高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題十二 推理與證明、算法初步考題溯源變式 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題

（通用版）2016年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題十二推理與證明、算法初步考題溯源教材變式理真題示例對(duì)應(yīng)教材題材評(píng)說(shuō)(2014·高考課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ，5分)數(shù)列{an}滿足an＋1＝eq\f(1,1－an)，a8＝2，則a1＝________.(2015·高考全國(guó)卷Ⅱ，5分)下邊程序框圖的算法思路源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”．執(zhí)行該程序框圖，若輸入的a，b分別為14，18，則輸出的a＝()A.0B．2C.4D．14(2015·高考全國(guó)卷Ⅱ，5分)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則Sn＝________.(必修5P33A組T4(2))已知數(shù)列{an}中，a1＝－eq\f(1,4)，an＝1－eq\f(1,an－1)(n>1)，寫(xiě)出數(shù)列的前5項(xiàng).(必修3P36例1)用更相減損術(shù)求98與63的最大公約數(shù).(選修2－2P84B組T1)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝－eq\f(2,3)，滿足Sn＋eq\f(1,Sn)＋2＝an(n≥2)，計(jì)算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表達(dá)式.考題與教材題形同孿生姐妹，正向逆向結(jié)合是殊途同歸的典型.[教材變式訓(xùn)練]一、選擇題[變式1](選修2－2P77練習(xí)T2改編)觀察三角數(shù)陣，記第n行的第m個(gè)數(shù)為a(n，m)，則下列關(guān)系正確的是()111121133114641…11045…45101A．a(chǎn)(n＋1，m＋1)＝a(n，m)＋a(n，m＋1)B．a(chǎn)(n＋1，m＋1)＝a(n－1，m－1)＋a(n，m)C．a(chǎn)(n＋1，m＋1)＝a(n，m)＋a(n＋1，m)D．a(chǎn)(n＋1，m＋1)＝a(n＋1，m)＋a(n，m＋1)解析：選A.觀察分析得出三角數(shù)陣中的每一個(gè)數(shù)等于其“肩上”兩個(gè)數(shù)之和．∴a(n＋1，m＋1)＝a(n，m)＋a(n，m＋1)．[變式2](必修3P13例6改編)程序框圖如圖所示，若該程序運(yùn)行后輸出的值是eq\f(9,5)，則()A．a(chǎn)＝4 B．a(chǎn)＝5C．a(chǎn)＝6 D．a(chǎn)＝7解析：選A.由程序框圖及最后輸出的值是eq\f(9,5)可知：當(dāng)k＝1時(shí)，S＝1，k>a不成立，故S＝1＋eq\f(1,1×2)＝eq\f(3,2)，k＝2>a不成立，故S＝eq\f(3,2)＋eq\f(1,2×3)＝eq\f(5,3)，k＝3>a不成立，故S＝eq\f(5,3)＋eq\f(1,3×4)＝eq\f(7,4)，k＝4>a不成立，故S＝eq\f(7,4)＋eq\f(1,4×5)＝eq\f(9,5)，此時(shí)k＝5>a成立，所以a＝4.故選A.[變式3](必修3P38－P39改編)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出k的值為6，則判斷框內(nèi)可填入的條件是()A．s>eq\f(1,2)？ B．s>eq\f(3,5)？C．s>eq\f(7,10)？ D．s>eq\f(4,5)？解析：選C.依次執(zhí)行程序框圖，根據(jù)輸出結(jié)果確定判斷框內(nèi)的控制條件．第一次執(zhí)行循環(huán)：s＝1×eq\f(9,10)＝eq\f(9,10)，k＝8，s＝eq\f(9,10)應(yīng)滿足條件；第二次執(zhí)行循環(huán)：s＝eq\f(9,10)×eq\f(8,9)＝eq\f(8,10)，k＝7，s＝eq\f(8,10)應(yīng)滿足條件，排除選項(xiàng)D；第三次執(zhí)行循環(huán)：s＝eq\f(8,10)×eq\f(7,8)＝eq\f(7,10)，k＝6，正是輸出的結(jié)果，故這時(shí)程序不再滿足條件，結(jié)束循環(huán)，而選項(xiàng)A和B都不滿足條件，結(jié)束循環(huán)，故排除A和B，故選C.[變式4](選修2－2P84A組T5改編)在等差數(shù)列{an}中，若a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19且n∈N*)恒成立，則必有()A．a(chǎn)9＝0 B．a(chǎn)10＝0C．a(chǎn)9＝19 D．a(chǎn)10＝19解析：選B.由a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N*)得na1＋eq\f(n（n－1）,2)d＝(19－n)a1＋eq\f(（19－n）（18－n）,2)d.即eq\f(d,2)n2＋(a1－eq\f(d,2))n＝eq\f(d,2)n2＋(－a1－eq\f(37,2)d)n＋19(a1＋9d)比較左、右可得a1＋9d＝0.∴a10＝0.