高考數(shù)學(xué)必勝秘訣

高考數(shù)學(xué)必勝秘訣

一一概念、方法、題型、易誤點(diǎn)及應(yīng)試技巧總結(jié)

基本概念、公式及方法是數(shù)學(xué)解題的基礎(chǔ)工具和基本技能，為此作為臨考前的高三學(xué)生，務(wù)必首先要掌握

高中數(shù)學(xué)中的概念、公式及基本解題方法，其次要熟悉一些基本題型，明確解題中的易誤點(diǎn)，還應(yīng)了解一些常

用結(jié)論，最后還要掌握一些的應(yīng)試技巧。本資料對(duì)高中數(shù)學(xué)所涉及到的概念、公式、常見題型、常用方法和結(jié)

論及解題中的易誤點(diǎn)，按章節(jié)進(jìn)行了系統(tǒng)的整理，最后闡述了考試中的一些常用技巧，相信通過對(duì)木資料的認(rèn)

真研讀，一定能大幅度地提升高考數(shù)學(xué)成績(jī)。

一、集合與簡(jiǎn)易邏輯

1.集合元素具有確定性、無(wú)序性和互異性.在求有關(guān)集合問題時(shí)，尤其要注意元素的互異性，如(1)設(shè)P、

Q為兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合，定義集合P+Q={a+blaeP,bwQ},若尸={0,2,5},。={1,2,6},則P+Q中元素的

有個(gè)。(答：8)(2)設(shè)U={(x,y)IxeR,yeR},A={(x,y)i2x-y+/w>0},

B={(x,y)Ix+y-n<0},那么點(diǎn)P(2,3)e4D(C“8)的充要條件是(答：加>一1,〃<5)；(3)非

空集合S={1,2,3,4,5},且滿足“若aeS,則6—aeS"，這樣的S共有個(gè)(答：7)

2.遇到4口6=0時(shí)，你是否注意到“極端”情況：A=0或6=0：同樣當(dāng)AqB時(shí)，你是否忘記A=0

的情形？要注意到0是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，如橐合A={xlax-1=0},

8={xlx2_3x+2=o},且AU8=B,則實(shí)數(shù)a=.(答：a=0,l,|)

3.對(duì)于含有〃個(gè)元素的有限集合M,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個(gè)數(shù)依次為2",2"-1,

T-1,2"-2.如滿足{1,2}^M={1,2,3,4,5}集合乂有個(gè)。(答:7)

4.集合的運(yùn)算性質(zhì)：⑴AU8=4oBq4；(2)AnB=8oBaA；⑶=

林衛(wèi)“8；⑷An“B=0o“A=B；(5)QAUB=U=A=8；(6)Cy(AAB)

fAUCuB；⑺&/(41^)=的40孰5.如設(shè)全集。={123,4,5},若4nB={2},(CyA)A5={4},

("加(如8)={1,5},則人=_____,B=_.(答:A={2,3］,8={2,4})

5.研究集合問題，一定要理解集合的意義一一抓住集合的代表元素。如：{xly=Igx}一函數(shù)的定義域；

{yly=lgx}一函數(shù)的值域；{(x,y)ly=lgx}—函數(shù)圖象上的點(diǎn)集，如(1)設(shè)集合M={xIy=J』},集

合N={yly=x2,xeM},則―(答：［4,+8))；(2)設(shè)集合M={￡=(1,2)+4(3,4),/1eR},

N=0￡=(2,3)+4(4,5),

2e/?},則MAN=(答：{(一2,-2)})

6.數(shù)軸和韋恩圖是進(jìn)行交、并、補(bǔ)運(yùn)算的有力工具，在具體計(jì)算時(shí)不要忘了集合本身和空集這兩種特殊情

況,補(bǔ)集思想常運(yùn)用于解決否定型或正面較復(fù)雜的有關(guān)問題。如G知函數(shù)/(%)=4--2(p-2)x-2p2-p+1

在區(qū)間［—1,1］上至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)c,使/(c)>0,求實(shí)數(shù)p的取值范圍。(答：(-3,京)

7.復(fù)合命題真假的判斷?！盎蛎}”的真假特點(diǎn)是“一真即真，要假全假”；“且命題”的真假特點(diǎn)是“--假

即假，要真全真”；“非命題”的真假特點(diǎn)是“真假相反”。如在下列說法中：⑴“p且q”為真是“p或q”為

真的充分不必要條件；⑵“p且q”為假是“p或q”為真的充分不必要條件；⑶“p或q”為真是“非p”

為假的必要不充分條件：⑷“非p”為真是“p且q”為假的必要不充分條件。其中正確的是(答：

⑴⑶)

