《信號與系統(tǒng)》課件ch4

1第四章連續(xù)系統(tǒng)的s域分析4.1拉普拉斯變換一、從傅里葉變換到拉普拉斯變換二、收斂域三、(單邊)拉普拉斯變換4.2拉普拉斯變換的性質(zhì)4.3拉普拉斯變換逆變換4.4復(fù)頻域分析一、微分方程的變換解二、系統(tǒng)函數(shù)4.5系統(tǒng)特性與系統(tǒng)函數(shù)的關(guān)系點擊目錄，進入相關(guān)章節(jié)2第四章連續(xù)系統(tǒng)的s域分析第四章連續(xù)系統(tǒng)的s域分析

頻域分析以虛指數(shù)信號ejωt為基本信號，任意信號可分解為眾多不同頻率的虛指數(shù)分量之和。使響應(yīng)的求解得到簡化。物理意義清楚。但也有不足：（1）有些重要信號不存在傅里葉變換，如e2tU(t);（2）對于給定初始狀態(tài)的系統(tǒng)難于利用頻域分析。在這一章將通過把頻域中的傅里葉變換推廣到復(fù)頻域來解決這些問題。本章引入復(fù)頻率s=σ+jω,以復(fù)指數(shù)函數(shù)est為基本信號，任意信號可分解為不同復(fù)頻率的復(fù)指數(shù)分量之和。這里用于系統(tǒng)分析的獨立變量是復(fù)頻率s

，故稱為s域分析。所采用的數(shù)學(xué)工具為拉普拉斯變換。34.1拉普拉斯變換4.1拉普拉斯變換一、從傅里葉到拉普拉斯變換有些函數(shù)不滿足絕對可積條件，求解傅里葉變換困難。為此，可用一衰減因子e-t(為實常數(shù)）乘信號f(t)，適當(dāng)選取的值，使乘積信號f(t)e-t當(dāng)t∞時信號幅度趨近于0，從而使f(t)e-t的傅里葉變換存在。相應(yīng)的傅里葉逆變換為f(t)e-t=Fb(

+j

)=?[f(t)e-t]=令s=+j,d=ds/j，有44.1拉普拉斯變換雙邊拉普拉斯變換對Fb(s)稱為f(t)的雙邊拉氏變換（或象函數(shù)），f(t)稱為Fb(s)的雙邊拉氏逆變換（或原函數(shù)）。二、拉氏變換的收斂域（ROC）

只有選擇適當(dāng)?shù)闹挡拍苁狗e分收斂，信號f(t)的雙邊拉普拉斯變換存在。使f(t)拉氏變換存在的取值范圍稱為Fb(s)的收斂域。下面舉例說明Fb(s)收斂域的問題。54.1拉普拉斯變換例4.1.1因果信號f1(t)=e

tU(t)，求其拉普拉斯變換。

解可見，對于因果信號，僅當(dāng)Re[s]=

>

時，其拉氏變換存在。收斂域如圖所示。收斂域收斂邊界64.1拉普拉斯變換例4.1.2反因果信號f2(t)=etU(-t)，求拉普拉斯變換。解可見，對于反因果信號，僅當(dāng)Re[s]=

<

時，其拉氏變換存在。收斂域如圖所示。74.1拉普拉斯變換例4.1.3雙邊信號求其拉普拉斯變換。求其拉普拉斯變換。解其雙邊拉普拉斯變換Fb(s)=Fb1(s)+Fb2(s)僅當(dāng)

>

時，其收斂域為

<Re[s]<

的一個帶狀區(qū)域，如圖所示。84.1拉普拉斯變換例4.1.4求下列信號的雙邊拉氏變換。

f1(t)=e-3tU(t)+e-2tU(t)f2(t)=–e-3tU(–t)–e-2tU(–t)f3(t)=e-3tU(t)–e-2tU(–t)解Re[s]=

>–2Re[s]=

<–3–3<<–2可見，象函數(shù)相同，但收斂域不同。雙邊拉氏變換必須標(biāo)出收斂域。94.1拉普拉斯變換通常遇到的信號都有初始時刻，不妨設(shè)其初始時刻為坐標(biāo)原點。這樣，t<0時，f(t)=0。從而拉氏變換式寫為稱為單邊拉氏變換。簡稱拉氏變換。其收斂域一定是Re[s]>

，可以省略。本課程主要討論單邊拉氏變換。三、單邊拉氏變換簡記為F(s)=￡[f(t)]f(t)=￡

-1[F(s)]或

f(t)←→F(s)104.1拉普拉斯變換四、常見函數(shù)的拉普拉斯變換1、

(t)←→1，

>-∞2、U(t)或1←→1/s，

>03、指數(shù)函數(shù)e-s0t←→

>-Re[s0]cos

0t=(ej

0t+e-j

0t)/2←→sin

0t=(ej

0t–e-j

0t)/2j←→114.1拉普拉斯變換五、單邊拉氏變換與傅里葉變換的關(guān)系Re[s]>

0

要討論其關(guān)系，f(t)必須為因果信號。根據(jù)收斂坐標(biāo)

