2018-2019學(xué)年山東省濟(jì)南市歷下區(qū)八年級（下）期末數(shù)學(xué)試卷

2018-2019學(xué)年山東省濟(jì)南市歷下區(qū)八年級（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的）

1.（4分）道路千萬條，安全第一條，下列交通標(biāo)志是中心對稱圖形的為(

A.C.

2.（4分）把代數(shù)式2,-18分解因式，結(jié)果正確的是（）

A.2(x2-9)B.2(x-3)2

C.2(x+3)(x-3)D.2(x+9)(x-9)

3.（4分）一元二次方程，+4x+l=0配方后可化為)

A.(x+2)2=5B.(x-2)2-5=0C.(x+2)2=3D.(X-2)2-3=0

2_2

4.（4分）化簡工尸—的結(jié)果為（)

x+xy

x+yx-y

A.-工B.-yC.D.

Xxx

5.（4分）關(guān)于x的分式方程2二2三且一有增根，則a的值為（

x+3x+3

A.-3B.-5C.0D.2

6.（4分）如圖，把線段A8經(jīng)過平移得到線段CD,其中A,8的對應(yīng)點分別為C,D.已

知A(-1,0),3(-2,3),C(2,1),則點。的坐標(biāo)為()

5(-2.3)

4(-1,0)

A.(1,4)B.(1,3)C.(2,4)D.(2,3)

7.（4分）如圖，A、B兩地被池塘隔開，小康通過下列方法測出了A、B間的距離：先在

A3外選一他點C,然后測出AC,的中點M、N,并測量出的長為18祖，由此他

就知道了A、8間的距離.下列有關(guān)他這次探究活動的結(jié)論中，錯誤的是（)

A

A.AB=36mB.MN//ABC.MN=—CBD.CM=Lc

22

8.（4分）某農(nóng)場開挖一條480米的渠道，開工后，實際每天比原計劃多挖20米，結(jié)果提

前4天完成任務(wù)，若設(shè)原計劃每天挖x米，那么所列方程正確的是（）

480480480480

A.x+x+20B.xx+4-2°

480_480

C.D.=2

xx+20我x-4連x。

9.（4分）如圖，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△即C.若點A,D,E在同一條直

線上，則NE4c的度數(shù)是（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

10.（4分）如圖，nABCD的對角線AC,8。交于點。，AC±AB,AB=遙，BO=3,那么

AC的長為（）

A.2A/5B.V5C.3D.4

11.（4分）如圖，一次函數(shù)y=-2x+3的圖象交x軸于點A,交y軸于點B,點P在線段

AB上（不與點A,B重合），過點P分別作和OB的垂線，垂足為C,D.當(dāng)矩形OCPD

的面積為1時，點P的坐標(biāo)為（）

y

A.（工，2）B._1

24

C.（b1）或（工，2）D.（1,1）或（工，A）

242

12.（4分）如圖，平行四邊形A8CZ）中，對角線AC、8。相交于O,BD=2AD,E、F、G

分別是OC、OD.的中點，下列結(jié)論:

①2E_LAC；

②EG=GF；

③AEFG當(dāng)AGBE；

④EA平分/GEF；

⑤四邊形是菱形.

其中正確的是（）

A.①②③B.①③④C.①②⑤D.②③⑤

二、填空題（本大題共6個小題，每小題4分，共24分，）

13.（4分）分解因式：a-2o+l=.

2_Q

14.（4分）分式^——的值為0,那么x的值為.

x+3

15.（4分）若一個多邊形的內(nèi)角和等于其外角和的2倍，則它是邊形.

16.（4分）已知關(guān)于x的方程，+乙-3=0的一個解為1,則它的另一個解是.

17.（4分）如圖，在矩形A2CD中，BC=20cm,點尸和點0分別從點B和點。同時出發(fā),

按逆時針方向沿矩形ABCD的邊運動，點P和點Q的速度分別為3cmis和2cm/s,當(dāng)四

邊形ABPQ初次為矩形時，點P和點Q運動的時間為s.

18.（4分）如圖，△ABC為等邊三角形，AB=6,AD_LBC,點E為線段上的動點，連

接CE,以CE為邊作等邊連接。R則線段。尸的最小值為.

三、解答題（本大題共7個小題，共78分.請寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

19.（18分）解下列方程

（1）堂.-剪”45；

x2x

（2）x（x-2）=x-2；

（3）f+4x=8.

