高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 階段規(guī)范強(qiáng)化練8 立體幾何-人教版高三數(shù)學(xué)試題

階段規(guī)范強(qiáng)化練(八)立體幾何一、選擇題1．在空間內(nèi)，可以確定一個(gè)平面的條件是()A．三條直線，它們兩兩相交，但不交于同一點(diǎn)B．三條直線，其中的一條與另外兩條直線分別相交C．三個(gè)點(diǎn)D．兩兩相交的三條直線【解析】對(duì)于A，交于不在一直線的三點(diǎn)，這三線可確定一個(gè)平面，正確；若兩異面直線與第三線相交，則不能確定一個(gè)平面，B錯(cuò)；若三點(diǎn)在一直線上不能確定一平面，C錯(cuò)；若兩兩相交的直線交于一點(diǎn)，這三線也不一定能確定一平面，D錯(cuò).故選A.【答案】A2．(2015·懷化模擬)設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：①m⊥α，n∥α，則m⊥n；②若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β；③若α∥β，β∥γ，m⊥α，則m⊥γ；④若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，則α∥β.其中正確命題的序號(hào)是()A．①和③ B．②和③C．③和④ D．①和④【解析】②中平面α，β可能相交；④平面α，β可能相交，故選A.【答案】A3．(2016·吉林五校聯(lián)考)某幾何體的三視圖如圖1所示，則該幾何體的體積為()圖1A.eq\f(11\r(3),6) B.eq\r(3)C.eq\f(5\r(3),3) D.eq\f(4\r(3),3)【解析】由三視圖，可知該幾何體可以看作由三棱柱ABC-EFG去掉三棱錐E-ACD得到的幾何體，其中三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，且側(cè)棱長為2，底面三角形的底邊為2，高為eq\r(3)，D為棱AB的中點(diǎn)，則幾何體的體積V＝VABC-EFG－VE-ACD＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×\r(3)))×2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×1×\r(3)))×2×eq\f(1,3)＝eq\f(5\r(3),3)，故選C.【答案】C4．(2016·玉溪模擬)三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝1，PA＝eq\r(3)，則該三棱錐外接球的表面積為()A．5πB.eq\r(2)πC．20πD．4π【解析】由題意可知球心為PB的中點(diǎn).因?yàn)锳C⊥BC，AC＝BC＝1，所以AB＝eq\r(2).所以PB＝eq\r(PA2＋AB2)＝eq\r(5).球的半徑R＝eq\f(\r(5),2).所以此球的表面積為S＝4πR2＝5π.故選A.【答案】A5．在正四面體P-ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，則下面四個(gè)結(jié)論中不成立的是()A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAEC．平面PAE⊥平面ABC D．平面PDF⊥平面ABC【解析】因?yàn)锽C∥DF，所以A正確；易知PE⊥BC，AE⊥BC，所以BC⊥平面PAE，所以DF⊥平面PAE，所以B正確；因?yàn)锽C⊥平面PAE，所以平面PAE⊥平面ABC，所以C正確，故選D.【答案】D6．如圖2，E，F(xiàn)分別是三棱錐P-ABC的棱AP，BC的中點(diǎn)，PC＝10，AB＝6，EF＝7，則異面直線AB與PC所成的角為()圖2A．30°B.45°C．60°D．90°【解析】取AC中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，則EG＝5，F(xiàn)G＝3，且∠EGF或其補(bǔ)角為異面直線AB與PC所成的角，因?yàn)閏os∠EGF＝eq\f(25＋9－49,2×5×3)＝－eq\f(1,2)，所以∠EGF＝120°，故其補(bǔ)角為異面直線AB與PC所成的角且等于60°，故選C.【答案】C二、填空題7．(2016·齊齊哈爾模擬)已知四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形，該棱錐的高為eq\r(2)，且點(diǎn)P，A，B，C，D都在半徑為1的同一個(gè)球面上，則頂點(diǎn)P與底面ABCD的中心G之間的距離PG＝________.【解析】由題意可知ABCD是小圓，對(duì)角線長為eq\r(2)，四棱錐的高為eq\r(2)，點(diǎn)P，A，B，C，D均在半徑為1的同一球面上，球的直徑為2，所以四棱錐的一條側(cè)棱垂直底面的一個(gè)頂點(diǎn)，最長的側(cè)棱就是直徑，所以底面ABCD的中心G與頂點(diǎn)P之間的距離為eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq\f(\r(10),2).【答案】eq\f(\r(10),2)8．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為線段B1D1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是________(填序號(hào))．①AC⊥BE；②B1E∥平面ABCD；③三棱錐E-ABC的體積為定值；④直線B1E⊥直線BC1.【解析】因?yàn)锳C⊥平面BDD1B1，故①正確；易得②正確；記正方體的體積為V，則VE-ABC＝eq\f(1,6)V為定值，故③正確；B1E與BC1不垂直，故④錯(cuò)誤．【答案】①②③三、解答題9．(2015·江西紅色六校模擬)如圖3，已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F(xiàn)，G分別是PD，PC，BC的中點(diǎn)．圖3(1)求證：平面EFG⊥平面PAD；(2)若M是線段CD上一點(diǎn)，求三棱錐M-EFG的體積．【解】(1)證明：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD?平面ABCD，CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，又∵△PCD中，E，F(xiàn)分別是PD，PC的中點(diǎn)，∴EF∥CD，可得EF⊥平面PAD，∵EF?平面EFG，∴平面EFG⊥平面PAD.(2)∵EF∥CD，EF?平面EFG，CD?平面EFG，∴CD∥平面EFG，因此CD上的點(diǎn)M到平面EFG的距離等于點(diǎn)D到平面EFG的距離，∴VM-EFG＝VD-EFG，取AD的中點(diǎn)H，連接GH，EH，則EF∥GH，∵EF⊥平面PAD，EH?平面PAD，∴EF⊥EH.于是S△EFH＝eq\f(1,2)EF×EH＝2＝S△EFG，∵平面EFG⊥平面PAD，平面EFG∩平面PAD＝EH，△EHD是正三角形，∴點(diǎn)D到平面EFG的距離等于正△EHD的高，即為eq\r(3)，因此，三棱錐M-EFG的體積VM-EFG＝VD-EFG＝eq\f(1,3)×S△EFG×eq\r(3)＝eq\f(2\r(3),3).10．如圖4，ABC-A1B1C1是底面邊長為2，高為eq\f(\r(3),2)的正三棱柱，經(jīng)過AB的截面與上底面相交于PQ，設(shè)C1P＝λC1A1(0<λ<1)．(1)證明：PQ∥A1B1；(2)是否存在λ，使得平面CPQ⊥截面APQB？如果存在，求出λ的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．圖4【解】(1)證明：由正三棱柱的性質(zhì)可知，上下兩個(gè)底面平行，且截面APQB∩上底面A1B1C1＝PQ，截面APQB∩下底面ABC＝AB，所以PQ∥AB.又AB∥A1B1，∴PQ∥A1B1.(2)假設(shè)存在這樣的λ滿足題設(shè)，分別取AB的中點(diǎn)D，PQ的中點(diǎn)E，連接DE，由(1)及正三棱柱的性質(zhì)可知△CPQ為等腰三角形，APQB為等腰梯形，∴CE⊥PQ，DE⊥PQ.∴∠CED為二面角A-PQ-C的平面角，連接C1E并延長交A1B1于F，由(1)得，eq\f(C1P,C1A1)＝eq\f(C1E,C1F)＝λ，C1A1＝2，C1F＝eq\r(3)，∴C1E＝eq\r(3)λ，EF