2023-2024學年高一數學2019單元復習試題單元復習10三角恒等變換提高題

單元復習10三角恒等變換一、單選題1．（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用誘導公式及兩角和的正弦公式求解.【詳解】因為,故選：D2．已知，則的值是(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根據已知條件，利用余弦的二倍角公式用表示，然后再結合誘導公式即可求解.【詳解】因為，所以，即，因為，所以.故選：B．3．若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由二倍角正弦公式和同角關系將轉化為含的表達式，由此可得其值.【詳解】．故選：A.4．若，是第三象限角，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由同角三角函數的基本關系可求得的值，再利用弦化切以及二倍角的正弦和余弦公式可求得所求代數式的值.【詳解】，是第三象限角，，因此，，故選：A.【點睛】方法點睛：三角函數的化簡求值的規(guī)律總結：（1）給角求值：一般給出的角是非特殊角，需觀察所給角與特殊角的關系，利用三角變換轉化為特殊角的三角函數問題；（2）給值求值：即給出某些角的三角函數值，求另外一些角的三角函數值，解題關鍵在于“變角”，使相關角相同或具有某種關系；（3）給值求角：實質上可轉化為“給值求值”，即通過求角的某個三角函數值來求角（注意角的取值范圍）.5．已知函數，，則（

）A．的最大值為 B．在區(qū)間上只有個零點C．的最小正周期為 D．為圖象的一條對稱軸【答案】D【分析】首先利用二倍角公式及輔助角公式將函數化簡，再結合正弦函數的性質計算可得；【詳解】解：函數，可得的最大值為2，最小正周期為，故A、C錯誤；由可得，即，可知在區(qū)間上的零點為，故B錯誤；由，可知為圖象的一條對稱軸，故D正確．故選：D6．已知α，β均為銳角，且3sinα＝2sinβ，3cosα＋2cosβ＝3，則α＋2β的值為（

）A． B． C． D．π【答案】D【分析】解方程組求出的正余弦，求出tanα＝，tan2β＝－，再求出tan(α＋2β)＝0，即得解.【詳解】由題意得(1)2＋(2)2得cosβ＝，cosα＝，由α，β均為銳角知，sinβ＝，sinα＝，∴tanβ＝2，tanα＝，∴tan2β＝－，∴tan(α＋2β)＝0．因為所以α＋2β∈，∴α＋2β＝π.故選：D．二、多選題7．下列式子正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】對于A，利用兩角差的正弦余弦公式求出的值即可，對于B，利用兩角和的余弦公式求解，對于C，求出的值代入化簡即可，對于D，利用兩角和的正切公式求解【詳解】對于A，因為，，所以，所以A正確，對于B，因為，所以B錯誤，對于C，因為，所以，所以C正確，對于D，因為，所以，所以，所以D正確，故選：ACD8．已知，，其中，為銳角，以下判斷正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】利用同角三角函數的基本關系可得，再由兩角差的余弦公式以及積化和差公式逐一判斷即可.【詳解】解：因為，，其中，為銳角，所以：，故A正確；因為，所以，故B錯誤；可得，故C正確；可得，所以，故D錯誤．故選：AC．9．關于函數的描述正確的是（

）A．其圖象可由的圖象向右平移個單位得到B．在單調遞增C．在有2個零點D．在的最小值為【答案】CD【分析】利用誘導公式、二倍角公式、兩角和的正弦公式化函數為一個角的一個三角函數形式，然后根據正弦函數性質判斷．【詳解】，由的圖象向右平移個單位，得到，所以選項A錯誤；令，，得其增區(qū)間為，，在單調遞增，在單調遒減，所以選項B錯誤；令，，得：，，又，所以x取，，所以選項C正確；當，即時，，，所以選項D正確.故選：CD.【點睛】方法點睛：本題考查兩角差的正弦公式，二倍角公式，考查正弦函數的性質．此類問題的解題方法是：利用二倍角公式降冪，利用誘導公式、兩角和與差的正弦（余弦）公式展開與合并，最終把函數化為形式，然后結合正弦函數性質求解．三、填空題10．若，，則___________.【答案】【分析】由余弦的和差角公式得，，進而得【詳解】解：因為，所以.因為，所以，所以，，所以.故答案為：11．已知，則函數的最小值是______.【答案】1【分析】令，則，結合二次函數的性質求解即可【詳解】,令，則，，對稱軸為，開口向上，因為，，，所以函數在上單調遞減，所以當，即時，函數的最小值為，即函數的最小值是，故答案為：四、解答題12．已知，，（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據兩角差的正切公式可求得的值；（2）利用兩角和與差的正弦、余弦公式化簡得到，再用兩角差的正切公式展開代值進去計算即可.【詳解】（1），，，解得.（2）.13．已知函數．（1）求的最小正周期；（2）求當時，的值域．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）展開兩角差的正弦，再由輔助角公式化簡，利用周期公式求周期；（2）由x的范圍求出相位的范圍，再由正弦函數的有界性求f（x）的值域．【詳解】1，，的最小正周期為；2，，，的值域是．【點睛】本題考查兩角和與差的三角函數，三角函數的周期性，三角函數值域等問題，考查三角函數和差公式、二倍角公式及圖像與性質的應用，難度不大，綜合性較強，屬于簡單題.一、單選題1．對于任意，下列等式不能恒成立的（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據二倍角的正余弦公式可判斷AB，由切化弦的方法可判斷C，取特殊值可判斷D.【詳解】由二倍角的正弦公式可知A正確；由可得，由二倍角的余弦公式可知B正確；當時，由可知C正確；當取時，左邊，右邊=，故D不正確.故選：D2．已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】結合所求式子的結構特征將分子?分母同時除以，得到，然后結合已知條件和二倍角公式?誘導公式進行求解.【詳解】因為，所以，所以，所以，故選：A.3．已知函數，將的圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象，則下列說法正確的是（

