《信號與系統(tǒng)》課件ch4

1第四章連續(xù)系統(tǒng)的s域分析4.1拉普拉斯變換一、從傅里葉變換到拉普拉斯變換二、收斂域三、(單邊)拉普拉斯變換4.2拉普拉斯變換的性質4.3拉普拉斯變換逆變換4.4復頻域分析一、微分方程的變換解二、系統(tǒng)函數(shù)4.5系統(tǒng)特性與系統(tǒng)函數(shù)的關系點擊目錄，進入相關章節(jié)2第四章連續(xù)系統(tǒng)的s域分析第四章連續(xù)系統(tǒng)的s域分析

頻域分析以虛指數(shù)信號ejωt為基本信號，任意信號可分解為眾多不同頻率的虛指數(shù)分量之和。使響應的求解得到簡化。物理意義清楚。但也有不足：（1）有些重要信號不存在傅里葉變換，如e2tU(t);（2）對于給定初始狀態(tài)的系統(tǒng)難于利用頻域分析。在這一章將通過把頻域中的傅里葉變換推廣到復頻域來解決這些問題。本章引入復頻率s=σ+jω,以復指數(shù)函數(shù)est為基本信號，任意信號可分解為不同復頻率的復指數(shù)分量之和。這里用于系統(tǒng)分析的獨立變量是復頻率s

，故稱為s域分析。所采用的數(shù)學工具為拉普拉斯變換。34.1拉普拉斯變換4.1拉普拉斯變換一、從傅里葉到拉普拉斯變換有些函數(shù)不滿足絕對可積條件，求解傅里葉變換困難。為此，可用一衰減因子e-t(為實常數(shù)）乘信號f(t)，適當選取的值，使乘積信號f(t)e-t當t∞時信號幅度趨近于0，從而使f(t)e-t的傅里葉變換存在。相應的傅里葉逆變換為f(t)e-t=Fb(

+j

)=?[f(t)e-t]=令s=+j,d=ds/j，有44.1拉普拉斯變換雙邊拉普拉斯變換對Fb(s)稱為f(t)的雙邊拉氏變換（或象函數(shù)），f(t)稱為Fb(s)的雙邊拉氏逆變換（或原函數(shù)）。二、拉氏變換的收斂域（ROC）

只有選擇適當?shù)闹挡拍苁狗e分收斂，信號f(t)的雙邊拉普拉斯變換存在。使f(t)拉氏變換存在的取值范圍稱為Fb(s)的收斂域。下面舉例說明Fb(s)收斂域的問題。54.1拉普拉斯變換例4.1.1因果信號f1(t)=e

tU(t)，求其拉普拉斯變換。

解可見，對于因果信號，僅當Re[s]=

>

時，其拉氏變換存在。收斂域如圖所示。收斂域收斂邊界64.1拉普拉斯變換例4.1.2反因果信號f2(t)=etU(-t)，求拉普拉斯變換。解可見，對于反因果信號，僅當Re[s]=

<

時，其拉氏變換存在。收斂域如圖所示。74.1拉普拉斯變換例4.1.3雙邊信號求其拉普拉斯變換。求其拉普拉斯變換。解其雙邊拉普拉斯變換Fb(s)=Fb1(s)+Fb2(s)僅當

>

時，其收斂域為

<Re[s]<

的一個帶狀區(qū)域，如圖所示。84.1拉普拉斯變換例4.1.4求下列信號的雙邊拉氏變換。

f1(t)=e-3tU(t)+e-2tU(t)f2(t)=–e-3tU(–t)–e-2tU(–t)f3(t)=e-3tU(t)–e-2tU(–t)解Re[s]=

>–2Re[s]=

<–3–3<<–2可見，象函數(shù)相同，但收斂域不同。雙邊拉氏變換必須標出收斂域。94.1拉普拉斯變換通常遇到的信號都有初始時刻，不妨設其初始時刻為坐標原點。這樣，t<0時，f(t)=0。從而拉氏變換式寫為稱為單邊拉氏變換。簡稱拉氏變換。其收斂域一定是Re[s]>

，可以省略。本課程主要討論單邊拉氏變換。三、單邊拉氏變換簡記為F(s)=￡[f(t)]f(t)=￡

-1[F(s)]或

f(t)←→F(s)104.1拉普拉斯變換四、常見函數(shù)的拉普拉斯變換1、

(t)←→1，

>-∞2、U(t)或1←→1/s，

>03、指數(shù)函數(shù)e-s0t←→

>-Re[s0]cos

0t=(ej

0t+e-j

0t)/2←→sin

0t=(ej

0t–e-j

0t)/2j←→114.1拉普拉斯變換五、單邊拉氏變換與傅里葉變換的關系Re[s]>

0

要討論其關系，f(t)必須為因果信號。根據(jù)收斂坐標

0的值可分為以下三種情況：（1）

0<0，即F(s)的收斂域包含j

軸，則f(t)的傅里葉變換存在，并且F(j

)=F(s)

