2023-2024學年人教A版必修第二冊 8-1　第二課時　圓柱、圓錐、圓臺、球和簡單組合體 學案

第二課時圓柱、圓錐、圓臺、球和簡單組合體新課程標準解讀核心素養(yǎng)利用實物模型、計算機軟件等觀察空間圖形，認識圓柱、圓錐、圓臺、球及簡單組合體的結構特征，能運用這些特征描述現實生活中簡單物體的結構直觀想象、數學抽象如圖，觀察下列實物圖.問題（1）上述三個實物圖抽象出的幾何體與多面體有何不同？（2）上述實物圖抽象出的幾何體中能否由某些平面圖形旋轉而成？（3）如何形成上述幾何體的曲面？

知識點一圓柱的結構特征定義以矩形的一邊所在直線為旋轉軸，其余三邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體叫做圓柱圖示及相關概念軸：旋轉軸叫做圓柱的軸；底面：垂直于軸的邊旋轉而成的圓面；側面：平行于軸的邊旋轉而成的曲面；圓柱側面的母線：無論旋轉到什么位置，平行于軸的邊；柱體：圓柱和棱柱統稱為柱體提醒對圓柱的再理解：①圓柱的底面是兩個半徑相等的圓面，兩圓面所在平面互相平行；②通過軸的各個截面叫做軸截面，軸截面是全等的矩形；③母線平行且相等，它們都垂直于底面，它們的長等于圓柱的高.如圖，在圓柱中任取不重合的兩條母線，如AB，CD，它們有何關系？過它們的截面是怎樣的圖形？連接AC，AC還是母線嗎？提示：ABCD，截面ABCD是矩形.AC不是母線.知識點二圓錐的結構特征定義以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體叫做圓錐圖示及相關概念軸：旋轉軸叫做圓錐的軸；底面：垂直于軸的邊旋轉而成的圓面；側面：直角三角形的斜邊旋轉而成的曲面；母線：無論旋轉到什么位置，不垂直于軸的邊；錐體：棱錐和圓錐統稱為錐體提醒圓錐具有的性質：①通過軸的各個截面是軸截面，各軸截面是全等的等腰三角形；②過頂點和底面相交的截面是等腰三角形；③母線都過頂點且相等，各母線與軸的夾角相等.以Rt△ABC任一條邊所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉一周形成的面圍成的幾何體就是圓錐，這句話對嗎？提示：不對.必須以直角邊所在直線為軸.若以斜邊所在直線為軸，形成的幾何體是同底面的兩個圓錐的組合體.知識點三圓臺的結構特征定義用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺圖示及相關概念軸：圓錐的軸；底面：圓錐的底面和截面；側面：圓錐的側面在底面與截面之間的部分；母線：圓錐的母線在底面與截面之間的部分；臺體：棱臺和圓臺統稱為臺體提醒圓臺具有的性質：①通過軸的各個截面是軸截面，各軸截面是全等的等腰梯形；②任意兩條母線確定的平面截圓臺所得的截面是等腰梯形；③母線長都相等，各母線延長后都相交于一點.知識點四球的結構特征定義以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，旋轉一周形成的曲面叫做球面，球面所圍成的旋轉體叫做球體，簡稱球圖示及相關概念球心：半圓的圓心叫做球的球心；半徑：連接球心和球面上任意一點的線段叫做球的半徑；直徑：連接球面上兩點并且經過球心的線段叫做球的直徑球能否由圓面旋轉而成？提示：能.圓面以直徑所在的直線為旋轉軸，旋轉半周形成的旋轉體即為球.知識點五簡單組合體1.定義：由簡單幾何體組合而成的幾何體叫做簡單組合體.2.簡單組合體的構成形式：一種是由簡單幾何體拼接而成；另一種是由簡單幾何體截去或挖去一部分而成.1.下列命題中正確的是（）A.以等腰三角形的底邊上的中線所在的直線為軸旋轉半周所得的旋轉體是圓錐B.以直角梯形的一腰所在的直線為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓臺C.圓柱、圓錐、圓臺都有兩個底面D.圓錐的側面展開圖為扇形，這個扇形所在圓的半徑等于圓錐底面圓的半徑解析：A以直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線為軸，旋轉一周所得的旋轉體才是圓臺，所以選項B不正確；圓錐僅有一個底面，所以選項C不正確；圓錐的側面展開圖為扇形，這個扇形所在圓的半徑等于圓錐的母線長，所以選項D不正確.很明顯選項A正確.2.下面幾何體的截面一定是圓面的是（）A.圓臺 B.球C.圓柱 D.棱柱解析：B在A中，當截面與底面不平行時，得到的截面不是圓面，故A錯誤；在B中，球的截面一定是圓面，故B正確；在C中，當截面與底面不平行時，得到的截面不是圓面，故C錯誤；在D中，棱柱的任何截面都不是圓面，故D錯誤.故選B.3.軸截面是直角三角形的圓錐的底面半徑為r，則其軸截面面積為.

解析：由圓錐的結構特征可知，軸截面為等腰直角三角形，其高為r，所以S＝12×2r2＝r2答案：r2題型一旋轉體的結構特征【例1】下列說法正確的是（填序號）.

