高考數(shù)學(xué)解題方法攻略解題建議理

數(shù)學(xué)高考解題的六點(diǎn)建議

我們對(duì)高考解題的基本建議是（6條）：明確解題過(guò)程；夯實(shí)解題基礎(chǔ)；防止解題錯(cuò)誤；

掌握解題策略；精通三類(lèi)題型；運(yùn)用答題技術(shù).

（1）明確解題過(guò)程；（四步程序）①理解題意②思路探求③書(shū)寫(xiě)解答④回顧反思

（2）夯實(shí)解題基礎(chǔ)；（四個(gè)因素）①知識(shí)因素②能力因素③經(jīng)驗(yàn)因素④情感因素

（3）防止解題錯(cuò)誤；（四種類(lèi)型）①知識(shí)性錯(cuò)誤②邏輯性錯(cuò)誤③策略性錯(cuò)誤④心理性錯(cuò)誤.

（4）掌握解題策略；（四個(gè)策略）①模式識(shí)別②差異分析③層次解決④數(shù)形結(jié)合

（5）精通三類(lèi)題型；①選擇題②填空題③解答題

（6）運(yùn)用答題技術(shù).①提前進(jìn)入角色②迅速摸清“題情”③執(zhí)行“三個(gè)循環(huán)”④做到“四

先四后”（先易后難、先熟后生、先高后低、先同后異）⑤答題“一慢一快”⑥立足中下題目，

力爭(zhēng)高上水平⑦立足一次成功，重視復(fù)查環(huán)節(jié)⑧運(yùn)用解題策略于分段得分：?分解分步一缺

步解答?引理思想一跳步解答?以退求進(jìn)一退步解答?正難則反一倒步解答?掃清外圍一輔

助解答

1測(cè)試復(fù)習(xí)成果提供復(fù)習(xí)導(dǎo)向

1-1第一階段復(fù)習(xí)要做到“四過(guò)關(guān)”

（1）能準(zhǔn)確理解書(shū)中的任一概念；（測(cè)試1,測(cè)試4）

（2）能獨(dú)立證明書(shū)中的每一定理；（測(cè)試1,測(cè)試2）

?定理從兩個(gè)方面提供重要方法；要會(huì)定理的正用、逆用、連用、變用、巧用、活用.

?潘承洞教授1979年出高考題，只出了一道題：“敘述并證明勾股定理”，得分不全國(guó)

做對(duì)的人不到0.01（百里挑-），潘教授不敢承認(rèn)是他出的；1981年考余弦定理呈兩極態(tài)勢(shì):

2010年四川高考證明兩角和的余弦公式，50萬(wàn)考生做對(duì)的僅幾百人（千里挑一），議論紛紛;

2011年陜西考余弦定理，也是議論紛紛；2012年陜西考三垂線定理及逆定理沒(méi)有議論了.

（3）能熟練求解書(shū)中的所有例題；

（4）能歷數(shù)書(shū)中各單元的作業(yè)類(lèi)型.（統(tǒng)計(jì)）

（真正做到“四過(guò)關(guān)”可望高考得120分，得分率0.80）

?課本類(lèi)型統(tǒng)計(jì)

1-2第二階段復(fù)習(xí)要抓住五個(gè)方向

如果說(shuō)第一階段是以縱向?yàn)橹?、順序?fù)習(xí)、全面覆蓋的話，那么第二階段就是以橫向?yàn)?/p>

主，突出重點(diǎn)，抓住熱點(diǎn)，深化提高了.

（1）第一階段中的弱點(diǎn)；

（2）教材體系中的重點(diǎn)；

（3）高考試題中的熱點(diǎn)；

（4）中學(xué)數(shù)學(xué)的解題方法體系；

（5）應(yīng)試的技術(shù):針對(duì)性、實(shí)用性、系列化.

這五個(gè)方面是復(fù)習(xí)工作的繼續(xù)深入與自然提高，也是高考應(yīng)試的宏觀駕馭與有效逼近.

（這五個(gè)方面與近幾年的高考題相結(jié)合，可望高考得130分，得分率0.86）

1-3“四過(guò)關(guān)”測(cè)試

大家“四過(guò)關(guān)”沒(méi)有呢？

測(cè)試1：（是否形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，腦子里有無(wú)思維路線圖）

例1T閉上眼睛，你能回憶起幾條數(shù)學(xué)定理，說(shuō)出幾個(gè)數(shù)學(xué)名詞？越多越好！

?文科必考內(nèi)容:共20個(gè)知識(shí)板塊，約260課時(shí)、180個(gè)知識(shí)點(diǎn)；

?理科必考內(nèi)容：共21個(gè)知識(shí)板塊，約290課時(shí)、210個(gè)知識(shí)點(diǎn).）

例1-2當(dāng)我說(shuō)“函數(shù)”時(shí)，你能想起相關(guān)的多少個(gè)概念和定理？越多越好！（思維概

念圖）

圖1

例1-3對(duì)于sina您能寫(xiě)出多少個(gè)等式？越多越好?。ㄋ季S概念圖）

sina=tan。cosa-±J1—cos2a(同角關(guān)系)

=sin(2?+a)=sin(zr-a)（誘導(dǎo)公式）

=-sin()+a)=-sin(2;r-a)

cosacos/?-cos(a+0)

（和差倍半公式）

sin(3

cos(a一夕)-cosacos0

sinp

cos(a一夕)一cosacos°

cos/?

sin(a+/?)-cosasin(J

cos￡

cosasin〃+sin(a-fl)

cosP

=sin13cos(a-￡)+cos(3sin(a-，)

a

sin2a.aa2吆

--------=2sin—cos—2

2cos(7222a

1+%

2

=±±A/COS2a-COS2a

,、a1-coscr

二(1+cosa)tg—=--------

2a

Zg2

_sin(a+/?)+sin(a-夕)

2cos/?

