2023-2024學(xué)年人教A版必修第二冊 6-2-2　向量的減法運(yùn)算 學(xué)案

6.2.2向量的減法運(yùn)算新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀核心素養(yǎng)借助實(shí)例和平面向量的幾何表示，掌握平面向量減法運(yùn)算，理解其幾何意義數(shù)學(xué)抽象、直觀想象如圖，向量AD是向量AB與向量x的和.問題你能作出向量x嗎？

知識點(diǎn)一相反向量1.定義：與向量a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作－a.2.性質(zhì)：（1）零向量的相反向量仍是零向量；（2）對于相反向量有：a＋（－a）＝（－a）＋a＝0；（3）如果a，b互為相反向量，那么a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.提醒相反向量與相等向量一樣，從“長度”和“方向”兩方面進(jìn)行定義，相反向量必為平行向量.知識點(diǎn)二向量的減法運(yùn)算1.向量減法的定義向量a加上b的相反向量，叫做a與b的差，即a－b＝a＋（－b）.求兩個向量差的運(yùn)算叫做向量的減法.提醒減去一個向量相當(dāng)于加上這個向量的相反向量.2.向量減法的幾何意義已知向量a，b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作OA＝a，OB＝b，則BA＝a－b.即a－b可以表示為從向量b的終點(diǎn)指向向量a的終點(diǎn)的向量，這就是向量減法的幾何意義.提醒（1）作非零向量a，b的差向量a－b，可以簡記為“共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，指向被減”；（2）在向量減法的定義中，如果從a的終點(diǎn)指向b的終點(diǎn)作向量，所得向量是b－a.1.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AC與BD相交于點(diǎn)O，下列互為相反向量的是（）A.AB與DCB.AO與OCC.AO與CO D.CA與OC解析：C向量AO與CO的模相等，方向相反，互為相反向量.2.在△ABC中，若BA＝a，BC＝b，則CA＝（）A.a B.a＋bC.b－a D.a－b解析：DCA＝BA－BC＝a－b.故選D.3.（多選）下列說法正確的是（）A.相反向量就是方向相反的向量B.向量AB與BA是相反向量C.兩個向量的差仍是一個向量D.相反向量不一定是平行向量，平行向量一定是相反向量答案：BC4.化簡：CE＋AC－DE－AD＝.

解析：CE＋AC－DE－AD＝AC＋CE－（AD＋DE）＝AE－AE＝0.答案：0題型一向量減法的幾何意義【例1】如圖，已知向量a，b，c不共線，求作向量a＋b－c.解法一如圖①所示，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作OA＝a，AB＝b，則OB＝a＋b，再作OC＝c，則CB＝a＋b－c.法二如圖②所示，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作OA＝a，AB＝b，則OB＝a＋b，再作CB＝c，連接OC，則OC＝a＋b－c.通性通法求作差向量的方法（1）作兩向量的差向量的步驟：（2）可以轉(zhuǎn)化為向量的加法來進(jìn)行，如a－b，可以先作－b，然后用加法a＋（－b）即可.如圖，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.解：由向量減法的三角形法則，令a＝OA，b＝OB，則a－b＝OA－OB＝BA，令c＝BC，所以a－b－c＝BA－BC＝CA.如圖中CA即為a－b－c.題型二向量加減的混合運(yùn)算【例2】（1）AC－BD＋CD－AB＝（）A.AB B.ADC.BC D.0（2）（AB＋MB）＋（－OB－MO）＝；

（3）如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC與BD交于點(diǎn)O，則BA－BC－OA＋OD＋DA＝.

