任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù) 高考數(shù)學一輪復習

第四單元三角函數(shù)、解三角形第20課時任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)第一部分大單元過關(guān)01知識體系02考情回顧03課前自學目錄04課堂導學【單元概述】本單元學習了三角函數(shù)的概念和性質(zhì)（單調(diào)性，周期

性，奇偶性，最值），三角函數(shù)的圖象及變換，三角恒等變換（主要是

化簡求值），正、余弦定理，運用三角函數(shù)模型解決一些實際問題.

年份新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷適應性卷2023第8題三角恒等變換第15題余弦函數(shù)圖象與性質(zhì)，零點個數(shù)問題第17題正弦兩角和（差）式，正弦定理的應用第7題三角恒等變換第16題三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)第17題余弦定理四

省第11題三角函數(shù)定義的使用及終邊相同的角的關(guān)

系第18題三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)2022第6題三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)第18題正弦定理、三角恒等變換、誘導公式、

三角函數(shù)的最值第6題三角恒等

變換第9題三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)及導數(shù)第18題正弦定理、余弦定理年份新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷適應性卷2021第4題三角函數(shù)的單調(diào)性第6題三角恒等

變換第10題三角與向量的綜合第19題正弦定理、余弦定理第18題正弦定

理、余弦定理八

省第12題三角函數(shù)的周期性、最值、單調(diào)性第15題三角函數(shù)的周期性第18題余弦

定理的應用2020第10題三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)第15題解三角形的綜合應用第17題正弦定

理、余弦定理第11題三角函數(shù)

的圖象與性質(zhì)第16題解三角形

的綜合應用第17題正弦定

理、余弦定理山

東第14題三角

恒等變換、

誘導公式第18題余弦

定理的應用高考預測1.重點：三角函數(shù)的概念和性質(zhì)（單調(diào)性、周期性、奇

偶性、最值），三角函數(shù)的圖象及變換，三角恒等變換

（主要是化簡求值）.2.熱點：三角函數(shù)模型的應用，正、余弦定理及其應用.3.關(guān)注點：①

掌握公式化簡求值、三角恒等變換以及與其他知識的交匯等.

②

注重方程的思想、函數(shù)的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、化歸的思想、分類討論的思想等重要的數(shù)學思想方法的滲透和運用.【課時目標】了解任意角的概念和弧度制；理解弧度與角度的互化以

及任意角的正弦、余弦、正切的定義.【考情概述】任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)是新高考考查的重

點內(nèi)容之一，常以選擇題或填空題的形式進行考查，時有交匯，難度較

易，屬于高頻考點.

知識梳理1.任意角（1）

角的概念：角可以看成一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)所成的圖形.（2）

角的分類：正角、負角和零角：一條射線繞其端點按

?方向旋轉(zhuǎn)形成的角

叫做正角，按

?方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負角；如果一條射線沒

有做任何旋轉(zhuǎn)，那么稱它形成了一個

?.象限角：使角的頂點與原點重合，角的始邊與

x

軸的非負半軸重合，那

么，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角.如果角的終邊在

坐標軸上，那么就認為這個角不屬于任何一個象限.（3）

與角α的終邊相同的角的集合

S

＝

?

?.逆時針順時針零角{β｜β＝α＋

k

·360°，

k

∈Z}

2.弧度制的定義和公式（1）

定義：長度等于

的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的

角，弧度單位用符號rad表示，讀作弧度.（2）

公式（在半徑為

r

的圓中）：角α的弧度數(shù)公式｜α｜＝

（弧長用

l

表示）角度與弧度的換算①1°＝

≈0.01745

rad

；②1rad

＝

≈57.30°

弧長公式

l

＝

?扇形的面積公式

S

＝

lr

＝

α

r

2

，α∈（0，2π）半徑長

｜α｜

r

y

x

常用結(jié)論1.關(guān)于終邊相同的角的度數(shù)的三個常見結(jié)論：（1）

終邊相同的角的度數(shù)相差360°的整數(shù)倍；（2）

終邊在同一條直線上的角的度數(shù)相差180°的整數(shù)倍；（3）

終邊在相互垂直的兩條直線上的角的度數(shù)相差90°的整數(shù)倍.2.對于已知角α，判斷角α的相應三角函數(shù)值的符號問題，常依據(jù)三角函

數(shù)的定義，總結(jié)為“一全正、二正弦、三正切、四余弦”.