8.四種命題及其相互關(guān)系。若原命題是“若p則q”，則逆命題為“若q則p"；否命題為“若「p貝U「q”；

逆否命題為“若「q則」p”。提醒：(1)互為逆否關(guān)系的命題是等價(jià)命題，即原命題與逆否命題同真、同假；

逆命題與否命題同真同假。但原命題與逆命題、否命題都不等價(jià)；(2)在寫出一個(gè)含有“或”、“且”命題的否

命題時(shí)，要注意“非或即且，非且即或”；(3)要注意區(qū)別“否命題”與“命題的否定”：否命題要對(duì)命題的條

件和結(jié)論都否定，而命瞿的自定僅對(duì)命題的結(jié)論否定；(4)對(duì)于條件或結(jié)論是不等關(guān)系或否定式的命題，一般

利用等價(jià)關(guān)系=判斷其真假，這也是反證法的理論依據(jù)。(5)哪些命題宜用反證法？如(1)“在

△ABC中，若NC=90°,則NA、NB都是銳角”的否命題為(答：在AA6C中，若NC790",則

不都是銳角)；(2)已知函數(shù)/(x)=a'+±2,a>l,證明方程/(x)=0沒有負(fù)數(shù)根。

x+1

9.充要條件。關(guān)鍵是分清條件和結(jié)論(劃主謂賓)，由條件可推出結(jié)論，條件是結(jié)論成立的充分條件；由結(jié)

論可推出條件，則條件是結(jié)論成立的必要條件。從集合角度解釋，若A18,則A是B的充分條件；若5WA,

則A是B的必要條件A=B,則A是B的充要條件。如(1)給出下列命題：①實(shí)數(shù)。=0是直線ax—2y=1

與2ax-2y=3平行的充要條件；②若a,bG=0是|a|+|fe|=|o+Z?|成立的充要條件；③已知x,y&R,

“若村=0,則x=0或y=0”的逆否命題是“若xwO或y工0則孫彳0"；④“若。和人都是偶數(shù)，則a+b

是偶數(shù)”的否命題是假命題o其中正確命題的序號(hào)是(答：①④)；(2)設(shè)命題p：I4x-3I<1；命題

q:X2-(26!+l)x+?(a+l)<0?^p是1q的必要而不充分的條件，則實(shí)數(shù)“的取值范圍是(答:

叫)

10.一元一次不等式的解法：通過去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)等步驟化為ax>b的形式，若。>0,

bb

則1>一；若。<0,則1<一；若。=0,則當(dāng)6<0時(shí)'xeR；當(dāng)〃之0時(shí)，XG0O如已知關(guān)于x的不等式

aa

(a+b)x+(2a-3b)<0的解集為(-oo,-1),則關(guān)于x的不等式(a-3h)x+3一2a)>0的解集為(答:

{xlx<-3})

11.一元二次不等式的解集(聯(lián)系圖象)。尤其當(dāng)△=()和△<()時(shí)的解集你會(huì)正確表示嗎？設(shè)a〉0,蒼,馬

是方程af+bx+c=O的兩實(shí)根，且當(dāng)</，則其解集如下表：

ax1+Zzx+c>0ax2+bx+c>0ax2+/?x+c<0ax2+bx+c<0

A>0{尤lx<%或x〉/}{田工工須或工之/}{xlxj<x<x2}{xlXj<x<x2}

△=0?b、

r}R電{""=_勺

2a

A<0R

R。。

如解關(guān)于尤的不等式：ax2-(a+l)x+l<0?(答：當(dāng)a=0時(shí)，x>l；當(dāng)a<0時(shí)，x>l或x<』；當(dāng)

a

0<。<1時(shí)，1cx<4；當(dāng)<2=1時(shí)，XG0;當(dāng)時(shí)，—<X<1)

aa

12.對(duì)于方程ax2+bx+c=0有實(shí)數(shù)解的問題。首先要討論最高次項(xiàng)系數(shù)a是否為0,其次若貝U

一定有△=從一4雙20。對(duì)于多項(xiàng)式方程、不等式、函數(shù)的最高次項(xiàng)中含有參數(shù)時(shí)，你是否注意到同樣的情

形？如：(1)(a-2)x2+2(a—2)x—l<0對(duì)一切xeR恒成立，則。的取值范圍是_______(答：(1,2］)；

TT

(2)關(guān)于尤的方程/(x)=k有解的條件是什么？(答：keD,其中。為/(x)的值域)，特別地，若在［0,—］

內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)根滿足等式cos2x+Gsin2x=A+l,則實(shí)數(shù)攵的范圍是.(答：［0,1))

13.一元二次方程根的分布理論。方程/。)=這2+法+。=03>0)在(上,+8)上有兩根、在(九〃)上有兩

根、在(-8次)和(4,+8)上各有一根的充要條件分別是什么？

A>0

(f(k)>0、f(k)<0)o根的分布理論成立的前提是開區(qū)間，若

b

-->k

、2a

在閉區(qū)間［加,〃］討論方程/(x)=0有實(shí)數(shù)解的情況，可先利用在開區(qū)間(m,n)上實(shí)根分布的情況，得出結(jié)果,

