2023-2024學年人教A版必修第二冊 6-1　平面向量的概念 學案

6.1平面向量的概念新課程標準解讀核心素養(yǎng)1.通過對力、速度、位移等物理量的分析，了解平面向量的實際背景數(shù)學抽象2.理解平面向量的幾何表示和基本要素直觀想象3.理解共線向量和相等向量的含義直觀想象我們在物理學中已經(jīng)知道，力是矢量（既有大小，又有方向），如圖，放在水平桌面上的物體A.問題（1）物體A受到哪些力的作用？（2）物體A受到的力應怎樣表示？

知識點一向量與數(shù)量1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量.2.數(shù)量：只有大小沒有方向的量稱為數(shù)量.提醒（1）數(shù)量是一個代數(shù)量，只有大小沒有方向，可以比較大小，如長度、質量、面積、體積等都是數(shù)量；（2）向量既有大小又有方向，因為方向不能比較大小，所以向量不能比較大小.知識點二向量的幾何表示1.有向線段：具有方向的線段叫做有向線段，它包含三個要素：起點、方向、長度.以A為起點、B為終點的有向線段記作AB，線段AB的長度也叫做有向線段AB的長度，記作｜AB｜.2.向量的表示（1）幾何表示：向量可以用有向線段來表示，有向線段的長度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向，向量AB的大小稱為向量AB的長度（或稱模），記作｜AB｜；（2）字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示（印刷用黑體a，b，c，…，書寫用a，b，c，…）.提醒（1）向量不能比較大小，但向量的模能比較大小；（2）有向線段是向量的幾何表示，并不是說向量就是有向線段.一條有向線段對應著一個向量，但一個向量對應著無數(shù)多條有向線段.知識點三零向量和單位向量1.零向量：長度為0的向量叫做零向量，記作0.2.單位向量：長度等于1個單位長度的向量，叫做單位向量.提醒（1）定義中的零向量、單位向量都是只限制長度，不確定方向；（2）當有向線段的起點A與終點B重合時，AB＝0；（3）在平面內，將所有單位向量的起點平移到同一點，它們的終點可構成一個半徑為1的圓.知識點四相等向量與共線向量1.平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量a與b平行，記作a∥b.規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對于任意向量a，都有0∥a.2.相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.向量a與b相等，記作a＝b.1.給出下列物理量：①質量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功.其中不是向量的有（）A.3個 B.4個C.5個 D.6個解析：B質量、路程、密度、功只有大小，沒有方向，所以是數(shù)量，不是向量.2.下列命題正確的是（）A.如果｜AB｜＞｜CD｜，那么AB＞CDB.若a，b都是單位向量，則a＝bC.若a＝b，且a與b的起點相同，則終點也相同D.零向量的大小為0，沒有方向解析：C向量的?？梢员容^大小，但向量不能比較大小，故A錯誤；a與b都是單位向量，則｜a｜＝｜b｜＝1，但a與b方向可能不同，故B錯誤；任何向量都有方向，零向量的方向是任意的，故D錯誤；C顯然正確.故選C.3.如圖所示，設O是正方形ABCD的中心，則下列結論正確的有.（填序號）

