大題創(chuàng)新題完整版練-06-導(dǎo)數(shù)-沖刺2024高考數(shù)學(xué)（解析卷）

大題創(chuàng)新題精練06導(dǎo)數(shù)沖刺2024高考數(shù)學(xué)【突破新題型】（解析卷）參考答案：1．【詳解】（1）由可得：，由題意，，解得；（2）由（1）得，，則，當(dāng)時(shí)，，則在上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，在上是增函數(shù).故時(shí)，函數(shù)有極小值為，無(wú)極大值.故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，函數(shù)有極小值為，無(wú)極大值.2．【詳解】（1）函數(shù)，求導(dǎo)得，則，解得，于是，，所以所求切線(xiàn)方程為：，即.（2）由（1）知，函數(shù)，定義域?yàn)?，求?dǎo)得，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，取得極大值，當(dāng)時(shí)，取得極小值，所以函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，極大值，極小值.3．【詳解】（1）解：因?yàn)槎x域?yàn)?，所以，①?dāng)時(shí)，在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，沒(méi)有減區(qū)間；②當(dāng)時(shí)，令時(shí)，，且，令得，所以的增區(qū)間為．令得，所以的減區(qū)間為（2）解：當(dāng)時(shí)，是的零點(diǎn)，所以即由得，由得．所以過(guò)點(diǎn)作曲線(xiàn)的切線(xiàn)的方程為（*）假設(shè)曲線(xiàn)在點(diǎn)的切線(xiàn)與斜率相等，所以，所以，即把代入（*）式得所以點(diǎn)在切線(xiàn)上．所以直線(xiàn)也是曲線(xiàn)的切線(xiàn)4．【詳解】（1）由，得，因?yàn)?，所以若，則，且，所以在上單調(diào)遞減．若，則，由得，得，由得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）法一、由，可得，且，由得，設(shè)，則，當(dāng)，即時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，恒成立，滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，由得，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，不滿(mǎn)足題意，綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．法二、由，可得，，．設(shè)，則，，由得，即．設(shè)，則．易得，所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，所以恒成立，滿(mǎn)足題意．當(dāng)時(shí)，存在，使得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，不滿(mǎn)足題意．綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．5．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，，，所以切線(xiàn)方程為．（2）當(dāng)時(shí)，，．令，，故在R上單調(diào)遞減，而，因此0是在R上的唯一零點(diǎn)即：0是在R上的唯一零點(diǎn)當(dāng)x變化時(shí)，，的變化情況如下表：x00極大值的單調(diào)遞減區(qū)間為：；遞增區(qū)間為：的極大值為，無(wú)極小值（3）由題意知，即，即，設(shè)，則，令，解得，當(dāng)，，單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減，所以，所以6．【詳解】（1）易知函數(shù)的定義域?yàn)?，可得；令，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，所以；即在上恒成立，因此在上單調(diào)遞增；（2）由（1）可知，即，可得；所以，即可得；即.7．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，函數(shù)的極大值為，沒(méi)有極小值.（2）由題意得.若，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時(shí)的最大值為；若，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，此時(shí)的最大值為；若，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，此時(shí)的最大值為；若，則，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時(shí)的最大值為.綜上可得，.8．【詳解】（1）由題，，函數(shù)的定義域?yàn)?，，因?yàn)橛袃蓚€(gè)極值點(diǎn)，所以方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)根，設(shè)為，且，得，且，得．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．所以在處有極小值，在處有極大值，因此的取值范圍是．（2）因?yàn)椋瑒t，由題意知，得，故，所以，即，即．令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以．令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以．顯然與不同時(shí)為0，所以，故.9．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)椋?，所以，由，解得，此時(shí)單調(diào)遞增；由，解得，此時(shí)單調(diào)遞減，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋深}意知，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，即極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為個(gè)；當(dāng)時(shí)，易知，故解關(guān)于的方程得，，，所以，又，，所以當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，即極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為個(gè).綜上，當(dāng)時(shí)，極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為個(gè)；當(dāng)時(shí)，極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為個(gè).10．【詳解】（1），令，得．因?yàn)?，則，即原方程有兩根設(shè)為，所以（舍去），．則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．（2）由（1）可知．①若，則，即，可得，設(shè)，在上單調(diào)遞減所以至多有一解且，則，代入解得．②若，則，即，可得，結(jié)合①可得，因?yàn)椋?