高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 平面解析幾何 分層限時(shí)跟蹤練44-人教版高三數(shù)學(xué)試題

分層限時(shí)跟蹤練(四十四)(限時(shí)40分鐘)eq\f([基礎(chǔ)練],扣教材練雙基)一、選擇題1．(2015·西安模擬)已知點(diǎn)M(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外，則直線(xiàn)ax＋by＝1與圓O的位置關(guān)系是()A．相切 B．相交C．相離 D．不確定【解析】由點(diǎn)M在圓外，得a2＋b2＞1，所以圓心O到直線(xiàn)ax＋by＝1的距離d＝eq\f(1,\r(a2＋b2))＜1＝r，則直線(xiàn)與圓O相交．【答案】B2．若PQ是圓x2＋y2＝9的弦，且PQ的中點(diǎn)是(1,2)，則|PQ|＝()A．2B．4C．8D．10【解析】設(shè)PQ的中點(diǎn)A(1,2)，圓心O(0,0)，連接OA，則OA⊥PQ，在Rt△OAP中，PA＝eq\r(r2－OA2)＝eq\r(9－5)＝2.∴PQ＝2×2＝4.【答案】B3．(2014·浙江高考)已知圓x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直線(xiàn)x＋y＋2＝0所得弦的長(zhǎng)度為4，則實(shí)數(shù)a的值是()A．－2 B．－4C．－6 D．－8【解析】由圓的方程x2＋y2＋2x－2y＋a＝0可得，圓心為(－1,1)，半徑r＝eq\r(2－a).圓心到直線(xiàn)x＋y＋2＝0的距離為d＝eq\f(|－1＋1＋2|,\r(2))＝eq\r(2).由r2＝d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,2)))2得2－a＝2＋4，所以a＝－4.【答案】B4．已知點(diǎn)P(2,2)，點(diǎn)M是圓O1：x2＋(y－1)2＝eq\f(1,4)上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是圓O2：(x－2)2＋y2＝eq\f(1,4)上的動(dòng)點(diǎn)，則|PN|－|PM|的最大值是()A.eq\r(5)－1 B.eq\r(5)－2C．2－eq\r(5) D．3－eq\r(5)【解析】由題意知O1(0,1)，O2(2,0)，則|PO1|＝eq\r(5)，|PO2|＝2.因?yàn)?|PN|)max＝eq\f(5,2)，(|PM|)min＝eq\r(5)－eq\f(1,2)，從而|PN|－|PM|的最大值為eq\f(5,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(5)－\f(1,2)))＝3－eq\r(5)，故選D.【答案】D5．(2015·黃岡模擬)已知圓C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分別是圓C1，C2上的動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則|PM|＋|PN|的最小值為()A．5eq\r(2)－4 B.eq\r(17)－1C．6－2eq\r(2) D.eq\r(17)【解析】如圖所示，點(diǎn)C1關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C1′(2，－3)，則(|PC1|＋|PC2|)min＝|C1′C2|＝5eq\r(2)，所以(|PM|＋|PN|)min＝5eq\r(2)－(1＋3)＝5eq\r(2)－4.故選A.【答案】A二、填空題6．圓x2＋y2＋x－2y－20＝0與圓x2＋y2＝25相交所得的公共弦長(zhǎng)為_(kāi)_______．【解析】?jī)蓤A方程作差得公共弦方程為x－2y＋5＝0，圓x2＋y2＝25的圓心到公共弦的距離d＝eq\f(|0－2×0＋5|,\r(5))＝eq\r(5)，而半徑為5，故公共弦長(zhǎng)為2eq\r(52－\r(5)2)＝4eq\r(5).【答案】4eq\r(5)7．已知圓C過(guò)點(diǎn)(1,0)，且圓心在x軸的正半軸上，直線(xiàn)l：y＝x－1被圓C所截得的弦長(zhǎng)為2eq\r(2)，則過(guò)圓心且與直線(xiàn)l垂直的直線(xiàn)的方程為_(kāi)_____________．