20.（8分）如圖，在oABCZ）中，點E,尸在對角線AC上，且AE=CF.求證：

（1）DE=BF-,

（2）四邊形E是平行四邊形.

在因式分解中，把多項式中某些部分看作一個整體，用一個新的字母代替（即換元），不

僅可以簡化要分解的多項式的結(jié)構(gòu)，而且能使式子的特點更加明顯，便于觀察如何進(jìn)行

因式分解，我們把這種因式分解的方法稱為“換元法”.

下面是小涵同學(xué)用換元法對多項式（X2-4X+1）（X2-4X+7）+9進(jìn)行因式分解的過程.

解：設(shè)/-4x=y

原式=（y+1）（y+7）+9（第一步）

=/+8y+16(第二步)

=(y+4)2(第三步)

=(x2-4x+4)2(第四步)

請根據(jù)上述材料回答下列問題：

(1)小涵同學(xué)的解法中，第二步到第三步運用了因式分解的；

A.提取公因式法B.平方差公式法C.完全平方公式法

(2)老師說，小涵同學(xué)因式分解的結(jié)果不徹底，請你寫出該因式分解的最后結(jié)

果：;

(3)請你用換元法對多項式(X2+2X)(X2+2X+2)+1進(jìn)行因式分解.

22.(10分)在Rt^ABC中，ZBAC=90°,。是8c的中點，E是4。的中點，過點A作

AF//BC交BE的延長線于點F.

(1)求證：LAEF絲ADEB；

23.(10分)如圖是一張長20cm>寬12c7九的矩形紙板，將紙板四個角各剪去一個邊長為無C7?z

的正方形，然后將四周突出部分折起，可制成一個無蓋紙盒.

(1)這個無蓋紙盒的長為cm,寬為cm；(用含尤的式子表示)

(2)若要制成一個底面積是180cm2的無蓋長方體紙盒，求尤的值.

24.(12分)如圖①，四邊形A3C。和四邊形CEPG都是正方形，且BC=2,CE=2加,

正方形ABC。固定，將正方形CEFG繞點C順時針旋轉(zhuǎn)a角(0°<a<360°).

圖①圖②圖③

(1)如圖②，連接BG、DE,相交于點H,請判斷BG和OE是否相等？并說明理由；

(2)如圖②，連接AC,在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)AACG為直角三角形時，請直接寫出旋轉(zhuǎn)角

a的度數(shù)；

(3)如圖③，點P為邊跖的中點，連接尸8、PD、BD,在正方形CEFG的旋轉(zhuǎn)過程

中，△2D尸的面積是否存在最大值？若存在，請求出這個最大值；若不存在，請說明理

由.

25.(12分)如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，直線A：y=-/x+6分另Li與x軸、y軸交于點

B、C,且與直線/2：y=L交于點A,以線段AC為邊在直線的下方作正方形ACDE,

2

圖①備用圖

(1)求出A,B,C三點的坐標(biāo).

(2)求直線CD的函數(shù)表達(dá)式.

(3)在(2)的條件下，點尸是射線8上的一個動點，在平面內(nèi)是否存在點0,使得

以。、C、P、。為頂點的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點尸的坐標(biāo)；若不存在，請

說明理由.

四、附加題(每小題0分，共10分)

26.設(shè)機(jī)是滿足不等式1W/W50的正整數(shù)，且關(guān)于x的二次方程(x-2)2+(a-m)2

2mx+cT-2am的兩根都是正整數(shù)，則正整數(shù)m的個數(shù)為.

27.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線/為正比例函數(shù)>=尤的圖象，點A1的坐標(biāo)為(1,0),

過點A作x軸的垂線交直線/于點。1，以45為邊作正方形4SGO1；過點Ci作直

線I的垂線，垂足為A2,交X軸于點&,以A2B2為邊作正方形A222c2。2；過點C2作尤

軸的垂線，垂足為圖,交直線/于點。3，以人3。3為邊作正方形4323c3。3，…，按此規(guī)

律操作下所得到的正方形AMnD,,的面積是.

2018-2019學(xué)年山東省濟(jì)南市歷下區(qū)八年級（下）期末數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的）

1.（4分）道路千萬條，安全第一條，下列交通標(biāo)志是中心對稱圖形的為（）

【分析】結(jié)合中心對稱圖形的概念求解即可.