，所以在存在一個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，，所以在存在一個(gè)零點(diǎn)．因此存在兩個(gè)零點(diǎn)，不合題意綜上所述：．11．【詳解】（1）解：設(shè)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，所以在上恒大于零，所以在上不存在零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，根據(jù)增函數(shù)的和為增函數(shù)，所以在上為單調(diào)函數(shù)，所以在上若有零點(diǎn)，則僅有1個(gè)，所以，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍（2）證明：設(shè)，則，則，所以，因?yàn)?，所以，所以在上遞增，在上恒成立，所以在上遞增，而，因?yàn)?，所以，所以恒成立，所以?dāng)時(shí)，12．【詳解】（1）證明，令，則，記，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減：在上單調(diào)遞增，從而在上，，所以在上單調(diào)遞增，因此在上，，即；（2），，，在上，，所以，在上遞增，，即函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)；，記，則，在上遞增，而，故存在，使，當(dāng)時(shí)，遞減，時(shí)，遞增，，而，，在上無(wú)零點(diǎn)，在,上有唯一零點(diǎn)，綜上，當(dāng)時(shí)，在上沒(méi)有零點(diǎn)：當(dāng)時(shí)，在上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)．13．【詳解】（1）由題可得因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增.綜上，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由題意得，斜率，,由得，，即，即令，不妨設(shè)，則，記所以，所以在上是增函數(shù)，所以，所以方程無(wú)解，則滿(mǎn)足條件的兩點(diǎn)不存在.14．【詳解】（1）由則又，所以即；（2）由（1）可知設(shè)則，則當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，又，，所以在上無(wú)零點(diǎn)，在上有一個(gè)零點(diǎn)；從而在上有1個(gè)零點(diǎn).15．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，則，，所以．（2）當(dāng)時(shí)，，，所以.令，，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.（3）若，隨機(jī)變量所有可能的取值為1，2，，，且．所以，所以，因?yàn)?，故，故，由于，所以，所以，所以，所?16．【詳解】（1）因?yàn)橘?gòu)買(mǎi)單程上山票、單程下山票和雙程票的人數(shù)之比為，所以這10人中，購(gòu)買(mǎi)單程上山票、單程下山票和雙程票的人數(shù)分別為：，，，故隨機(jī)抽取的4人中恰有2人購(gòu)買(mǎi)單程上山票的概率．（2）（i）從人中任選2人，有種選法，其中購(gòu)票類(lèi)型相同的有種選法，則詢(xún)問(wèn)的某組被標(biāo)為B的概率．（ii）由題意，5組中恰有3組被標(biāo)為B的概率，所以，，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，且最大值為．由，且，得．當(dāng)時(shí)，5組中恰有3組被標(biāo)為B的概率最大，且的最大值為．17．【詳解】（1）因?yàn)椋驗(yàn)?，所?所以在上單調(diào)遞增，所以．（2），①要證，只需證明，由（1）知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，對(duì),.即，所以.則，，，，兩邊相乘得，又因?yàn)樗猿闪ⅲ谟傻茫?，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，要證，只需證明．又，所以只需證明即．又因?yàn)?，所以?8．【詳解】（1）令，則，令函數(shù)，則，顯然在上連續(xù)，且在上可導(dǎo)，由羅爾定理，存在，使得，即，所以.（2）依題意，，不妨令，則恒成立，由（1）得，于是，即，因此，令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，其值域?yàn)?，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.（3）令函數(shù)，顯然函數(shù)在上可導(dǎo)，由（1），存在，使得，又，則，因此，而，則，即，所以.19．【詳解】（1）不是，理由如下：由已知，由解得，，又，，不妨設(shè)切點(diǎn)為，，在點(diǎn)處的切線(xiàn)的方程為，即，在點(diǎn)的切線(xiàn)方程為，即與直線(xiàn)不重合，所以直線(xiàn)不是曲線(xiàn)的“雙重切線(xiàn)”．（2）由題意，函數(shù)和都是單調(diào)函數(shù)，則可設(shè)切點(diǎn)為，且，所以在點(diǎn)處的切線(xiàn)的方程為，在點(diǎn)的切線(xiàn)方程為，所以，消去得，設(shè)（），則，所以是減函數(shù)，又，所以在時(shí)只有一解，所以方程的解是，從而，在點(diǎn)處切線(xiàn)方程為，即，在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，即，所以“雙重切線(xiàn)”方程為；（3）證明：設(shè)對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)為，，對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)為，，由于，所以，，由余弦函數(shù)的周期性，只要考慮的情形，又由余弦函數(shù)的圖象，只需考慮，情形，則，，其中，所以，又，，即，，時(shí)，，，令（），則，，在上單調(diào)遞減，又，所以，所以，此時(shí)，則，所以．20．【詳解】（1）設(shè)，由于，所以不成立，故不是區(qū)間上的2階無(wú)窮遞降函數(shù).（2）設(shè)，則，設(shè)，則，所以，得.（3）令，則原不等式等價(jià)于，即證，記，則，所以，即有對(duì)任意，均有，所以，因?yàn)?，所以，所以，證畢!21．【詳解】（1）函數(shù)，對(duì)變量求導(dǎo)得：，當(dāng)時(shí)，.（2）令，則，解得或，于是函數(shù)在約束條件的可能極值點(diǎn)是，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的一個(gè)極值為函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的一個(gè)極值為函數(shù)，方程視為關(guān)于x的方程：，則，解得，視為關(guān)于y的方程：，則，解得，因此函數(shù)對(duì)應(yīng)的圖形是封閉的，而，所以的最大值為.（3）①由，，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以.②當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以時(shí)，取得最小值4.22．【詳解】（1）根據(jù)定義可知：，（2）①