數(shù)值分析課后部分習(xí)題答案

習(xí)題一(P.14)

1.下列各近似值均有4個(gè)有效數(shù)

字,X*=0.001425/=13.52u*=2.300,試指出它們的絕對(duì)誤差和相

對(duì)誤差限.

解X*=0.001428=0.1428x10-2有4個(gè)有效數(shù)，即”=4,m=-2

由有效數(shù)字與絕對(duì)誤差的關(guān)系得絕對(duì)誤差限為

1x10"n=-xl0-6,

22'

由有效數(shù)字與相對(duì)誤差的關(guān)系得相對(duì)誤差限為

_Lxl0(n-l)=lxl0-3.

2at2'

y*=13.521=0.13521x102有4個(gè)有效數(shù)，即〃=4,m=2

由有效數(shù)字與絕對(duì)誤差的關(guān)系得絕對(duì)誤差限為

-xlOmM=-xl02,

22'

由有效數(shù)字與相對(duì)誤差的關(guān)系得相對(duì)誤差限為

—xl0(n_1)=-xl0-3；

2at2'

z*=2.300=0.2300x1()1有4個(gè)有效數(shù)，即〃=4,m=l

由有效數(shù)字與絕對(duì)誤差的關(guān)系得絕對(duì)誤差限為

-xlO"H=-xl0-3,

22'

由有效數(shù)字與相對(duì)誤差的關(guān)系得相對(duì)誤差限為

——xl0-(n_1)=-xl0-3.

2.下列各近似值的絕對(duì)誤差限都是;X10-3,試指出它們各

有幾位有效數(shù)字.

x*=2.00021,y=0.032,z*=0.00052

解x*=2.00021=0.200021x101,即，"=1

由有效數(shù)字與絕對(duì)誤差的關(guān)系得|xl0-=1xl0-3,

即m-n=-3?所以，〃=2；

1

y*=0.032=0.32X10,即帆=1

由有效數(shù)字與絕對(duì)誤差的關(guān)系得|xl0-=1x10-,

即加一〃=一3,所以，〃二4；

Z*=0.00052=0.52x10-3,即m=-3

由有效數(shù)字與絕對(duì)誤差的關(guān)系得|xl0-?=|xl0-3,

即m-n=-3,所以，n=0.

4.設(shè)有近似數(shù)x*=24Ly*=1.84,z*=2.35且都有3位有效數(shù)

字，試計(jì)算S=x*+y*z*,問S有幾位有效數(shù)字.

解方法一

因x*=2.41=0.241x10',/=1.84=0.184x10',zs=2.35=0.235x10'都

有3位有效數(shù)字，即〃=3,m=l,則

k(x*)|<-xlO,n-H=-xl0-2,|e(v*)|<-xio,n-n=-xio-2,

2222

|e(Z*)|<-xlOm-n=-xl0-2,

22

|e(y*z*)|?|z*e(y*)+y*e(z*)|<z*|e(y*)I+y*Ie(z*)|

<2.35x-xl0-2+1.84x-xl0-2=2.095xlO-2,

22

=0.2595x10'<-xlO',,

2，

又x*+y*z*=2.41+1.84x2.35=0.6734x1(V,此時(shí)》i=l,m-n=-l,

從而得"=2.

方法一

因x*=2.41=0.241x10],y*=1.84=0.184x10]*=2.35=0.235x1()1都

有3位有效數(shù)字,即〃=3,機(jī)=1,則

,*、1*10-2

k(x*)|<-xiom-n=-xl0-2,

22x*2.41

/—x10~

./|。(y*)2

k(j*)|<-xiom-"=-xl0-2,W(y*)l=l*141,

22y*1.84M4

,八-xlO-2

k(z*)|<-xlO,n-H=-xlO-2,W(z*)|=l區(qū)。，u

22z,i2.35

\er(y*z*)|?|er(y*)+er(z*)I,

B(x*+/z*)忖3■°"*)+式高^"*加

2.41,,*、，1.84x2.35

<---------------------e,(x*)+-----------------------|er(j*)+er(z*)|

2.41+1.84x2.35r2.41+1.84x2.35

1x10-2L84x-xl0-22.35x110-2

<------------------4-------------------+------------------

2.41+1.84x2.352.41+1.84x2.352.41+1.84x2.35

<0.3854x10-2,<1_*io",

2，

由有效數(shù)字與絕對(duì)誤差的關(guān)系得"=2.