再令x=〃和x=，〃檢查端點(diǎn)的情況.如實(shí)系數(shù)方程/+ax+2b=0的一根大于0且小于1,另一根大于1且

h-21

小于2,則一的取值范圍是(答：(士，1))

a-14

14.二次方程、二次不等式、二次函數(shù)間的聯(lián)系你了解了嗎？二次方程4/+或+。=0的兩個(gè)根即為二次不

等式辦2+bx+c>0(<0)的解集的端點(diǎn)值,也是二次函數(shù)y=ax1+bx+c的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。如(1)

不等式4>ax+?的解集是(4,。)，貝Ua=(答：-)；(2)若關(guān)于x的不等式a/+以+c<0的

28

解集為(一8,〃?)1］(〃,+8),其中優(yōu)v〃vO,則關(guān)于x的不等式ex?-法+。vO的解集為(答：

(-00,--L)U(-L+oo));⑶不等式3/一2版+140對(duì)工€［-1,2］恒成立，則實(shí)數(shù)匕的取值范圍是(答:

mn

0)?

二、函數(shù)

1.映射/：AfB的概念。在理解映射概念時(shí)要注意：⑴A中元素必須都有象且唯-；⑵B中元素不一定都

有原象，但原象不一定唯一。如(1)設(shè)廣M-N是集合〃到N的映射，下列說法正確的是A、〃中每

一個(gè)元素在N中必有象B、N中每一個(gè)元素在"中必有原象C、N中每一個(gè)元素在M中的原象是唯

一的D、N是M中所在元素的象的集合(答：A)；(2)點(diǎn)(a/)在映射/的作用下的象是(a-b,a+b),

則在/作用下點(diǎn)(3,1)的原象為點(diǎn)(答(2,-1))；(3)若4={1,2,3,4},B^{a,h,c},a,b,ceR,

則4到3的映射有個(gè)，8到A的映射有一個(gè)，A到8的函數(shù)有個(gè)(答：81,64,81)；(4)設(shè)集合

M={-l,0,l},2V={1,2,3,4,5},映射/:M—N滿足條件“對(duì)任意的xeM,x+/(x)是奇數(shù)”，這樣的映

射/有一個(gè)(答：12)；(5)設(shè)是集合A到集合B的映射，若8={1,2},則AflB一定是(答：

?；騵1}).

2.函數(shù)/:A-?B是特殊的映射。特殊在定義域A和值域B都是非空數(shù)集！據(jù)此可知函數(shù)圖像與X軸的垂線

至多有一個(gè)公共點(diǎn)，但與y軸垂線的公共點(diǎn)可能沒有，也可能有任意個(gè)。如(1)已知函數(shù)/(x),X&F,那

么集合{(x,y)ly=/(x),xeF}n{(x,y)lx=l}中所含元素的個(gè)數(shù)有_____個(gè)(答：0或1)；(2)若函數(shù)

y=gx2—2x+4的定義域、值域都是閉區(qū)間［2,2切，則8=(答：2)

3.同一函數(shù)的概念。構(gòu)成函數(shù)的三要素是定義域，值域和對(duì)應(yīng)法則。而值域可由定義域和對(duì)應(yīng)法則唯一確

定，因此當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則相同時(shí)，它們一定為同一函數(shù)。如若一系列函數(shù)的解析式相同，值域

相同，但其定義域不同，則稱這些函數(shù)為“天一函數(shù)”，那么解析式為y=》2,值域?yàn)閧4,1}的“天一函數(shù)”共

有個(gè)(答：9)

4.求函數(shù)定義域的常用方法(在研究函數(shù)問題時(shí)要樹立定義域優(yōu)先的原則)：

(1)根據(jù)解析式要求如偶次根式的被開方大于零，分母不能為零，對(duì)數(shù)log“x中x>0,a>0且axl,三

角形中0<A〈乃，最大角N匹，最小角W工等。如(1)函數(shù)的定義域是一(答：

33lg(x-3)2

府+7「

(0,2川(2,3川(3,4))；(2)若函數(shù)丁=［---------的定義域?yàn)镽,則kw_______(答：0,)；(3)函數(shù)/(x)

履+4攵x+3|_

的定義域是［。向，b>-a>0,則函數(shù)/(1)=/'(x)+/(-x)的定義域是(答：［a,-a］)；(4)設(shè)函

數(shù)/(x)=lg(ax2+2x+l),①若/(x)的定義域是R,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；②若/a)的值域是R,求實(shí)數(shù)a

的取值范圍(答：①a〉l；②OWaWl)

(2)根據(jù)實(shí)際問題的要求確定自變量的范圍。

(3)復(fù)合函數(shù)的定義域：若已知/(x)的定義域?yàn)椋鄯怖鋸?fù)合函數(shù)/［g(x)］的定義域由不等式

aWg(x)4b解出即可；若已知/［g(x)］的定義域?yàn)椋邸?勿,求。(x)的定義域,相當(dāng)于當(dāng)xw［a,b］時(shí)，求g(x)的

值域(即/(X)的定義域)。如(1)若函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)椋?2,則/(log2%)的定義域?yàn)?/p>

(答：卜I&<xW4卜；(2)若函數(shù)+1)的定義域?yàn)椋?2,1),則函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?答：［1,5］).