【解析】由題意，設(shè)所求的直線(xiàn)方程為x＋y＋m＝0，圓心坐標(biāo)為(a,0)，由題意eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|a－1|,\r(2))))2＋2＝(a－1)2，解得a＝3或a＝－1(舍去)，故圓心坐標(biāo)為(3,0)．因?yàn)閳A心(3,0)在所求直線(xiàn)上，故3＋0＋m＝0，即m＝－3，所以所求直線(xiàn)方程為x＋y－3＝0.【答案】x＋y－3＝08．(2015·湖北高考)如圖8-4-1，已知圓C與x軸相切于點(diǎn)T(1,0)，與y軸正半軸交于兩點(diǎn)A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2.圖8-4-1(1)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)______________________________________；(2)圓C在點(diǎn)B處的切線(xiàn)在x軸上的截距為_(kāi)_________________________．【解析】(1)取AB的中點(diǎn)D，連接CD，則CD⊥AB.由題意|AD|＝|CD|＝1，故|AC|＝eq\r(|CD|2＋|AD|2)＝eq\r(2)，即圓C的半徑為eq\r(2).又因?yàn)閳AC與x軸相切于點(diǎn)T(1,0)，所以圓心C的坐標(biāo)為(1，eq\r(2))，故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－eq\r(2))2＝2.(2)令(x－1)2＋(y－eq\r(2))2＝2中的x＝0，解得y＝eq\r(2)±1，故B(0，eq\r(2)＋1)．直線(xiàn)BC的斜率為eq\f(\r(2)＋1－\r(2),0－1)＝－1，故切線(xiàn)的斜率為1，切線(xiàn)方程為y＝x＋eq\r(2)＋1.令y＝0，解得x＝－eq\r(2)－1，故所求截距為－eq\r(2)－1.【答案】(1)(x－1)2＋(y－eq\r(2))2＝2(2)－eq\r(2)－1三、解答題9．已知點(diǎn)P(eq\r(2)＋1,2－eq\r(2))，點(diǎn)M(3,1)，圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.(1)求過(guò)點(diǎn)P的圓C的切線(xiàn)方程；(2)求過(guò)點(diǎn)M的圓C的切線(xiàn)方程，并求出切線(xiàn)長(zhǎng)．【解】由題意得圓心C(1,2)，半徑長(zhǎng)r＝2.(1)∵(eq\r(2)＋1－1)2＋(2－eq\r(2)－2)2＝4，∴點(diǎn)P在圓C上．又kPC＝eq\f(2－\r(2)－2,\r(2)＋1－1)＝－1，∴切線(xiàn)的斜率k＝－eq\f(1,kPC)＝1.∴過(guò)點(diǎn)P的圓C的切線(xiàn)方程是y－(2－eq\r(2))＝1×[x－(eq\r(2)＋1)]，即x－y＋1－2eq\r(2)＝0.(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5＞4，∴點(diǎn)M在圓C外部．當(dāng)過(guò)點(diǎn)M的直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)方程為x＝3，即x－3＝0.又點(diǎn)C(1,2)到直線(xiàn)x－3＝0的距離d＝3－1＝2＝r，即此時(shí)滿(mǎn)足題意，所以直線(xiàn)x＝3是圓的切線(xiàn)．當(dāng)切線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)切線(xiàn)方程為y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，則圓心C到切線(xiàn)的距離d＝eq\f(|k－2＋1－3k|,\r(k2＋1))＝r＝2，解得k＝eq\f(3,4).∴切線(xiàn)方程為y－1＝eq\f(3,4)(x－3)，即3x－4y－5＝0.綜上可得，過(guò)點(diǎn)M的圓C的切線(xiàn)方程為x－3＝0或3x－4y－5＝0.∵|MC|＝eq\r(3－12＋1－22)＝eq\r(5)，∴過(guò)點(diǎn)M的圓C的切線(xiàn)長(zhǎng)為eq\r(|MC|2－r2)＝eq\r(5－4)＝1.10．