,設(shè)用x表示ME,MB',再用勾股定理列出x的方程進(jìn)行解答.

【解答】解：過(guò)點(diǎn)B'作8'ELBC,與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,

???四邊形A88是菱形，

：.AB=BC=CD=AD=4,AB//CD,

:B'是CQ的中點(diǎn)，

：.B'C=2,

VZB=60°,

：.ZB'C￡=ZB=60°,

；.CE=LB，「=1,B'E=B'C?sin60°=如，

2

設(shè)BM=x,貝ijME=BC+CE-8M=4+1-x=5-x,

由折疊性質(zhì)知，B'M=BM^x,

,:B'M?-MF=B'E2,

AX2-(5-X)2=(V3)2,

故答案為：2.8.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，折疊性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，方程思想,

關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造直角三角形.

16.（2分）如圖，將邊長(zhǎng)為2的正方形ABC。繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到正方形AB'

C?,連接88、BC',在旋轉(zhuǎn)角從0°到180°的整個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)時(shí),

△BB'C的面積為2+、6或2-JQ.

【分析】當(dāng)點(diǎn)￡>'在直線AB右側(cè)時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)B作8E_LBC于E,延長(zhǎng)E8交于F,

由旋轉(zhuǎn)的可得AB=AB'=B'C=AD'=2,ZBAD=ZB'AD'=90°=ZCB'A,由等腰三角

形的性質(zhì)可求B'E=CE=1,通過(guò)證明四邊形是矩形，可得4F=B'E=1,EF=AB'

=2,

由勾股定理可求B尸的長(zhǎng)，可得BE的長(zhǎng)，由三角形面積公式可求解；若點(diǎn)D在直線AB

的左側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作于M,交4。于N,相同的方法可求解.

【解答】解：當(dāng)點(diǎn)。在直線AB右側(cè)時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)B作BELEC于E,延長(zhǎng)EB交AD

于凡

圖1

???將邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，

：.AB=AB'=B'C=AD'=2,NB'AD'=90°=ZCB'A,

'：BB'=BC',BELB'C,

：.B'E=CE^\,

VBEVB'C,NBN￡>'=N48'C=9(r,

四邊形用是矩形，

：.AF=B'E=\,EF=AB'=2,

BF=J福2_AF2=V4-1—V3>

:.BE=2-a，

:.△BB，C的面積=M'CXBE=J_X2義（2-V3）=2-Vs；

若點(diǎn)。'在直線AB的左側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作于M,交ATT于N,

同理可求BN=J§,

BM=MN+BN=2+百，

.?.△BB'C的面積=XB'CXBM=LX2X（2+J3）=2+百；

22

綜上所述：△BB'C的面積為2+百或2-遙.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，矩形的判定和性

質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造矩形是本題的關(guān)鍵.

三、解答題（本大題共11小題，共88分。請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文

字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）

17.（8分）計(jì)算：

⑴-^+3Vl2-V48；

V3

（2）VW20

【分析】（1）直接化筒二次根式進(jìn)而合并得出答案；

（2）利用二次根式混合運(yùn)算計(jì)算得出答案.

【解答】解：⑴-^+3A/12-V48

_V3

=返+6愿-4我

3

=喳

3

⑵①滓但義任

V5V3

=下＞+2娓

=3-2

=1.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵.

18.(8分)解分式方程：

(1)5X±2_=^_；

x2+xx+1

(2)/-=—」.-2.

x-12x-2

【分析】(1)方程兩邊都乘以x(x+1)得出5x+2=3x,求出方程的解，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可;

(2)方程兩邊都乘以2(x-1)得出2x=3-4(x-1),求出方程的解，再進(jìn)行檢驗(yàn)即

可.

【解答】解：(1)方程兩邊都乘以x(x+1)得：5x+2=3x,

解得：x=-1,

檢驗(yàn)：當(dāng)x=-1時(shí)，x(x+1)=0,

所以x=-1是增根，

即原方程無(wú)解；

(2)方程兩邊都乘以2(x-1)得：2t=3-4(x-1),

解得：尸工，

6

檢驗(yàn)：當(dāng)*=2時(shí)，2(x-1)#0,

6

所以X=1是原方程的解，

6

即原方程的解是：X=工.

