(2)高等數(shù)學(xué)試卷(附答案)-0613試卷資料文檔

第1頁(yè)，共23頁(yè)第1頁(yè)，共23頁(yè)一。偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用1、[07]曲線在點(diǎn)的切線方程為.2.[07]（化工類做）在曲面上求出切平面，使所得的切平面與平面平行。解：曲面的法向量應(yīng)與平面平面的法向量平行，從而有，由于切點(diǎn)在曲面上因此切平面為3.[2021]已知直線和平面則（B）A、在內(nèi)B、與平行，但不在內(nèi)C、與垂直D、不與垂直，不與平行4.[2021]曲面在點(diǎn)處的法線方程是5.[2021]（化工類做）已知直線和，證明：，并求由所確定的平面方程。證明：直線上任取兩點(diǎn)，則是的方向向量；的一個(gè)方向向量為，因?yàn)?，所以設(shè)所確定的平面方程為，它經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，所以第2頁(yè)，共23頁(yè)第2頁(yè)，共23頁(yè)所求方程為二。多元函數(shù)5.[2021]第3頁(yè)，共23頁(yè)第3頁(yè)，共23頁(yè)6.[2021]7.[2021]設(shè)，其中函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求。解：8.[2021]求函數(shù)在圓域的最大值和最小值。解：方法一：當(dāng)時(shí)，找駐點(diǎn)，得唯一駐點(diǎn)當(dāng)時(shí)，是條件極值，考慮函數(shù)，解方程組可得所求最大值為，最小值為。方法二：設(shè)，則且，這變成一個(gè)簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題。最大值為4，最小值為。方法三：圓域可寫成最大值為4，最小值為。9.[2021]（化工類做）求由方程組所確定的及的導(dǎo)數(shù)及。第4頁(yè)，共23頁(yè)第4頁(yè)，共23頁(yè)10.[2021]（化工類做）求二元函數(shù)在點(diǎn)處沿方向的方向?qū)?shù)及梯度，并指出在該點(diǎn)沿哪個(gè)方向減少得最快？沿哪個(gè)方向值不變？11、[2021]函數(shù)在點(diǎn)處可微是它在該點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)的必要條件（填必要、充分或充要），又是它在該點(diǎn)有方向?qū)?shù)的充分條件（填必要、充分或充要）12、[2021]設(shè)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則13、[2021]（化工類做，即不學(xué)級(jí)數(shù)一章的同學(xué)做）給定曲面為常數(shù)，其中有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，證明曲面的切平面通過一個(gè)定點(diǎn)證：令，則從而曲面在點(diǎn)處的切平面為，其中為動(dòng)點(diǎn)。顯然時(shí)成立，故切平面均過。證畢14、[2021]（化工類做，即不學(xué)級(jí)數(shù)一章的同學(xué)做）設(shè)是曲線在點(diǎn)處的切向量，求函數(shù)在該點(diǎn)沿的方向?qū)?shù)第5頁(yè)，共23頁(yè)第5頁(yè)，共23頁(yè)解：方程組兩端對(duì)求導(dǎo)，得把代入得，解得，于是在點(diǎn)處的切向量為，單位切向量為所求方向?qū)?shù)為15、[2021]設(shè)，求解：兩邊取微分，得從而，16、[2021]設(shè)，則它有極小值17、[2021]設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬、高滿足，求體積最小的長(zhǎng)方體。解：令則，從而再由即約束條件，可得，從而第6頁(yè)，共23頁(yè)第6頁(yè)，共23頁(yè)由問題的實(shí)際意義可知，當(dāng)體積最小長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高均為3。18、[2021]設(shè)，則19、[2021]已知，則020、[2021]函數(shù)在點(diǎn)處沿從點(diǎn)到點(diǎn)方向的方向?qū)?shù)是21、[2021]設(shè)，其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求.解：22、[2021]（化工類做）證明函數(shù)在原點(diǎn)處可微，但在點(diǎn)處不連續(xù)解：由定義同理由于從而函數(shù)在原點(diǎn)處可微。當(dāng)?shù)?頁(yè)，共23頁(yè)第7頁(yè)，共23頁(yè)由于不存在，因此在點(diǎn)處由于不存在而不連續(xù)。23、[2021]（化工類做）設(shè)是由方程所確定的函數(shù)，其中可導(dǎo)，求解：對(duì)方程兩邊取微分得即24、[2021]求在約束條件下的最大值和最小值解：令則由于最值一定存在，所以最大值為3，最小值為25.[2021]若在點(diǎn)處可微，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（B）A、在點(diǎn)處連續(xù)B、在點(diǎn)處連續(xù)C、在點(diǎn)處存在第8頁(yè)，共23頁(yè)第8頁(yè)，共23頁(yè)D、曲面在點(diǎn)處有切平面26.[2021]二重極限值為（D）A、0B、1C、D、不存在27.[2021]，則28.[2021]函數(shù)在點(diǎn)沿方向的方向?qū)?shù)為29.[2021]設(shè)函數(shù)證明：1）在點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)存在2）在點(diǎn)處不可微證明：1）因?yàn)樗栽邳c(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)存在2）因?yàn)楫?dāng)取時(shí)隨之不同極限值也不同，即所以此函數(shù)在處不可微。第9頁(yè)，共23頁(yè)第9頁(yè)，共23頁(yè)30.[2021]設(shè)，具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，求解：，31.[2021]在第一卦限內(nèi)作橢球面的切平面，使該切平面與三坐標(biāo)平面所圍成的四面體的體積最小，求切點(diǎn)的坐標(biāo)。解：設(shè)為橢球面上在第一象限的一點(diǎn)，過此點(diǎn)的切平面方程為化成截距式方程此切平面與坐標(biāo)面圍成四面體的體積為。（下面我們?nèi)サ粝聵?biāo)0）要求滿足條件的最小值，只需求滿足條件的最大值。由拉格朗日乘數(shù)法，只需求以下函數(shù)的駐點(diǎn)第10頁(yè)，共23頁(yè)第10頁(yè)，共23頁(yè)得由此得，所以當(dāng)時(shí)，有最小體積，最小體積為。切點(diǎn)坐標(biāo)為。三。二重積分1.[2021]交換二次積分的積分次序：。2.[2021]求錐面被柱面割下部分曲面面積。