(2015·全國(guó)卷Ⅰ)已知過(guò)點(diǎn)A(0,1)且斜率為k的直線(xiàn)l與圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N兩點(diǎn)．(1)求k的取值范圍；(2)若eq\o(OM,\s\up12(→))·eq\o(ON,\s\up12(→))＝12，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求|MN|.【解】(1)由題設(shè)可知直線(xiàn)l的方程為y＝kx＋1.因?yàn)橹本€(xiàn)l與圓C交于兩點(diǎn)，所以eq\f(|2k－3＋1|,\r(1＋k2))<1，解得eq\f(4－\r(7),3)<k<eq\f(4＋\r(7),3).所以k的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4－\r(7),3)，\f(4＋\r(7),3))).(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)．將y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.所以x1＋x2＝eq\f(41＋k,1＋k2)，x1x2＝eq\f(7,1＋k2).eq\o(OM,\s\up12(→))·eq\o(ON,\s\up12(→))＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝eq\f(4k1＋k,1＋k2)＋8.由題設(shè)可得eq\f(4k1＋k,1＋k2)＋8＝12，解得k＝1，所以直線(xiàn)l的方程為y＝x＋1.故圓心C在直線(xiàn)l上，所以|MN|＝2.eq\f([能力練],掃盲區(qū)提素能)1．過(guò)點(diǎn)(3,1)作圓(x－1)2＋y2＝1的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A，B，則直線(xiàn)AB的方程為()A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0【解析】設(shè)P(3,1)，圓心C(1,0)，切點(diǎn)為A、B，則P、A、C、B四點(diǎn)共圓，且PC為圓的直徑，∴四邊形PACB的外接圓方程為(x－2)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))2＝eq\f(5,4)，①圓C：(x－1)2＋y2＝1，②①－②得2x＋y－3＝0，此即為直線(xiàn)AB的方程．【答案】A2．(2014·江西高考)在平面直角坐標(biāo)系中，A，B分別是x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn)，若以AB為直徑的圓C與直線(xiàn)2x＋y－4＝0相切，則圓C面積的最小值為()A.eq\f(4π,5) B.eq\f(3π,4)C．(6－2eq\r(5))π D.eq\f(5π,4)【解析】∵∠AOB＝90°，∴點(diǎn)O在圓C上．設(shè)直線(xiàn)2x＋y－4＝0與圓C相切于點(diǎn)D，則點(diǎn)C與點(diǎn)O間的距離等于它到直線(xiàn)2x＋y－4＝0的距離，∴點(diǎn)C在以O(shè)為焦點(diǎn)，以直線(xiàn)2x＋y－4＝0為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)上，∴當(dāng)且僅當(dāng)O，C，D共線(xiàn)時(shí)，圓的直徑最小為|OD|.又|OD|＝eq\f(|2×0＋0－4|,\r(5))＝eq\f(4,\r(5))，∴圓C的最小半徑為eq\f(2,\r(5))，∴圓C面積的最小值為πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(5))))2＝eq\f(4π,5).【答案】A3．(2016·青島二中模擬)已知點(diǎn)P(－2，－3)，圓C：(x－4)2＋(y－2)2＝9，過(guò)點(diǎn)P作圓C的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A，B，則過(guò)P，A，C三點(diǎn)的圓的方程為_(kāi)_________________________________________________________________．【解析】由題意知圓心C(4,2)，由PA⊥AC，PB⊥BC知．