6

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解分式方程，能把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程是解此題的關(guān)鍵.

19.(10分)解一元二次方程：

(1)x+2x-1=0；

(2)(x-3)2=2X-6.

【分析】(1)移項(xiàng)后配方，開(kāi)方，即可得出兩個(gè)一元一次方程，求出方程的解即可;

(2)移項(xiàng)后分解因式，即可得出兩個(gè)一元一次方程，求出方程的解即可.

【解答［解(1)'：x+2x-1=0,

7

/.x+2x=1,

2

，x~+2x+l=1+1,

(x+l)2=2,

/.x+l=±圾，

二陽(yáng)=-1+&,X2=-1-V2；

(2)(x-3)2=2X-6,

：.(x-3)-2(x-3)=0,

(x-3)(x-3-2)=0,

.?.x-3=0,x-3-2=0,

^?X\=3,X2=5.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠淌墙獯祟}的關(guān)

鍵.

20.(6分)先化簡(jiǎn)，再求值：(尤+——)+(1+——),其中

x-2x-22

【分析】利用分式的加減乘除法則，先化簡(jiǎn)分式，再代入求值即可.

2

【解答】解：原式=2-2x+l+二生L

x-2x-2

_(x-1)2x-1

x-2x-2

2

(x-1)xx-2

x-2x-1

=x-1.

當(dāng)x=-工時(shí)，

2

原式=---1

2

=.3

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的化簡(jiǎn).掌握分式的加減法、乘除法法則是解決本題的關(guān)鍵.、

21.(7分)某中學(xué)圖書館將全部圖書分為自然科學(xué)、文學(xué)藝術(shù)、社會(huì)百科、哲學(xué)等四個(gè)類

別，為了了解圖書的借閱情況，圖書管理員隨機(jī)抽取了某月圖書的借閱情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，

并繪制成如下尚不完整的統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖.

（1）該月四類圖書的借閱冊(cè)數(shù)一共是2000冊(cè),其中“自然科學(xué)”類所占的百分比是

20%；

（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖，并算出扇形統(tǒng)計(jì)圖中“哲學(xué)”對(duì)應(yīng)扇形的圓心角度數(shù)為；

（3）若該中學(xué)打算購(gòu)買四類圖書共10000冊(cè)，根據(jù)上述信息，請(qǐng)你估算“哲學(xué)”類圖書

應(yīng)購(gòu)買多少冊(cè)?

某中學(xué)圖書館某月各類圖書某中學(xué)圖書館某月各類圖書的

借閱冊(cè)數(shù)分布扇形統(tǒng)計(jì)圖

【分析】（1）根據(jù)社會(huì)百科的人數(shù)和所占的百分比求出總冊(cè)數(shù)，再用“自然科學(xué)”的冊(cè)

數(shù)除以總冊(cè)數(shù)即可得出“自然科學(xué)”類所占的百分比；

（2）用360。乘以“哲學(xué)”所占的百分比即可；

（3）用總本數(shù)乘以哲學(xué)”所占的百分比即可.

【解答】解：（1）該月四類圖書的借閱冊(cè)數(shù)一共是：500?25%=2000（冊(cè)）；

其中“自然科學(xué)”類所占的百分比是：3_X100%=20%；

2000

（2）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中“哲學(xué)”對(duì)應(yīng)扇形的圓心角度數(shù)為：360°x2000-400-1000-500

2000

=18。；

故答案為：18；

（3）根據(jù)題意得：

10000X2000-400-1000-500=500（冊(cè)），

2000

答：“哲學(xué)”類圖書應(yīng)購(gòu)買500冊(cè).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖的綜合運(yùn)用.讀懂統(tǒng)計(jì)圖，從不同的統(tǒng)

計(jì)圖中得到必要的信息是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

22.（8分）一輛貨車和一輛轎車從南京出發(fā)，均沿滬寧高速公路勻速駛向目的地上海，已

知滬寧高速公路全長(zhǎng)約300k,設(shè)貨車的速度是到達(dá)上海所用的時(shí)間為皿.