5.求函數(shù)值域(最值)的方法：

(1)配方法一一二次函數(shù)(二次函數(shù)在給出區(qū)間上的最值有兩類：一是求閉區(qū)間［〃?,〃］上的最值；二是求

區(qū)間定(動(dòng))，對(duì)稱軸動(dòng)(定)的最值問題。求二次函數(shù)的最值問題，勿忘數(shù)形結(jié)合，注意“兩看”：一看開口

方向；二看對(duì)稱軸與所給區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系），如（1）求函數(shù)y=V—2x+5,xe［—1,2］的值域（答：［4,8］）；

（2）當(dāng)了€（0,2］時(shí)?，函數(shù)/。）=。/+4伍+1）*-3在》=2時(shí)取得最大值，則。的取值范圍是—（答：

（3）已知/（%）=31'（24%44）的圖象過點(diǎn)（2,1）,則F（x）="T（x）f-尸（Y）的值域?yàn)?/p>

（答：［2,55

（2）換元法一一通過換元把一個(gè)較復(fù)雜的函數(shù)變?yōu)楹?jiǎn)單易求值域的函數(shù)，其函數(shù)特征是函數(shù)解析式含有根

式或三角函數(shù)公式模型，如（1）y=2sin2x—3cosx—1的值域?yàn)椋ù穑海?4,—］）；（2）y=2x+l+K^i

8

的值域?yàn)椋ù穑海?,+8））（令=t>0,運(yùn)用換元法時(shí)，要特別要注意新元/的范圍）；（3）

y=sinx+cosx+sinxcosx的值域?yàn)椋ù穑海?1,-+V2］）;（4）y=x+4+，9—/的值域?yàn)椋ù?

2

［1,3>/2+4］）；

（3）函數(shù)有界性法一一直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以利用已學(xué)過函數(shù)的有界性，來(lái)確定所求函數(shù)的值域,

?qin—13'?<;in-1|

最常用的就是三角函數(shù)的有界性，如求函數(shù)丁=分吧」，y=—J，），=的值域（答:（-00,-］>

1+sin61+31+cos02

3

（0,1）、（-co,-］）；

2

（4）單調(diào)性法一一利用一次函數(shù)，反比例函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)等函數(shù)的單調(diào)性，如求

y=x—，（l<x<9）,y=sin2x+―,y=2"5+log3的值域?yàn)椋ù穑海?,呢）、［口,9］、

x1+sin-x92

［2,10］）；

（5）數(shù)形結(jié)合法一一函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點(diǎn)的距離、直線斜率、等等，如（1）已

知點(diǎn)P（x,y）在圓V+）,2=i上，求言］及2x的取值范圍（答：［―#,管］、［—6,石］）；（2）求函數(shù)

y=J（x—2）2+J（X+8）2的值域（答：［10,+oo））；（3）求函數(shù)y=—6x+13+J/+4（+5及

y=正-6X+13-JX2+4X+5的值域（答：［J衛(wèi),+oo）、（-V26,V26））注意：求兩點(diǎn)距離之和時(shí),耍將

函數(shù)式變形，使兩定點(diǎn)在x軸的兩側(cè)，而求兩點(diǎn)距離之差時(shí),則要使兩定點(diǎn)在x軸的同側(cè)。

（6）判別式法一一對(duì)分式函數(shù)（分子或分母中有一個(gè)是二次）都可通用，但這類題型有時(shí)也可以用其它方

法進(jìn)行求解，不必拘泥在判別式法上，也可先通過部分分式后，再利用均值不等式：

①y型，可直接用不等式性質(zhì)，如求y=—二的值域（答：（0,3］）

kx2+%2

hxXI

②,二丁竺一型，先化簡(jiǎn)，再用均值不等式，如（1）求y=—的值域（答：（-00二］）；（2）求

x+mx+n1+x2

函數(shù)y=Y等的值域（答：［0,1］）

+17］X-I-4-RY4-H

③y一-——型，通常用判別式法；如已知函數(shù)y=log3,的定義域?yàn)镽,值域?yàn)椋?,2］,

x-\-mx-\-nx+1

求常數(shù)根,〃的值（答：m=n=5）

@y=-_空一巴型，可用判別式法或均值不等式法，如求y=~~上」的值域（答：（-8,-3］UU+8））

nvc+nx+l

（7）不等式法一一利用基本不等式a+6N2J拓（凡6G/T）求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和式時(shí)要

求積為定值，解析式是積時(shí)要求和為定值，不過有時(shí)須要用到拆項(xiàng)、添項(xiàng)和兩邊平方等技巧。如設(shè)成

等差數(shù)列，X,仿,％,），成等比數(shù)列，則+的取值范圍是.（答：（-8,0］U［4,+8））。

帥?