P，A，B，C四點(diǎn)共圓，所求圓的圓心O′為線(xiàn)段PC的中點(diǎn)，即O′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(1,2)))，所求圓的半徑r′＝eq\r(1＋22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(1,2)))2)＝eq\r(\f(61,4))，所以過(guò)P，A，B三點(diǎn)的圓的方程為(x－1)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1,2)))2＝eq\f(61,4).【答案】(x－1)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1,2)))2＝eq\f(61,4)4．若⊙O：x2＋y2＝5與⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A、B兩點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn)A處的切線(xiàn)互相垂直，則線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度是________．【解析】由題意⊙O1與⊙O在A處的切線(xiàn)互相垂直，則兩切線(xiàn)分別過(guò)另一圓的圓心，所以O(shè)1A⊥OA.又∵|OA|＝eq\r(5)，|O1A|＝2eq\r(5)，∴|OO1|＝5，又A、B關(guān)于OO1對(duì)稱(chēng)，所以AB為Rt△OAO1斜邊上高的2倍，∴|AB|＝2×eq\f(\r(5)×2\r(5),5)＝4.【答案】45．已知圓x2＋y2＋2ax－2ay＋2a2－4a＝0(0＜a≤4)的圓心為C，直線(xiàn)l：y＝x＋(1)若m＝4，求直線(xiàn)l被圓C所截得弦長(zhǎng)的最大值；(2)若直線(xiàn)l是圓C的切線(xiàn)，且在圓心C的下方，當(dāng)a在(0,4]上變化時(shí)，求m的取值范圍．【解】(1)∵x2＋y2＋2ax－2ay＋2a2－4a＝0，∴(x＋a)2＋(y－a)2＝4a，∴圓心為C(－a，a)，半徑r＝2eq\r(a)，設(shè)直線(xiàn)l被圓C所截得的弦長(zhǎng)為2t，當(dāng)m＝4時(shí)，直線(xiàn)l：x－y＋4＝0，圓心C到直線(xiàn)l的距離為d＝eq\f(|－a－a＋4|,\r(2))＝eq\r(2)|a－2|，則t2＝(2eq\r(a))2－2(a－2)2＝－2a2＋12a－8＝－2(a－3)2＋10，又0＜a≤4，∴當(dāng)a＝3時(shí)，直線(xiàn)l被圓C所截得弦長(zhǎng)的值最大，其最大值為2eq\r(10).(2)圓心C到直線(xiàn)l的距離為d＝eq\f(|－a－a＋m|,\r(2))＝eq\f(|m－2a|,\r(2))，∵直線(xiàn)l是圓C的切線(xiàn)，∴d＝r，即eq\f(|m－2a|,\r(2))＝2eq\r(a)，∴m＝2a±2eq\r(2a)，又∵直線(xiàn)l在圓心C的下方，∴m＝2a－2eq\r(2a)＝(eq\r(2a)－1)2－1，∵a∈(0,4]，∴m∈[－1,8－4eq\r(2)]，即m的取值范圍為[－1,8－4eq\r(2)]．6．已知圓O：x2＋y2＝4和點(diǎn)M(1，a)．(1)若過(guò)點(diǎn)M有且只有一條直線(xiàn)與圓O相切，求實(shí)數(shù)a的值，并求出切線(xiàn)方程；(2)若a＝eq\r(2)，過(guò)點(diǎn)M作圓O的兩條弦AC，BD互相垂直，求|AC|＋|BD|的最大值．【解】(1)由條件知點(diǎn)M在圓O上，所以1＋a2＝4，則a＝±eq\r(3).當(dāng)a＝eq\r(3)時(shí)，點(diǎn)M為(1，eq\r(3))，kOM＝eq\r(3)，k切＝－eq\f(\r(3),3)，此時(shí)切線(xiàn)方程為y－eq\r(3)＝－eq\f(\r(3),3)(x－1)．即x＋eq\r(3)y－4＝0，當(dāng)a＝－eq\r(3)時(shí)，點(diǎn)M為(1，－eq\r(3))，kOM＝－eq\r(3)，k切＝eq\f(\r(3),3).此時(shí)切線(xiàn)方程為y＋eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3)(x－1)．即x－eq\r(3)y－4＝0.所以所求的切線(xiàn)方程為x＋eq\r(3)y－4＝0或x－eq\r(3)y－4