【解答】解：A、不是中心對稱圖形，本選項錯誤；

8、是中心對稱圖形，本選項正確；

C、不是中心對稱圖形，本選項錯誤；

。、不是中心對稱圖形，本選項錯誤.

故選：B.

【點評】本題考查了中心對稱圖形的概念，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180

度后兩部分重合.

2.（4分）把代數(shù)式2x2-18分解因式，結(jié)果正確的是（）

A.2（%2-9）B.2（尤-3）2

C.2（尤+3）（尤-3）D.2（x+9）（尤-9）

【分析】首先提取公因式2,進(jìn)而利用平方差公式分解因式得出即可.

【解答】解：2,-18=2（%2-9）=2（x+3）（尤-3）.

故選：C.

【點評】此題主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，熟練掌握平方差公式是解題

關(guān)鍵.

3.（4分）一元二次方程，+4x+l=0配方后可化為（）

A.（尤+2）2=5B.（x-2）2-5=0C.（x+2）2=3D.（%-2）2-3=0

【分析】先把常數(shù)項移到方程右側(cè)，再把方程兩邊加上4,然后把方程左邊寫成完全平方

形式即可.

【解答】解：X2+4X=-1,

9

%+4x+4=3,

（x+2）2=3.

故選：C.

【點評】本題考查了解一元二次方程-配方法：將一元二次方程配成（x+m）2=n的形

式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法.

2_2

4.（4分）化簡-的結(jié)果為（）

x+xy

A.-ZB.-yC.0D."

XXX

【分析】先因式分解，再約分即可得.

【解答】解：壽式=吃）（x，y）=口

x2+xyx（x+y）X

故選：D.

【點評】本題主要考查約分，由約分的概念可知，要首先將分子、分母轉(zhuǎn)化為乘積的形

式，再找出分子、分母的最大公因式并約去，注意不要忽視數(shù)字系數(shù)的約分.

5.（4分）關(guān)于尤的分式方程2二2=，_有增根，則a的值為（）

x+3x+3

A.-3B.-5C.0D.2

【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程有增根，確定出x的值，代入整

式方程計算即可求出a的值.

【解答】解：分式方程去分母得：尤-2=m

由分式方程有增根，得到x+3=0,即無=-3,

把尤=-3代入整式方程得：。=-5,

故選：B.

【點評】此題考查了分式方程的增根，增根確定后可按如下步驟進(jìn)行：①化分式方程為

整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值.

6.（4分）如圖，把線段A8經(jīng)過平移得到線段CZ）,其中A,8的對應(yīng)點分別為C,D.己

知A(-1,0),3(-2,3),C(2,1),則點。的坐標(biāo)為(

y

3(-2.3)

C(2.1)

-4(-1.0)0x

A.(1,4)B.(1,3)C.(2,4)D.(2,3)

【分析】根據(jù)點A、C的坐標(biāo)確定出平移規(guī)律，然后根據(jù)規(guī)律求解點。的坐標(biāo)即可.

【解答】解：（-1,0）的對應(yīng)點C的坐標(biāo)為（2,1）,

平移規(guī)律為橫坐標(biāo)加3,縱坐標(biāo)加1,

:點8（-2,3）的對應(yīng)點為

的坐標(biāo)為（1,4）.

故選：A.

【點評】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化-平移，平移中點的變化規(guī)律是：橫坐標(biāo)右移加,

左移減；縱坐標(biāo)上移加，下移減，本題根據(jù)對應(yīng)點的坐標(biāo)確定出平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

7.（4分）如圖，A、B兩地被池塘隔開，小康通過下列方法測出了A、B間的距離：先在

AB外選一他點C,然后測出AC,BC的中點M、N,并測量出的長為18〃z,由此他

就知道了A、2間的距離.下列有關(guān)他這次探究活動的結(jié)論中，錯誤的是（）

A.AB=36mB.MN//ABC.MN^—CBD.CM=Lc

22

【分析】根據(jù)三角形的中位線定理即可判斷；

【解答】解：CN=NB,

J.MN//AB,MN^—AB,

2

:MN=18m,

.\AB=36m,

故A、B、0正確，

故選：C.

【點評】本題考查的是三角形的中位線定理在實際生活中的運用，鍛煉了學(xué)生利用幾何

知識解答實際問題的能力.

