奧數(shù)訓練-位值原理

￥5-7T.位值原理

即吹賬簿目掘

1.利用位值原理的定義進行拆分

2.巧用方程解位值原理的題

位值原理

當我們把物體同數(shù)相聯(lián)系的過程中，會碰到的數(shù)越來越大，如果這種聯(lián)系過程中，只用我

們的手指頭，那么到了“十”這個數(shù)，我們就無法數(shù)下去了，即使象古代墨西哥尤里卡坦的瑪雅

人把腳趾也用上，只不過能數(shù)二十。我們顯然知道，數(shù)是可以無窮無盡地寫下去的，因此，我們

必須把數(shù)的概念從實物的世界中解放出來，抽象地研究如何表示它們，如何對它們進行運算。這

就涉及到了記數(shù)，記數(shù)時，同一個數(shù)字由于所在位置的不同，表示的數(shù)值也不同。既是說，一個

數(shù)字除了本身的值以外，還有一個“位置值”。例如，用符號555表示五百五十五時，這三個數(shù)

字具有相同的數(shù)值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值。最右邊的五表示五個一，最左

邊的五表示五個百，中間的五表示五個十。但是在奧數(shù)中位值問題就遠遠沒有這么簡單了，現(xiàn)在

就將解位值的三大法寶給同學們。希望同學們在做題中認真體會。

1.位值原理的定義：同一個數(shù)字，由于它在所寫的數(shù)里的位置不同，所表示的數(shù)值也不同。也就

是說，每一個數(shù)字除了有自身的一個值外，還有一個“位置值”。例如“2”，寫在個位上，就表

示2個一，寫在百位上，就表示2個百，這種數(shù)字和數(shù)位結合起來表示數(shù)的原則，稱為寫數(shù)的位

值原理。

2.位值原理的表達形式：以六位數(shù)為例：abcdef=aX100000+6X10000+cX1000+dX100+eX10+￡

3.解位值一共有三大法寶：(1)最簡單的應用解數(shù)字謎的方法列豎式

(2)利用十進制的展開形式，列等式解答

(3)把整個數(shù)字整體的考慮設為x,列方程解答

朋第上做題潟窗

模塊一、簡單的位值原理拆分

【例11一個兩位數(shù)，加上它的個位數(shù)字的9倍，恰好等于100o這個兩位數(shù)的各位數(shù)字的和

是。

［例2］李老師比張老師大18歲，有意思的是，如果把李老師的年齡顛倒過來正好是張老師的

年齡，求李老師和張老師的年齡和最少是?（注：老師年齡都在20歲以上）

【例3］把一個數(shù)的數(shù)字順序顛倒過來得到的數(shù)稱為這個數(shù)的逆序數(shù)，比如89的逆序數(shù)為98.如

果一個兩位數(shù)等于其逆序數(shù)與1的平均數(shù)，這個兩位數(shù)是.

【例4］幾百年前，哥倫布發(fā)現(xiàn)美洲新大陸，那年的年份的四個數(shù)字各不相同，它們的和等于

16,如果十位數(shù)字加1,則十位數(shù)字恰等于個位數(shù)字的5倍，那么哥倫布發(fā)現(xiàn)美洲新大

陸是在公元年。

［例5］小明今年的年齡是他出生那年的年份的數(shù)字之和.問：他今年多少歲？

【例6］將一個數(shù)A的小數(shù)點向右移動兩位，得到數(shù)Bo那么B+A是B-A的倍。（結

果寫成分數(shù)形式）

【例7］一個十位數(shù)字是0的三位數(shù)，等于它的各位數(shù)字之和的67倍，交換這個三位數(shù)的個位

數(shù)字和百位數(shù)字，得到的新三位數(shù)是它的各位數(shù)字之和的倍。

【例8］一個三位數(shù)，個位和百位數(shù)字交換后還是一個三位數(shù)，它與原三位數(shù)的差的個位數(shù)字是

7,試求它們的差。

［例9］三位數(shù)％比三位數(shù)仍〃小99,若a,b,c彼此不同，貝!最大是

【例10】一個三位數(shù)abc與它的反序數(shù)而的和等于888,這樣的三位數(shù)有個。

【例111將2,3,4,5,6,7,8,9這八個數(shù)分別填入下面的八個方格內（不能重復），可以組

成許多不同的減法算式，要使計算結果最小，并且是自然數(shù)，則這個計算結果是

【鞏固】用1,2,3,4,5,7,8,9組成兩個四位數(shù)，這兩個四位數(shù)的差最小是

【例12］在下面的等式中，相同的字母表示同一數(shù)字，若46cd=口997,那么口中應

填。

【例13］某三位數(shù)"c和它的反序數(shù)cba的差被99除，商等于與的差;