（8）導(dǎo)數(shù)法-----般適用于高次多項(xiàng)式函數(shù)，如求函數(shù)/（x）=2X3+4X2-40X,xe［-3,3］的最小值。（答:

—48）

提醒：（1）求函數(shù)的定義域、值域時(shí)，你按要求寫成集合形式了嗎？（2）函數(shù)的最值與值域之間有何關(guān)系？

6.分段函數(shù)的概念。分段函數(shù)是在其定義域的不同子集上，分別用幾個(gè)不同的式子來(lái)表示對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)，

它是一類較特殊的函數(shù)。在求分段函數(shù)的值/(%)時(shí)，一定首先要判斷X。屬于定義域的哪個(gè)子集，然后再代相

應(yīng)的關(guān)系式；分段函數(shù)的值域應(yīng)是其定義域內(nèi)不同子集上各關(guān)系式的取值范圍的并集，如(1)設(shè)函數(shù)

(X+1)2.(X<1)

/(x)=I一，則使得/(x)21的自變量x的取值范圍是(答：(—oo,—2]U[0,10]);

4-Vx-l.(x>l)

(2)已知/(x)=F(X-0),則不等式》+(》+2)/?+2)45的解集是________(答：(-co,-])

[-1(x<0)2

7.求函數(shù)解析式的常用方法：

(1)待定系數(shù)法一一已知所求函數(shù)的類型(二次函數(shù)的表達(dá)形式有三種：一般式：f(x)=ax2+bx+c；

2

頂點(diǎn)式：f(x)=a(x-m)+n；零點(diǎn)式：/(x)=a(x-x^x-x2)?要會(huì)根據(jù)已知條件的特點(diǎn)，靈活地選用二

次函數(shù)的表達(dá)形式)。如已知/(x)為二次函數(shù)，且f(x-2)=/(-x-2),且f(0)=1,圖象在x軸上截得的線

段長(zhǎng)為2J5,求/(x)的解析式。(答：/(J)=1X2+2X+1)

(2)代換(配湊)法一一已知形如/(g(x))的表達(dá)式，求/(x)的表達(dá)式。如(1)已知/(I—cosx)=siMx,

242

求/(/)的解析式(答：/(x)=-x+2x,xe[-V2,V2])；(2)若/(x—4)=x?+[,則函數(shù)

X廠

/(x-1)=(答：X2-2X+3)；(3)若函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)XG(0,+OO)時(shí)，

/(x)=x(l+F),那么當(dāng)xe(—8,0)時(shí)，f(x)=(答：x(l-V^)).這里需值得注意的是所求解

析式的定義域的等價(jià)性，即f(x)的定義域應(yīng)是g(x)的值域。

(3)方程的思想一一已知條件是含有/(x)及另外一個(gè)函數(shù)的等式，可抓住等式的特征對(duì)等式的進(jìn)行賦值，

從而得到關(guān)于/(x)及另外一個(gè)函數(shù)的方程組。如(1)已知”x)+2/(—x)=3x—2,求/(x)的解析式(答：

21

f(x)=-3x——)；(2)已知是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且/(x)+g(x)=——，則/5)=________(答:

3x-1

8.反函數(shù)：

(1)存在反函數(shù)的條件是對(duì)于原來(lái)函數(shù)值域中的任一個(gè))，值，都有唯一的x值與之對(duì)應(yīng)，故單調(diào)函數(shù)一定

存在反函數(shù)，但反之不成立；偶函數(shù)只有/(x)=0(x￡{0})有反函數(shù)；周期函數(shù)一定不存在反函數(shù)。如函數(shù)

y=f—2ax—3在區(qū)間[1,2]上存在反函數(shù)的充要條件是A、ae(-oo,l]B、ae[2,+oo)C、aE[\,2]

D、ae(-oo,1]U[2,+oo)(答：D)

(2)求反函數(shù)的步驟：①反求x；②互換x、y；③注明反函數(shù)的定義域(原來(lái)函數(shù)的值域)。注意函數(shù)

y=f(x+l)的反函數(shù)不是y=廣|*+1)，W>=廣小)-1。如設(shè)/()=(—)2(x>0).求/(x)的反函數(shù)f-\x)

xX

1_

(答:

r'w=\[x-I

(3)反函數(shù)的性質(zhì)：

①反函數(shù)的定義域是原來(lái)函數(shù)的值域，反函數(shù)的值域是原來(lái)函數(shù)的定義域。如單調(diào)遞增函數(shù)/(x)滿足條件

f(ax+3)=x，腫0，若/(x)的反函數(shù)/T(X)的定義域?yàn)?，則/(x)的定義域是一

_aa

(答：[4,7]).