8.（4分）某農(nóng)場開挖一條480米的渠道，開工后，實際每天比原計劃多挖20米，結(jié)果提

前4天完成任務(wù)，若設(shè)原計劃每天挖x米，那么所列方程正確的是（）

=2

.螫x羋x+4。

480480

.駕連=2。

【分析】本題的關(guān)鍵描述語是：“提前4天完成任務(wù)”；等量關(guān)系為：原計劃用時-實際

用時=4.

【解答】解：設(shè)原計劃每天挖尤米，則原計劃用時為：堂實際用時為：剪-.

xx+20

所列方程為：480_48^=4）

xx+20

故選：C.

【點評】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，分析題意，找到關(guān)鍵描述語，找到合

適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.

9.（4分）如圖，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△￡￡）（?.若點A,D,E在同一條直

線上，則/EAC的度數(shù)是（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

【分析】用性質(zhì)的性質(zhì)可知△ACE是等腰直角三角形，由此即可解決問題.

【解答】解：由題意：A,D,E共線，

又；CA=CE,ZACE=90°,

：.ZEAC=ZE=45°,

故選：B.

【點評】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活

運用所學(xué)知識解決問題.

10.（4分）如圖，nABC。的對角線AC,8。交于點O,AC±AB,AB=^,80=3,那么

AC的長為（）

A.2A/5B.A/5c.3D.4

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知，OA=OC,OB=OD,由ACL4B,AB=近,BO

=3知，在RtAAOB中利用勾股定理即可解決問題.

【解答】解：：四邊形ABCD是平行四邊形，

C.OA^OC,OB=OD,

,JACLAB,AB=A/5，80=3,

.?.OB2=AB2+OA2,即32=（V5）2+<9A2,

.?Q2=4,

\'OA>Q,

：.OA=2,

：.AC=2OA=4.

故選：D.

【點評】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用平行四

邊形的性質(zhì)解決問題，學(xué)會設(shè)未知數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化為方程去思考，屬于中考?？碱}型.

11.（4分）如圖，一次函數(shù)y=-2r+3的圖象交x軸于點A,交y軸于點8,點P在線段

AB上（不與點A,B重合），過點P分別作。4和OB的垂線，垂足為C,D.當(dāng)矩形OCPD

的面積為1時，點P的坐標(biāo)為（）

A.(-1,2)B.(A,A)

242

C.(1,1)或(工，2)D.(1,1)或(工，立)

242

【分析】設(shè)P(a,-2a+3),則利用矩形的性質(zhì)列出關(guān)于a的方程，通過解方程求得a

值，繼而求得點P的坐標(biāo).

【解答】解：：點P在一次函數(shù)y=-2x+3的圖象上，

可設(shè)尸(a,-2a+3)(a>0),

由題意得〃(-2〃+3)=1,

整理得2a-3?+1=0,

解得。1=1,〃2=工，

2

-2。+3=1或-2。+3=2.

：.P(1,1)或(工，2)時，矩形OCED的面積為1.

2

故選：C.

【點評】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征.一次函數(shù)圖象上所有點的坐標(biāo)都滿

足該函數(shù)關(guān)系式.

12.(4分)如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于。，BD=2AD,E、F、G

分別是OC、OD、的中點，下列結(jié)論：

?BE±AC；

②EG=GF；

③AEFGm4GBE；

@EA平分/GEF；

⑤四邊形BEFG是菱形.

其中正確的是()

A.①②③B.①③④C.①②⑤D.②③⑤

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得OB=BC,由等腰三角形的性質(zhì)可判斷①正確，由直

角三角形的性質(zhì)和三角形中位線定理可判斷②錯誤,通過證四邊形BGFE是平行四邊形,

可判斷③正確，由平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可判斷④正確，由NA4CW30?？?/p>

判斷⑤錯誤.