5.序列9｝有遞推公式

笫=10打-1-1,（〃=1,2，?一）

若為=四句.41（三位有效數(shù)字），問計(jì)算%的誤差有多大，這

個(gè)計(jì)算公式穩(wěn)定嗎？

解用5表示典的誤差，由為=正，L41,得/=0.0042,

由遞推公式X,=10x,_l-l,（n=l，2,-）,知計(jì)算卅的誤差為

%=0.42xlO8,因?yàn)槌跏颊`差在計(jì)算的過程中被逐漸的放大，

這個(gè)計(jì)算公式不穩(wěn)定.

習(xí)題2（P.84）

3.證明力以*）=,對(duì)所有的工

A=0

其中乙（*）為L(zhǎng)agrange插值奇函數(shù).

證明令/（*）="則/（項(xiàng)）=1,

從而L“（X）=￡?A（X）/（X&）=￡?A（X）,

A=0A=0

又居"）=系界%

可得，"（*）=/（=）,從而為4（*A.

A=0

4.求出在x=0,L2和3處函數(shù)/（*）=爐+1的插值多項(xiàng)

式.

解方法一因?yàn)榻o出的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為4,而/僅）。從

而余項(xiàng)

/■(A)

^(x)=^—^?4(x)=0,

于是《X)=/(X)-&(X)=f(x)=x2+l

(幾次插值多項(xiàng)式對(duì)次數(shù)小于或等于的多項(xiàng)式精確成

立).

方法二因?yàn)槎?)=L/(1)=2,/(2)=5,/(3)=10,

(x-l)(x-2)(x-3)=

°(0-1)(0-2)(0-3)6,

1(1-0)(1-2)(1-3)2'

x(x-l)(x-3)=_1x(x_1)(x_3)

2(2-0)(2-l)(2-3)2，

x(x-l)(x-2)=lx(x_1)(x_2

3(3-0)(3-1)(3-2)6'

2

從而x>Hx)7(40\I僅計(jì)QINx(O3(21=x+.

5.設(shè)/(x)wC2a刃且/(a)=/s)=o,求證

2

mSj|/(x)^5(ft-?)maxir(x)l.

證明因仆)=/S)=0,則4(x)=o,

從而f(x)=Rl(x)=J^-(x-a)(x-b),

/?

l

\色

芬x

a^—

6z

由極值知識(shí)得Xx/blx((<04-<Ivbl

6.證明△(/(x)g(x*)/&劣且傳出/僅).

證明由差分的定義

A(f(x)g(x))=f(x+h)g(x+h)-/(x)g(x)

=[f[x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)]+[f(x)g(x+h)-/(x)g(x)]

=/(x)-Ag(x)+A/Cx)-g(x+h)

或著A(/(x)g(x^)/僅為注僅一九)f

=[f[x+h)g(x+h)-f(x+/t)g(x)]+[/(x+h)g(x)-/(x)g(x)]

=/(x+/z)-Ag(x)+AfCx)-g(x)

7.證明〃階差商有下列性質(zhì)

⑷如果方(x)=d(x),則歹[了0，/，,xii]=cf[x0,xl,，王

S)如果b(x)=/(x)+g(x),則

尸=/[4,巧，，茗』+磯，X/J

證明由差商的定義

3)如果JF(X)=</(X),則

*XXX]=**1，*2，，X”卜**0，/，，X"-J

0，'"￡7。

cf[x^99‘巧''X〃-l

x-X

c/，X”]V[x(),Xi，，x”-i

-=cf[x^x^,xj.