0的值可分為以下三種情況：（1）

0<0，即F(s)的收斂域包含j

軸，則f(t)的傅里葉變換存在，并且F(j

)=F(s)

s=j

如f(t)=e-2tU(t)←→F(s)=1/(s+2),>-2；則F(j)=1/(j+2)124.1拉普拉斯變換（2）

0=0，即F(s)的收斂邊界為j軸，

如f(t)=U(t)←→F(s)=1/s=()+1/j（3）

0>0，F(xiàn)(j

)不存在。例f(t)=e2tU(t)←→F(s)=1/(s–2),>2；其傅里葉變換不存在。134.2拉普拉斯變換性質(zhì)4.2拉普拉斯變換性質(zhì)一、線性性質(zhì)若f1(t)←→F1(s)Re[s]>1,f2(t)←→F2(s)Re[s]>2則a1f1(t)+a2f2(t)←→a1F1(s)+a2F2(s)Re[s]>max(1,2)例f(t)=

(t)+U(t)←→1+1/s，

>0二、尺度變換若f(t)←→F(s),Re[s]>0，且實數(shù)a>0，Re[s]>a0

144.2拉普拉斯變換性質(zhì)例4.2.1：如圖信號f(t)的拉氏變換求圖中信號y(t)的拉氏變換Y(s)。解：y(t)=4f(0.5t)Y(s)=4×2F(2s)154.2拉普拉斯變換性質(zhì)三、時移（延時）特性若f(t)←→F(s),Re[s]>

0,且有實常數(shù)t0>0,則f(t-t0)U(t-t0)←→

e-st0F(s),Re[s]>

0

與尺度變換相結(jié)合f(at-t0)U(at-t0)←→例4.2.2:求如圖信號的單邊拉氏變換。解：f1(t)=U(t)–U(t-1)，f2(t)=U(t+1)–U(t-1)F1(s)=F2(s)=F1(s)164.2拉普拉斯變換性質(zhì)例4.2.3:已知f1(t)←→F1(s),求f2(t)←→F2(s)解：f2(t)=f1(0.5t)–f1[0.5(t-2)]f1(0.5t)←→2F1(2s)f1[0.5(t-2)]←→2F1(2s)e-2sf2(t)←→2F1(2s)(1–e-2s)例4.2.4:求f(t)=e-2(t-1)U(t)←→F

(s)=?174.2拉普拉斯變換性質(zhì)四、復(fù)頻移（s域平移）特性若f(t)←→F(s),Re[s]>

0,且有復(fù)常數(shù)sa=

a+j

a,則f(t)esat←→F(s-sa),Re[s]>

0+

a

例4.2.5:已知因果信號f(t)的象函數(shù)F(s)=求e-tf(3t-2)的象函數(shù)。解：e-tf(3t-2)←→184.2拉普拉斯變換性質(zhì)五、時域的微分特性（微分定理）若f(t)←→F(s),Re[s]>

0,則f’(t)←→sF(s)–f(0-)f’’(t)←→s2F(s)–sf(0-)–f’(0-)f(n)(t)←→snF(s)–若f(t)為因果信號，則f(n)(t)←→snF(s)例4.2.6:

(n)(t)←→?例4.2.7:例4.2.8:194.2拉普拉斯變換性質(zhì)六、時域積分特性（積分定理）若f(t)←→F(s),Re[s]>

0,則例4.2.9:t2U(t)←→?204.2拉普拉斯變換性質(zhì)例4.2.10:已知因果信號f(t)如圖,求F(s)解：對f(t)求導(dǎo)得f’(t)，如圖由于f(t)為因果信號，故f(0-)=0214.2拉普拉斯變換性質(zhì)七、卷積定理時域卷積定理若因果函數(shù)f1(t)←→F1(s),Re[s]>

1,f2(t)←→F2(s),Re[s]>

2則f1(t)*f2(t)←→F1(s)F2(s)復(fù)頻域（s域）卷積定理

例4.2.11：tU(t)←→?224.2拉普拉斯變換性質(zhì)八、s域微分若f(t)←→F(s),Re[s]>

0,則例4.2.12：t2e-2tU(t)←→?e-2tU(t)←→1/(s+2)t2e-2tU(t)←→234.2拉普拉斯變換性質(zhì)九、初值定理和終值定理初值定理和終值定理常用于由F(s)直接求f(0+)和f(∞），而不必求出原函數(shù)f(t)初值定理設(shè)函數(shù)f(t)不含

(t)及其各階導(dǎo)數(shù)（即F(s)為真分式，若F(s)為假分式化為真分式），則終值定理若f(t)當(dāng)t→∞時存在，并且f(t)←→F(s),Re[s]>

0,

0<0，則244.2拉普拉斯變換性質(zhì)例4.2.13：例4.2.14：254.3拉普拉斯逆變換4.3拉普拉斯逆變換直接利用定義式求反變換---復(fù)變函數(shù)積分，比較困難。通常的方法（1）查表（2）利用性質(zhì)（3）部分分式展開若象函數(shù)F(s)是s的有理分式，可寫為若m≥n（假分式）,可用多項式除法將象函數(shù)F(s)分解為有理多項式P(s)與有理真分式之和。比如：264.3拉普拉斯逆變換由于L-1[1]=

