2024年山東省菏澤市巨野縣九年級中考一模數(shù)學(xué)試題（含解析）

二〇二四年初中學(xué)業(yè)水平模擬考試（一）數(shù)學(xué)試題（120分，120分鐘）一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．中國人最早使用負(fù)數(shù)，可追溯到兩千多年前的秦漢時期，的相反數(shù)是（

）A． B． C． D．2．我國古代數(shù)學(xué)的許多創(chuàng)新與發(fā)明都曾在世界上有重要影響．下列圖形“楊輝三角”“中國七巧板”“劉微割圓術(shù)”“趙爽弦圖”中，中心對稱圖形是（

）．A．

B．

C．

D．

3．我國自主研發(fā)的口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡（）有“中國天眼”之稱，它的反射面面積約為用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)據(jù)為（

）A． B． C． D．4．下列運算正確的是（）A． B． C． D．5．甲圖由5個完全相同的小正方體組成，移動其中一個小正方體后，得到乙圖，所得幾何體的三視圖有改變的是（

）A．主視圖 B．俯視圖 C．左視圖 D．三種視圖都改變6．從，3.14，，中隨機抽取一個數(shù)，此數(shù)是無理數(shù)的概率是（

）A． B． C． D．17．如圖，在矩形中，點E為延長線上一點，F(xiàn)為的中點，以B為圓心，長為半徑的圓弧過與的交點G，連接．若，，則（

）

A．2 B．2.5 C．3 D．3.58．如圖，，是的弦，，是的半徑，點為上任意一點（點不與點重合），連接．若，則的度數(shù)可能是（

）

A． B． C． D．9．將一副直角三角板作如圖所示擺放，，，則下列結(jié)論不正確的是

（

）A． B． C． D．10．直線和拋物線（a，b是常數(shù)，且）在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過點．下列結(jié)論：①拋物線的對稱軸是直線②拋物線與x軸一定有兩個交點③關(guān)于x的方程有兩個根，④若，當(dāng)或時，其中正確的結(jié)論是（

）A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①④二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．若，，則的值為．12．關(guān)于的不等式組有3個整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是．13．甲、乙兩船從相距150km的，兩地同時勻速沿江出發(fā)相向而行，甲船從地順流航行90km時與從地逆流航行的乙船相遇．甲、乙兩船在靜水中的航速均為30km/h，則江水的流速為km/h．14．據(jù)《墨經(jīng)》記載，在兩千多年前，我國學(xué)者墨子和他的學(xué)生做了“小孔成像”實驗，闡釋了光的直線傳播原理．小孔成像的示意圖如圖所示，光線經(jīng)過小孔，物體在幕布上形成倒立的實像（點的對應(yīng)點分別是）．若物體的高為，實像的高度為，則小孔的高度為．

15．如圖，在矩形中，以點D為圓心，長為半徑畫弧，以點C為圓心，長為半徑畫弧，兩弧恰好交于邊上的點E處，現(xiàn)從矩形內(nèi)部隨機取一點，若，則該點取自陰影部分的概率為．

16．如圖，在邊長為2的正方形中，點為的中點，將沿翻折得，點落在四邊形內(nèi)．點為線段上的動點，過點作交于點，則的最小值為．三．解答題（共8小題，滿分72分）17．（1）計算：；（2）先化簡，再求值：，其中．18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)交于，兩點，與y軸交于點C，連接，．