（1）寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；

（2）滬寧高速公路規(guī)定：貨車的速度不得超過(guò)90km/h,求貨車到達(dá)上海所需的最短時(shí)間；

（3）若轎車的速度是貨車的1.5倍，轎車到達(dá)上海所用的時(shí)間比貨車少1小時(shí)15分鐘，

求轎車的速度.

【分析】（1）直接利用行駛時(shí)間=總路程+速度得出函數(shù)關(guān)系式；

（2）求出x=90時(shí)得出y的值，再利用反比例函數(shù)的增減性得出答案；

（3）根據(jù)已知表示出兩種車的速度，再利用轎車到達(dá)上海所用的時(shí)間比貨車少1小時(shí)15

分鐘，進(jìn)而得出答案.

【解答】解：（1）設(shè)貨車的速度是Mm〃7,到達(dá)上海所用的時(shí)間為y/z,根據(jù)題意可得：

個(gè)=300,

故尸空；

X

（2）把x=90代入>=理9,得絲，

xx903

根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)工>0時(shí)?，y隨元的增大而減小，

所以當(dāng)x490kmih時(shí)，貨車到達(dá)上海所需的最短時(shí)間為也、時(shí)；

3

（3）根據(jù)題意可得：300-300=1,

x1.5x4

解方程得：x=80,

經(jīng)檢驗(yàn)得：x=80是原方程的解，且符合題意，

1.5x=120,

答：轎車的速度為120km/h.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用以及分式方程的應(yīng)用，正確得出等量關(guān)系是

解題關(guān)鍵.

23.（8分）如圖，在。ABCQ中，將對(duì)角線8。分別向兩個(gè)方向延長(zhǎng)至點(diǎn)E、F,且BE=￡>F.連

接AF、CF、CE、AE.

（1）求證：四邊形AEC尸是平行四邊形；

(2)若A￡>=4,BE=3,NADB=NCBD=90：當(dāng)四邊形AECF是矩形時(shí)，則8。的

【分析】(1)連結(jié)AC,由平行四邊形的性質(zhì)得出。4=0C,OB=OD,證出OE=OF,

即可得出四邊形AEC尸是平行四邊形.

(2)根據(jù)題意可得8E=Z)F=3,根據(jù)勾股定理可求AF,44可證△E4Z)s△尸EA,根據(jù)

相似三角形的性質(zhì)可求EF,從而求得8。的長(zhǎng).

【解答】(1)證明：連結(jié)AC,

,/四邊形ABCD是平行四邊形，

：.OA=OC,OB=OD,

,:BE=DF,

：.OE=OF,

.?.四邊形AECF是平行四邊形.

(2)解：BE=DF=3,

?:NADB=NCBD=90°,

A4F=VAD2+DF2=5,

..?四邊形AECF是矩形，

AZME=90°,

:.NFAE=NADF,

"：ZAFD=ZEFA,

:XFEA(A4),

.FEFAnnFE-5

FAFD53

解得FE=空,

3

：.BD=2^--3-3=工

33

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理、矩形的性質(zhì)；熟練掌握平行

四邊形的判定與性質(zhì)，由勾股定理求出是解決問(wèn)題(2)的關(guān)鍵..

24.(8分)已知關(guān)于x的一元二次方程(x-加)2+2Cx-m)=0(機(jī)為常數(shù)).

(1)求證：不論，"為何值，該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

(2)若該方程有一個(gè)根為4,求〃?的值.

【分析】(1)根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，即可得出△=4>0,由此即可證出：不

論，"為何值，該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

(2)將x=4代入原方程，即可得出關(guān)于〃?的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論.

【解答】(1)證明：2+2(x-m)=0,

原方程可化為/-(2/n-2)x+"J-2m=0,

2

?a1,h--~(2m-2),c~~m一2m,

-4ac=[-(2w-2)]2-4Cm2-2m)=4>0,

不論m為何值，該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

(2)解：將x=4代入原方程，得：(4-機(jī))？+2(4-m)=0,BPm-10/M+24=0,

解得：n?i=4,,”2=6.

