高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 平面解析幾何 分層限時(shí)跟蹤練44-人教版高三數(shù)學(xué)試題_第1頁(yè)
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分層限時(shí)跟蹤練(四十四)(限時(shí)40分鐘)eq\f([基礎(chǔ)練],扣教材練雙基)一、選擇題1.(2015·西安模擬)已知點(diǎn)M(a,b)在圓O:x2+y2=1外,則直線(xiàn)ax+by=1與圓O的位置關(guān)系是()A.相切 B.相交C.相離 D.不確定【解析】由點(diǎn)M在圓外,得a2+b2>1,所以圓心O到直線(xiàn)ax+by=1的距離d=eq\f(1,\r(a2+b2))<1=r,則直線(xiàn)與圓O相交.【答案】B2.若PQ是圓x2+y2=9的弦,且PQ的中點(diǎn)是(1,2),則|PQ|=()A.2B.4C.8D.10【解析】設(shè)PQ的中點(diǎn)A(1,2),圓心O(0,0),連接OA,則OA⊥PQ,在Rt△OAP中,PA=eq\r(r2-OA2)=eq\r(9-5)=2.∴PQ=2×2=4.【答案】B3.(2014·浙江高考)已知圓x2+y2+2x-2y+a=0截直線(xiàn)x+y+2=0所得弦的長(zhǎng)度為4,則實(shí)數(shù)a的值是()A.-2 B.-4C.-6 D.-8【解析】由圓的方程x2+y2+2x-2y+a=0可得,圓心為(-1,1),半徑r=eq\r(2-a).圓心到直線(xiàn)x+y+2=0的距離為d=eq\f(|-1+1+2|,\r(2))=eq\r(2).由r2=d2+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,2)))2得2-a=2+4,所以a=-4.【答案】B4.已知點(diǎn)P(2,2),點(diǎn)M是圓O1:x2+(y-1)2=eq\f(1,4)上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)N是圓O2:(x-2)2+y2=eq\f(1,4)上的動(dòng)點(diǎn),則|PN|-|PM|的最大值是()A.eq\r(5)-1 B.eq\r(5)-2C.2-eq\r(5) D.3-eq\r(5)【解析】由題意知O1(0,1),O2(2,0),則|PO1|=eq\r(5),|PO2|=2.因?yàn)?|PN|)max=eq\f(5,2),(|PM|)min=eq\r(5)-eq\f(1,2),從而|PN|-|PM|的最大值為eq\f(5,2)-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(5)-\f(1,2)))=3-eq\r(5),故選D.【答案】D5.(2015·黃岡模擬)已知圓C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圓C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分別是圓C1,C2上的動(dòng)點(diǎn),P為x軸上的動(dòng)點(diǎn),則|PM|+|PN|的最小值為()A.5eq\r(2)-4 B.eq\r(17)-1C.6-2eq\r(2) D.eq\r(17)【解析】如圖所示,點(diǎn)C1關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C1′(2,-3),則(|PC1|+|PC2|)min=|C1′C2|=5eq\r(2),所以(|PM|+|PN|)min=5eq\r(2)-(1+3)=5eq\r(2)-4.故選A.【答案】A二、填空題6.圓x2+y2+x-2y-20=0與圓x2+y2=25相交所得的公共弦長(zhǎng)為_(kāi)_______.【解析】?jī)蓤A方程作差得公共弦方程為x-2y+5=0,圓x2+y2=25的圓心到公共弦的距離d=eq\f(|0-2×0+5|,\r(5))=eq\r(5),而半徑為5,故公共弦長(zhǎng)為2eq\r(52-\r(5)2)=4eq\r(5).【答案】4eq\r(5)7.已知圓C過(guò)點(diǎn)(1,0),且圓心在x軸的正半軸上,直線(xiàn)l:y=x-1被圓C所截得的弦長(zhǎng)為2eq\r(2),則過(guò)圓心且與直線(xiàn)l垂直的直線(xiàn)的方程為_(kāi)_____________.