(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；(2)求的面積；(3)請根據(jù)圖象直接寫出不等式的解集．19．蹴鞠是起源于中國古代的一種足球運動，有著悠久的歷史和豐富的文化內(nèi)涵．在戰(zhàn)國時期就開始流行，為發(fā)揚傳統(tǒng)文化，喚醒中國禮儀，某學(xué)校開展足球射門比賽．隨機從報名的學(xué)生中抽取了40人，每人射門30次，射中一次得1分，滿分30分，得到這40名學(xué)生的得分(沒有滿分學(xué)生)，將他們的成績分成六組：A：分；B：分；C：分；D：分；E：分；F：分，繪制成如圖所示的頻數(shù)分布直方圖（每組數(shù)據(jù)含最小值，不含最大值）．(1)若D組數(shù)據(jù)為：15，15，15，16，17，17，18，18，19，19，19，19，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是______，中位數(shù)是______；(2)若將此直方圖繪制成扇形統(tǒng)計圖，B：分所在扇形的圓心角的度數(shù)為______°；(3)若用每組數(shù)據(jù)的組中值（如的組中值是）來代表該組同學(xué)的平均成績；①請求出這40名同學(xué)的總成績；②若此時再加上5名同學(xué)，要使總平均成績不低于17分，求這5名同學(xué)的平均成績至少為多少分？20．問題情境：筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟又環(huán)保，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（如圖①）．假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都按逆時針做勻速圓周運動，每旋轉(zhuǎn)一周用時120秒．問題設(shè)置：把筒車抽象為一個半徑為r的．如圖②，始終垂直于水平面，設(shè)筒車半徑為2米．當(dāng)時，某盛水筒恰好位于水面A處，此時，經(jīng)過95秒后該盛水筒運動到點B處．（參考數(shù)據(jù)，）

問題解決：(1)求該盛水筒從A處逆時針旋轉(zhuǎn)到B處時，的度數(shù)；(2)求該盛水筒旋轉(zhuǎn)至B處時，它到水面的距離．（結(jié)果精確到米）21．某商場銷售兩種商品，每件進價均為20元．調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果售出種20件，種10件，銷售總額為840元；如果售出種10件，種15件，銷售總額為660元．(1)求兩種商品的銷售單價．(2)經(jīng)市場調(diào)研，種商品按原售價銷售，可售出40件，原售價每降價1元，銷售量可增加10件；種商品的售價不變，種商品售價不低于種商品售價．設(shè)種商品降價元，如果兩種商品銷售量相同，求取何值時，商場銷售兩種商品可獲得總利潤最大？最大利潤是多少？22．如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，是直徑，是的中點，過點作交的延長線于點．

(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長．23．綜合與實踐問題情境：如圖，在正方形中，對角線，相交于點，是線段上一點，連接．操作探究：將沿射線平移得到，使點的對應(yīng)點落在對角線上，與邊交于點，連接，．（）如圖，當(dāng)是的中點時，求證：．（）如圖，當(dāng)是上任意一點時，試猜想的形狀，并說明理由．拓展延伸：（）在（）的條件下，請直接寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系．24．【建立模型】(1)如圖，點是線段上的一點，，，，垂足分別為，，，．求證：；【類比遷移】(2)如圖，一次函數(shù)的圖象與軸交于點、與軸交于點，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到、直線交軸于點．①求點的坐標(biāo)；②求直線的解析式；【拓展延伸】(3)如圖，拋物線與軸交于，兩點點在點的左側(cè)，與軸交于點，已知點，，連接．拋物線上是否存在點，使得，若存在，求出點的橫坐標(biāo)．