故m的值為4或6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式以及解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：(D牢記“當(dāng)△

>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”；(2)代入x=4求出力值.

25.(6分)如圖，在下列方格紙中，A、B是兩個(gè)格點(diǎn)，請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺在方格紙中完成

下列畫圖.(不寫畫法，保留畫圖痕跡)

(1)畫出一個(gè)N48C,使得NA8C=45°；

(2)畫出線段AB的垂直平分線.

【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格即可畫出一個(gè)/ABC,使得/ABC=45°；

（2）根據(jù)網(wǎng)格即可畫出線段AB的垂直平分線.

【解答】解：（1）如圖，NA8C即為所求；

（2）如圖，直線/即為所求.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵

是掌握線段垂直平分線的性質(zhì).

26.（9分）（1）如圖①，在菱形A8CD中，P、。分別是邊BC、C￡＞上的點(diǎn)，連接AP、AQ,

且/抬Q=N8.求證：AP=AQ.

下面是小文對(duì)這道試題的思考，先研究特殊情況，再證明一般情況.

（I）如圖②，當(dāng)APJ_BC于點(diǎn)P時(shí)，請(qǐng)?jiān)谙铝锌驁D中補(bǔ)全他的證明思路.

小文的證明思路

要證AP=4。，只要證△A8P之△AOQ.由己如條件知四邊形A8CD是菱形，可得AB=

AD,4B=4D,故只要證NAPB=/AQO.由A-C,得NAP8=/4PC=

90°,故只要證乙4。。=90°.即證/AQC=90°,易證/以Q+/APC+/C+/AQC=

360°,故只要證/必。+NC=180°.由己知條件知N%Q=NB,易證NB+NC=

180°,即可得證.

（II）如圖①，當(dāng)4P與BC不垂直時(shí)，……請(qǐng)你完成證明.

小文完成證明后，又進(jìn)一步思考，提出下列問(wèn)題，請(qǐng)你完成解答.

（2）如圖③，在菱形ABCQ中，P、Q分別是BC、CO延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且/若

AB=4,ZB=60°,ZAPB=45°,則四邊形ABC。的面積是6+6\瓜.

圖①圖②圖③

【分析】(1)(1)根據(jù)全等三角形的判定即可解決問(wèn)題.

(II)如圖①中，過(guò)點(diǎn)A作于M,ANLCD于N.證明△AMP也△AN。(AAS)

即可解決問(wèn)題.

(2)如圖③中，過(guò)點(diǎn)4作AM_LBC于例，4N_LCO于N.利用全等三角形的性質(zhì)證明

ZAQC=45°,解直角三角形求出AN,CQ,利用梯形的面積公式求解即可.

【解答】解：(1)：(I)要證AP=AQ,

只要證△ABP絲△AOQ,

由己如條件知四邊形ABC。是菱形，可得A8=AZ),NB=ND,

故只要證NAPB=NAQ。，

由AP_LBC,得/AP8=/APC=90°,

故只要證/AQO=90°.即證/AQC=90°,

因?yàn)镹HQ+/APC+/C+/H2C=360°,

故只要證/APQ+/C=180°.由已知條件知/m0=NB,

可得NB+NC=180°,即可得證.

故答案為：NB=ND,APVBC,NAPQ+NC=180°.

(II)如圖①中，過(guò)點(diǎn)A作4W_L8C于M,AN±CD^N.

:四邊形ABC。是菱形，AMLBC,AN±CD,

：.AM=AN,NAMP=NANQ=90°,AB//CD,

AZB+ZC=180",

,：ZPAQ=^ZB,

：.ZPAQ+ZC=\S00,

AZAPC+ZAQC=\S0Q,

VZAPM+ZAPC=\80°,

NAPM=ZAQN,

.?.△AMPdANQ(A4S),

：.AP=AQ.

(2)如圖③中，過(guò)點(diǎn)A作AMJLBC于M,ANLCD^N.

圖③

同法可證，ZVIMP空△4NQ(A4S),

NAPM=NAQN=45°,

..?四邊形A8C。是菱形，

：.AD=AB^CD=4,/8=/AOC=60°,

VZANQ=90°,NAQN=45°