=2sin￡±^cos￡l#-sin(3

22

ca+B.a-B

=2cos-----sin....-4-sin0

22

測(cè)試2：四過(guò)關(guān)了嗎？（認(rèn)知結(jié)構(gòu)，思維能力，經(jīng)驗(yàn)題感，情感態(tài)度）

例2余弦定理的3個(gè)話題.

例2-1余弦定理記得住、會(huì)證明嗎？

思路1（向量證明）：分析

222

要證a-b+c-2bccosAf

,—21,-2-2一?‘一

只需證BC=AC+AB-2ACAB,

只需證5C2

只需證BC=AC-AB_圖2

如圖2,最后一式顯然成立，故有證明如卜（由繁到簡(jiǎn)、三項(xiàng)變一項(xiàng)）

b2+c2-2hccosA

------*22,.

=AC+AB-2ACAB(把數(shù)量轉(zhuǎn)變?yōu)橄蛄?

2

=—（向量運(yùn)算、變?nèi)?xiàng)為兩項(xiàng)）

=元2（向量運(yùn)算、變兩項(xiàng)為一項(xiàng)）

=力.（把向量還原為數(shù)量）

思路2（坐標(biāo)證明）如圖3,在ABC中，設(shè)4（0,0）,8（演，弘）,。（》2，%），由向量數(shù)

量積的定義,有

圖3

cosA=3*=龍也+廣為（把向量變?yōu)樽鴺?biāo)）

=2$匹+—壬（坐標(biāo)運(yùn)算）

222

(X：+yr)+(x2+y2)-[(^i-^2)+(%一%『

2222

2y/xt+y,y/x2+y2

AD-IA「2_R「2

,(把向量變?yōu)閿?shù)量)

2ABAC

得a2=b2+c2-2bccosa.

可見(jiàn)，余弦定理是向量數(shù)量積定義的一個(gè)特例.

如果氏C在單位圓匕記C(cosa,sina),8(cos尸,sin"),則

/"、—OCOB_cosacos/3+sinasin/3

loci\OB\VCOSa~+sina~yjcos+sin(3~

=cosacos/?+sinasinp.

可見(jiàn)，余弦差角公式是向量數(shù)量積定義的一個(gè)特例.

例2-2一個(gè)流行的幾何證明.

其證明過(guò)程是對(duì)角4分三種情況討論，得出

a2=b2+c2-2bccosA

（1）當(dāng)角A為直角時(shí)，由勾股定理，得

a1=b2+c2

=b2+c2-2bccos9ff

=b'+c2-2bccosA,

所以，當(dāng)角A為直角時(shí)，命題成立.

（2）當(dāng)角A為銳角時(shí)，如圖4,過(guò)點(diǎn)C作對(duì)邊AB的垂線，垂足為。，則

AD=bcosA,BD=c-AD.①

在即DBC,RtD4C中，用勾股定理，得

a1=CD1+BD2,

CD2=h2-AD2,

消去CO并把①代入，得圖4

a2=(h2-AD2)+BD2(消去CO)

=h2-AD2+(c-AD)（把①代入消去8。）

=b2+c2-2cAD(展開(kāi))

=b2+c2-2bccosA,（把①代入消去AO）

所以，當(dāng)角A為銳角時(shí)，命題成立.

（3）當(dāng)角A為鈍角時(shí)，如圖5,過(guò)點(diǎn)C作對(duì)邊A8的垂線，交A4的延長(zhǎng)線于。，有

AD=-bcosA,BD=c+AD.②

在RfDBC.RtD4C中，用勾股定理，得

a1=CD-+BD2,

CD'=b2-AD1,

消去CD并把②代入，得

a2-AD2)+BD2

=b2-AD2+(c+AD)2（把②代入）

=b2+c2+2cAD（展開(kāi)）

=b2+c2-2bccosA,（把②代入）

所以，當(dāng)角A為鈍角時(shí)、命題成立.

綜上（1）、（2）、（3）可得，在A8C中，當(dāng)角A為直角、銳角、鈍角時(shí)，都有

a2=b2+c2-2bccosA.

同理可證k=a2+c2-2bccosB,

c2=a2+b2-2bccosC.

問(wèn)題在于，當(dāng)角A為銳角時(shí)，角3還可以為直角或鈍角（既有知識(shí)性錯(cuò)誤，又有邏輯性錯(cuò)

誤）

例2-3余弦定理的逆命題（怎樣敘述，真假如何）

對(duì)應(yīng)余弦定理的符號(hào)等式，交換條件與結(jié)論，我們給出逆命題為：

逆命題1若a,仇c為正實(shí)數(shù)，a,夕,7?（）,乃），有

aW-2bccosa,

h2=a2+c2-2/7ccos（3,

c~=a2+h~-2hccos/,

則凡Ac對(duì)應(yīng)的線段構(gòu)成一個(gè)三角形，且4邊的對(duì)角為a,b邊的對(duì)角為/7,c邊的對(duì)角為人

證明由0<。<），有-1<COSA<1,得

a2=b2+c2-2bccosA<b2^-c2+2bc=（b+c）“，

又因a,b,c為正實(shí)數(shù)，所以

a<b+c.