參考答案與解析1．A【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義：像和這樣，只有符合不同的兩個數(shù)叫做相反數(shù)，即可．【解答】∵像和這樣，只有符合不同的兩個數(shù)叫做相反數(shù)，∴的相反數(shù)是．故選：A．【點撥】本題考查了相反數(shù)的定義，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握相反數(shù)的定義，只有符號不同的兩個數(shù)是互為相反數(shù)，正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)，0的相反數(shù)是0，負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)．2．D【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念進行判斷即可．【解答】解：A．不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；B．不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；C.不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；D.是中心對稱圖形，故此選項符合題意；故選：D．【點撥】本題考查的是中心對稱圖形．中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與自身重合．3．D【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中為整數(shù)，確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同，當(dāng)原數(shù)絕對值時，n是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值時，n是負(fù)整數(shù)；【解答】解：，故選：D【點撥】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法，科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值4．B【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的加法，同底數(shù)冪的乘除法，冪的乘方這些公式進行運算即可．【解答】A選項，和不是同類項，不能合并，故不符合題意；B選項，，正確，故符合題意；C選項，，不正確，故不符合題意；D選項，，不正確，故不符合題意．故選：B【點撥】本題考查整式的運算，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握同底數(shù)冪的加法，同底數(shù)冪的乘除法，冪的乘方這些運算法則是解題的關(guān)鍵．5．B【分析】此題主要考查了簡單幾何體的三視圖，直接利用已知幾何體分別得出三視圖進而分析得出答案．【解答】解：圖甲和圖乙的主視圖相同，底層是三個小正方形，上層中間是一個小正方形；左視圖相同，底層是兩個小正方形，上層左邊是一個小正方形；圖甲的俯視圖底層左邊是一個小正方形，上層是三個小正方形；圖乙的俯視圖底層右邊是一個小正方形，上層是三個小正方形．所以三視圖有改變的是俯視圖．故選：B．6．A【分析】本題考查無理數(shù)、簡單的概率計算，根據(jù)無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)判斷出無理數(shù)的個數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．【解答】解：在，3.14，，中，是無理數(shù)，即無理數(shù)有1個，∴隨機抽取一個數(shù)，此數(shù)是無理數(shù)的概率是，故選：A7．C【分析】利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求得，在中，利用勾股定理即可求解.【解答】解：∵矩形中，∴，∵F為的中點，，∴，在中，，故選：C.【點撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，勾股定理，掌握“直角三角形斜邊中線的長等于斜邊的一半”是解題的關(guān)鍵.8．D【分析】根據(jù)圓周角定理得出，進而根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可求解．【解答】解：∵，，∴，∵，∴的度數(shù)可能是故選：D．【點撥】本題考查了圓周角定理，三角形的外角的性質(zhì)，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．9．C【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，三角板中角度的計算，由三角板中角度的特點可得，則，即可判斷A；由平角的定義即可判斷B；過點F作，則，由平行線的性質(zhì)得到，進而求出，即可判斷C；再由平角的定義即可得到，即可判斷D．【解答】解：∵，∴，故A結(jié)論正確，不符合題意；∵，∴，故B結(jié)論正確，不符合題意；如圖所示，過點F作，∵，∴，∴，∴，∴，故C結(jié)論錯誤，符合題意；∴，∴，故D結(jié)論正確，不符合題意；故選：C．10．B【分析】①可得，從而可求，即可求解；②可得，由，可得，即可求解；③可判斷拋物線也過，從而可得方程的一個根為，可求拋物線的對稱軸為直線，從而可得拋物線與軸的另一個交點為，即可求解；④當(dāng)，當(dāng)時，，即可求解．【解答】解：①直線經(jīng)過點，，，拋物線的對稱軸為直線，故①正確；②，由①得，，，，拋物線與x軸一定有兩個交點，故②正確；③當(dāng)時，，拋物線也過，由得方程，方程的一個根為，拋物線，，拋物線的對稱軸為直線，與軸的一個交點為，，解得：，拋物線與軸的另一個交點為，關(guān)于x的方程有兩個根，，故③正確；④當(dāng)，當(dāng)時，，故④錯誤；故選：B．【點撥】本題考查了二次函數(shù)的基本性質(zhì)，二次函數(shù)與一次函數(shù)交點，二次函數(shù)與不等式等，理解性質(zhì)，掌握解法是解題的關(guān)鍵．11．【分析】本題考查整式的知識，解題的關(guān)鍵是先提公因式，則，把，，代入式子，即可作答．【解答】∵，，∴．故答案為：．12．##【分析】解不等式組，根據(jù)不等式組有3個整數(shù)解得出關(guān)于m的不等式組，進而可求得的取值范圍．【解答】解：解不等式組得：，∵關(guān)于的不等式組有3個整數(shù)解，∴這3個整數(shù)解為，，，∴，解得：，故答案為：．【點撥】本題考查了解一元一次不等式組，一元一次不等式組的整數(shù)解，正確得出關(guān)于m的不等式組是解題的關(guān)鍵．13．6【分析】設(shè)江水的流速為千米每小時，則甲速度為，乙速度為，根據(jù)行駛時間相等列出方程解答即可．【解答】解：設(shè)江水的流速為千米每小時，根據(jù)題意得：，解得，經(jīng)檢驗符合題意，答：江水的流速．故答案為：6．【點撥】本題考查了列分式方程，讀懂題意找出等量關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．14．3【分析】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，利用相似三角形對應(yīng)邊的比相等的性質(zhì)求相應(yīng)線段的長或表示線段之間的關(guān)系成為解題的關(guān)鍵．先利用相似三角形的性質(zhì)得出對應(yīng)線段成比例，再對兩組對應(yīng)線段進行變形求解即可．【解答】解：，同理可得：，①+②得，∴，∴，解得：．故答案為：3．15．##【分析】連接，根據(jù)勾股定理，得，根據(jù)陰影部分的面積為：扇形的面積減去，根據(jù)的等于扇形的面積減去，據(jù)此求解即可．【解答】解：連接，如下圖：∵四邊形是矩形，，∴，，，∴，，∴扇形的面積為：，∵的面積為：，∴陰影部分的面積為：．矩形的面積為，該點取自陰影部分的概率為．故答案為：．【點撥】本題考查幾何概率，矩形的性質(zhì)，扇形的面積，解題的關(guān)鍵是掌握扇形的面積公式，矩形的性質(zhì)．16．####1.6【分析】本題主要考查軸對稱在的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識點，會運用勾股定理和相似三角形的判定和性質(zhì)求線段長度是解題的關(guān)鍵．如圖：過點M作于F，推出的最小值為的長，證明四邊形為菱形，然后利用相似三角形的判定和性質(zhì)求得的長即可．【解答】解：作點P關(guān)于的對稱點，由折疊的性質(zhì)知是的平分線，∴點在上，過點M作于F，交于點G，∵，∴的最小值為的長，連接，由折疊的性質(zhì)知為線段的垂直平分線，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵為線段的垂直平分線，∴，∴，∴，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴四邊形為菱形，∴，，∴，∵，即，∴，∴，即，∴，∴，∴的最小值為．故答案為：．17．（1）2；（2）【分析】本題考查的是實數(shù)的運算、分式的化簡求值．（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪計算計算；（2）根據(jù)分式的加法法則、除法法則把原式化簡，把x的值代入計算即可．【解答】解：（1）；（2），當(dāng)時，原式．18．(1)，；(2)9；(3)或．【分析】（1）把點B代入反比例函數(shù)，即可得到反比例函數(shù)的解析式；把點A代入反比例函數(shù)，即可求得點A的坐標(biāo)；把點A、B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)一次函數(shù)即可求得a、b的值，從而得到一次函數(shù)的解析式；（2）的面積是和的面積之和，利用面積公式求解即可；（3）利用圖象，找到反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象下方所對應(yīng)的x的范圍，直接得出結(jié)論．【解答】（1）∵點在反比例函數(shù)的圖象上，∴，解得：∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為．∵在反比例函數(shù)的圖象上，∴，解得，（舍去）．∴點A的坐標(biāo)為．∵點A，B在一次函數(shù)的圖象上，把點，分別代入，得，解得，∴一次函數(shù)的表達(dá)式為；（2）∵點C為直線與y軸的交點，∴把代入函數(shù)，得∴點C的坐標(biāo)為∴，∴．（3）由圖象可得，不等式的解集是或．