）A．在上單調遞增 B．的最小正周期是C．的圖象關于原點對稱 D．的圖象關于直線對稱【答案】A【分析】化簡，根據三角函數圖像變換的性質得到函數的解析式，再根據三角函數的性質分析各選項得出答案.【詳解】，則，其最小正周期為，故B錯誤；，所以C錯誤；令，解得，當時，，因為，所以在上單調遞增，則A正確；令．解得．因為，所以，則D錯誤．故選：A.4．已知，將的圖象向右平移個單位，再向上平移1個單位，得到的圖象.若對，都有成立，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據三角恒等變換化簡，在求出變換后的函數，，根據對，都有成立，可得函數關于點對稱，再根據正弦函數的性質求出，從而可計算出答案.【詳解】解：，將的圖象向右平移個單位，再向上平移1個單位，得，令，因為對，都有成立，所以對，都有成立，所以函數關于點對稱，所以，則，所以.故選：B.5．已知函數，若函數的圖象與直線在上有3個不同的交點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】應用二倍角正余弦公式及輔助角公式可得，由已知有在上有3個實根，求出對應范圍，根據正弦函數的性質求參數范圍.【詳解】由，與直線在上有3個不同交點，即在上有3個實根，由得：，所以，解得．故選：A．6．已知把函數的圖象向右平移個單位長度，再把橫坐標縮小到原來一半，縱坐標不變，得到函數的圖象，若，若，，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先化簡函數，然后根據圖像的變換得函數的解析式，通過判斷得，同時令取得最大值或最小值時，，再結合函數的圖像，即可求得的最大值.【詳解】．將圖象向右平移至個單位長度，再把橫坐標縮小到原來一半，縱坐標不變，得到函數，可得，所以，，∴，同時令取得最大值或最小值時，．當，時，，根據函數的圖象可知的最大值為個周期的長度，即故選：C.【點睛】關于三角函數解析式的化簡，一般先利用誘導公式或者和差公式展開將解析式化為同角，然后利用降冪公式對函數進行降次處理，最后利用輔助角公式代入化簡，最終將解析式化為的形式.二、多選題7．關于函數，下列判斷正確的是（

）A．的圖象的對稱中心為 B．函數的最小正周期為C．在上存在單調遞減區(qū)間 D．有最大值2和最小值2【答案】AB【分析】運用誘導公式和正弦的二倍角公式化簡，，利用正弦函數的性質逐一判斷可得選項.【詳解】解：函數且，由得，即，所以，，對于A，令，得，所以的圖象的對稱中心為，故A正確；對于B，因為，，所以最小正周期，故B正確；對于C，令，得，所以在上不存在單調遞減區(qū)間，故C不正確；對于D，因為，，所以，所以，所以函數不存在最大值，不存在最小值，故D不正確；故選：AB.8．已知函數，下列說法正確的有（