同理，由b2=a2+c2-2bccos[3,

c~=+/-2hccos/,

有b<a+c,c<a+b.

所以，。力,c對(duì)應(yīng)的線段可以構(gòu)成一個(gè)三角形.記這個(gè)三角形為ABC,而a邊的對(duì)角

為4,〃邊的對(duì)角為3,c邊的對(duì)角為C,A,8,Cw（O,））,由余弦定理，有

但由已知又有

b2^c2-a2

coscr=

2bc

cosA=cosa,

所以A,ae(0㈤，

由余弦函數(shù)的單調(diào)性，得4=。，即“邊的對(duì)角為a.同理，得6邊的對(duì)角為尸，c邊

的對(duì)角為7.

逆命題2：對(duì)于正實(shí)數(shù)及6e(O,%),若有

a2=b2+c2-2bccos6

則a,b,c對(duì)應(yīng)的線段構(gòu)成一個(gè)三角形，且。邊的對(duì)角為。.

證明由0<夕〈乃，有一1<COS6<1,得

b2+c2-2bc<b2+c2-2bccosA<b2+c2+2bc,

即(b-c)2</<(/,+c)2,

又因a,。,c為正實(shí)數(shù)，有

\h-c\<a<b+c.

所以，對(duì)應(yīng)的線段可以構(gòu)成一個(gè)三角形.記為ABC,而a邊的對(duì)角為A,

Ae(0,/r),由余弦定理，有

b2+c2-a2

cosA=

2bc

但山已知又有

°b2+c2-a2

COS0=-----------

2bc

cosA=cos仇

所以㈤，

由余弦函數(shù)的單調(diào)性，得A=即。邊的對(duì)角為e.

測(cè)試3：四過(guò)關(guān)了嗎？(認(rèn)知結(jié)構(gòu)，思維能力，經(jīng)驗(yàn)題感，情感態(tài)度)

例3-1(空間圖形的最短路程.)如圖6,一圓柱體的底面周長(zhǎng)為24cm,高A3為

4cm,一只螞蟻從點(diǎn)4出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到C點(diǎn)的最短路程B二———iC

為,圖6

解把圓柱體沿母線AB展開(kāi)，得圖7所示的矩形，從A點(diǎn)到C點(diǎn)的最短路程就

是線段AC的長(zhǎng).因?yàn)?c的長(zhǎng)是底面圓的周長(zhǎng)的一半12cm,高A8的長(zhǎng)是4cm,所月-------一，’

以在R/ABC中，由勾股定理得

AC=y]AB2+BC2=V42+122=4>/10cm.

圖7

同意的舉手

不同意的站起來(lái)

反思

（1）合理成分

例3-1中有三個(gè)“化歸”是很好的：

化歸1：把一個(gè)實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題；

化歸2：把一個(gè)空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題；

化歸3：把一個(gè)平面問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形.（用到兩點(diǎn)之間直線距離最短）

（2）認(rèn)識(shí)封閉

但是，在把空間圖形展平時(shí)沒(méi)有注意到由A點(diǎn)到C點(diǎn)有兩類(lèi)路徑：

?只走側(cè)面（有兩條路線），展平后，轉(zhuǎn)變?yōu)椤皟牲c(diǎn)之間直線距離最短”；

?既走側(cè)面又走底面，走側(cè)面時(shí)，轉(zhuǎn)變?yōu)椤皟牲c(diǎn)之間直線距離最短”；走底面時(shí)，也走“兩

點(diǎn)之間的直線距離”.這時(shí)，要用到底面的展平，并且底面展平有多樣性.

“流行的誤解”就在于只看到第一類(lèi)路徑，沒(méi)有看到第二類(lèi)路徑（認(rèn)識(shí)封閉1）,更沒(méi)有

看到第二類(lèi)路徑的多樣性（認(rèn)識(shí)封閉2）.（邏輯性錯(cuò)誤）

如圖8,將圓柱的側(cè)面展開(kāi)為矩形、上底面展開(kāi)為母線A8上方的圓，由“兩點(diǎn)之間直線

距離最短”可以得到兩條直線距離：

第一條，如例3-1所述，是沿側(cè)面展平后的直線距離，有

L1=AC,=JAB2+BC,2=4V10.

第二條，是先沿側(cè)面走母線AB,然后走圓的直徑8C,展平后有

24

L,=46+8。2=4+——.

71

由于4+空<4+2=12<4而，所以L,比L,更小.

n3

那么，是不是任何情況下都有L2<L,呢？

例3-2如圖6,一圓柱體的底面周長(zhǎng)為16c、m，高AB為4cm,一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)

沿著圓柱體的表面爬行到。點(diǎn)的最短路程是（）.

解如圖8,沿用例3T的解法，有

22

匕=ACt=飛AB?+BC：=V4+8=475,

L,=AB+BC,=4+—,

7T

但4+3>4+W=4+5=病〉病=46,所以

7t3.2

那么，什么時(shí)候右小、什么時(shí)候右小呢？

(3)問(wèn)題探索

考慮更一般性的情況.