【點撥】此題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，三角形面積，函數(shù)與不等式的關(guān)系，求出兩個函數(shù)解析式是解本題的關(guān)鍵．19．(1)19，(2)(3)，【分析】本題考查眾數(shù)定義，中位數(shù)定義，條形統(tǒng)計圖數(shù)據(jù)分析，扇形統(tǒng)計圖求圓心角度數(shù)，平均數(shù)定義，一元一次不等式實際應(yīng)用．（1）根據(jù)眾數(shù)定義及中位數(shù)定義即可得到答案；（2）先求出B組占比，再乘以即可；（3）①用每組的組中值乘以對應(yīng)組的人數(shù)即可得到40位學(xué)生總成績；②設(shè)這5名同學(xué)的平均成績至少為x分，列出關(guān)于x的一元一次不等式即可．【解答】（1）解：∵15，15，15，16，17，17，18，18，19，19，19，19，∴眾數(shù)為：19，中位數(shù)為：，故答案為：；（2）解：∵B：分有5人，共40人，∴，故答案為：45；（3）解：①根據(jù)條形統(tǒng)計圖可得：；②設(shè)這5名同學(xué)的平均成績至少為x分，∴，解得：，答：這5名同學(xué)的平均成績至少為分．20．(1)；(2)該盛水筒旋轉(zhuǎn)至B處時，它到水面的距離為米．【分析】（1）先求得該盛水筒的運動速度，再利用周角的定義即可求解；（2）作于點C，在中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理求得的長，在中，利用勾股定理求得的長，據(jù)此即可求解．【解答】（1）解：∵旋轉(zhuǎn)一周用時120秒，∴每秒旋轉(zhuǎn)，當(dāng)經(jīng)過95秒后該盛水筒運動到點B處時，，∵，∴；（2）解：作于點C，設(shè)與水平面交于點D，則，