）A．函數在上單調遞減B．函數是最小正周期為的周期函數C．若，則方程在區(qū)間內，最多有4個不同的根D．函數在區(qū)間內，共有6個零點【答案】ACD【分析】可判斷函數為偶函數，討論的范圍，化簡可得函數單調性，畫出函數的圖象即可判斷.【詳解】，為偶函數，當時，，所以，又，由在為減函數可得在上單調遞減，故A正確；當時，由可得，所以函數在且上為增函數，在且上為減函數，當時，由可得，所以函數在且上為增函數，在且上為減函數，做出函數圖象如圖，又因為函數為偶函數，故不是周期函數，故B錯誤；方程在區(qū)間內根的個數，等價于與的圖象的交點個數，由圖象可知最多有4個交點，故C正確；由函數圖象可得在區(qū)間有6個零點，故D正確.故選：ACD.9．已知函數，.若存在，使得對任意，，則（

）A．任意B．任意C．存在，使得在上有且僅有2個零點D．存在，使得在上單調遞減【答案】BD【分析】化簡函數，根據任意，，得到是函數的最小值點，可判定A不正確；由函數的最小正周期為，得到為函數的最大值點，可判定B正確；由區(qū)間上，此時，可判定C錯誤；取，可判定D正確.【詳解】由題意，函數，其中，因為對任意，，即是函數的最小值點，所以函數關于對稱，所以，所以A不正確；由函數的最小正周期為，所以為函數的最大值點，所以，所以B正確；因為，且是函數的最小值點，可得，所以在區(qū)間上，此時，故不存在，使得在上有且僅有2個零點，所以C錯誤；取，則在內，單調遞減且，所以單調遞減，所以D正確.故選：BD.【點睛】解答三角函數的圖象與性質的基本方法：1、根據已知條件化簡得出三角函數的解析式為的形式；2、熟練應用三角函數的圖象與性質，結合數形結合法的思想研究函數的性質（如：單調性、奇偶性、對稱性、周期性與最值等），進而加深理解函數的極值點、最值點、零點及有界性等概念與性質，但解答中主要角的范圍的判定，防止錯解.三、填空題10．已知函數在上的值域為，則的取值范圍為______.【答案】【分析】化簡得，其中，，，再結合三角函數的性質可求解.【詳解】由題意得，其中，，，令，.因為，，故，因為，且，所以，，故，則.又當時，單調遞減，且，，故.【點睛】本題考查利用三角恒等變換解決三角函數性質問題，屬于較難題.11．已知函數的圖象的相鄰兩個對稱軸之間的距離為，且恒有，若存在成立，則b的取值范圍為________．【答案】【分析】利用三角恒等變換可得，結合其性質求得，，即可得，根據正弦函數的性質確定的最值，最后由不等式恒成立求參數范圍即可.【詳解】由題設，，由相鄰兩個對稱軸之間的距離為，故，又關于對稱，即，故，解得，∴，當時，，此時的最大值為，最小值為，若存在，使成立，則只需，∴．故答案為：四、解答題12．化簡或計算下列各式.(1);(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）根據誘導公式化簡整理即可得答案；（2）根據二倍角公式和同角三角函數關系化簡即可得答案.(1)解：(2)解：13．若函數，.(1)當時，求函數的最小值；(2)若函數在區(qū)間上的最小值是，求實數的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）當時，，當時，函數的值最小，求解即可；（2）由于，分，，三種情況討論，再結合題意，可得實數的值．(1)解：依題意得若，則