%7。

(。)如果尸(X)=/(%)+g(x),則

jrrr]卜尸[%0,X]?,，％一1

網(wǎng)看,與，9xn]=——---------------------------

[/[再，*2，，x,」+磯/，*2，，x/i-iyixo,x”+g[x°,巧,

/卜],*2，,X"*0，*1,,X"[]+g[X],12，，X"]一皿X。，*1,，Xn-t

=f[x0,xx,，茗』+磯項(xiàng)”巧，，茗』

8.設(shè)/(x)=3，+4x4+3x+l,求/3「刃7，/啰,*,28].

解由P.35定理7的結(jié)論(2),得

7階差商,27]=3(/(X)的最高次方項(xiàng)的系

數(shù))，

8階差商/啰,21,2)0(8階以上的差商均等與0).

9.求一個(gè)次數(shù)不超過4次的多項(xiàng)式P(x),使它滿足：

尸(0)=尸'(0)=0,尸⑴=尸'⑴=1,尸⑵=1.

解方法一先求滿足插值條件求0)=。,P⑴=1,尸⑵=1的

二次插值多項(xiàng)式

13

1(x)=-插值基函數(shù)或待定系數(shù)法),

<P(x)=j?(x)+Ax(x-l)(x-2)+Bx2(x-l)(x-2)

132

——x*2+—x+Ax(x—l)(x—2)+JRX2(X—l)(x—2)

3

從而尸'(x)=4Bx3+(3A-9B)x2+(-6A+4B-l)x+(24+-),

2

?1

再由插值條件P'(0)=0,p⑴=1,得4=-15=w，

」133i

所以P(x)=-2x2+2X-D(x-2)+^/(%-1)(工-2))

i39

即產(chǎn)⑺二54

方法二設(shè)P(x)=00+/*+4*2+43*3+。4工4,

23

則P'(x)=a,+2a2x+3a5x+4?4x

由插值條件尸(0)=P'(0)=0,21)=P")=1,尸(2)=1,得

?o=°

=0

<a[]+%+4+/+&=1

%+2。2+3%+4a4=1

Q0+2。]+4〃2+8〃3+16a4=1

解得?2=^皿3=34一，

從而尸(*)=54-|/+#.

方法三利用埃爾米特插值基函數(shù)方法構(gòu)造.

10.下述函數(shù)S(x)在［1,3］上是3次樣條函數(shù)嗎?

x3—3x~+2x+1,1<x<2

S(x)=?

-X3+9X2-22X+17,2<X<3

3x2—6好2,<1

解因?yàn)镾'(x)T-3X2+1J8-22,<X2<'

6x-6,1<x<2

S"(x)=《

一6x+18,2<x<3

而SX(2)=1=S2(2),S；⑵=2=S；(2),S")=6=S式2),

又S(x)是三次函數(shù)，所以函數(shù)S(x)在［1,3］上是3次樣條函數(shù).

補(bǔ)設(shè)試?yán)肔-余項(xiàng)定理寫出以-1,0,1,2為插值

節(jié)點(diǎn)的三次插值多項(xiàng)式.

解因?yàn)?.(》)=t?4(x)=x(x+l)(x-l)(x-2),

從而(x)=/(x)-(x)=2x3+X2-2x

習(xí)題3(P.159)

1.設(shè)3(x)%為［。向上具有權(quán)函數(shù)。(幻？0的正交多項(xiàng)式組

且外(幻為首項(xiàng)系數(shù)為1的女次的多項(xiàng)式，則｛a(X)｝建于［。，勿線

性無關(guān).

解方法一因?yàn)椋铫派蠟楸叵蛏暇哂袡?quán)函數(shù)3(x)2。的正

交多項(xiàng)式組，則其Gram行列式不等于零，采用反證法：若

｛外,0,…必｝于向線性相關(guān)，于是，存在不全為零…,c”,使

c00o(x)+C留(X)++c*“(x)=O,xe［a,b］

上式兩邊與％作內(nèi)積得到

%3,。0)+5@,01)++c“(e，/)=O,(i=O,l,,n)

由于用不全為零，說明以上的齊次方程組有非零解

故系數(shù)矩陣的行列式為零，即G以陰，…必｝=0與假設(shè)

矛盾.