【解析】由題意,設(shè)所求的直線(xiàn)方程為x+y+m=0,圓心坐標(biāo)為(a,0),由題意eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|a-1|,\r(2))))2+2=(a-1)2,解得a=3或a=-1(舍去),故圓心坐標(biāo)為(3,0).因?yàn)閳A心(3,0)在所求直線(xiàn)上,故3+0+m=0,即m=-3,所以所求直線(xiàn)方程為x+y-3=0.【答案】x+y-3=08.(2015·湖北高考)如圖8-4-1,已知圓C與x軸相切于點(diǎn)T(1,0),與y軸正半軸交于兩點(diǎn)A,B(B在A的上方),且|AB|=2.圖8-4-1(1)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)______________________________________;(2)圓C在點(diǎn)B處的切線(xiàn)在x軸上的截距為_(kāi)_________________________.【解析】(1)取AB的中點(diǎn)D,連接CD,則CD⊥AB.由題意|AD|=|CD|=1,故|AC|=eq\r(|CD|2+|AD|2)=eq\r(2),即圓C的半徑為eq\r(2).又因?yàn)閳AC與x軸相切于點(diǎn)T(1,0),所以圓心C的坐標(biāo)為(1,eq\r(2)),故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y-eq\r(2))2=2.(2)令(x-1)2+(y-eq\r(2))2=2中的x=0,解得y=eq\r(2)±1,故B(0,eq\r(2)+1).直線(xiàn)BC的斜率為eq\f(\r(2)+1-\r(2),0-1)=-1,故切線(xiàn)的斜率為1,切線(xiàn)方程為y=x+eq\r(2)+1.令y=0,解得x=-eq\r(2)-1,故所求截距為-eq\r(2)-1.【答案】(1)(x-1)2+(y-eq\r(2))2=2(2)-eq\r(2)-1三、解答題9.已知點(diǎn)P(eq\r(2)+1,2-eq\r(2)),點(diǎn)M(3,1),圓C:(x-1)2+(y-2)2=4.(1)求過(guò)點(diǎn)P的圓C的切線(xiàn)方程;(2)求過(guò)點(diǎn)M的圓C的切線(xiàn)方程,并求出切線(xiàn)長(zhǎng).【解】由題意得圓心C(1,2),半徑長(zhǎng)r=2.(1)∵(eq\r(2)+1-1)2+(2-eq\r(2)-2)2=4,∴點(diǎn)P在圓C上.又kPC=eq\f(2-\r(2)-2,\r(2)+1-1)=-1,∴切線(xiàn)的斜率k=-eq\f(1,kPC)=1.∴過(guò)點(diǎn)P的圓C的切線(xiàn)方程是y-(2-eq\r(2))=1×[x-(eq\r(2)+1)],即x-y+1-2eq\r(2)=0.(2)∵(3-1)2+(1-2)2=5>4,∴點(diǎn)M在圓C外部.當(dāng)過(guò)點(diǎn)M的直線(xiàn)斜率不存在時(shí),直線(xiàn)方程為x=3,即x-3=0.又點(diǎn)C(1,2)到直線(xiàn)x-3=0的距離d=3-1=2=r,即此時(shí)滿(mǎn)足題意,所以直線(xiàn)x=3是圓的切線(xiàn).當(dāng)切線(xiàn)的斜率存在時(shí),設(shè)切線(xiàn)方程為y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0,則圓心C到切線(xiàn)的距離d=eq\f(|k-2+1-3k|,\r(k2+1))=r=2,解得k=eq\f(3,4).∴切線(xiàn)方程為y-1=eq\f(3,4)(x-3),即3x-4y-5=0.綜上可得,過(guò)點(diǎn)M的圓C的切線(xiàn)方程為x-3=0或3x-4y-5=0.∵|MC|=eq\r(3-12+1-22)=eq\r(5),∴過(guò)點(diǎn)M的圓C的切線(xiàn)長(zhǎng)為eq\r(|MC|2-r2)=eq\r(5-4)=1.10.(2015·全國(guó)卷Ⅰ)已知過(guò)點(diǎn)A(0,1)且斜率為k的直線(xiàn)l與圓C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N兩點(diǎn).