解：3.[2021]（化工類做）計(jì)算二重積分，其中為圓域。4、[2021]交換二次積分的積分次序5、[2021]求球面含在圓柱面內(nèi)部的那部分面積解：上半球面的部分為第11頁(yè)，共23頁(yè)第11頁(yè)，共23頁(yè)6、[2021]計(jì)算二重積分.是由所圍成的閉區(qū)域解：作圖知7.[2021]交換積分次序后，8.[2021]計(jì)算二重積分其中是由拋物線及直線所圍成的閉區(qū)域。解：原式四。三重積分1.[2021]計(jì)算三重積分2.[2021]計(jì)算。

解：此三重積分積分區(qū)域在面上的投影為，即圓域的上半部分，設(shè)此部分為，則原式3、[2021]計(jì)算三重積分，其中.是由單位球面圍成的閉區(qū)域第12頁(yè)，共23頁(yè)第12頁(yè)，共23頁(yè)解：由對(duì)稱性從而4、[2021]計(jì)算三重積分，其中.由所確定解：由交線（舍去）于是投影區(qū)域?yàn)?，柱坐?biāo)下為5.[2021]計(jì)算三重積分，其中是由柱面及平面圍成的閉區(qū)域。解：方法一：利用柱面坐標(biāo)計(jì)算,原式方法二、截片法,原式五。曲線積分3.[2021]計(jì)算第13頁(yè)，共23頁(yè)第13頁(yè)，共23頁(yè)4.[2021](化工類做)計(jì)算5.[2021]6.[2021]計(jì)算曲線積分，其中表示包含點(diǎn)在內(nèi)的簡(jiǎn)單閉曲線，沿逆時(shí)針方向。

解：在的內(nèi)部作圓并取逆時(shí)針方向，

的參數(shù)方程為

由格林公式有

7、[2021]計(jì)算曲線積分，其中表示第四象限內(nèi)以為起點(diǎn)為終點(diǎn)的光滑曲線。解：由于，第14頁(yè)，共23頁(yè)第14頁(yè)，共23頁(yè)從而只要路徑不經(jīng)過直線，該曲線積分就與路徑無(wú)關(guān)取路徑，8、[2021]設(shè)為取逆時(shí)針方向的圓周，則曲線積分9、[2021]設(shè)L為直線上由點(diǎn)到點(diǎn)之間的一段，則曲線積分.10.[2021]曲線為原點(diǎn)到點(diǎn)的直線段，則曲線積分的值等于11.[2021]計(jì)算，其中為從點(diǎn)沿橢圓到點(diǎn)的一段。解：原式12.[2021]設(shè)曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，其中連續(xù)可導(dǎo)，且，計(jì)算。解：，由得，所以第15頁(yè)，共23頁(yè)第15頁(yè)，共23頁(yè)六。曲面積分1.[2021]計(jì)算2.[2021]計(jì)算曲面積分3.[2021]向量場(chǎng)的散度為。4.[2021]計(jì)算曲面積分，其中是半球面的上則。解：設(shè)為，并取下則，是圍成的區(qū)域，由高斯公式得