s=j

如f(t)=e-2tU(t)←→F(s)=1/(s+2),>-2；則F(j)=1/(j+2)124.1拉普拉斯變換（2）

0=0，即F(s)的收斂邊界為j軸，

如f(t)=U(t)←→F(s)=1/s=()+1/j（3）

0>0，F(xiàn)(j

)不存在。例f(t)=e2tU(t)←→F(s)=1/(s–2),>2；其傅里葉變換不存在。134.2拉普拉斯變換性質4.2拉普拉斯變換性質一、線性性質若f1(t)←→F1(s)Re[s]>1,f2(t)←→F2(s)Re[s]>2則a1f1(t)+a2f2(t)←→a1F1(s)+a2F2(s)Re[s]>max(1,2)例f(t)=

(t)+U(t)←→1+1/s，

>0二、尺度變換若f(t)←→F(s),Re[s]>0，且實數(shù)a>0，Re[s]>a0

144.2拉普拉斯變換性質例4.2.1：如圖信號f(t)的拉氏變換求圖中信號y(t)的拉氏變換Y(s)。解：y(t)=4f(0.5t)Y(s)=4×2F(2s)154.2拉普拉斯變換性質三、時移（延時）特性若f(t)←→F(s),Re[s]>

0,且有實常數(shù)t0>0,則f(t-t0)U(t-t0)←→

e-st0F(s),Re[s]>

0

與尺度變換相結合f(at-t0)U(at-t0)←→例4.2.2:求如圖信號的單邊拉氏變換。解：f1(t)=U(t)–U(t-1)，f2(t)=U(t+1)–U(t-1)F1(s)=F2(s)=F1(s)164.2拉普拉斯變換性質例4.2.3:已知f1(t)←→F1(s),求f2(t)←→F2(s)解：f2(t)=f1(0.5t)–f1[0.5(t-2)]f1(0.5t)←→2F1(2s)f1[0.5(t-2)]←→2F1(2s)e-2sf2(t)←→2F1(2s)(1–e-2s)例4.2.4:求f(t)=e-2(t-1)U(t)←→F

(s)=?174.2拉普拉斯變換性質四、復頻移（s域平移）特性若f(t)←→F(s),Re[s]>

0,且有復常數(shù)sa=

a+j

a,則f(t)esat←→F(s-sa),Re[s]>

0+

a

例4.2.5:已知因果信號f(t)的象函數(shù)F(s)=求e-tf(3t-2)的象函數(shù)。解：e-tf(3t-2)←→184.2拉普拉斯變換性質五、時域的微分特性（微分定理）若f(t)←→F(s),Re[s]>

0,則f’(t)←→sF(s)–f(0-)f’’(t)←→s2F(s)–sf(0-)–f’(0-)f(n)(t)←→snF(s)–若f(t)為因果信號，則f(n)(t)←→snF(s)例4.2.6:

(n)(t)←→?例4.2.7:例4.2.8:194.2拉普拉斯變換性質六、時域積分特性（積分定理）若f(t)←→F(s),Re[s]>

0,則例4.2.9:t2U(t)←→?204.2拉普拉斯變換性質例4.2.10:已知因果信號f(t)如圖,求F(s)解：對f(t)求導得f’(t)，如圖由于f(t)為因果信號，故f(0-)=0214.2拉普拉斯變換性質七、卷積定理時域卷積定理若因果函數(shù)f1(t)←→F1(s),Re[s]>

1,f2(t)←→F2(s),Re[s]>

2則f1(t)*f2(t)←→F1(s)F2(s)復頻域（s域）卷積定理

例4.2.11：tU(t)←→?224.2拉普拉斯變換性質八、s域微分若f(t)←→F(s),Re[s]>

0,則例4.2.12：t2e-2tU(t)←→?e-2tU(t)←→1/(s+2)t2e-2tU(t)←→234.2拉普拉斯變換性質九、初值定理和終值定理初值定理和終值定理常用于由F(s)直接求f(0+)和f(∞），而不必求出原函數(shù)f(t)初值定理設函數(shù)f(t)不含

(t)及其各階導數(shù)（即F(s)為真分式，若F(s)為假分式化為真分式），則終值定理若f(t)當t→∞時存在，并且f(t)←→F(s),Re[s]>

0,

0<0，則244.2拉普拉斯變換性質例4.2.13：例4.2.14：254.3拉普拉斯逆變換4.3拉普拉斯逆變換直接利用定義式求反變換---復變函數(shù)積分，比較困難。通常的方法（1）查表（2）利用性質（3）部分分式展開若象函數(shù)F(s)是s的有理分式，可寫為若m≥n（假分式）,可用多項式除法將象函數(shù)F(s)分解為有理多項式P(s)與有理真分式之和。比如：264.3拉普拉斯逆變換由于L-1[1]=