②函數(shù)y=/(X)的圖象與其反函數(shù)y=幻的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，注意函數(shù)),=/*)的圖象與

X=的圖象相同。如(1)已知函數(shù))，=/(幻的圖象過點(diǎn)(1,1),那么〃4-力的反函數(shù)的圖象一定經(jīng)過點(diǎn)

2x4-3

(答：(1,3))；(2)已知函數(shù)/(x)=------,若函數(shù)y=g(x)與y=/一(％+1)的圖象關(guān)于直線y=%對(duì)

x-1

7

稱，求g(3)的值(答：-)；

③f(a)=b=尸出)=a°如(1)已知函數(shù)/(x)=log(-+2),則方程廣［幻=4的解x=(答:

.3X

1);(2)設(shè)函數(shù)人x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,2)對(duì)稱，且存在反函數(shù)f-'(x),/(4)=0,貝IJ/T(4)=一(答：-2)

④互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)具有相同的單調(diào)性和奇函數(shù)性。如已知"X)是R上的增函數(shù)，點(diǎn)A(-l,l),8(l,3)在

它的圖象上，尸(x)是它的反函數(shù)，那么不等式|廣(唾尸)|<1的解集為(答：(2,8))；

⑤設(shè)/(x)的定義域?yàn)锳,值域?yàn)锽,則有了"T(x)］=x(xeB),

(xeA),但/［尸⑴］工尸"(x)］。

9.函數(shù)的奇偶性。

(1)具有奇偶性的函數(shù)的定義域的特征：定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱！為此確定函數(shù)的奇偶性時(shí)，務(wù)必先判

定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。如若函數(shù)/(x)=2sin(3x+6),

xe［2a—5萬(wàn),3a］為奇函數(shù)，其中，e(0,2/r),則。一。的值是_(答：0)；

(2)確定函數(shù)奇偶性的常用方法(若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜，應(yīng)先化簡(jiǎn)，再判斷其奇偶性)：

Ir-41-4

①定義法：如判斷函數(shù)y=/的奇偶性__(答：奇函數(shù))。

A/9-X2

②利用函數(shù)奇偶性定義的等價(jià)形式：/(x)±/(-x)=0或△二"=±1(/(%)0)o如判斷

/(x)

/(?nxlJl+g)的奇偶性—.(答：偶函數(shù))

③圖像法：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱。

(3)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)：

①奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上若

有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反.

②如果奇函數(shù)有反函數(shù)，那么其反函數(shù)一定還是奇函數(shù).

③若/(x)為偶函數(shù)，則/(—?jiǎng)?/(》)=/(1〃).如若定義在R上的偶函數(shù)/(x)在(—8,0)上是減函數(shù)，

且/2)=2，則不等式/(log?x)>2的解集為______.(答：(0,0.5)U(2,+8))

38

④若奇函數(shù)/(x)定義域中含有0,則必有/(0)=0.故/(0)=0是/(X)為奇函數(shù)的既不充分也不必要條

件。如若/(x)=~—■=為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)。=(答：1).

2，+1

⑤定義在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱區(qū)間上的任意一個(gè)函數(shù)，都可表示成“一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的和(或差”如

設(shè)/(%)是定義域?yàn)镽的任一函數(shù)，尸(x)=/(x)+/(r),G(x)=/")二〃二2。①判斷尸J)與G(x)的奇

22

偶性；②若將函數(shù)/(x)=ig(i(r+1),表示成一個(gè)奇函數(shù)g(x)和一個(gè)偶函數(shù)〃(了)之和，則g(x)=一(答:

①尸(x)為偶函數(shù)，G(x)為奇函數(shù)；②g(x)=；x)

⑥復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點(diǎn)是：“內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外”.

⑦既奇又偶函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)(/")=0,定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的任意一個(gè)數(shù)集).

10.函數(shù)的單調(diào)性。

(1)確定函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間的常用方法：

①在解答題中常用：定義法(取值一一作差一一變形一一定號(hào))、導(dǎo)數(shù)法(在區(qū)間(。力)內(nèi)，若總有((x)>0,

則/(x)為增函數(shù)；反之，若/(x)在區(qū)間(a/)內(nèi)為增函數(shù)，貝U/'(x)20,請(qǐng)注意兩者的區(qū)別所在。如已知函

數(shù)在區(qū)間工+8)上是增函數(shù),則a的取值范圍是___(答:(0,3］))；

②在選擇填空題中還可用數(shù)形結(jié)合法、特殊值法等等，特別要注意y=ax+2(〃>0

X

b>o)型函數(shù)的圖象和單調(diào)性在解題中的運(yùn)用：增區(qū)間為(-%—JE］,［J5,+8),減區(qū)間為［_JE,O),(O,JE］.

