高考數(shù)學二輪復習 專題十三 選考部分 第1講 幾何證明選講專題強化訓練 理-人教版高三數(shù)學試題

（通用版）2016年高考數(shù)學二輪復習專題十三選考部分第1講幾何證明選講專題強化訓練理(時間：45分鐘滿分：60分)1．如圖，⊙O和⊙O′相交于A，B兩點，過A作兩圓的切線分別交兩圓于C，D兩點，連接DB并延長交⊙O于點E.證明：(1)AC·BD＝AD·AB；(2)AC＝AE.證明：(1)由AC與⊙O′相切于A，得∠CAB＝∠ADB，同理∠ACB＝∠DAB，所以△ACB∽△DAB.從而eq\f(AC,AD)＝eq\f(AB,BD)，即AC·BD＝AD·AB.(2)由AD與⊙O相切于點A，得∠AED＝∠BAD.又∠ADE＝∠BDA，得△EAD∽△ABD.從而eq\f(AE,AB)＝eq\f(AD,BD)，即AE·BD＝AD·AB.結合(1)的結論知，AC＝AE.2.如圖，△ABC的角平分線AD的延長線交它的外接圓于點E.(1)證明：△ABE∽△ADC；(2)若△ABC的面積S＝eq\f(1,2)AD·AE，求∠BAC的大?。猓?1)證明：由已知條件，可得∠BAE＝∠CAD.因為∠AEB與∠ACD是同弧所對的圓周角，所以∠AEB＝∠ACD.故△ABE∽△ADC.(2)因為△ABE∽△ADC，所以eq\f(AB,AE)＝eq\f(AD,AC)，即AB·AC＝AD·AE.又S＝eq\f(1,2)AB·ACsin∠BAC，且S＝eq\f(1,2)AD·AE，故AB·ACsin∠BAC＝AD·AE.則sin∠BAC＝1.又∠BAC為△ABC的內角，所以∠BAC＝90°.3.如圖，圓O的直徑AB＝d，P是AB延長線上一點，BP＝a，割線PCD交圓O于點C，D，過點P作AP的垂線，交直線AC于點E，交直線AD于點F.(1)求證：∠PEC＝∠PDF；(2)求PE·PF的值．解：(1)證明：連接BC，易知∠ACB＝∠APE＝90°，即P，B，C，E四點共圓．所以∠PEC＝∠CBA.又A，B，C，D四點共圓，所以∠CBA＝∠PDF.所以∠PEC＝∠PDF.(2)由(1)，知∠PEC＝∠PDF，所以F，E，C，D四點共圓．所以PE·PF＝PC·PD＝PB·PA＝a(a＋d)．4.如圖，⊙O的半徑OB垂直于直徑AC，M為AO上一點，BM的延長線交⊙O于N，過N點的切線交CA的延長線于P.(1)求證：PM2＝PA·PC；(2)若⊙O的半徑為2eq\r(3)，OA＝eq\r(3)OM，求MN的長．解：(1)證明：連接ON，則ON⊥PN，且△OBN為等腰三角形，則∠OBN＝∠ONB，∵∠PMN＝∠OMB＝90°－∠OBN，∠PNM＝90°－∠ONB，∴∠PMN＝∠PNM，∴PM＝PN.根據(jù)切割線定理，有PN2＝PA·PC，∴PM2＝PA·PC.(2)∵OA＝eq\r(3)OM，∴OM＝2，在Rt△BOM中，BM＝eq\r(OB2＋OM2)＝4.延長BO交⊙O于點D，連接DN.由條件易知△BOM∽△BND，于是eq\f(BO,BN)＝eq\f(BM,BD)，即eq\f(2\r(3),BN)＝eq\f(4,4\r(3))，∴BN＝6.∴MN＝BN－BM＝6－4＝2.5．如圖，在△ABC中，CD是∠ACB的平分線，△ACD的外接圓交BC于點E，AB＝2AC.(1)求證：BE＝2AD；(2)當AC＝1，EC＝2時，求AD的長．解：(1)證明：連接DE，因為ACED是圓的內接四邊形，所以∠BDE＝∠BCA，又∠DBE＝∠CBA，所以△BDE∽△BCA，即有eq\f(BE,BA)＝eq\f(DE,CA)，而AB＝2AC，所以BE＝2DE.又CD是∠ACB的平分線，所以AD＝DE，從而BE＝2AD.(2)由條件得AB＝2AC＝2，設AD＝t，根據(jù)割線定理得BD·BA＝BE·BC，即(AB－AD)·BA＝2AD·(2AD＋CE)，所以(2－t)×2＝2t(2t＋2)，即2t2＋3t－2＝0，解得t＝eq\f(1,2)或t＝－2(舍去)，所以AD＝eq\f(1,2).6．如圖，BA是⊙O的直徑，延長BA至E，使得AE＝AO，過E點作⊙O的割線交⊙O于D、C，使得AD＝DC.(1)求證：OD∥BC；(2)若ED＝2，求⊙O的內接四邊形ABCD的周長．解：(1)證明：連接AC，因為OD是⊙O的半徑，AD＝DC，所以OD⊥AC，又因為∠BCA＝90°，所以BC⊥AC，所以OD∥BC.(2)由(1)及EA＝AO，ED＝2，知eq\f(OD,BC)＝eq\f(ED,EC)＝eq\f(EO,EB)＝eq\f(2,3)，所以EC＝3.因為ED·EC＝EA·EB＝3EA2，所以3EA2＝2×3，即EA＝eq\r(2)