解析（1）AC－BD＋CD－AB＝AC＋DB＋CD＋BA＝AC＋CD＋DB＋BA＝0，故選D.（2）（AB＋MB）＋（－OB－MO）＝AB＋MB＋BO＋OM＝AB＋BO＋OM＋MB＝AB.（3）BA－BC－OA＋OD＋DA＝（BA－BC）－（OA－OD）＋DA＝CA－DA＋DA＝CA.答案（1）D（2）AB（3）CA通性通法1.向量減法運(yùn)算的常用方法2.向量加、減法化簡的兩種形式（1）首尾相連且為和；（2）起點(diǎn)相同且為差.提醒做題時要注意觀察是否有這兩種形式，同時要注意逆向應(yīng)用.1.AB－NC＋NA＋BM＝（）A.0 B.BNC.AC D.CM解析：DAB－NC＋NA＋BM＝NA＋AB＋BM＋CN＝NM＋CN＝CM.故選D.2.化簡：（1）AB－AD－DC；（2）（AB－CD）－（AC－BD）.解：（1）法一AB－AD－DC＝DB－DC＝CB.法二AB－AD－DC＝AB－（AD＋DC）＝AB－AC＝CB.法三AB－AD－DC＝AB＋（DA＋CD）＝AB＋（CD＋DA）＝AB＋CA＝CA＋AB＝CB.（2）法一（AB－CD）－（AC－BD）＝AB－CD－AC＋BD＝AB＋DC＋CA＋BD＝（AB＋BD）＋（DC＋CA）＝AD＋DA＝0.法二（AB－CD）－（AC－BD）＝AB－CD－AC＋BD＝（AB－AC）＋（DC－DB）＝CB＋BC＝0.題型三向量加、減法的綜合應(yīng)用【例3】如圖所示，四邊形ACDE是平行四邊形，B是該平行四邊形外一點(diǎn)，且AB＝a，AC＝b，AE＝c，試用向量a，b，c表示向量CD，BC，BD.解由平行四邊形的性質(zhì)可知CD＝AE＝c，由向量的減法可知BC＝AC－AB＝b－a，由向量的加法可知BD＝BC＋CD＝b－a＋c.（變條件）若本例中的條件“點(diǎn)B是該平行四邊形外一點(diǎn)”變?yōu)椤包c(diǎn)B是該平行四邊形內(nèi)一點(diǎn)”，其他條件不變，試用向量a，b，c表示向量CD，BC，BD.解：如圖，因?yàn)樗倪呅蜛CDE是平行四邊形，所以CD＝AE＝c，BC＝AC－AB＝b－a，BD＝BC＋CD＝b－a＋c.通性通法1.解決此類問題要搞清楚圖形中的相等向量、相反向量、共線向量以及構(gòu)成三角形的三個向量之間的關(guān)系，確定已知向量與被表示向量的轉(zhuǎn)化渠道.2.主要應(yīng)用向量加、減法的幾何意義以及向量加法的結(jié)合律、交換律來分析解決問題，在封閉圖形中可利用向量加法的多邊形法則，提升邏輯推理素養(yǎng).如圖，已知OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，OF＝f，試用a，b，c，d，f表示以下向量：（1）AC；（2）AD；（3）AD－AB；（4）AB＋CF；（5）BF－BD.解：（1）AC＝OC－OA＝c－a.（2）AD＝OD－OA＝d－a.（3）AD－AB＝BD＝OD－OB＝d－b.（4）AB＋CF＝OB－OA＋OF－OC＝b－a＋f－c.（5）BF－BD＝OF－OB－（OD－OB）＝f－b－d＋b＝f－d.1.如圖，已知平行四邊形ABCD的對角線AC和BD相交于點(diǎn)O，且OA＝a，OB＝b，則BC可以表示為（）A.a＋b B.a－bC.b－a D.－a－b解析：D在平行四邊形ABCD中，依題意，OC＝－OA＝－a，而OB＝b，所以BC＝OC－OB＝－a－b.故選D.2.OP－QP＋PS＋SP＝（）A.QP B.OQC.SP D.SQ解析：B原式＝（OP＋PQ）＋（PS＋SP）＝OQ＋0＝OQ.3.（多選）設(shè)b是a的相反向量，則下列說法正確的是（）A.a與b的長度必相等 B.a∥bC.a與b一定不相等 D.a是b的相反向量解析：ABD方向相反、大小相同的兩個向量互為相反向量，故A、B、D正確，C錯誤，∵0與0互為相反向量，但0與0相等.故選A、B、D.4.在△ABC中，若｜AB｜＝｜AC｜＝｜AB－AC｜，則∠BAC＝