(1)求k的取值范圍;(2)若eq\o(OM,\s\up12(→))·eq\o(ON,\s\up12(→))=12,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn),求|MN|.【解】(1)由題設(shè)可知直線(xiàn)l的方程為y=kx+1.因?yàn)橹本€(xiàn)l與圓C交于兩點(diǎn),所以eq\f(|2k-3+1|,\r(1+k2))<1,解得eq\f(4-\r(7),3)<k<eq\f(4+\r(7),3).所以k的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4-\r(7),3),\f(4+\r(7),3))).(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2).將y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.所以x1+x2=eq\f(41+k,1+k2),x1x2=eq\f(7,1+k2).eq\o(OM,\s\up12(→))·eq\o(ON,\s\up12(→))=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=eq\f(4k1+k,1+k2)+8.由題設(shè)可得eq\f(4k1+k,1+k2)+8=12,解得k=1,所以直線(xiàn)l的方程為y=x+1.故圓心C在直線(xiàn)l上,所以|MN|=2.eq\f([能力練],掃盲區(qū)提素能)1.過(guò)點(diǎn)(3,1)作圓(x-1)2+y2=1的兩條切線(xiàn),切點(diǎn)分別為A,B,則直線(xiàn)AB的方程為()A.2x+y-3=0 B.2x-y-3=0C.4x-y-3=0 D.4x+y-3=0【解析】設(shè)P(3,1),圓心C(1,0),切點(diǎn)為A、B,則P、A、C、B四點(diǎn)共圓,且PC為圓的直徑,∴四邊形PACB的外接圓方程為(x-2)2+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y-\f(1,2)))2=eq\f(5,4),①圓C:(x-1)2+y2=1,②①-②得2x+y-3=0,此即為直線(xiàn)AB的方程.【答案】A2.(2014·江西高考)在平面直角坐標(biāo)系中,A,B分別是x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn),若以AB為直徑的圓C與直線(xiàn)2x+y-4=0相切,則圓C面積的最小值為()A.eq\f(4π,5) B.eq\f(3π,4)C.(6-2eq\r(5))π D.eq\f(5π,4)【解析】∵∠AOB=90°,∴點(diǎn)O在圓C上.設(shè)直線(xiàn)2x+y-4=0與圓C相切于點(diǎn)D,則點(diǎn)C與點(diǎn)O間的距離等于它到直線(xiàn)2x+y-4=0的距離,∴點(diǎn)C在以O(shè)為焦點(diǎn),以直線(xiàn)2x+y-4=0為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)上,∴當(dāng)且僅當(dāng)O,C,D共線(xiàn)時(shí),圓的直徑最小為|OD|.又|OD|=eq\f(|2×0+0-4|,\r(5))=eq\f(4,\r(5)),∴圓C的最小半徑為eq\f(2,\r(5)),∴圓C面積的最小值為πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(5))))2=eq\f(4π,5).【答案】A3.(2016·青島二中模擬)已知點(diǎn)P(-2,-3),圓C:(x-4)2+(y-2)2=9,過(guò)點(diǎn)P作圓C的兩條切線(xiàn),切點(diǎn)分別為A,B,則過(guò)P,A,C三點(diǎn)的圓的方程為_(kāi)_________________________________________________________________.