[變式5](選修2－2P91A組T3改編)已知eq\f(1－tanα,2＋tanα)＝1，則tan2α為()A.eq\f(3,4) B．－eq\f(3,4)C.eq\f(4,3) D．－eq\f(4,3)解析：選D.由eq\f(1－tanα,2＋tanα)＝1，得tanα＝－eq\f(1,2)，∴tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(2×（－\f(1,2)）,1－（－\f(1,2)）2)＝－eq\f(4,3).[變式6](選修2－2P98A組T2改編)等于()A．3n B．eq\f(1,3)×9nC.eq\f(1,3)(10n－1) D．1＋2n解析：選C.法一：當(dāng)n＝1時(shí)，原式＝eq\r(11－2)＝3，A，B，C，D均滿足，當(dāng)eq\a\vs4\al(n)＝2時(shí)，原式＝eq\r(1111－22)＝eq\r(1089)＝33，僅有C滿足．法二：∵個(gè)＝1＋10＋102＋…＋102n－1＝eq\f(1·（1－102n）,1－10)＝eq\f(1,9)(102n－1)，個(gè)＝2(1＋10＋102＋…＋10n－1)＝2·eq\f(1·（1－10n）,1－10)＝eq\f(2,9)(10n－1)，＝eq\r(\f(1,9)（102n－1）－\f(2,9)（10n－1）)＝eq\r(\f(1,9)（102n－2×10n＋1）)＝eq\r([\f(1,3)（10n－1）]2)＝eq\f(1,3)(10n－1)．二、填空題[變式7](選修2－2P71例1改編)在數(shù)列{an}中，an＋1＝eq\f(an,1＋an)，a10＝eq\f(2,19)，則a1＝________．解析：對(duì)于{an}，∵an＋1＝eq\f(an,1＋an)，∴eq\f(1,an＋1)＝eq\f(1,an)＋1，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是以eq\f(1,a1)為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．∴eq\f(1,a10)＝eq\f(1,a1)＋9，∴eq\f(19,2)＝eq\f(1,a1)＋9，∴a1＝2.答案：2[變式8](選修2－2P84B組T1改編)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝－eq\f(2,3)，且Sn＋eq\f(1,Sn)＋2＝an(n≥2)，猜想Sn＝________．解：∵a1＝－eq\f(2,3)，Sn＋eq\f(1,Sn)＋2＝an，∴S1＝a1＝－eq\f(2,3).又S2＋eq\f(1,S2)＋2＝a2＝S2－S1＝S2＋eq\f(2,3)，∴S2＝－eq\f(3,4)，又S3＋eq\f(1,S3)＋2＝a3＝S3－S2＝S3＋eq\f(3,4)，∴S3＝－eq\f(4,5).所以猜想Sn＝－eq\f(n＋1,n＋2).答案：－eq\f(n＋1,n＋2)三、解答題[變式9](選修2－2P84A組T4改編)在△ABC中，內(nèi)角A、B、C有關(guān)系eq\f(1,A)＋eq\f(1,B)＋eq\f(1,C)≥eq\f(9,π).在四邊形ABCD中，內(nèi)角A、B、C、D有關(guān)系eq\f(1,A)＋eq\f(1,B)＋eq\f(1,C)＋eq\f(1,D)≥eq\f(16,2π).在五邊形ABCDE中，內(nèi)角A、B、C、D、E有關(guān)系eq\f(1,A)＋eq\f(1,B)＋eq\f(1,C)＋eq\f(1,D)＋eq\f(1,E)≥eq\f(25,3π).(1)猜想在n邊形A1A2…An中有怎樣的關(guān)系；(2)用你學(xué)過(guò)的知識(shí)，證明△ABC中的關(guān)系eq\f(1,A)＋eq\f(1,B)＋eq\f(1,C)≥eq\f(9,π).解：(1)觀察規(guī)律：eq\f(1,A1)＋eq\f(1,A2)＋…＋eq\f(1,An)≥eq\f(n2,（n－2）π).(2)證明：∵在△ABC中，A＋B＋C＝π，∴(A＋B＋C)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,A)＋\f(1,B)＋\f(1,C)))＝3＋eq\f(B,A)＋eq\f(C,A)＋eq\f(A,B)＋eq\f(C,B)＋eq\f(A,C)＋eq\f(B,C)≥3＋2eq\r(\f(A,B)·\f(B,A))＋2eq\r(\f(A,C)·\f(C,A))＋2eq\r(\f(B,C)·\f(C,B))＝9，當(dāng)且僅當(dāng)A＝B＝C＝eq\f(π,3)時(shí)，等號(hào)成立．∴eq\f(1,A)＋eq\f(1,B)＋eq\f(1,C)≥eq\f(9,π).[變式10](選修2－2P94例2改編)是否存在實(shí)數(shù)b、c使得12＋22＋…＋n2＝eq\f(1,6)n(2n2＋bn＋c)對(duì)于一切n∈N*恒成立，若存在，求實(shí)數(shù)b，c，并證明等式的成立性．若不存在，說(shuō)明理由．解：當(dāng)n＝1，2時(shí)，得b＋c＝4；2b＋c＝7，所以b＝3，c＝1.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明12＋22＋…＋n2＝eq\f(1,6)n(2n2＋3n＋1)的成立性．①當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1，右邊＝eq\f(1,6)×1×6＝1，等式成立．②假設(shè)n＝k(k∈N*且k≥1)時(shí)，等式成立，即12＋22＋…＋k2＝eq\f(1,6)k(2k2＋3k＋1)．那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)