【鞏固】7與應的差被9除，商等于與的差；

【鞏固】7與應的和被11除，商等于與的和。

［例14］xy,zw各表示一個兩位數(shù)，若孫+zw=139,則x+y+z+w=。

【例15】把一個兩位數(shù)的十位與個位上的數(shù)字加以交換，得到一個新的兩位數(shù).如果原來的兩位

數(shù)和交換后的新的兩位數(shù)的差是45,試求這樣的兩位數(shù)中最大的是多少？

【例16】一個兩位數(shù)的中間加上一個0,得到的三位數(shù)比原來兩位數(shù)的8倍小1,原來的兩位數(shù)

是O

【例17】已知一個四位數(shù)加上它的各位數(shù)字之和后等于2008,則所有這樣的四位數(shù)之和為多少.

【鞏固】已知必cd+必c+ab+a=137O,求?；?d.

【例18】abed,abc,ab,a依次表示四位數(shù)、三位數(shù)、兩位數(shù)及一位數(shù)，且滿足

abed—abc—ab—a=1787,則這四位數(shù)或。

【例19】將一個四位數(shù)的數(shù)字順序顛倒過來，得到一個新的四位數(shù)（這個數(shù)也叫原數(shù)的反序數(shù)）,

新數(shù)比原數(shù)大8802.求原來的四位數(shù).

【鞏固】將四位數(shù)的數(shù)字順序重新排列后，可以得到一些新的四位數(shù).現(xiàn)有一個四位數(shù)碼互不相

同，且沒有0的四位數(shù)它比新數(shù)中最大的小3834,比新數(shù)中最小的大4338.求這

個四位數(shù).

【例20]如果一個自然數(shù)的各個數(shù)碼之積加上各個數(shù)碼之和，正好等于這個自然數(shù)，我們就稱這

個自然數(shù)為“巧數(shù)”。例如，99就是一個巧數(shù)，因為9X9+(9+9)=99?？梢宰C明，

所有的巧數(shù)都是兩位數(shù)。請你寫出所有的巧數(shù)。

【例21】聰聰和明明做猜數(shù)游戲，聰聰讓明明任意寫出一個四位數(shù)，明明就寫了明年的年號

2008,聰聰讓明明用這個四位數(shù)減去它各個數(shù)位上的數(shù)的和，明明得到

2008-(2+0+0+8)=1998,聰聰又讓明明將所得的數(shù)隨便圈掉一個數(shù)，將剩下的數(shù)說

出來，明明圈掉了8,告訴聰聰剩下的三個數(shù)是1,9,9o聰聰一下就猜出圈掉的是8,

明明感到莫名其妙，于是又做了一遍這個游戲，最后剩下的三個數(shù)是6,3,7,這次明

明圈掉的數(shù)是多少，聰明你猜出來了么？

【例22】設八位數(shù)A=%具有如下性質：的是A中數(shù)碼0的個數(shù)，%是4中數(shù)碼1的個

數(shù)，……，%是人中數(shù)碼7的個數(shù)，則4ZQ+Q]+做+CL-]—o

%+%+%=，該八位數(shù)A=o

模塊二、復雜的位值原理拆分

【例23】有3個不同的數(shù)字，用它們組成6個不同的三位數(shù)，如果這6個三位數(shù)的和是1554,

那么這3個數(shù)字分別是多少？

【鞏固】有三個數(shù)字能組成6個不同的三位數(shù)，這6個三位數(shù)的和是2886,求所有這樣的6個三

位數(shù)中最小的三位數(shù)的最小值.

