高考數(shù)學一輪復習 階段規(guī)范強化練9 直線與圓-人教版高三數(shù)學試題

階段規(guī)范強化練(九)直線與圓一、選擇題1．(2015·海淀模擬)已知直線l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝0.若l1⊥l2，則實數(shù)a的值是()A．0 B．2或－1C．0或－3 D．－3【解析】因為l1⊥l2，所以a＋a(a＋2)＝0，則a＝0或a＝－3，故選C.【答案】C2．(2015·河南天一大聯(lián)考)已知圓C：(x＋1)2＋y2＝r2與拋物線D：y2＝16x的準線交于A，B兩點，且|AB|＝8，則圓C的面積為()A．5π B．9πC．16π D．25π【解析】拋物線的準線方程為x＝－4，而圓心坐標為(－1，0)，所以圓心到直線的距離為3，所以圓的半徑為5，故圓面積為25π.【答案】D3．在△ABC中，已知內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且2lgsinB＝lgsinA＋lgsinC，則直線l1：xsin2A＋ysinA＝a與l2：xsin2B＋ysinC＝c的位置關系是()A．平行 B．重合C．垂直 D．相交但不垂直【解析】由2lgsinB＝lgsinA＋lgsinC，得sin2B＝sinAsinC，故eq\f(sin2A,sin2B)＝eq\f(sinA,sinC)＝eq\f(a,c)，從而得兩直線方程的系數(shù)之比都相等，所以直線l1與l2重合.【答案】B4．拋物線y2＝4x與過其焦點且垂直于x軸的直線相交于A，B兩點，其準線與x軸的交點為M，則過M，A，B三點的圓的標準方程是()A．x2＋y2＝5 B．(x－1)2＋y2＝1C．(x－1)2＋y2＝2 D．(x－1)2＋y2＝4【解析】由拋物線方程及題意知A(1,2)，B(1，－2)，M(－1,0)，設所求圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＋2E＋F＋5＝0，,D－2E＋F＋5＝0，,－D＋F＋1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝0，,F＝－3.))從而所求方程為x2＋y2－2x－3＝0，即圓的標準方程為(x－1)2＋y2＝4.【答案】D5．(2016·安陽模擬)一條光線從點(－2，－3)射出，經(jīng)y軸反射后與圓(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，則反射光線所在直線的斜率為()A．－eq\f(5,3)或－eq\f(3,5) B．－eq\f(3,2)或－eq\f(2,3)C．－eq\f(5,4)或－eq\f(4,5) D．－eq\f(4,3)或－eq\f(3,4)【解析】點A(－2，－3)關于y軸的對稱點為A′(2，－3)，故可設反射光線所在直線的方程為y＋3＝k(x－2)，化為kx－y－2k－3＝0.∵反射光線與圓(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，∴圓心(－3,2)到直線的距離d＝eq\f(|－3k－2－2k－3|,\r(k2＋1))＝1，即24k2＋50k＋24＝0，解得k＝－eq\f(4,3)或－eq\f(3,4).【答案】D6．(2016·云南師大附中模擬)設直線l與拋物線x2＝4y相交于A,B兩點，與圓C：x2＋(y－5)2＝r2(r>0)相切于點M，且M為線段AB的中點，若這樣的直線l恰有4條，則r的取值范圍是()A．(1,3) B.(1,4)C．(2,3) D.(2,4)【解析】圓C在拋物線內部，當l⊥y軸時，必有兩條直線滿足條件，當l不垂直于y軸時，設M(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x0＝eq\f(x1＋x2,2)，y0＝eq\f(y1＋y2,2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,1)＝4y1，,x\o\al(2,2)＝4y2，))得xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2)＝4(y1－y2)?eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(x1＋x2,4)?kAB＝eq\f(x0,2)，因為圓心C(0,5)，所以kCM＝eq\f(y0－5,x0－0).