又，所以的值域為所以當時，取得最小值為(2)解：∵

∴所以當時，，所以，不符合題意當時，，解得當時，，得，不符合題意綜上所述，實數的值為.14．已知函數滿足關系式其中是常數.（1）設，求的值;（2）若，請你寫出滿足要求的一個函數及一個的值并說明理由；（3）設令，當時，試判斷函數是否存在零點并說明理由.【答案】（1）；（2）；（3）存在，詳見解析.【解析】（1）根據，得到解析式，再求解.（2）根據，利用二倍角公式和輔助角法得到，再根據得到結果.（3）先根據得到，進而得到的解析式，然后用零點存在定理判斷.【詳解】（1）因為，所以，所以；（2）因為，，，，所以；（3）因為所以，，所以，，因為所以當時，函數存在零點.【點睛】本題主要考查誘導公式，兩角和與差的三角函數以及零點存在定理，還考查了運算求解的能力，屬于難題.15．已知數的相鄰兩對稱軸間的距離為.（1）求的解析式；（2）將函數的圖像向右平移個單位長度，再把橫坐標縮小為原來的（縱坐標不變），得到函數的圖像，當時，求函數的值域.（3）對于第（2）問中的函數，記方程在，上的根從小到依次為，試確定n的值，并求的值.【答案】（1）；（2）；（3），.【分析】（1）利用降冪公式與輔助角公式化簡，再根據相鄰兩對稱軸間的距離為，所以求解即可；（2）根據三角函數的圖象變換得到，再結合正弦函數的圖象性質求解值域即可；（3）結合三角函數圖象，畫圖分析的位置，再根據對稱性的性質結論求解即可【詳解】（1）由題意，函數因為函數圖像的相鄰兩對稱軸間的距離為，所以，可得.故（2）將函數的圖像向右平移個單位長度，可得的圖像.再把橫坐標縮小為原來的，得到函數的圖像.當時，，當時，函數取得最小值，最小值為，當時，函數取得最大值，最大值為，故函數的值域.（3）由方程，即，即，因為，可得，設，其中，即，結合正弦函數的圖像，可得方程在區(qū)間有5個解，即，其中，即解得所以.一、單選題1．（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學?？寄M預測）已知為角終邊上一點，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據角終邊上的點的坐標，求得角的正弦值，繼而求得，代入求值，即得答案.【詳解】由題意知為角終邊上一點，則，故，故，故選：A2．（2023·甘肅蘭州·校考一模）等于（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】由，觀察可得，代入根據兩角差的正弦定理展開整理即可得出答案.【詳解】因為，所以.故選：C.3．（2023·湖南長沙·統(tǒng)考一模）若，則的值為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由已知可得，進而求出.將化為二次齊次式，即可求出結果.【詳解】由可得，，所以，所以.故選：A.4．（2023·湖北·校聯考模擬預測）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用同角三角函數基本關系式切化弦，求出，根據即可求出的值.【詳解】，得，所以，所以，又，故選：A.5．（2022·全國·校聯考模擬預測）已知函數在區(qū)間上是增函數，且在區(qū)間上恰好取得一次最大值，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先化簡函數的解析式，再依據題意列出關于的不等式組，即可求得的取值范圍.【詳解】由，可得由在區(qū)間上恰好取得一次最大值，可得，解之得又在區(qū)間上是增函數，則，解之得綜上，的取值范圍是故選：B二、多選題6．（2022·河北邯鄲·統(tǒng)考二模）下列各式的值為的是（

）.A．sin B．sincosC． D．【答案】AD【分析】根據誘導公式，結合二倍角的正弦公式、余弦公式、正切公式逐一判斷即可.【詳解】A：，符合題意；B：，不符合題意；C：，不符合題意；D：，符合題意，故選：AD7．（2023·浙江·永嘉中學校聯考模擬預測）已知函數，將函數的圖象向右平移個單位長度，再把橫坐標縮小為原來的（縱坐標不變），得到函數的圖象，則（

）A．的周期為B．為奇函數C．的圖象關于點對稱D．當時，的取值范圍為【答案】AC【分析】根據三角恒等變換得到，再由函數圖象的變換得到，結合余弦函數的圖象和性質，逐一判斷各個選項即可求解.【詳解】函數，對于A選項：函數的最小正周期為，所以A選項正確；對于B選項：函數的定義域為，，則函數是上的偶函數，所以B選項錯誤；由題意，將函數的圖象向右平移個單位長度得到：，再把橫坐標縮小為原來的（縱坐標不變）得到：，即函數，對于C選項：令（），解得：（），當時，，此時，即函數的圖象關于點對稱，所以C選項正確；對于D選項：當時，，由余弦函數的圖象和性質得：，即，所以D選項錯誤；故選：AC.三、填空題8．（2023·廣東惠州·統(tǒng)考模擬預測）在平面直角坐標系中，角的終邊經過點，則__________．【答案】【分析】法一：利用三角函數的定義求出、的值，再利用二倍角的正弦公式計算可得結果；法二：利用三角函數的定義求出的值，利用二倍角的正弦公式以及弦化切可求得所求代數式的值.【詳解】法一：由三角函數的定義可知，，所以；法二：因為角的終邊經過點，所以，所以．故答案為：.9．（2023·湖北·宜昌市一中校聯考模擬預測）已知多項式滿足對任意，則_________（用數字作答）．【答案】1【分析】根據二倍角公式進行三角恒等變換，化簡后可得即可求解.【詳解】解：由題意得：，由可知：.故答案為：1四、解答題10．（2023·廣東東莞·?？寄M預測）已知函數.(1)求的最小正周期及對稱軸方程；(2)時，的最大值為，最小值為，求，的值.【答案】(1)最小正周期為，對稱軸方程為，(2)，或，【分析】（1）使用兩角和差的正余弦公式、二倍角公式、輔助角公式進行化簡后，即可求得最小正周期和對稱軸方程；（2）結合正弦函數的圖象和性質，分別對和兩種情況進行討論即可.【詳解】