【解析】由題意知圓心C(4,2),由PA⊥AC,PB⊥BC知.P,A,B,C四點(diǎn)共圓,所求圓的圓心O′為線(xiàn)段PC的中點(diǎn),即O′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,-\f(1,2))),所求圓的半徑r′=eq\r(1+22+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3-\f(1,2)))2)=eq\r(\f(61,4)),所以過(guò)P,A,B三點(diǎn)的圓的方程為(x-1)2+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y+\f(1,2)))2=eq\f(61,4).【答案】(x-1)2+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y+\f(1,2)))2=eq\f(61,4)4.若⊙O:x2+y2=5與⊙O1:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A、B兩點(diǎn),且兩圓在點(diǎn)A處的切線(xiàn)互相垂直,則線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度是________.【解析】由題意⊙O1與⊙O在A處的切線(xiàn)互相垂直,則兩切線(xiàn)分別過(guò)另一圓的圓心,所以O(shè)1A⊥OA.又∵|OA|=eq\r(5),|O1A|=2eq\r(5),∴|OO1|=5,又A、B關(guān)于OO1對(duì)稱(chēng),所以AB為Rt△OAO1斜邊上高的2倍,∴|AB|=2×eq\f(\r(5)×2\r(5),5)=4.【答案】45.已知圓x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0(0<a≤4)的圓心為C,直線(xiàn)l:y=x+(1)若m=4,求直線(xiàn)l被圓C所截得弦長(zhǎng)的最大值;(2)若直線(xiàn)l是圓C的切線(xiàn),且在圓心C的下方,當(dāng)a在(0,4]上變化時(shí),求m的取值范圍.【解】(1)∵x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0,∴(x+a)2+(y-a)2=4a,∴圓心為C(-a,a),半徑r=2eq\r(a),設(shè)直線(xiàn)l被圓C所截得的弦長(zhǎng)為2t,當(dāng)m=4時(shí),直線(xiàn)l:x-y+4=0,圓心C到直線(xiàn)l的距離為d=eq\f(|-a-a+4|,\r(2))=eq\r(2)|a-2|,則t2=(2eq\r(a))2-2(a-2)2=-2a2+12a-8=-2(a-3)2+10,又0<a≤4,∴當(dāng)a=3時(shí),直線(xiàn)l被圓C所截得弦長(zhǎng)的值最大,其最大值為2eq\r(10).(2)圓心C到直線(xiàn)l的距離為d=eq\f(|-a-a+m|,\r(2))=eq\f(|m-2a|,\r(2)),∵直線(xiàn)l是圓C的切線(xiàn),∴d=r,即eq\f(|m-2a|,\r(2))=2eq\r(a),∴m=2a±2eq\r(2a),又∵直線(xiàn)l在圓心C的下方,∴m=2a-2eq\r(2a)=(eq\r(2a)-1)2-1,∵a∈(0,4],∴m∈[-1,8-4eq\r(2)],即m的取值范圍為[-1,8-4eq\r(2)].6.已知圓O:x2+y2=4和點(diǎn)M(1,a).(1)若過(guò)點(diǎn)M有且只有一條直線(xiàn)與圓O相切,求實(shí)數(shù)a的值,并求出切線(xiàn)方程;(2)若a=eq\r(2),過(guò)點(diǎn)M作圓O的兩條弦AC,BD互相垂直,求|AC|+|BD|的最大值.【解】(1)由條件知點(diǎn)M在圓O上,所以1+a2=4,則a=±eq\r(3).當(dāng)a=eq\r(3)時(shí),點(diǎn)M為(1,eq\r(3)),kOM=eq\r(3),k切=-eq\f(\r(3),3),此時(shí)切線(xiàn)方程為y-eq\r(3)=-eq\f(\r(3),3)(x-1).即x+eq\r(3)y-4=0,當(dāng)a=-eq\r(3)時(shí),點(diǎn)M為(1,-eq\r(3)),kOM=-eq\r(3),k切=eq\f(\r(3),3).此時(shí)切線(xiàn)方程為y+eq\r(3)=eq\f(\r(3),3)(x-1).即x-eq\r(3)y-4=0.所以所求的切線(xiàn)方程為x+eq\r(3)y-4=0或x-eq\r(3)y-4

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