例3-3如圖6,一圓柱體的底面周長(zhǎng)為2乃「，高AB為h,一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿著圓

柱體的表面爬行到C點(diǎn)，求最短路程.

解如圖8,沿用例3-1的解法，有

L]=AC]=y/AB。+BC：=業(yè),

L-,=AB+BC2=/2+2r.

2

(1)L.-L.,<=>Jh+(7ir\=/?+2/?=C=-

'h^2-4

(2)〃<L,=J/+(4療</?+2ro—<—

'2N\'h/-4

L.>L,oJh2+(7rr\>/?+<=>—>——

1-v7h7T2-4

4r

記常數(shù)二—=0.681為a,可見(jiàn)，4與L,的大小關(guān)系有三種情況：當(dāng)一<a時(shí)，沿側(cè)

乃2—4-h

2

面爬行的路程最短，為4舊+(仃);當(dāng)不>4時(shí)，先豎直向上爬到A的正上方，再沿

直徑爬到C點(diǎn)的路程最短，為L(zhǎng),=/?+2「；當(dāng)二=a時(shí)，兩種爬行方式的路程一樣.

'h

看上去，這種討論已經(jīng)很細(xì)致了，然而，這依然有認(rèn)識(shí)的封閉.

(4)進(jìn)一步思考

事實(shí)上，螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到。點(diǎn)的路徑，除了以上乙,4兩種之外,

還存在無(wú)窮多條從A到C的路徑.如圖9所示右：A-。7。，其中A。是側(cè)面上的最短

距離(側(cè)面展平后的直線距離)，0c是上底面兩點(diǎn)之間的直線距離.

圖9

下面，我們來(lái)討論乙的最值.

設(shè)圓心角N80Z）=a,0<a<7r,則8O=ra,展平后，。為圓與矩形的切點(diǎn)，L,為

折線AOC,在直角A8D中，有

AD=^AB'+BD2=而+標(biāo)1,

在C。。中用余弦定理，有

CD=Jr2+--2r2cos（zr-a）=^2r2+2r2cosa=V2rcosy,

得心的長(zhǎng)度為函數(shù)

S（a）=AD+CD=\jh2+r~a'+2rcosy,（04aV萬(wàn)）.

閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有最大最小值，不作展開(kāi).

測(cè)試4三視圖（江蘇不考）

如圖10,給出正方體.（為了避免相關(guān)方向的線被重合（比如Ag與AO重合），圖形作

了一些技術(shù)性的調(diào)整）

例4-1（1）請(qǐng)畫(huà)出正方體的三視圖.（三個(gè)正方形，請(qǐng)保留）

（2）若在正方體A8CO-4田］「。中截去一個(gè)三棱錐A-得到如圖11的幾何

體，請(qǐng)畫(huà)出圖11的三視圖.（在保留圖上繼續(xù)，結(jié)果為圖12：三個(gè)正方形都加上一條對(duì)角線）

13的三視圖.

圖13

結(jié)果：圖11、圖13的三視圖均為圖12,因?yàn)槿晥D中A片與力G重合，AR與重

合，BQi與BO重合.(不同的幾何體有相同的三視圖)

例4-2(4)若在圖11的基礎(chǔ)上再截去兩個(gè)三棱錐8—ABC，G—耳。2得到如圖

14的幾何體，請(qǐng)畫(huà)出圖14的三視圖.

圖14

(5)再?gòu)膱D14兒何體中截去三棱錐。--得到如圖15的正四面體AC為3,請(qǐng)畫(huà)

Dj

口

月B

出圖15的三視圖.

D1

A

圖15

圖16

0

主視圖左視圖

俯視圖

結(jié)果：圖14、圖15的三視圖均為圖16,因?yàn)閳D14中三棱錐。-AC"的三視圖完全被

圖15的三視圖重合：

正視圖中，圖15的3A重合了圖14的DO』圖15的AC重合了圖14的。C；

左視圖中，圖15的。(重合了圖14的圖15的AC重合了圖14的A。；

俯視圖中，圖15的重合了圖14的A。，圖15的0c重合了圖14的。C.

結(jié)論：不同的幾何體可以有相同的三視圖；同一個(gè)幾何體擺法不同可以有不同的三視

圖.(概念理解、技能熟練)

例4-4(2010年高考數(shù)學(xué)福建卷文科第3題)若一個(gè)底面是正三角

形的三棱柱的正視圖如圖18所示，則其側(cè)面積等于()

(A)73(B)2

(C)2拒(D)6

解由正視圖知，三棱柱是以底面圖17

邊長(zhǎng)為2,高為1的正三棱柱，所以側(cè)面積為3x2x1=6,選(D).

對(duì)不對(duì)？

主視圖為矩形的三棱柱不唯一，

(1)左視圖可以是一般平形四邊(并非矩形)；

(2)底面是正三角形的三棱柱其俯視圖可以不是正三角形；就是說(shuō)，題目給的三棱柱可

以是斜三棱柱.題目無(wú)解.

可以改為求體積

高考修改題1若?個(gè)底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖14所示，則其體積等于

()

(A)V3(B)2

(C)2百(D)6

解依題意，三棱柱的底面邊長(zhǎng)為2,三棱柱的高為1,其體積為

V=Sh=—x22xl=6,選(A).