方法二因?yàn)橹?x)｝建為［a,b］上具有權(quán)函數(shù)o(x)N0的正交

多項(xiàng)式組，則其Gram行列式不等于零，由(P.95)定理2得

3(X)臉于［a,句線性無關(guān).

2.選擇a,使下述積分取得最小值

22

(a)JJx-ax]dr,(b)(ex-ax)2dx

ja

解⑷島ax2^dx=J^-^—[x—ax2fdx

=「2[x-ax2]-(-x2)dr=—ax5V_--a,

1x

JT55

令f1[x-ax2]2dx=0.得a=0.

SaJ-i

())-—f(e"—ocx)"dx=F—(e"-ax)~dx

oaJijda

=|^2(ex—ax)-(-x)dx=^~一2

令——\\ex-ax]dJF得a=3.

8aJ°,

3.設(shè)，3=Lx￡[1,3],試用“W，x｝求〃九）一次最佳平方逼近

x

多項(xiàng)式.

解取權(quán)函數(shù)為。⑺=N為了計(jì)算簡(jiǎn)便），則

3

,3

(1,1)=J：xdx=5=4,(1,x)=(x,l)=￡3x2dx==26

石'

,43

3

X=20,

3

：：；f31

(/(x),l)=Jxdx=M=2,(/(x),x)=[一x2dx=-=4,

J1X2?

261f_12

得法方程:yN=RL解得廣飛,

2（1“見43

所以/（X）的一次最佳平方逼近多項(xiàng)式P|（x）=dx.

8.什么常數(shù)C能使得以下表達(dá)式最小?

￡(f(x"CeW

i=\

a“〃

解云￡(/(x，)—Ce*)2=2片/(a)-Ce*)(-e*),

℃i=li=l

力/(xjd

(

令怒CQ,)，得。=1=1_____________/(x),eO

x

力e%(e,e^)

r=l

14.用最小二乘法求解矛盾方程組

2x+3y=1

<x-4j=-9.

2x-y=-l

31

x+—V==—

22

解方法一方程組可變形為x-4y=-9

x—V=—

22

t3

原問題轉(zhuǎn)化成在已知三組離散數(shù)據(jù)—4

/⑴T

下求一次最小二乘逼近函數(shù)々(x)=x+y*X與y為一次函數(shù)

的系數(shù),t為自變量),取用基｛1,4,求解法方程

37

31

即

5-6

31

31

x+—y=—

22

方法二方程組可變形為x-4j=-9

11

x—V=—

22

令/(x,y)=(x+—j--)2+(x-4j+?2+(x--j+-)2

2222

a3iii

—/(x,j)=2x(x+—j--)+2x(x-4j+?+2x(x——y+—)

dx2222

=6x-6y+18,

=—+—37

A

/

x-j=-3

令

<axA，得（37,

—3xH2，y—3

、av

37

X=-----

解之得矛盾方程組的解為21.

56

y——

31

習(xí)題4

7.對(duì)列表函數(shù)

/(x)O152127

求八5方廣⑸.

解一階微商用兩點(diǎn)公式（中點(diǎn)公式），得

/（8）-/（2）=10

二階微商用三點(diǎn)公式(中點(diǎn)公式)，首先用插值法求/⑸，

由/(4)=5J⑻=21,得一次插值函數(shù)。(x)=4x-11,

從而/(5今乙(=5),

于是，r(5),/(2)-2/(5)+/(8)=4

8.導(dǎo)出數(shù)值數(shù)分公式

13hh3

/(3，W?-7TI/^+T^)-3/U+-)+3/(X--)-/(X--/7)]

nZ222

并給出余項(xiàng)級(jí)數(shù)展開的主部.

