山東省棗莊市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

2022～2023學(xué)年高中教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)高一數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知向量，，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平面向量共線的坐標(biāo)公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，，所以，?故選：C.2.已知復(fù)數(shù)滿足，，則（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)復(fù)數(shù)，根據(jù)已知等式結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算即可得的值，從而求得復(fù)數(shù).【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)因?yàn)?，所以，則，又，所以，即故.故選：B.3.一個(gè)圓臺(tái)的上、下底面的半徑分別為1，4，母線長(zhǎng)為5，則該圓臺(tái)的側(cè)面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用圓臺(tái)的側(cè)面積公式求解即可【詳解】設(shè)圓臺(tái)的上、下底面的半徑為，母線長(zhǎng)為，所以，.故選：B．4.將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲2次，至少出現(xiàn)一次6點(diǎn)的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲2次可能出現(xiàn)的情況和至少出現(xiàn)一次6點(diǎn)的情況，再由古典概率求解即可.【詳解】一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲2次，可能出現(xiàn)的情況為：，，，共種，其中至少出現(xiàn)一次6點(diǎn)的情況有：，共種，故至少出現(xiàn)一次6點(diǎn)的概率為：.故選：C.5.一組數(shù)據(jù)，記其均值為，第25百分位數(shù)為，方差為，則（）A.B.C.數(shù)據(jù)的均值為D.數(shù)據(jù)的方差為【答案】D【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義，均值和方差的計(jì)算公式判斷各選項(xiàng)即可；【詳解】選項(xiàng)A：，所以，選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：，并不能準(zhǔn)確判定均值的位置，例如：1,2,3,11,13,14,18,200,平均數(shù)更靠近后項(xiàng)，選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)C:根據(jù)定義，數(shù)據(jù)的均值為：選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)D:數(shù)據(jù)的方差為：，選項(xiàng)正確；故選：D.6.已知為虛數(shù)單位，若實(shí)數(shù)使得為純虛數(shù)，則（）A.1 B.1 C. D.2【答案】A【解析】【分析】先求出，再根據(jù)純虛數(shù)的概念列式計(jì)算.【詳解】因?yàn)椋栽綖闉榧兲摂?shù)，所以，解得.故選：A.7.某班50名學(xué)生騎自行車，騎電動(dòng)車到校所需時(shí)間統(tǒng)計(jì)如下：到校方式人數(shù)平均用時(shí)（分鐘）方差騎自行車203036騎電動(dòng)車302016則這50名學(xué)生到校時(shí)間的方差為（）A.48 B.46 C.28 D.24【答案】A【解析】【分析】根據(jù)分層隨機(jī)抽樣的總樣本的平均數(shù)和方差公式進(jìn)行求解.【詳解】由已知可得，騎自行車平均用時(shí)（分鐘）：，方差；騎電動(dòng)車平均用時(shí)（分鐘）：，方差；騎自行車人數(shù)占總數(shù)的，騎電動(dòng)車人數(shù)占總數(shù)的.這50名學(xué)生到校時(shí)間的平均數(shù)為，方差為.故選：A.8.筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用（如圖）．明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（如圖）．假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個(gè)盛水筒都做逆時(shí)針勻速圓周運(yùn)動(dòng)，筒車轉(zhuǎn)輪的中心到水面的距離為，筒車的半徑為，筒車轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為，如圖所示，盛水桶（視為質(zhì)點(diǎn)）的初始位置距水面的距離為，則后盛水桶到水面的距離近似為（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出初始位置時(shí)對(duì)應(yīng)的角，然后根據(jù)題意求出盛水桶到水面的距離與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，將代入求解即可．【詳解】設(shè)初始位置對(duì)應(yīng)的角為，則，則，因?yàn)橥曹囖D(zhuǎn)動(dòng)的角速度為，所以水桶到水面的距離，當(dāng)時(shí)，則有，故選：．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列關(guān)于復(fù)數(shù)的四個(gè)命題，真命題的為（）A.若，則 B.若，則C.若，則的最大值為 D.