①圓柱上底面圓上任一點與下底面圓上任一點的連線都是圓柱的母線；②一直角梯形繞下底所在直線旋轉一周，所形成的曲面圍成的幾何體是圓臺；③圓錐、圓臺中過軸的截面是軸截面，圓錐的軸截面是等腰三角形，圓臺的軸截面是等腰梯形；④到定點的距離等于定長的點的集合是球.解析①錯.由圓柱母線的定義知，圓柱的母線應平行于軸.②錯.直角梯形繞下底所在直線旋轉一周所形成的幾何體是由一個圓柱與一個圓錐組成的簡單組合體，如圖所示.③正確.④錯.應為球面.答案③通性通法判斷簡單旋轉體結構特征問題的解題策略（1）準確掌握圓柱、圓錐、圓臺和球的形成過程及其特征性質是解決此類概念問題的關鍵；（2）解題時要注意明確兩點：①明確由哪個平面圖形旋轉而成；②明確旋轉軸是哪條直線.有下列命題：①圓錐頂點與底面圓周上任意一點的連線是圓錐的母線；②在圓臺上、下底面圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓臺的母線；③圓柱的任意兩條母線所在的直線是平行的.其中正確的有（）A.0個 B.1個 C.2個 D.3個解析：C①圓錐頂點與底面圓周上任意一點的連線是圓錐的母線，正確；②在圓臺上、下底面圓周上各取一點，兩點的連線不一定是圓臺的母線，錯誤；③圓柱的任意兩條母線所在的直線是平行的，正確.故選C.題型二簡單組合體的結構特征【例2】請描述如圖所示的幾何體是如何形成的：解①是由一個圓錐和一個圓臺拼接而成的組合體；②是由一個長方體截去一個三棱錐后得到的幾何體；③是由一個圓柱挖去一個三棱錐后得到的幾何體.通性通法判斷組合體構成的方法（1）判定實物圖是由哪些簡單幾何體組成的問題時，首先要熟練掌握簡單幾何體的結構特征；其次要善于將復雜的組合體“分割”為幾個簡單的幾何體；（2）組合體是由簡單幾何體拼接、截去或挖去一部分構成的.要仔細觀察組合體的構成，結合柱、錐、臺、球的結構特征，先分割，后驗證.1.如圖所示的幾何體是由下面哪一個平面圖形旋轉而形成的（）解析：A該幾何體自上而下由圓錐、圓臺、圓臺、圓柱組合而成，故應選A.2.將一個等腰梯形繞著它的較長的底邊所在直線旋轉一周，所得的幾何體包括（）A.一個圓臺、兩個圓錐 B.兩個圓柱、一個圓錐C.兩個圓臺、一個圓柱 D.一個圓柱、兩個圓錐解析：D圖①是一個等腰梯形，CD為較長的底邊，以CD邊所在直線為旋轉軸旋轉一周所得幾何體為一個組合體，如圖②，包括一個圓柱、兩個圓錐.題型三旋轉體中與截面有關的計算問題【例3】兩平行平面截半徑為5的球，若截面面積分別為9π和16π，則這兩個平面間的距離是.

解析由已知得兩個截面圓半徑分別為3和4，如圖①所示，兩個平行平面在球心同側，則CD＝52－32－52－42＝4－3＝1；如圖②所示，兩個平行截面在球心兩側，則CD＝5答案1或7通性通法旋轉體截面問題的解題策略（1）畫出旋轉體的軸截面或相關截面；（2）在截面中借助直角三角形或三角形相似關系建立高、母線長、底面圓或截面圓的半徑長的等量關系即可求解.若底面半徑為2且底面水平放置的圓錐被過高的中點且平行于底面的平面所截，則截得的截面圓的面積為（）A.π B.2π C.3π D.4π解析：A由題意，底面半徑為2且底面水平放置的圓錐被過高的中點且平行于底面的平面所截，如圖所示，設截面圓的半徑為r，底面圓半徑為R，易知△SA1O1∽△SAO，故O1A1OA＝rR＝SO1SO＝12，可得r＝12R＝1，所以截得的截面圓的面積為1.如圖所示的幾何體是由哪個平面圖形旋轉得到的（）解析：DA中圖形旋轉得到兩個圓錐與一個圓柱，不合題意；B中圖形旋轉得到兩個相同底面的圓錐，不合題意；C中圖形旋轉得到相同底面的圓柱與圓錐，不合題意；D中圖形旋轉得到一個圓臺與一個圓錐，符合題意.故選D.2.下列說法中正確的是（）A.將正方形旋轉不可能形成圓柱B.夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體還是一個旋轉體C.圓錐截去一個小圓錐后剩余部分是圓臺D.通過圓臺側面上一點，有無數條母線解析：C將正方形繞其一邊所在直線旋轉可以形成圓柱，所以A錯誤；B中沒有說明這兩個平行截面的位置關系，當這兩個平行截面與底面平行時正確，其他情況下結論不一定正確，所以B錯誤；通過圓臺側面上一點，只有一條母線，所以D錯誤.3.關于圖中的組合體的結構特征有以下幾種說法：①由一個長方體挖去一