原式5、[2021]向量場(chǎng)的散度為.向量場(chǎng)的旋度為.6、[2021]設(shè)曲面為柱面介于平面與部分的外側(cè)，則曲面積分0，7、[2021]計(jì)算曲面積分，其中第16頁(yè)，共23頁(yè)第16頁(yè)，共23頁(yè)是圓錐面位于平面之間下方部分的下側(cè)解：取上側(cè)則原式8、[2021]計(jì)算，其中為半球的上側(cè)解：令取下側(cè)。則為半球體的外側(cè)，由高斯公式原式（用對(duì)稱性可以簡(jiǎn)化計(jì)算）9、[2021]計(jì)算，其中為拋物面解：，投影區(qū)域?yàn)橛蓪?duì)稱性，原式10.[2021]已知曲面的方程為，則（B）A、B、C、1D、第17頁(yè)，共23頁(yè)第17頁(yè)，共23頁(yè)分析：11.[2021]計(jì)算，其中為旋轉(zhuǎn)拋物面的上側(cè)。解：方法一、利用兩類曲面積分的你們對(duì)應(yīng)側(cè)的法向量為原式=方法二、利用高斯公式，補(bǔ)充曲面并取下側(cè)原式七。微分方程第18頁(yè)，共23頁(yè)第18頁(yè)，共23頁(yè)4.[2021](化工類做)求微分方程5.[2021](化工類做)6.[2021]求如下初值問題的解解：此為可降階微分方程第三種類型。設(shè)，則，原方程化為

變量分離兩邊積分得

由可得

解可得，

由可得

所求解為：。7.[2021]求方程的通解。解：先求的通解，解特征方程得特征根，所以第19頁(yè)，共23頁(yè)第19頁(yè)，共23頁(yè)的通解為因?yàn)槭菃翁卣鞲?，所以原方程有特解形式，代入原方程得原方程通解?、[2021]求微分方程的通解解：，，9、[2021]計(jì)算滿足下述方程的可導(dǎo)函數(shù)，解：原方程兩端求導(dǎo)得即，這是標(biāo)準(zhǔn)的一階線性微分方程原方程令得，代入通解得，從而10、[2021]（化工類做）求解初值問題解：方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為，它的特征方程為，特征根為，從而對(duì)應(yīng)通解為容易看出的一個(gè)特解為，因此原方程的通解為從而，由初值條件可得。因此第20頁(yè)，共23頁(yè)第20頁(yè)，共23頁(yè)11、[2021]求微分方程的通解.解：原式可以化為一階線性微分方程由公式12、[2021]設(shè)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，，且是全微分方程，求其此全微分方程的通解。解：由全微分方程的條件知有特解有形式，代入原方程得從而通解由初值條件因此原方程即為即13[2021]用待定系數(shù)法求微分方程的一個(gè)特解時(shí)，應(yīng)設(shè)特解的形式（B）A、B、C、D、14.[2021]設(shè)是微分方程第21頁(yè)，共23頁(yè)第21頁(yè)，共23頁(yè)的一個(gè)解，求此微分方程的通解。解：因?yàn)?，原方程為這是一個(gè)一階線性微分方程，其通解為八。級(jí)數(shù)1.[2021](非化工類做)2.[2021](非化工類做)3.[2021](非化工類做)4.[2021]（非化工類做）證明阿貝爾定理：如果冪級(jí)數(shù)收斂，則適合不等式的一切冪級(jí)數(shù)都絕對(duì)收斂；如果冪級(jí)數(shù)第22頁(yè)，共23頁(yè)第22頁(yè)，共23頁(yè)發(fā)散，則適合不等式的一切使冪級(jí)數(shù)發(fā)散。5.[2021]（非化工類做）將函數(shù)展成余弦級(jí)數(shù)。6.