I4J

高考修改題2若一個(gè)底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖14所示，則其側(cè)面積的取

值范圍為.

解依題意，三棱柱有兩側(cè)面為平行四邊形，平行四邊形的底為2、高為1,面積為2+2=4；

第三個(gè)側(cè)面為矩形，矩形的底為2、高為一1—(。為矩形面與底面的夾角0＜。490°),面積

sin。

2

為得三棱柱的側(cè)面積為

sin。

2

S=4+—(0<^<90°).

sin夕

當(dāng)。增大時(shí)，S增大；當(dāng)6=90°時(shí)，S=6,所以，側(cè)面積的取值范圍為［6,+8)

測(cè)試5形同而質(zhì)異的三角題

例5-1若A8C的角AC滿足

5(cosA+cosC)+4(cosAcosC+1)=0,

?AC

貝nijtan—tan—=.

22

(2011年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試B卷第5題)

例5-2若A8C的角滿足

5(cosA+cosC)-4(cosAcosC+1)=0,

,AC

貝nIItan—tan—=.

22------------

例5-3若ABC的內(nèi)角滿足

4(cosA+cosC)+5(cosAcosC+l)=0,

AC

則nltan—tan—=.

22

例5-4若ABC的內(nèi)角滿足

4(cosA+cosC)-5(cosAcosC+1)=0,

AC

貝nIlItan—tan—=.

22

講解第一、求解.

例5-1若ABC的角A,C滿足

5(cosA+cosC)+4(cosAcosC+1)=0,

AC

貝ni！lJtan—tan—=.

22

,A?2c

1-ta2n—1—tan—

解：因?yàn)閏osA=---------系,cosC=---------尚，代入已知等式并化簡(jiǎn)整理，得

1+tan2—1+tan2—

22

tan2—Atan，--。=9八.

22

ArAr

又因?yàn)橐?一均為銳角，所以tan—tan—〉0,故

2222

AC

tan—tan—=3.

22

(聯(lián)賽題的參考答案)

例5-2若A8C的角4c滿足

5(cosA+cos0-4(cosAcosC+1)=0,

AC

則nltan—tan—=.

22------------

Ari

解：同上，把萬(wàn)能公式代入已知等式并化簡(jiǎn)整理，得tan24tan22=2.

229

ArAr

又因?yàn)椤?，上均為銳角，所以tan?tan\>0,故

2222

可見(jiàn)，兩道題目不僅形式類(lèi)似，其求解步驟也近乎雷同，只有答案3與1的數(shù)值差別，這

3

個(gè)差別與已知兩式中加減號(hào)的不同有關(guān).

例5-3若ABC的內(nèi)角A,C滿足

4(cosA+cosC)+5(cosAcosC+l)=0,

nIAC

貝ijtan—tan—=.

22

I2A1C

1-tan—1-tan2—

解因?yàn)閏osA=--------今,cosC=----------親，代入已知等式并化簡(jiǎn)整理，得

1+tan2—1+tan2—

22

2A*2Cn

tan—tan—=-9.

22

所以，此題無(wú)解.

請(qǐng)分析，為什么例5-1與例5-3兩道錯(cuò)題只是數(shù)字4與5交換了一下位置，就會(huì)形式上

一個(gè)有解、一個(gè)無(wú)解呢？

例5-4若ABC的內(nèi)角滿足

4(cosA+cosC)-5(cosAcosC+1)=0,

.AC

貝nijtan—tan一

22

l2AC

1-tan2

1-tan—萬(wàn)

解因?yàn)镃OSA=-----------Y,cosC=------,--代--入已知等式并化簡(jiǎn)整理，得

124I2c

l+tan"1+tan

22

)AC

tan"-tan**2—=

229

所以，此題無(wú)解.

請(qǐng)分析，為什么例5-2與例5-4兩道題目只是數(shù)字4與5交換了一下位置，就會(huì)一個(gè)有

解、一個(gè)無(wú)解呢？

第二、反思.

例5-1結(jié)論不成立

證明在ABC中，有

AC7TC7TA7T

—+<-----<—,

2222222

由正切函數(shù)在［0,1）上為增函數(shù)知

C71A

tan——<tan一

255

ACA

得tan—tan—<tan—

222

Ar

可見(jiàn)，結(jié)論tan—tan—=3不成立.

22

例5-1條件不成立

在A8C中，有

cosAcosC+l=(1-cosA)(1一cosC)+(cosA+cosC)

>cosA+cosC(三角形中|cosA|<ijcos。［<1)

=-cos(乃一A)+cosC(誘導(dǎo)公式)

>0,(三角形中。<7一4<乃)

得cosA+cosC>0.⑦

cosAcosC+1>0.⑧

八cosA+cosC1

得0<--------------------<I,

cosAcosC+1

與條件4(cosA+cosC)+5(cosAcosC+1)=0

cosA+cosC5bM

=-------------=——矛盾.

cosAcosC+14

可見(jiàn)，結(jié)論5(cosA+cosC)+4(cosAcosC+1)=0不成立.

今年高考題已知函數(shù)/（無(wú)）=e*+a/-ex,aeA

（I）若曲線y=/（x）在點(diǎn)（1,/（1））處的切線平行于x軸，求函數(shù)/（x）的單調(diào)區(qū)間；

（11）試確定〃的取值范圍，使得曲線y=/（x）上存在唯一的點(diǎn)尸，曲線在該點(diǎn)處的

切線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)P.