【解答】解：：四邊形A8CD是平行四邊形

：.BO^DO=—BD,AD=BC,AB=CD,AB//BC,

2

又；BD=2AD,

：.OB=BC=OD=DA,且點E是。C中點，

：.BE±AC,

故①正確，

■:E、尸分別是。C、的中點，

：.EF//CD,EF=LCD,

2

:點G是RtAABE斜邊48上的中點，

/.GE=LB=AG=BG

2

：.EG=EF=AG=BG,無法證明GE=GF,

故②錯誤，

,:BG=EF,AB//CD//EF

四邊形BGFE是平行四邊形，

：.GF=BE,且8G=EF,GE=GE,

：.ABGE冬AFEG(SSS)

故③正確

'：EF//CD//AB,

：./BAC=ZACD^ZAEF,

：AG=G￡,

：.ZGAE=ZAEG,

：.ZAEG^ZAEF,

平分NGEF,

故④正確，

若四邊形8EFG是菱形

;.BE=BG=LAB,

2

；./BAC=30°

與題意不符合

故⑤錯誤

【點評】本題考查了菱形的判定，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角

形中位線定理等知識，靈活運用相關(guān)的性質(zhì)定理、綜合運用知識是解題的關(guān)鍵.

二、填空題（本大題共6個小題，每小題4分，共24分，）

13.（4分）分解因式：a-2a+l^（g-1）2.

【分析】觀察原式發(fā)現(xiàn)，此三項符合差的完全平方公式。2-2"+b2=（a-b）2,即可把

原式化為積的形式.

【解答】解：2。+1—a"-2X1Xa+l~=（a-1）”.

故答案為：（G-1）2.

【點評】本題考查了完全平方公式分解因式，熟練掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點是解題

的關(guān)鍵.

2_o

14.（4分）分式工的值為0,那么尤的值為3.

x+3-------

【分析】分式的值為0的條件是：（1）分子為0；（2）分母不為0.兩個條件需同時具備,

缺一不可.據(jù)此可以解答本題.

【解答】解：由題意可得：-9=0且x+3W0,

解得尤=3.

故答案為：3.

【點評】此題主要考查了分式值為零的條件，關(guān)鍵是掌握分式值為零的條件是分子等于

零且分母不等于零.注意：“分母不為零”這個條件不能少.

15.（4分）若一個多邊形的內(nèi)角和等于其外角和的2倍，則它是六邊形.

【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式與外角和定理列出方程，然后解方程即可.

【解答】解：設(shè)這個多邊形是〃邊形，根據(jù)題意得，

2）780°=2X360°,

解得n=6.

故答案為：六.

【點評】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和公式與外角和定理，熟記性質(zhì)與定理是解題的

關(guān)鍵，需要注意，任意多邊形的外角和等于360。，與邊數(shù)無關(guān).

16.（4分）已知關(guān)于尤的方程，+乙-3=0的一個解為1,則它的另一個解是-3.

【分析】根據(jù)■元二次方程解的定義，將尤=1代入原方程列出關(guān)于左的方程，通過解方

程求得k值；最后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得方程的另一根

【解答】解：將x=l代入關(guān)于x的方程，+丘-3=0,

得：\+k-3=0

解得：k=2,

設(shè)方程的另一個根為。，

則1+。=-2,

解得。=-3,

故方程的另一個根為-3.

故答案是：-3.

【點評】本題考查的是一元二次方程的解集根與系數(shù)的關(guān)系.一元二次方程的根就是一

元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值.即用這個數(shù)代替未知數(shù)

所得式子仍然成立.

17.（4分）如圖，在矩形ABC。中，BC=20cm,點尸和點。分別從點B和點。同時出發(fā),

按逆時針方向沿矩形ABCD的邊運動，點P和點Q的速度分別為3cmis和2cmis,當(dāng)四

邊形ABPQ初次為矩形時，點尸和點。運動的時間為4s.

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，可得3c與的關(guān)系，根據(jù)矩形的判定定理，可得8P=AQ,

構(gòu)建一元一次方程，可得答案.

【解答】解；設(shè)最快X秒，四邊形ABP。成為矩形，由得

3%=20-2x.

解得x=4,

故答案為：4.

【點評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，能根據(jù)矩形的性質(zhì)得出方程是解此題的關(guān)鍵.

18.（4分）如圖，ZXABC為等邊三角形，AB=6,AZ）_LBC,點E為線段4D上的動點，連

接CE,以CE為邊作等邊連接。R則線段。尸的最小值為叁.

一2一

【分析】連接8R由等邊三角形的性質(zhì)可得三角形全等的條件，從而可證△BCP絲ZVICE,

推出NCBF=NCAE=30°,再由垂線段最短可知當(dāng)。尸時，

。/值最小，利用含30°的直角三角形的性質(zhì)定理可求。尸的值.