若，則【答案】AC【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算可判斷AB選項(xiàng)的正誤，利用復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的三角不等式可判斷C選項(xiàng)的正誤，解方程，可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)，則，，，則，從而，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，取，則，但，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，由復(fù)數(shù)模的三角不等式可得，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，由，可得或，由，則，解得或，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知點(diǎn)是的重心，點(diǎn)，，，點(diǎn)是上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】先根據(jù)重心坐標(biāo)公式求出重心坐標(biāo)判斷A選項(xiàng)，再根據(jù)三等分點(diǎn)求出點(diǎn)D判斷B選項(xiàng)，再根據(jù)夾角公式計(jì)算判斷C選項(xiàng)，最后根據(jù)模長(zhǎng)公式求解判斷D選項(xiàng).【詳解】點(diǎn)是的重心，點(diǎn)，，，設(shè)點(diǎn)，，A選項(xiàng)正確；點(diǎn)是上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則設(shè)則即,解得，B選項(xiàng)正確;因,則，即，C選項(xiàng)錯(cuò)誤;,D選項(xiàng)錯(cuò)誤;故選:AB.11.已知為兩個(gè)事件，，，則的值可能為（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)事件概率的相關(guān)公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解不等式即可.【詳解】因?yàn)?，，所以所?即，解得.故選：BC12.如圖，正方體中，是線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含兩端點(diǎn)），則（）A.直線與平面相交B.三棱錐的體積不變C.平面平面D.設(shè)直線與平面所成的角為，則取值范圍為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)面面平行的判定定理證得平面平面，根據(jù)面面平行的性質(zhì)即可判斷A；根據(jù)三棱錐體積轉(zhuǎn)化思想分析三棱錐的體積即可判斷B；由面面垂直的判斷定理證明平面平面即可判斷C；利用線面夾角的定義確定的關(guān)系式，結(jié)合函數(shù)確定其取值范圍.【詳解】對(duì)于A，如圖連接在正方體中，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，同理可得平面，又平面，所以平面平面，因?yàn)槠矫妫云矫?，故A不正確；對(duì)于B，由A可知平面，又，所以點(diǎn)到平面的距離為定值，在正方體中，可得為等邊三角形，其面積為定值，故三棱錐的體積為定值，所以三棱錐的體積也為定值，故B正確；對(duì)于C，如圖，連接在正方體中，四邊形為正方形，所以又平面，平面，所以因?yàn)槠矫?，所以平面因?yàn)槠矫妫?，同理可得又平面，所以平面因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫蔆正確；對(duì)于D，如圖過作交于，連接因?yàn)槠矫?，，所以平面，則為直線與平面所成的角為，則不妨設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，設(shè)，則所以，則，所以因?yàn)椋?，則，故取值范圍為，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部?jī)蓪庸渤槿?0名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有200名和800名學(xué)生，則從初中部應(yīng)抽取的學(xué)生人數(shù)為______.【答案】10【解析】【分析】根據(jù)題意利用分層抽樣的定義直接求解即可.【詳解】由題意得從初中部應(yīng)抽取的學(xué)生人數(shù)為人，故答案為：1014.正邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)滿足，則______.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)基底法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，代入求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故答案為：215.設(shè)事件相互獨(dú)立，且，，則_______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)獨(dú)立事件結(jié)合概率運(yùn)算的性質(zhì)，直接計(jì)算即可.【詳解】由題知，因?yàn)?，，所以，由，可得，即，?故答案為：16.，分別是棱長(zhǎng)為1的正方體的棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，總有，則點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積為________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)圖形關(guān)系找出一個(gè)面垂直于，從而得到點(diǎn)的軌跡，進(jìn)而得到點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積.