（2012高考數(shù)學(xué)福建卷理科第20題，14分）

講解由/'（x）=e'+2ax—e知，曲線在（1,/（1））處的切線斜率為k=2。=0,得“=0,

這時(shí)

f（l）=e+a-e=a=0.

于是，問(wèn)題來(lái)了：計(jì)算得出過(guò)點(diǎn)（1,/（1））處的切線重合于x軸，與題目說(shuō)的“在點(diǎn)（1J⑴）

處的切線平行于x軸”到底有沒(méi)有矛盾？有人說(shuō)“同一平面內(nèi)，且沒(méi)有公共點(diǎn)的直線叫平行線,

而重合有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)”，有矛盾，是錯(cuò)題；有人說(shuō)“重合可以是平行的特例”，雖然不承認(rèn)

“錯(cuò)題”，也只肯定到“不要緊”，至少在客觀上有了歧義（歧義題），若提前發(fā)現(xiàn)肯定會(huì)修

改.比如改為：在點(diǎn)（1,7（1））處的切線斜率為0,或在點(diǎn)（1,/（I））處的切線垂直于工軸.

2數(shù)學(xué)高考解題的建議

2-1數(shù)學(xué)高考題

（1）高考題：為了實(shí)現(xiàn)診斷、預(yù)測(cè)、甄別、選拔等特定目的，而組織化、系統(tǒng)化、標(biāo)準(zhǔn)

化的數(shù)學(xué)問(wèn)題組織形式，稱(chēng)為數(shù)學(xué)試題.用于高考的數(shù)學(xué)試題稱(chēng)為高考題.

（2）高考創(chuàng)新題：高考主要通過(guò)創(chuàng)新試題來(lái)考創(chuàng)新精神（意識(shí)）.數(shù)學(xué)創(chuàng)新試題是指在

試題背景、試題形式、試題內(nèi)容或解答方法等方面具有一定的新穎性與獨(dú)特性的數(shù)學(xué)試題，

其基本目的在于診斷考生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識(shí)與數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力.

高考創(chuàng)新題主要形式有

①開(kāi)放探索題：高考中的開(kāi)放探索題是指條件完備，但結(jié)論不確定、需要探索的數(shù)學(xué)問(wèn)

題.有時(shí)候結(jié)論是開(kāi)放的，但為了閱卷方便，只要求考生寫(xiě)出三二個(gè)，不同的考生答案會(huì)不

一樣；有時(shí)候敘述為“是否存在…？請(qǐng)說(shuō)明理由”，需要考生自己去探索出結(jié)論并加以證明.把

開(kāi)放性與探索性結(jié)合起來(lái)是這類(lèi)題目的顯著特點(diǎn).（參見(jiàn)例6、例7）

②信息遷移題：高考中的信息遷移題是在題目中即時(shí)提供一個(gè)新的數(shù)學(xué)情景（或給出一

個(gè)名詞概念，或規(guī)定一種規(guī)則運(yùn)算等），讓考生學(xué)習(xí)陌生信息后立即解答相關(guān)問(wèn)題（遷移）.這

類(lèi)題目背景公平，能有效考查學(xué)生的真實(shí)水平.由于高考的選拔性質(zhì)，即時(shí)提供的新信息常

常有一定的高等數(shù)學(xué)背景，但不是考高等數(shù)學(xué)知識(shí).即時(shí)接收信息、并立即加以遷移是兩個(gè)

相關(guān)的要點(diǎn).（參見(jiàn)例8、例9、例10）

③情景應(yīng)用題：這是一類(lèi)有現(xiàn)實(shí)情境、重視應(yīng)用的題目.要求考生通過(guò)文字語(yǔ)言、符號(hào)

語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、表格語(yǔ)言等的轉(zhuǎn)換，揭示題目的本質(zhì)屬性，構(gòu)建解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型.函

數(shù)、方程、數(shù)列、不等式、概率統(tǒng)計(jì)等主體內(nèi)容是高考應(yīng)用題建模的主要載體.閱讀理解和

數(shù)學(xué)建模是解題的兩個(gè)關(guān)鍵.（參見(jiàn)例11、例12、例13）

④過(guò)程操作題：這是一類(lèi)通過(guò)具體操作過(guò)程，從中獲得有關(guān)數(shù)學(xué)結(jié)論的題目，可以用來(lái)

考查三維目標(biāo)中的“過(guò)程與方法”.由于高考條件的限制，“經(jīng)歷過(guò)程”無(wú)法“動(dòng)手實(shí)踐”，只

能是一些“語(yǔ)言描述的操作過(guò)程”，但有的描述和操作會(huì)有現(xiàn)實(shí)情境、而不完全是數(shù)學(xué)內(nèi)部的

過(guò)程與操作.（參見(jiàn)例14、例15）

⑤歸納（類(lèi)比）猜想題：這是在觀察相關(guān)數(shù)學(xué)情境的基礎(chǔ)上，通過(guò)歸納或類(lèi)比作出數(shù)學(xué)