如(1)若函數(shù)/(x)=F+2(a—l)x+2在區(qū)間(一8,4］上是減函數(shù)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是(答:

a<-3))；(2)已知函數(shù)f(x)=竺總在區(qū)間(—2,+8)上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍,_(答：(1,+oo));

(3)若函數(shù)/(x)=log]x+(—4](“>0,且awl)的值域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____(答：0<。44

且aw1))；

③復(fù)合函數(shù)法：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的特點(diǎn)是同增異減，如函數(shù)y=log1(-/+2x)的單調(diào)遞增區(qū)間是

2

(答：(1,2))。

(2)特別提醒：求單調(diào)區(qū)間時(shí)，一是勿忘定義域，如若函數(shù)/(x)=log〃(x2-ax+3)在區(qū)間(―8,自上為

減函數(shù)，求。的取值范圍(答：(1,26))；二是在多個(gè)單調(diào)區(qū)間之間不一定能添加符號(hào)“U”和“或”；三是

單調(diào)區(qū)間應(yīng)該用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示.

(3)你注意到函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的逆用了嗎？(①比較大??；②解不等式；③求參數(shù)范圍).如已知奇函

1?

數(shù)/(x)是定義在(一2,2)上的減函數(shù)，若/(T?I-1)+/(2/H-1)>0,求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍。(答：一]<機(jī)<§)

11.常見的圖象變換

①函數(shù)？=/(》+。)(。>0)的圖象是把函數(shù)？=/(x)的圖象沿x軸向左平移。個(gè)單位得到的。如設(shè)

/(x)=2'g(x)的圖像與/(x)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱，〃(x)的圖像由g(x)的圖像向右平移1個(gè)單位得

到，則〃(x)為(答：/z(x)=-log2(x-l))

②函數(shù)y=/(x+a)((a<0)的圖象是把函數(shù)y=/(x)的圖象沿x軸向右平移同個(gè)單位得到的。如(1)

若〃%+199)=4k+44+3,則函數(shù)/(x)的最小值為一(答：2)；(2)要得到y(tǒng)=lg(3—x)的圖像，只需作

y=lgx關(guān)于軸對(duì)稱的圖像，再向—平移3個(gè)單位而得到(答：y；右)；(3)函數(shù)/(x)=x-lg(x+2)—1

的圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有一個(gè)(答：2)

③函數(shù)y=f(x)+a(a>0)的圖象是把函數(shù)y=/(x)助圖象沿y軸向上平移a個(gè)單位得到的；

④函數(shù)y=f(x)+a(a<0)的圖象是把函數(shù)>-=/(x)助圖象沿y軸向下平移時(shí)個(gè)單位得到的；如將函數(shù)

y="_+a的圖象向右平移2個(gè)單位后又向下平移2個(gè)單位，所得圖象如果與原圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，那么

x+a

(4)〃=—⑻a=-T,b￡R(C)a=l/wO(D)a=0,beR(答：C)

⑤函數(shù)y=/(")(。>0)的圖象是把函數(shù)丁=/(x)的圖象沿x軸伸縮為原來(lái)的,得到的。如(1)將函數(shù)

a

y=/(x)的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的g(縱坐標(biāo)不變)，再將此圖像沿x軸方向向左平移2個(gè)單位，

所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)為(答：/(3x+6));(2)如若函數(shù)y=/(2x—1)是偶函數(shù)，則函數(shù)y=/(2x)的對(duì)

稱軸方程是_______(答：x=--).

2

⑥函數(shù)y=af(x)(?>0)的圖象是把函數(shù)y=/(x)的圖象沿y軸伸縮為原來(lái)的a倍得到的.

12.函數(shù)的對(duì)稱性。

①滿足條件/(》-。)=/3-3)的函數(shù)的圖象關(guān)于直線工=巴*對(duì)稱。如已知二次函數(shù)

/(x)=ax2+hx(a豐0)滿足條件/(5-x)=/(x-3)且方程/(x)=x有等根，則/(x)=(答：

12、

--X+X);

2

②點(diǎn)(x,y)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為(-x,>')；函數(shù)y=/(x)關(guān)于y軸的對(duì)稱曲線方程為y=/(-x)；

③點(diǎn)(x,y)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為(x,-y);函數(shù)y=/(j關(guān)于x軸的對(duì)稱曲線方程為y=-/(x)；

④點(diǎn)(x,y)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為(—x,—y)；函數(shù)y=/(x)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱曲線方程為y=-/(-x)；

⑤點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線y-±x+a的對(duì)稱點(diǎn)為(土(y-a),±x+a)；曲線/(x,y)=0關(guān)于直線y=±x+a的對(duì)

稱曲線的方程為/(±(y-a),+x+a)=0。特別地，點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)為(y,x)；雌f(x,y)=0

關(guān)于直線y=x的對(duì)稱曲線的方程為f(y,x)