由直線l與圓C相切，得kAB·kCM＝－1?y0＝3，又因為xeq\o\al(2,0)<4y0，所以xeq\o\al(2,0)<12，且r2＝xeq\o\al(2,0)＋(y0－5)2＝xeq\o\al(2,0)＋4<16?r<4.又r2－(y0－5)2＝xeq\o\al(2,0)>0?r2－(3－5)2>0?r2>4?r>2，故2<r<4，此時，又有兩條直線滿足條件，故選D.【答案】D二、填空題7．(2016·開封模擬)在平面直角坐標系xOy中，以點(1,0)為圓心且與直線mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圓中，半徑最大的圓的標準方程為________．【解析】因為直線mx－y－2m－1＝0恒過定點(2，－1)，所以圓心(1,0)到直線mx－y－2m－1＝0的最大距離為d＝eq\r(2－12＋0＋12)＝eq\r(2)，即最大半徑r＝eq\r(2)，此時，圓的標準方程為(x－1)2＋y2＝2.【答案】(x－1)2＋y2＝28．(2016·云南師大附中模擬)已知圓的方程為x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－1))2＝4.若過點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))的直線l與此圓交于A，B兩點，圓心為C，則當∠ACB最小時，直線l的方程為________．【解析】易知點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))在此圓的內部，當且僅當直線AB⊥PC時，∠ACB最小，此時kAB＝－eq\f(1,kPC)，又kPC＝eq\f(1－\f(1,2),0－1)＝－eq\f(1,2)，故kAB＝2.故直線l的方程為4x－2y－3＝0.【答案】4x－2y－3＝0三、解答題9．已知曲線C的方程為x2＋y2－4x＋2y＋5m＝0.(1)當m為何值時，此方程表示圓；(2)若m＝0，是否存在過點P(0,2)的直線l與曲線C交于A，B兩點，且|PA|＝|AB|，若存在，求直線l的方程；若不存在，說明理由．【解】(1)方程可化為(x－2)2＋(y＋1)2＝5－5m，當5－5m>0，即m<1時表示圓．(2)當m＝0時，曲線C的方程為x2＋y2－4x＋2y＝0.①當直線l斜率不存在時，即直線l方程為x＝0，A(0,0)，B(0，－2)，|PA|＝|AB|，符合題意．②當直線l斜率存在時，設直線l的方程為y＝kx＋2，聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，,x2＋y2－4x＋2y＝0.))有(1＋k2)x2＋(6k－4)x＋8＝0.依題意有Δ＝4(k2－12k－4)>0，∵|PA|＝|AB|，∴A為PB的中點，∴xB＝2xA.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xA＋xB＝\f(4－6k,1＋k2)，,xAxB＝\f(8,1＋k2)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xA＝\f(4－6k,31＋k2)，,x\o\al(2,A)＝\f(4,1＋k2).))解得k＝－eq\f(5,12)，滿足Δ>0，∴直線l的方程為5x＋12y－24＝0.綜上所述，直線l的方程為x＝0或5x＋12y－24＝0.10．如圖1，在平面直角坐標系xOy中，點A(0,3)，直線l：y＝2x－4.設圓C的半徑為1，圓心在l上．圖1(1)若圓心C也在直線y＝x－1上，過點A作圓C的切線，求切線的方程；(2)若圓C上存在點M，使|MA|＝2|MO|，求圓心C的橫坐標a的取值范圍．【解】(1)由題設，圓心C是直線y＝2x－4和直線y＝x－1的交點，解得點C(3,2)．于是切線的斜率必存在．設過A(0,3)的圓C的切線方程為y＝kx＋3，由題意，eq\f(|3k＋1|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝0或－eq\f(3,4)，故所求切線方程為y＝3或3x＋4y－12＝0.(2)因為圓心在直線y＝2x－4上，所以圓C的方程為(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.設點M(x，y)，因為|MA|＝2|MO|，所以eq\r(x2＋y－32)＝2eq\r(x2＋y2)，化簡得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，所以圓心M在以D