猜想的一類(lèi)題目.本來(lái)，由歸納或類(lèi)比作出的猜想可能對(duì)也可能錯(cuò)，但考試總是要求寫(xiě)出正

確的猜想（學(xué)生中“有一定道理”的猜想可能會(huì)被判錯(cuò)）.應(yīng)該說(shuō)，這是一類(lèi)探索中的題型,

最好有猜想理由的說(shuō)明.（參見(jiàn)例16、例17）

例6（2010年寧夏理科第14題、5分）正視圖為一個(gè)三角形的幾何體可以是（寫(xiě)

出三種）

點(diǎn)評(píng)：這是開(kāi)放題，為考生搭建了一個(gè)自主探究的活動(dòng)平臺(tái)，使考生的才能得到充分發(fā)

揮，使不同基礎(chǔ)、不同水平、不同志向的考生都得到成功的體驗(yàn)，創(chuàng)新意識(shí)得到發(fā)展.體現(xiàn)

新課程關(guān)于評(píng)價(jià)的新理念.（《數(shù)學(xué)通報(bào)》2012,1任子朝陳昂：實(shí)施《課程標(biāo)準(zhǔn)》后高考數(shù)

學(xué)能力考查研究）

例7-1（2011年陜西理科第21題、14分）設(shè)函數(shù)/（x）定義在（0,+oo）上，/（1）=0,

導(dǎo)函數(shù)/'"）=Lg（x）=/（x）+/'"）.

X

（I）求g（x）的單調(diào)區(qū)間和最小值；

（II）討論g（x）與g的大小關(guān)系；

（III）是否存在小〉0,使得|g（x）-g（x0）|/L對(duì)任意成立？若存在，求出X。的取值范

圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（探索題）

例7-2（2012年全國(guó)高考數(shù)學(xué)陜西卷理科第21題、14分）設(shè)函數(shù)＜（x）=x"+bx+c,

（〃￡N+,b.c￡R）.

（1）設(shè)〃22,b=l,c=-l,證明：力（x）在區(qū)間6,1）內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)；

（H）設(shè)〃=2,若對(duì)任意西,々4―1,1],有|/2（』）一/2（9）歸4,求匕的取值范圍；

（III）在（I）的條件下，設(shè)相是力（x）在內(nèi)的零點(diǎn)，判斷數(shù)列馬,》3,…,X,,,…

的增減性.

點(diǎn)評(píng)：第（II）、（III）問(wèn)都需要考生自己去探索出結(jié)論并加以證明.

例8(2010年四川理科第16題)函數(shù)/(x)定義域?yàn)锳,若占應(yīng)eA且/(%)=〃々)

時(shí)總有王=々，則稱(chēng)"X)為單函數(shù).例如，函數(shù)/(x)=2x+l(xcR)是單函數(shù).下列命題:

①函數(shù)/(x)=/(xe/?)是單函數(shù)；

②若/(x)為單函數(shù)，為,/eA且工產(chǎn)了2則/(xjw/(x2)；

③若B為單函數(shù)，則對(duì)于任意6G8,它至多有一個(gè)原象；

④函數(shù)/(x)在某區(qū)間上具有單調(diào)性，則/(X)一定是單函數(shù).

其中的真命題是.(寫(xiě)出所有真命題的編號(hào))(信息遷移)

答案：②③④.

解釋?zhuān)孩馘e(cuò)，當(dāng)/(玉)=/)時(shí)可以有％=±》2.(假命題，找反例)

②逆否命題，真命題.

③推出必要條件，真命題.

④提供充分條件，真命題.

例9(2011江蘇省數(shù)學(xué)卷第19題)已知a"是實(shí)數(shù)，函數(shù)/(x)=/+ax,g(x)=/+bx,

/'(x)和g'(x)是/(x),g(x)的導(dǎo)函數(shù)，若/'(x)g'(x)20在區(qū)間/上恒成立，則稱(chēng)/(x)和

g(x)在區(qū)間/上單調(diào)性一致

(1)設(shè)a>0,若函數(shù)/(x)和g(x)在區(qū)間［-l,+oo)上單調(diào)性一致,求實(shí)數(shù)人的取值范圍；

(2)設(shè)a<0,且aw/?,若函數(shù)/(x)和g(x)在以a,。為端點(diǎn)的開(kāi)區(qū)間上單調(diào)性一致，

求4的最大值.(信息遷移題)

點(diǎn)評(píng)：本題在考生理解了函數(shù)的單調(diào)性的基礎(chǔ)上，新定義了“單調(diào)性一致”的概念，考

生需要把新的定義與自己已有的知識(shí)融合，這種解決新問(wèn)題的能力是考生在今后學(xué)習(xí)中非常

重要的.試題的第(2)問(wèn)，實(shí)際是討論不等式在區(qū)間(。力)上恒成立問(wèn)題，需要分類(lèi)討論，

運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)及實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)法則分析結(jié)果.解決問(wèn)題的過(guò)程中所用到的知識(shí)和方法并不

深?yuàn)W，但分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力要求很高，屬于對(duì)高層次數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)素質(zhì)的考查.

學(xué)生進(jìn)人高校或社會(huì)后能否繼續(xù)發(fā)展，在很大程度上取決于他們的學(xué)習(xí)能力.具有良好

的閱讀理解力是繼續(xù)學(xué)習(xí)的前提.近年的高考試卷對(duì)閱讀理解能力，特別是對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言，包

括文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖表語(yǔ)言的閱讀理解能力的考查加大了力度，教師在日

常教學(xué)中應(yīng)多加關(guān)注.(參見(jiàn)本刊特約數(shù)學(xué)試題評(píng)閱組.2011年高考數(shù)學(xué)試題“紅黑榜”.基

礎(chǔ)教育課程，2011,9)

例10(2010年天津理科第4題)對(duì)實(shí)數(shù)。和bj,定義運(yùn)算“q③"：a③匕=《\a,a-b<1,

/7,a-b>\.