(t)，L

-1[sn]=

(n)(t)，故多項式P(s)的拉普拉斯逆變換由沖激函數(shù)構成。下面主要討論有理真分式的情形。部分分式展開法若F(s)是s的實系數(shù)有理真分式（m<n)，則可寫為式中A(s)稱為F(s)的特征多項式，方程A(s)=0稱為特征方程，它的根稱為特征根，也稱為F(s)的固有頻率（或自然頻率）。n個特征根pi稱為F(s)的極點。274.3拉普拉斯逆變換（1）F(s)為單極點（單根）例4.3.1:，求其逆變換284.3拉普拉斯逆變換294.3拉普拉斯逆變換例4.3.2:304.3拉普拉斯逆變換314.3拉普拉斯逆變換特例：若F(s)包含共軛復根時(p1,2=–±j)K2=K1*f1(t)=2|K1|e-

tcos(

t+

)U(t)若寫為K1,2=A±jBf1(t)=2e-

t[Acos(

t)–Bsin(

t)]U(t)324.3拉普拉斯逆變換例4.3.3334.3拉普拉斯逆變換344.3拉普拉斯逆變換例4.3.4：求象函數(shù)F(s)的原函數(shù)f(t)。解：A(s)=0有6個單根，它們分別是s1=0，s2=–1，s3,4=

j1，s5,6=–1

j1，故K1=sF(s)|s=0=2，K2=(s+1)F(s)|s=-1=–1K3=(s–j)F(s)|s=j=j/2=(1/2)ej(

/2),K4=K3*=(1/2)e-j(

/2)K5=(s+1–j)F(s)|s=-1+j=K6=K5*354.3拉普拉斯逆變換（2）F(s)有重極點（重根）若A(s)=0在s=p1處有r重根，K11=[(s–p1)rF(s)]|s=p1，K12=(d/ds)[(s–p1)rF(s)]|s=p1

364.3拉普拉斯逆變換舉例:374.3拉普拉斯逆變換384.4復頻域分析

4.4復頻域系統(tǒng)分析

一、微分方程的變換解描述n階系統(tǒng)的微分方程的一般形式為系統(tǒng)的初始狀態(tài)為y(0-),y(1)(0-),…，y(n-1)(0-)。思路：用拉普拉斯變換微分特性若f(t)在t=0時接入系統(tǒng)，則f(j)(t)←→sjF(s)394.4復頻域分析例4.4.1

描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為

y"(t)+5y'(t)+6y(t)=2f'(t)+6f(t)已知初始狀態(tài)y(0-)=1，y'(0-)=-1，激勵f(t)=5costU(t)，求系統(tǒng)的全響應y(t)解：方程取拉氏變換，并整理得y(t)，yx(t)，yf(t)s域的代數(shù)方程Yx(s)Yf(s)404.4復頻域分析y(t)=2e–2tU(t)

–e–3tU(t)

-4e–2tU(t)

+yx(t)yf(t)暫態(tài)分量yt(t)穩(wěn)態(tài)分量ys(t)Yx(s)Yf(s)414.4復頻域分析二、系統(tǒng)函數(shù)1.定義：系統(tǒng)函數(shù)H(s)定義為它只與系統(tǒng)的結構、元件參數(shù)有關，而與激勵、初始狀態(tài)無關。yf(t)=h(t)*f(t)H(s)=L[h(t)]Yf(s)=L[h(t)]F(s)424.4復頻域分析2.系統(tǒng)函數(shù)的確定（1）由定義計算（2）h(t)←→H(s)（3）微分方程設系統(tǒng)微分方程為：則系統(tǒng)函數(shù)為：434.4復頻域分析f(t)y(t)7123－－－x(t)++例4.4.2：某因果系統(tǒng)框圖如下，（1）微分方程；（2）沖激響應；（3）零狀態(tài)響應。解：先求系統(tǒng)函數(shù)。倆加法器輸出方程為：兩邊取拉氏變換（零狀態(tài)下），有444.4復頻域分析解之得系統(tǒng)函數(shù)為：(1)微分方程：(2)沖激響應：作部分分式展開，得所以(3)零狀態(tài)響應：展開得所以454.5系統(tǒng)特性與系統(tǒng)函數(shù)的關系4.5系統(tǒng)特性與系統(tǒng)函數(shù)的關系系統(tǒng)函數(shù)是在S域中對系統(tǒng)進行表征的一種重要手段。實際上，系統(tǒng)設計中所關注的兩個個重要特性：因果性、穩(wěn)定性以及系統(tǒng)的頻率響應均與系統(tǒng)函數(shù)密切相關。下面討論這些關系。一、系統(tǒng)的因果性LTI系統(tǒng)因果性的充分必