=0；點(diǎn)(羽y)關(guān)于直線y=-X的對(duì)稱點(diǎn)為(-y,-x)；曲線于(x,y)=0關(guān)于直線y=-x的對(duì)稱曲線的方程為

r-33

f(-y,-x)=0o如己知函數(shù)/(x)=/,(xw巳)，若y=/(x+1)的圖像是勒，它關(guān)于直線y=x對(duì)稱圖像

2%-32

是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖像為。3,則對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是___________(答：y=----------)；

2x+l

⑥曲線/(x,y)=0關(guān)于點(diǎn)(a,b)的對(duì)稱曲線的方程為f(2a-x,2b-y)=0,如若函數(shù)y=x2+x與

y=g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-2,3)對(duì)稱，貝Ug(x)=(答：一/—7工一6)

⑦形如y=生士與(cWO,ad*〃c)的圖像是雙曲線，其兩漸近線分別直線x=-土

cx+dc

(由分母為零確定)和直線y=2(由分子、分母中x的系數(shù)確定)，對(duì)稱中心是點(diǎn)(-@,且)。如已知函數(shù)圖象C'

CCC

與C:y(x+a+l)=a七/+1關(guān)于直線y=x對(duì)稱，且圖象C'關(guān)于點(diǎn)(2,-3)對(duì)稱，則〃的值為(答:

2)

⑧l(xiāng)/(x)l的圖象先保留/(x)原來(lái)在x軸上方的圖象，作出x軸下方的圖象關(guān)于x軸的對(duì)稱圖形，然后擦去

x軸下方的圖象得到；/(Ixl)的圖象先保留/(x)在)，軸右方的圖象，擦去)，軸左方的圖象，然后作出y軸右

方的圖象關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形得到。如(1)作出函數(shù)y=1log2(x+1)?及y=旗21x+11的圖象：(2)若函數(shù)/(x)

是定義在R上的奇函數(shù)，則函數(shù)尸(x)=|/(x)|+/(W)的圖象關(guān)于一對(duì)稱(答：y軸)

提醒：(1)從結(jié)論②③④⑤⑥可看出，求對(duì)稱曲線方程的問題，實(shí)質(zhì)上是利用代入法轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)的對(duì)稱問

題(2)證明函數(shù)圖像的對(duì)稱性，即證明圖像上任一點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心(對(duì)稱軸)的對(duì)稱點(diǎn)仍在圖像匕(3)證

明圖像G與G的對(duì)稱性，需證兩方面：①證明￡上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心(對(duì)稱軸)的對(duì)稱點(diǎn)仍在G上；②證

明C,上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心(對(duì)稱軸)的對(duì)稱點(diǎn)仍在G上。如(1)已知函數(shù)f(x)=x+1一?(ae/?)。求證:

a-x

函數(shù)/(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)M(a,—1)成中心對(duì)稱圖形：(2)設(shè)曲線C的方程是y=Y—X,將C沿x軸，y軸正方

向分別平行移動(dòng)單位長(zhǎng)度后得曲線G。①寫出曲線G的方程(答：y=(x—f)3—(x—f)+s)；②證明曲線

C與G關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱。

13.函數(shù)的周期性。

(1)類比“三角函數(shù)圖像''得：

①若V=/(x)圖像有兩條對(duì)稱軸x=a,x=b(a*b),則y=/(x)必是周期函數(shù)，且一周期為

T=2la—6；

②若y=/(x)圖像有兩個(gè)對(duì)稱中心A(a,0),3S,0XaHb),則y=/(x)是周期函數(shù)，且一周期為

T=2la—人1；

③如果函數(shù)>?=/(x)的圖像有一個(gè)對(duì)稱中心A(a,O)和一條對(duì)稱軸x=b(a^b),則函數(shù)y=/(x)必是周期函

數(shù)，且一周期為T=4ia—6；

如已知定義在R上的函數(shù)/(x)是以2為周期的奇函數(shù)，則方程/(x)=0在［-2,2］上至少有個(gè)

實(shí)數(shù)根(答：5)

(2)由周期函數(shù)的定義“函數(shù)/(x)滿足/(x)=/(a+x)(a〉0),則/(x)是周期為。的周期函數(shù)”得：

①函數(shù)f(x)滿足—/(x)=f(a+x),則/(x)是周期為2a的周期函數(shù)；

②若/(x+a)=―—(a工0)恒成立，則T=2a；

/(x)

③若/(x+a)=--L(awO)恒成立，則T=2a.

/(x)

如⑴設(shè)/(x)是(—8,+oo)上的奇函數(shù)，/(%+2)=-/(%),當(dāng)0VxD1時(shí),/(x)=x,則”47.5)等于

喀：-0.5);(2)定義在R上的偶函數(shù)/(x)滿足/(x+2)=/(x),且在［—3,-2］上是減函數(shù)，若a,/?是

銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，則/(sina),/(cos/?)的大小關(guān)系為(答：/(sina)>/(cos￡))：(3)已知

/(x)是偶函數(shù)，且/⑴=993,g(x)=/(x-l)是奇函數(shù)，求/(2