【詳解】取中點(diǎn)，連接，設(shè)，則，，，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，即，因?yàn)檎襟w中面，面，所以，因?yàn)槊?，，所以面，因?yàn)檎襟w中面，面，所以，所以點(diǎn)的軌跡為矩形，在直角中，所以矩形面積為.即點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積為.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.統(tǒng)計(jì)某班同學(xué)一次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)，得到如下頻率分布直方圖，已知該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)不低于80分的頻率為0.60.（1）求頻率分布直方圖中，的值；（2）估計(jì)該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分和中位數(shù).【答案】（1）（2）平均分、中位數(shù)分別為，【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)求解即可.（2）利用平均數(shù)和中位數(shù)的定義和公式求解即可.【小問1詳解】由已知得，則，所以【小問2詳解】該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分的估計(jì)值為：，因?yàn)?，，所以中位?shù)在內(nèi).故中位數(shù)為.18.如圖，在三棱錐中，，，，為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求異面直線與所成角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理，證明，，然后結(jié)合位置關(guān)系即可證明平面；（2）將異面直線與平移到一個(gè)平面上，轉(zhuǎn)化為面內(nèi)角求解.【小問1詳解】證明：連接.在中，因?yàn)?，是的中點(diǎn)，所以，.在等邊中，.在中，，，，所以，所以，即.又，平面，平面，所以平面.【小問2詳解】分別取，的中點(diǎn)，，連接、、.因?yàn)?，，分別是，，的中點(diǎn)，所以，分別是，的中位線，所以，，所以（或其補(bǔ)角）就是異面直線與所成的角在中，，.因?yàn)槭切边吷系闹芯€，所以.在等腰中，.所以異面直線與所成角的余弦值為.19.數(shù)學(xué)期末考試中有8道單項(xiàng)選擇題，滿分40分，每道題有4個(gè)選項(xiàng)，其中有且僅有一個(gè)是正確的，評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：答對(duì)得5分，不答或者答錯(cuò)得0分.考生甲每道單項(xiàng)選擇題都選出了一個(gè)答案，能確定其中有5道題的答案是正確的，而其余3題中，有一道題可以排除兩個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng)，另外兩個(gè)選項(xiàng)選擇的可能性都相等；剩余兩道題都能排除一個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng)，另外三個(gè)選項(xiàng)選擇的可能性都相等.各道單項(xiàng)選擇題答對(duì)答錯(cuò)彼此互不影響.（1）求甲得滿分40分的概率；（2）判斷甲單項(xiàng)選擇題得多少分的可能性最大，并說明理由.【答案】（1）（2）甲得30分的概率最大，理由見解析【解析】【分析】（1）利用獨(dú)立事件的乘法公式求甲得滿分40分的概率，即可得結(jié)果．（2）由甲總得分的取值有25、30、35、40，再應(yīng)用獨(dú)立事件乘法公式及互厷事件加法公式求各對(duì)應(yīng)得分的概率并比較大小，即可得答案．【小問1詳解】由題意可知，在其余3道題中，三道題答對(duì)的概率分別為，，，設(shè)表示甲考試總得分，所以甲得40分的概率為.【小問2詳解】甲得25分的概率；甲得30分的概率；甲得35分的概率.而甲得40分的概率為，故甲得30分的概率最大.20.已知，是不共線的單位向量，，，.（1）若與共線，求的取值范圍；（2）若，是向量在向量上的投影向量，滿足，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由與共線，結(jié)合共線定理求出值，則，再結(jié)合可求出的取值范圍；（2）由是在上的投影向量，表示出，再結(jié)合可列方程求出實(shí)數(shù)的值.【小問1詳解】因?yàn)榕c共線，所以存在實(shí)數(shù)，使得，即，即.由平面向量基本定理，得，.所以..所以.因?yàn)?，所以，所?【小問2詳解】因?yàn)?，所以?由是在上的投影向量，得.由題意，所以.整理得，解得或.21.如圖，在扇形中，半徑，圓心角，是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，矩形內(nèi)接于扇形，設(shè).（1）試建立矩形的面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）在（1）的條件下，當(dāng)為何值時(shí)，取最大值，并求出最大值.【答案】（1）（2）當(dāng)時(shí)，取最大值，且【解析】【分析】（1）利用銳角三角函數(shù)定義，結(jié)合矩形面積公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)正弦二倍角公式、輔助角公式、降冪公式，結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】在中，，.在中，，故.矩形的面積小問2詳解】由.由，得，當(dāng)，即時(shí)，.因此，當(dāng)時(shí)，取最大值，且.22.的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.（1）求；（2）已知，的平分線