【解答】解：如圖，連接BE

:△ABC為等邊三角形，AD±BC,AB=6,

：.BC=AC=AB=6,BD=DC=3,ZBAC=ZACB=60°,ZCAE=30°

；ACEF為等邊三角形

：.CF=CE,ZFC￡=60°

:.NFCE=NACB

：.ZBCF=ZACE

.?.在△BCF和△ACE1中

BC=AC

<ZBCF=ZACE

CF=CE

:.ABCF當(dāng)LACE(SAS)

AZCBF=ZCA￡=30°,AE=BF

...當(dāng)。尸_LBF時，。尸值最小

此時N3FD=90°,NCBF=30°,BD=3

:.DF=LBD=W~

22

故答案為：3.

2

【點評】本題考查了構(gòu)造全等三角形來求線段最小值，同時也考查了30。所對直角邊等

于斜邊的一半及垂線段最短等幾何知識點，具有較強(qiáng)的綜合性.

三、解答題(本大題共7個小題，共78分.請寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

19.(18分)解下列方程

(1)480^-^22=45；

x2x

(2)x(x-2)=x-2；

(3)f+4x=8.

【分析】(1)直接利用去分母進(jìn)而解方程得出答案；

(2)直接利用提取公因式法分解因式解方程即可；

(3)直接利用配方法解方程得出答案.

【解答】解：(1)去分母得：960-600=90x,

解得：x=4,

檢驗：當(dāng)x=4時，2xW0,故x=4是原方程的根；

(2)x(x-2)=x-2

(x-2)(x-1)=0,

則x-2=0或x-1=0,

解得：陽=2,入2=1；

(3)%.4x=8

7

x+4%+4=8+4

（無+2）2=12,

故尤+2=±2?,

解得：苞=2正-2,%2=-273-2.

【點評】此題主要考查了因式分解法解方程和配方法解方程，正確掌握相關(guān)解題方法是

解題關(guān)鍵.

20.（8分）如圖，在中，點、E,尸在對角線AC上，且AE=CF.求證：

（1）DE=BF；

（2）四邊形。破/是平行四邊形.

【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定方法，判斷出△AOE0ACBR即可推得。E=8E

（2）首先判斷出。E〃BR然后根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，推得

四邊形DEBF是平行四邊形即可.

【解答】證明：（1）,??四邊形是平行四邊形，

J.AD//CB,AD=CB,

：.ZDAE=ZBCF,

在△&￡>￡1和△CB6中，

'AD=CB

-ZDAE=ZBCF

LAE=CF

MADE沿ACBF,

：.DE=BF.

(2)由(1),可得AADE咨ACBF,

：.ZADE^ZCBF,

,：/DEF=ZDAE+ZADE,NBFE=ZBCF+ZCBF,

：.NDEF=ZBFE,

：.DE//BF,

又,：DE=BF,

...四邊形。破尸是平行四邊形.

【點評】此題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，以及全等三角形的判定和性

質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握.

21.(8分)閱讀下列材料：

在因式分解中，把多項式中某些部分看作一個整體，用一個新的字母代替(即換元)，不

僅可以簡化要分解的多項式的結(jié)構(gòu)，而且能使式子的特點更加明顯，便于觀察如何進(jìn)行

因式分解，我們把這種因式分解的方法稱為“換元法”.

下面是小涵同學(xué)用換元法對多項式(，-4x+l)(，-4x+7)+9進(jìn)行因式分解的過程.

解：設(shè)，-4x=y

原式=(y+1)(y+7)+9(第一步)

=j2+8y+16(第二步)

=(y+4)2(第三步)

=(尤2-4x+4)2(第四步)

請根據(jù)上述材料回答下列問題：

(1)小涵同學(xué)的解法中，第二步到第三步運用了因式分解的^；

A.提取公因式法B.平方差公式法C.完全平方公式法

(2)老師說，小涵同學(xué)因式分解的結(jié)果不徹底，請你寫出該因式分解的最后結(jié)果：(x

(3)請你用換元法對多項式(f+2x)(X2+2X+2)+1進(jìn)行因式分解.

【分析】(1)根據(jù)完全平方公式進(jìn)行分解因式；

(2)最后再利用完全平方公式將結(jié)果分解到不能分解為止；

(3)根據(jù)材料，用換元法進(jìn)行分解因式.