在中，，，∴，，在中，，，∴，∴(米)，答：該盛水筒旋轉(zhuǎn)至B處時，它到水面的距離為米．【點撥】本題考查了圓的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．21．(1)的銷售單價為元、的銷售單價為元(2)當(dāng)時，商場銷售兩種商品可獲得總利潤最大，最大利潤是元．【分析】（1）設(shè)的銷售單價為元、的銷售單價為元，根據(jù)題中售出種20件，種10件，銷售總額為840元；售出種10件，種15件，銷售總額為660元列方程組求解即可得到答案；（2）設(shè)利潤為，根據(jù)題意，得到，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)及題中限制條件分析求解即可得到答案．【解答】（1）解：設(shè)的銷售單價為元、的銷售單價為元，則，解得，答：的銷售單價為元、的銷售單價為元；（2）解：種商品售價不低于種商品售價，，解得，即，設(shè)利潤為，則，，在時能取到最大值，最大值為，當(dāng)時，商場銷售兩種商品可獲得總利潤最大，最大利潤是元．【點撥】本題考查二元一次方程組及二次函數(shù)解實際應(yīng)用題，讀懂題意，根據(jù)等量關(guān)系列出方程組，根據(jù)函數(shù)關(guān)系找到函數(shù)關(guān)系式分析是解決問題的關(guān)鍵．22．(1)證明見解析；(2)，．【分析】（1）根據(jù)“連半徑，證垂直”即可，（2）先由“直徑所對的圓周角是直角”，證是直角三角形，用勾股定理求出長，再通過三角形相似即可求解．【解答】（1）連接

∵為的中點，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，又∵，∴，為半徑，∴為的切線，（2）∵為直徑，∴，∵，∴，又∵，，∴，∴，即，∴，∵，∴，

在中，由勾股定理得：．【點撥】此題考查切線的判定，圓周角定理，勾股定理定理的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．23．（）證明見解析；（）是等腰直角三角形，理由見解析；（）．【分析】（）連接，根據(jù)平移得，，，，根據(jù)是的中點，得到是的中位線，即可求證；（）是等腰直角三角形．證明，得到，，由，進而得到，即可求證；（）由()得，，，即可得，由勾股定理得到，即可得到．【解答】（）證明：如圖，連接，根據(jù)平移得，，，，∵是的中點，∴是的中位線，∴，∴；（）解：是等腰直角三角形，理由如下：∵四邊形是正方形，∴，，，∴，由平移得，，，∴，，，∴，∴，∴，，∵，∴，∴是等腰直角三角形；（）解：．由()得，，，∴，∴，∴．【點撥】本題考查了正方形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)