(t)，L

-1[sn]=

(n)(t)，故多項式P(s)的拉普拉斯逆變換由沖激函數(shù)構(gòu)成。下面主要討論有理真分式的情形。部分分式展開法若F(s)是s的實系數(shù)有理真分式（m<n)，則可寫為式中A(s)稱為F(s)的特征多項式，方程A(s)=0稱為特征方程，它的根稱為特征根，也稱為F(s)的固有頻率（或自然頻率）。n個特征根pi稱為F(s)的極點。274.3拉普拉斯逆變換（1）F(s)為單極點（單根）例4.3.1:，求其逆變換284.3拉普拉斯逆變換294.3拉普拉斯逆變換例4.3.2:304.3拉普拉斯逆變換314.3拉普拉斯逆變換特例：若F(s)包含共軛復(fù)根時(p1,2=–±j)K2=K1*f1(t)=2|K1|e-

tcos(

t+

)U(t)若寫為K1,2=A±jBf1(t)=2e-

t[Acos(

t)–Bsin(

t)]U(t)324.3拉普拉斯逆變換例4.3.3334.3拉普拉斯逆變換344.3拉普拉斯逆變換例4.3.4：求象函數(shù)F(s)的原函數(shù)f(t)。解：A(s)=0有6個單根，它們分別是s1=0，s2=–1，s3,4=

j1，s5,6=–1

j1，故K1=sF(s)|s=0=2，K2=(s+1)F(s)|s=-1=–1K3=(s–j)F(s)|s=j=j/2=(1/2)ej(

/2),K4=K3*=(1/2)e-j(

/2)K5=(s+1–j)F(s)|s=-1+j=K6=K5*354.3拉普拉斯逆變換（2）F(s)有重極點（重根）若A(s)=0在s=p1處有r重根，K11=[(s–p1)rF(s)]|s=p1，K12=(d/ds)[(s–p1)rF(s)]|s=p1

364.3拉普拉斯逆變換舉例:374.3拉普拉斯逆變換384.4復(fù)頻域分析

4.4復(fù)頻域系統(tǒng)分析

一、微分方程的變換解描述n階系統(tǒng)的微分方程的一般形式為系統(tǒng)的初始狀態(tài)為y(0-),y(1)(0-),…，y(n-1)(0-)。思路：用拉普拉斯變換微分特性若f(t)在t=0時接入系統(tǒng)，則f(j)(t)←→sjF(s)394.4復(fù)頻域分析例4.4.1

描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為

y"(t)+5y'(t)+6y(t)=2f'(t)+6f(t)已知初始狀態(tài)y(0-)=1，y'(0-)=-1，激勵f(t)=5costU(t)，求系統(tǒng)的全響應(yīng)y(t)解：方程取拉氏變換，并整理得y(t)，yx(t)，yf(t)s域的代數(shù)方程Yx(s)Yf(s)404.4復(fù)頻域分析y(t)=2e–2tU(t)

–e–3tU(t)

-4e–2tU(t)

+yx(t)yf(t)暫態(tài)分量yt(t)穩(wěn)態(tài)分量ys(t)Yx(s)Yf(s)414.4復(fù)頻域分析二、系統(tǒng)函數(shù)1.定義：系統(tǒng)函數(shù)H(s)定義為它只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、元件參數(shù)有關(guān)，而與激勵、初始狀態(tài)無關(guān)。yf(t)=h(t)*f(t)H(s)=L[h(t)]Yf(s)=L[h(t)]F(s)424.4復(fù)頻域分析2.系統(tǒng)函數(shù)的確定（1）由定義計算（2）h(t)←→H(s)（3）微分方程設(shè)系統(tǒng)微分方程為：則系統(tǒng)函數(shù)為：434.4復(fù)頻域分析f(t)y(t)7123－－－x(t)++例4.4.2：某因果系統(tǒng)框圖如下，（1）微分方程；（2）沖激響應(yīng)；（3）零狀態(tài)響應(yīng)。解：先求系統(tǒng)函數(shù)。倆加法器輸出方程為：兩邊取拉氏變換（零狀態(tài)下），有444.4復(fù)頻域分析解之得系統(tǒng)函數(shù)為：(1)微分方程：(2)沖激響應(yīng)：作部分分式展開，得所以(3)零狀態(tài)響應(yīng)：展開得所以454.5系統(tǒng)特性與系統(tǒng)函數(shù)的關(guān)系4.5系統(tǒng)特性與系統(tǒng)函數(shù)的關(guān)系系統(tǒng)函數(shù)是在S域中對系統(tǒng)進行表征的一種重要手段。實際上，系統(tǒng)設(shè)計中所關(guān)注的兩個個重要特性：因果性、穩(wěn)定性以及系統(tǒng)的頻率響應(yīng)均與系統(tǒng)函數(shù)密切相關(guān)。下面討論這些關(guān)系。一、系統(tǒng)的因果性LTI系統(tǒng)因果性的充分必