【解答】解：(1)故選：C;

(2)(x2-4x+l)(x2-4x+7)+9,

設(shè)/-4x=y,

原式=(y+1)(y+7)+9,

2

=y+8y+16,

=(y+4)

=(x2-4x+4)2,

=(x-2)4；

故答案為：(x-2)4；

(3)設(shè)x2+2x=y,

原式=y(y+2)+1,

=y+2y+l,

=(y+1)2,

=(x2+2x+1)?，

=(x+1)4.

【點評】本題考查了因式分解-換元法，公式法，也是閱讀材料問題，熟練掌握利用公

式法分解因式是解題的關(guān)鍵.

22.(10分)在Rt^ABC中，ZBAC=9Q°,。是BC的中點，E是的中點，過點A作

A尸〃BC交BE的延長線于點F.

(1)求證：4AEF絲ADEB；

【分析】(1)根據(jù)44s證△AFEg/XOBE；

(2)利用(1)中全等三角形的對應(yīng)邊相等得到AF=BD.結(jié)合已知條件，利用“有一

組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”得到AOC尸是菱形，由“直角三角形斜邊的

中線等于斜邊的一半”得到AD=OC,從而得出結(jié)論.

【解答】證明：(1)-：AF//BC,

：.NAFE=ZDBE,

是的中點，是邊上的中線，

C.AE^DE,BD=CD,

在△AFE和中，

,ZAFE=ZDBE

>ZFEA=ZBED-

,AE=DE

:.△AFE9ADBE(A4S)；

(2)由(1)知，4AFE咨ADBE,貝U

\"DB=DC,

J.AF^CD.

'：AF//BC,

四邊形ADCF是平行四邊形，

'：ZBAC=9Q°,。是BC的中點，E是的中點，

：.AD^DC=-BC,

2

，四邊形AOC尸是菱形.

【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的判定，菱形的判定的應(yīng)用，

主要考查學(xué)生的推理能力.

23.（10分）如圖是一張長20cM1、寬12cm的矩形紙板，將紙板四個角各剪去一個邊長為xc%

的正方形，然后將四周突出部分折起，可制成一個無蓋紙盒.

（1）這個無蓋紙盒的長為（20-2x）cm,寬為（12-2x）cm；（用含x的式子

表示）

（2）若要制成一個底面積是180aJ的無蓋長方體紙盒，求尤的值.

【分析】（1）根據(jù)矩形紙板的長、寬，結(jié)合剪去正方形的邊長可得出無蓋紙盒的長、寬；

（2）根據(jù)矩形的面積公式結(jié)合無蓋長方體紙盒的底面積為14452,即可得出關(guān)于x的一

元二次方程，解之取其較小值即可得出結(jié)論.

【解答】解：（1）.??紙板是長為20cm寬為12ow的矩形，且紙板四個角各剪去一個邊

長為xcm的正方形，

.?.無蓋紙盒的長為（20-2x）cm,寬為（12-2%）cm.

故答案為：（20-2x）；（12-2x）.

（2）依題意，得：（20-2x）（12-2x）=180,

整理，得：x-16x+15=0,

解得：Al=1,X2=15（不合題意，舍去）.

答：尤的值為1.

【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解

題的關(guān)鍵.

24.（12分）如圖①，四邊形A3CD和四邊形CEFG都是正方形，且BC=2,CE=2瓜

正方形ABC。固定，將正方形COG繞點C順時針旋轉(zhuǎn)a角(0°<a<360°).

圖①圖②圖③

(1)如圖②，連接BG、DE,相交于點H,請判斷BG和。E是否相等？并說明理由；

(2)如圖②，連接AC,在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)AACG為直角三角形時，請直接寫出旋轉(zhuǎn)角

a的度數(shù);

(3)如圖③，點P為邊EE的中點，連接尸8、PD、BD,在正方形CEFG的旋轉(zhuǎn)過程

中，△8。尸的面積是否存在最大值？若存在，請求出這個最大值；若不存在，請說明理

由.

【分析】(1)由四邊形ABCD和四邊形CEFG都是正方形知BC=C￡>,CF=CE,ZBCD

=ZGCE=90°,從而得/BCG=/DCE,證ABCG2ADCE得BG=DE；

(2)分兩種情況求解可得；

(3)由2M知當(dāng)點P到BD的距離最遠(yuǎn)時，ABDP的面積最大，作PHLBD,連

接CH、CP,則P//WCX+CP,當(dāng)尸、C、X三點共線時，PH最大,此時的面積

最大，據(jù)此求解可得.