【例24】從1?9九個數(shù)字中取出三個，用這三個數(shù)可組成六個不同的三位數(shù)。若這六個三位數(shù)

之和是3330,則這六個三位數(shù)中最小的可能是幾？最大的可能是幾？

【例25】用1,9,7三張數(shù)字卡片可以組成若干個不同的三位數(shù)，所有這些三位數(shù)的平均值是多

少？

[例26]a,b,c分別是09中不同的數(shù)碼，用a,b,c共可組成六個三位數(shù)，如果其中五個三

位數(shù)之和是2234,那么另一個三位數(shù)是幾？

【例27】在兩位自然數(shù)的十位與個位中間插入0?9中的一個數(shù)碼，這個兩位數(shù)就變成了三位數(shù),

有些兩位數(shù)中間插入某個數(shù)碼后變成的三位數(shù)，恰好是原來兩位數(shù)的9倍。求出所有這

樣的三位數(shù)。

【例28】一輛汽車進入高速公路時，入口處里程碑上是一個兩位數(shù)，汽車勻速行使，一小時后看

到里程碑上的數(shù)是原來兩位數(shù)字交換后的數(shù)。又經一小時后看到里程碑上的數(shù)是入口處

兩個數(shù)字中間多一個0的三位數(shù)，請問：再行多少小時，可看到里程碑上的數(shù)是前面這

個三位數(shù)首末兩個數(shù)字交換所得的三位數(shù)。

【例29】有一個兩位數(shù)，如果把數(shù)碼3加寫在它的前面，則可得到一個三位數(shù)，如果把數(shù)碼3加

寫在它的后面，則可得到一個三位數(shù)，如果在它前后各加寫一個數(shù)碼3,則可得到一個

四位數(shù).將這兩個三位數(shù)和一個四位數(shù)相加等于3600.求原來的兩位數(shù).

【例30］將4個不同的數(shù)字排在一起，可以組成24個不同的四位數(shù)（4x3x2x1=24）.將這24

個四位數(shù)按從小到大的順序排列的話，第二個是5的倍數(shù)；按從大到小排列的話，第二

個是不能被4整除的偶數(shù)；按從小到大排列的第五個與第二十個的差在3000~4000之

間.求這24個四位數(shù)中最大的那個.

【例31】記四位數(shù)痂為X,由它的四個數(shù)字a",c,d組成的最小的四位數(shù)記為X*,如果

X-X*=999,那么這樣的四位數(shù)X共有個.

【例32】9000名同學參加一次數(shù)學競賽，他們的考號分別是looo,looi,1002,“吆???.小明發(fā)現(xiàn)

他的考號是8210,而他的朋友小強的考號是2180.他們兩人的考號由相同的數(shù)字組成

（順序不一樣），差為2010的倍數(shù).那么，這樣的考號（由相同的數(shù)字組成并且差為

2010的倍數(shù)）共有對.

【例33］有一類三位數(shù)，它的各個數(shù)位上的數(shù)字之和是12,各個數(shù)位上的數(shù)字之積是30,所有

這樣的三位數(shù)的和是多少？

【例34】一個三位數(shù)除以11所得的商等于這個三位數(shù)各位數(shù)碼之和，求這個三位數(shù)是多少？

模塊三、巧用方程解位值原理

【例35］有一個兩位數(shù)，如果把數(shù)碼1加寫在它的前面，那么可以得到一個三位數(shù)，如果把1寫

在它的后面，那么也可以得到一個三位數(shù)，而且這兩個三位數(shù)相差414,求原來的兩位

數(shù)yltr.。

【鞏固】有一個三位數(shù)，如果把數(shù)碼6加寫在它的前面，則可得到一個四位數(shù)，如果把6加寫在

它的后面，則也可以得到一個四位數(shù)，且這兩個四位數(shù)之和是9999,求原來的三位數(shù)。

【例36］如果q6x7=a06,那么ab等于幾？

【例37】已知1+2+3++n5>2）的和的個位數(shù)為3,十位數(shù)為0,則〃的最小值是

【例38］把7位數(shù)2ABCDEF變成7位數(shù)ABCDEF2,已知新7位數(shù)比原7位數(shù)大3591333,聰

明的寶貝來求求：（1）原7位數(shù)是幾，（2）如果把漢罡拼暨母順序編為1?26號，且

以所求得原7位數(shù)的前四個數(shù)字組成的兩個兩位數(shù)萬和死所對應的拼音字母拼成一

個漢字，再以后三個數(shù)字〃，E,戶分別對應的拼音字母拼成另一個漢字，請寫出由這兩

個漢字組成的詞。

【鞏固】把5寫在某個四位數(shù)的左端得到一個五位數(shù)，把5寫在這個四位數(shù)的右端也得到一個五

位數(shù),已知這兩個五位數(shù)的差是22122,求這個四位數(shù)。

【例39］如果把數(shù)碼5加寫在某自然數(shù)的右端，則該數(shù)增加All11,這里/表示一個看不清的數(shù)