①AO＝OC；②AO∥AC；③AB與CD共線；④AO＝BO.解析：AO與OC方向相同，長度相等，∴①正確；∵A，O，C三點在一條直線上，∴AO∥AC，②正確；∵AB∥DC，∴AB與CD共線，③正確；AO與BO方向不同，∴二者不相等，④錯誤.答案：①②③題型一向量的有關概念【例1】（多選）下列說法中正確的有（）A.單位向量的長度大于零向量的長度B.零向量與任一單位向量平行C.向量AB和向量BA長度相等D.向量就是有向線段解析單位向量的長度為1，零向量的長度為0，A正確；零向量與任意向量平行，B正確；因為向量AB和向量BA是方向相反，模相等的兩個向量，C正確；向量是用有向線段來表示的，不能把兩者等同起來，D不正確.答案ABC通性通法1.判斷一個量是否為向量的兩個關鍵條件（1）有大??；（2）有方向.兩個條件缺一不可.2.理解零向量和單位向量應注意的問題（1）零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等；（2）單位向量不一定相等，易忽略向量的方向.提醒兩個單位向量的模相等，但這兩個單位向量不一定相等.（多選）下列說法正確的是（）A.若a與b平行，b與c平行，則a與c一定平行B.共線向量一定在同一直線上C.若a＝b，則｜a｜＝｜b｜D.單位向量的長度為1解析：CDA中，因為零向量與任意向量平行，若b＝0，則a與c不一定平行，故A錯誤；B中，共線向量不一定在同一直線上，故B錯誤；C中，兩向量相等，它們的方向與長度均都相同，故C正確；D顯然正確.故選C、D.題型二共線向量與相等向量【例2】如圖所示，△ABC的三邊均不相等，E，F(xiàn)，D分別是AC，AB，BC的中點.（1）寫出與EF共線的向量；（2）寫出與EF的模相等的向量；（3）寫出與EF相等的向量.解（1）因為E，F(xiàn)分別是AC，AB的中點，所以EF∥BC，EF＝12BC又因為D是BC的中點，所以與EF共線的向量有FE，BD，DB，DC，CD，BC，CB.（2）與EF的模相等的向量有FE，BD，DB，DC，CD.（3）與EF相等的向量有DB，CD.通性通法共線向量與相等向量的探求方法（1）尋找共線向量：先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段，再確定同向與反向的向量；（2）尋找相等向量：先找與表示已知向量的有向線段長度相等的線段，再確定哪些是同向共線的向量.提醒在尋找共線向量時不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點為起點，起點為終點的向量.如圖所示，四邊形ABCD和ABDE都是平行四邊形.（1）與向量ED相等的向量為；

（2）若｜AB｜＝3，則｜EC｜＝.

解析：（1）在?ABCD和?ABDE中，∵AB＝ED，AB＝DC，∴ED＝DC.（2）由（1）知，ED＝DC，∴E，D，C三點共線，｜EC｜＝｜ED｜＋｜DC｜＝2｜AB｜＝6.答案：（1）AB，DC（2）6題型三向量的表示及應用【例3】在蔚藍的大海上，有一艘巡邏艇在執(zhí)行巡邏任務.它首先從A點出發(fā)向西航行了200km到達B點，然后改變航行方向，向西偏北50°航行了400km到達C點，最后又改變航行方向，向東航行了200km到達D點.此時，它完成了此片海域的巡邏任務.（1）作出AB，BC，CD；（2）求｜AD｜.解（1）如圖所示，作出AB，BC，CD.（2）由題意知AB∥CD，AB＝CD，所以四邊形ABCD是平行四邊形，所以AD＝BC＝400km，所以｜AD｜＝400km.（變設問）在本例的四邊形ABCD中，是否一定有AB＝DC？解：是.因為AB與DC平行且相等，AB與DC的方向也相同，所以AB＝DC.通性通法用有向線段表示向量的步驟（1）定起點：先確定向量的起點；（2）定方向：再確定向量的方向；（3）定終點：有了起點和方向，結合向量的長度確定向量的終點.一輛消防車從A地去B地執(zhí)行任務，先從A地向北偏東30°方向行駛2km到D地，然后從D地沿北偏東60°方向行駛6km到達C地，從C地又向南偏西30°方向行駛2km才到達B地.（1）在圖中作出AD，DC，CB，AB；（2）求B地相對于A地的位置.解：（1）向量AD，DC，CB，AB，如圖所示.（2）由題意知AD＝BC，∴AD＝BC，AD∥BC，則四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB＝DC，則B地相對于A地的位置為“北偏東60°，距離為6km”.1.如圖，在圓O中，向量OB，OC，AO是（）A.有相同起點的向量B.共線向量C.模相等的向量 D.相等向量解析：C由題圖可知OB，OC，AO是模相等的向量，其模均等于圓O的半徑.故選C.2.若BA＝CD，則四邊形ABCD的形狀為（）A.平行四邊形 B.矩形C.菱形 D.等腰梯形解析：A因為BA＝CD，ABCD為四邊形，所以BA＝CD且BA∥CD，所以四邊形ABCD為平行四邊形.3.下列說法正確的是（）A.共線的兩個單位向量相等B.相等向量的起點可以不相同C.若AB∥CD，則一定有直線AB∥CDD.若向量AB，CD共線，則點A，B，C，D必在同一直線上解析：B對于A，共線的兩個單位向量的方向可能相反，故錯誤；對于B，相等向量的起點和終點都可能不相同，故正確；對于C，直線AB與CD可能重合，故錯誤；對于D，AB與CD可能平行，則A，B，C，D四點不一定共線.故選B.4.如圖，在矩形AFDC中，AC＝2AF，B，E分別為邊AC，DF的中點，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為起點和終點的所有