【解答】解：(1)BG=DE,

四邊形ABCD和四邊形CEFG都是正方形,

:.BC=CD,CF=CE,/BCD=/GCE=90°,

：.ZBCD+ZDCG=NGCE+/DCG,即NBCG=NDCE,

:ABCG經(jīng)XDCE(SAS),

：.BG=DE；

(2)如圖1,ZACG=90°時，旋轉(zhuǎn)角a=/OCG=45°；

如圖2,當(dāng)NACG=90°時，旋轉(zhuǎn)角a=360°-NDCG=225°；

(3)存在,

圖3

:在正方形A8CZ)中，BC=2,

:.BD=4^fiC=2亞

，當(dāng)點P到BD的距離最遠(yuǎn)時，Z\BDP的面積最大，

PH±BD,連接CH、CP,貝！l/WWCW+CP,

當(dāng)P、C、H三點共線時，PH最大,此時的面積最大,

：?！?2料，點尸為跖的中點，

:?EP=版,

此時CH=-^BD=\[^jCP=RCE?+EP2==]0,

?*?SABDP=LBD?PH=LX2Mx（V2+V10）=2+2遙.

22

【點評】本題是四邊形的綜合問題，解題的關(guān)鍵是掌握正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全

等三角形的判定與性質(zhì)等知識點.

25.（12分）如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，直線小y=-L+6分別與x軸、y軸交于點

2

B、C,且與直線方y(tǒng)=L交于點A,以線段AC為邊在直線/i的下方作正方形ACOE,

2

圖①備用圖

（1）求出A,B,C三點的坐標(biāo).

（2）求直線CD的函數(shù)表達(dá)式.

（3）在（2）的條件下，點尸是射線CZ）上的一個動點，在平面內(nèi)是否存在點。使得

以。、C、P、。為頂點的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點尸的坐標(biāo)；若不存在，請

說明理由.

【分析】（1）利用一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可求出點8,C的坐標(biāo)，聯(lián)立直線/i，h

的解析式成方程組，通過解方程組可求出點A的坐標(biāo)；

（2）過點A作AfUy軸，垂足為點R則△ACF0△CDO,利用全等三角形的性質(zhì)可求

出點。的坐標(biāo)，根據(jù)點C,。的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出直線C。的解析式；

（3）分0C為對角線及0C為邊兩種情況考慮：①若0C為對角線，由菱形的性質(zhì)可求

出點尸的縱坐標(biāo)，再利用一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可求出點Pi的坐標(biāo)；②若0C為

邊,設(shè)點尸的坐標(biāo)為Cm,2m+6）,分CP=C。和。尸=0C兩種情況，利用兩點間的距

離公式可得出關(guān)于m的方程，解之取其負(fù)值，再將其代入點P的坐標(biāo)中即可得出點尸2,

尸3的坐標(biāo).綜上，此題得解.

【解答】解：（1）當(dāng)x=0時，y—--x+6—6,

2

...點C的坐標(biāo)為（0,6）；

當(dāng)y=0時，--^x+6=0,解得：尤=12,

...點2的坐標(biāo)為（12,0）；

'_1

y=~^x+6

聯(lián)立直線/1，/2的解析式成方程組，得：，

解得：…，

ly=3

...點A的坐標(biāo)為（6,3）.

（2）過點A作AFLy軸，垂足為點R如圖1所示.

:四邊形ACDE為正方形，

：.AC^CD,ZACD^9Q°.

VZACF+ZDCO=90°,ZACF+ZCAF=90°,

：.ZDCO=ZCAF.

，ZAFC=ZC0D=90°

在△ACF和△C。。中，＜AC=CD，

,ZCAF=ZDC0

AACF^ACOO（ASA）,

：.CF=DO.

VA（6,3）,C（0,6）,

；.CF=6-3=3,

.?.點。的坐標(biāo)為（-3,0）.

設(shè)直線CO的解析式為1WO）,

將C（0,6）,。（-3,0）代入＞=丘+6,得：Jb=6

l-3k+b=0

解得：（片2,

Ib=6

直線CD的解析式為y=2x+6.

（3）存在，分輛種情況考慮（如圖2）：

①若0C為對角線，PQ,OC互相垂直平分,

，此時點P的縱坐標(biāo)為工OC=3,