設(shè)函數(shù)/（犬）=（/一2）＜8）卜一/）若函數(shù)），=/（力一,的圖像與％軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)

數(shù)c的取值范圍是（）.

（A）（-oo,-2）ljf-l,|-

（信息遷移題）【答案】B

例11（2010年安徽理科第21題、13分）品酒師需定期接受酒味鑒別功能測(cè)試，一種

通常采用的測(cè)試方法如下：拿出〃瓶外觀相同但品質(zhì)不同的酒讓其品嘗，要求其按品質(zhì)優(yōu)劣為

它們排序；經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，等其記憶淡忘之后，再讓其品嘗這〃瓶酒，并重新按品質(zhì)優(yōu)劣為它

們排序，這稱(chēng)為一輪測(cè)試.根據(jù)一輪測(cè)試中的兩次排序的偏離程度的高低為其評(píng)分.

現(xiàn)設(shè)"=4,分別以4,外,生，%表示第一次排序時(shí)被排為1，2,3,4的四種酒在第二次排

序時(shí)的序號(hào)，并令

X=-aj+12-aj+13_/|+14-4］，

則X是對(duì)兩次排序的偏離程度的一種描述.

（I）寫(xiě)出X的可能值集合；

（II）假設(shè)外,生，如，%等可能地為1,2,3,4的各種排列，求X的分布列；

（山）某品酒師在相繼進(jìn)行的三輪測(cè)試中，都有XW2,

（i）試按（II）中的結(jié)果，計(jì)算出現(xiàn)這種現(xiàn)象的概率（假定各輪測(cè)試相互獨(dú)立）；

（ii）你認(rèn)為該品酒師的酒味鑒別功能如何？說(shuō)明理由.

（這是數(shù)學(xué)高考中第一次出現(xiàn)概率題壓軸）

講解列表，計(jì)算1,2,3,4的全排列及相應(yīng)的X值

X

|3-Qy|一%

4,。2，。3,如1-色一耳4

1,2,3,400000

1,2,4,300112

1,3,2,401102

1,3,4,201124

1,4,2,302114

1,4,3,202024

2,1,3,411002

2,1,4,311114

2,3,1,411204

2,3,4,111136

2,4,1,312216

2,4,3,112036

3,1,2,421104

3,1,4,221126

3,2,1,420204

3,2,4,121126

3,4,1,222228

3,4,2,122138

4,1,2,331116

4,1,3,231026

4,2,1,330216

4,2,3,130036

4,3,1,231228

4,3,2,131138

(I)由表可見(jiàn)，X的可能值集合為{0,2,4,6,8}.

理論說(shuō)明：在1,2,3,4中奇數(shù)與偶數(shù)各有兩個(gè)，所以q,%中的奇數(shù)個(gè)數(shù)等于出,4中

的偶數(shù)個(gè)數(shù)，因此11—q1+13—%1與12—々1+14-41的奇偶性相同，從而

X—ql+12—a,1+13-％1+14—I.

必為偶數(shù).

X的值非負(fù)，且易知其值不大于8.

所以X的值等于0,2,4,6,8.

(II)由列表的X值，在等可能的假定下，得到

02468

13794

2424242424

41

(III)(i)首先P(XW2)=P(X=O)+P(X=2)=—=一，將三輪測(cè)試都有XW2

246

的概率記做p,由上述結(jié)果和獨(dú)立性假設(shè)，得

11

216'

(ii)由于p=—L〈二一是一個(gè)很小的概率，這表明如果僅憑隨機(jī)猜測(cè)得到三輪測(cè)試

2161000

都有XW2的結(jié)果的可能性很小，所以我們認(rèn)為該品酒師確實(shí)有良好的味覺(jué)鑒別功能，不是

靠隨機(jī)猜測(cè).

例12(2011年湖北理科第17題、文科第19題)提高過(guò)江大橋的車(chē)輛通行能力可改善

整個(gè)城市的交通狀況.在一般情況下，大橋上的車(chē)流速度v(單位：千米/小時(shí))是車(chē)流密度x

(單位：輛/千米)的函數(shù).當(dāng)橋上的的車(chē)流密度達(dá)到200輛/千米時(shí);造成堵塞，此時(shí)車(chē)流

速度為0；當(dāng)車(chē)流密度不超過(guò)20輛/千米時(shí)，車(chē)流速度為60千米/小時(shí)，研究表明；當(dāng)

20<x<200B>J',車(chē)流速度u是車(chē)流密度x的一次函數(shù).

(I)當(dāng)04x4200時(shí)，求函數(shù)v(x)的表達(dá)式；

(II)當(dāng)車(chē)流密度x為多大時(shí)，車(chē)流量(單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車(chē)輛數(shù)，單位：

輛/每小時(shí))/(x)=xv(x)可以達(dá)到最大，并求出最大值(精確到1輛/小時(shí)).

講解(I)由題意：當(dāng)0WxW20時(shí),v(x)=