解由二階微商的三點(diǎn)公式(中點(diǎn)公式)，得

ff，(x-3*+g)-2/(X-g)+-，

2222

h、1r￡?/3k、c//h工,h

f+―）?-Tjlfix+—）-2/（x4---）+/（x——）］

,,/，f（x+T）-/"X--

從而/,3（、）?--------------

13hh3

=7y［/（^+—^）~3/（x+—）+3/（x--）-/（x--/i）］

n2222

將+/（x+\f（x-\/（X-"）分別在x處展開，得

2222

331313

/（x+-/i）^（x）+r（x）.-/i+-r（x）.（-/i）2+-/<3,（x）.（-/i）3

+1r4＞（x）.（3無尸+1/⑸（x）.（3力5+。（無5）

17⑴

f（x+4m）+/'（X）4+±r'（x）?（/+白/⑶（X）.分

+]/（4）（X）-A4+（5）（）s（s）

2fx-A+0h⑵

f（X~~~）=f（x）+/'（x）?（一g）+\/”（X）,（一；）2+*/⑶（工）?（一^）3

+/，）.（一夕+9⑸（X）.（一夕+o（⑹⑶

331313

f(x——h)=f(x)+—+—/<3)(x).(——/z)3

//j：/

i3i3

+-f^(x)-(--h)4+-f^(x)-(--h)s+O(h5)(4)

i/3?乙

(1)—(2)X3+(3)X3—(4),得

-+--=-^f{5}(x)h2+O(h2),

2"2228

即余項(xiàng)主部為⑸(x)〃

o

習(xí)題5(P.299)

3.設(shè)Ae/T”為對(duì)稱矩陣，且q產(chǎn)0,經(jīng)高斯消去法一步后,

A約化為7?，試證明&亦是對(duì)稱矩陣.

0

證明設(shè)…旬蟲力其中

a”Q]

則經(jīng)高斯消去法一步后，A約化為,1

0nA--a

_an

因而…為對(duì)稱矩陣，則A為對(duì)稱矩陣,

且q=a,易知4=A為對(duì)稱矩陣.

a\\

設(shè)10099

13.9998

(1)計(jì)算II4ILJIAII2；

(2)計(jì)算a〃或A%,及CO〃I(A)2.

解(1)計(jì)算||AL=199,

A=1跟98，其特征值為九=99±7^位，

又人=修匐為對(duì)稱矩陣，則的特征值為

式2=(99士廊五)2,因此||刈2=〃□不不="^彳=99+網(wǎng)底；

198-991

⑵A=一［.991。。］,.g199,

所以Co〃d(閨8=||AIL?IIA_1IL=9801,

k=-二；；；為對(duì)稱矩陣，其特征值為4,2=-99±囪詼，

則(1)74-'=(4-')2的特征值為42=(99±V9802)2,因此

IIA-'||2==A1ax(1)2=99+V9802

2

所以Cond(A)2=||AH2.||4Tli?=(99+V9802)

15.設(shè)AGR"X",XGR",求證

(i)||xL<H<w||<；

(2)^||<<||4^ll<.

證明⑵由(i)11Moe<||磯<加|3得體仁男g(shù)||L，

iniiMILvMM】v〃MML

」而廠問一下「

從而max卜4max%"<max"R：’,

IIHL-R”M…H

由算子范數(shù)的定義

=max=max

WTVxwK”W

得［MIL<Mlle咻Ah

17.設(shè)WeR"*"為非奇異陣，又設(shè)辰||為R"上一向量范數(shù)，

定義旬,求證：IIMw是僧上向量的一種范數(shù)(稱為

向量的w一范數(shù)).

證明①正定性，因*為一向量，下

證忖lw=O0x=。，

“=”若但J=0即||*|=0,由向量范數(shù)的正定性得

Wx=0,We/T"為非奇異陣，所以x=O；

“u”若x=0,則Wx=0，由向量范數(shù)的正定性得||VKr||=0

即聞=。?

②齊次性，任意實(shí)數(shù)a有||ax||w=l|Wax||=||aW同，由向

量范數(shù)的齊次性，得

ll?^L=1卬。刈=||01網(wǎng)|=同|咯：||=同閏.；

③三角不等式，任意實(shí)數(shù)有

||x+j||w=||W(x+y)||=||VI^4-V^||,

再由向量范數(shù)的三角不等式，得

x+

\\y\\w==\\yVx+Wy\\<\\WK\\4-||V^