4.三角函數(shù)的幾何表示：三角函數(shù)線可以看成是三角函數(shù)的幾何表示.正弦線的起點都在

x

軸上，余弦線的起點都是原點，正切線的起點都是

（1，0）.如圖所示的有向線段

MP

，

OM

，

AT

分別叫做角α的正弦線、

余弦線、正切線.

A.

B.

C.

D.

3.與2023°角的終邊相同的最小正角是

?.???√B223°

4.（RA一P182練習第4題）對于①sin

θ＞0，②sin

θ＜0，③cos

θ＞0，

④cos

θ＜0，⑤tanθ＞0與⑥tanθ＜0，選擇恰當?shù)年P(guān)系式序號填空：（1）θ為第一象限角的充要條件是

?；（2）θ為第二象限角的充要條件是

?；（3）θ為第三象限角的充要條件是

?；（4）θ為第四象限角的充要條件是

?.①③⑤

①④⑥

②④⑤

②③⑥

5.已知角α的終邊經(jīng)過點

P

（－2

sin

30°，－2

cos

30°），則

sin

α

＝

?.

3

（3）

已知角α的終邊在如圖所示的涂色部分表示的范圍內(nèi)（不包括邊

界），則角α用集合可表示為

?.

總結(jié)提煉

1.表示終邊落在直線上的角的集合的步驟（1）

寫出在0°～360°范圍內(nèi)相應的角；（2）

由終邊相同的角的表示方法寫出角的集合；（3）

根據(jù)條件，能合并的盡量合并，確保結(jié)果簡潔.2.象限角的判定方法（1）

利用終邊的位置判斷：在平面直角坐標系中，作出已知角并根

據(jù)象限角的定義直接判斷已知角是第幾象限角；（2）

利用化歸思想判斷：將角轉(zhuǎn)化到0°～360°范圍內(nèi)，在平面直

角坐標系中，找出與已知角的終邊相同的角α，再由角α的終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角.3.分角、倍角所在象限的判定思路（1）

已知角α的終邊所在的象限，確定角

（

n

＞1，

n

∈N*）的終邊

所在的象限.①

分類討論法：要對

k

的取值分以下幾種情況進行討論，

k

被

n

整除；

k

被

n

除余1；

k

被

n

除余2；…；

k

被

n

除余

n

－1.②

幾何法：依據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想，簡單直觀.（2）

已知角α的終邊所在的象限，確定角

n

α（

n

＞1，

n

∈N*）的終邊

所在的象限，可依據(jù)角α的大小范圍求出角

n

α的大小范圍，再直接轉(zhuǎn)

化為終邊相同的角即可.注意不要漏掉角

n

α的終邊在坐標軸上的情況.[對點訓練]1.下列說法錯誤的是（

A

）A.－

是第二象限角B.

是第三象限角C.－400°是第四象限角D.－315°是第一象限角A

A.第一象限角B.第二象限角C.第一或第二象限角D.第一或第三象限角D

考點二

扇形的弧長與面積公式例2（1）

已知扇形的周長是4，則當扇形的面積最大時，扇形的圓心

角的弧度數(shù)是（

A

）A.2B.1C.

D.3

A（2）

（多選）已知扇形的周長為6cm，面積為2cm2，則下列結(jié)論正確

的是（

ABC

）A.扇形的半徑可能為2cmB.扇形的半徑可能為1cmC.圓心角的弧度數(shù)可能為1D.圓心角的弧度數(shù)可能為2ABC

總結(jié)提煉

1.利用弧度制下扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位須是

弧度.2.在解決扇形的弧長和面積問題時，要利用圓心角所在的三角形，同

時注意圓心角的弧度須小于2π.

[對點訓練]3.已知相互嚙合的兩個齒輪，大輪有48齒，小輪有20齒，則當大輪轉(zhuǎn)動

一周時，小輪轉(zhuǎn)動的角度是

°，即

rad.如果大輪的轉(zhuǎn)速

為180r/min，小輪的半徑為10.5cm，那么小輪圓周上一點每秒轉(zhuǎn)過的弧

長為

?cm.864

151.2π

總結(jié)提煉

1.已知角α的終邊在某條直線上，求角α的三角函數(shù)值時，有以下兩種

常用方法：（1）

先利用直線與單位圓相交，求出交點坐標，然后再利用相關(guān)定

義求出相應角的三角函數(shù)值；（2）

在角α的終邊上任選一點

P

（

x

，

y

），點

P

到原點的距離為

r

（

r

＞0），則

sin

α＝

，

cos

α＝

.2.在使用三角函數(shù)的定義時，須注意

r

是正數(shù)，因此對

x

2＋

y

2開方

時，要注意結(jié)果為正.

考向2

三角函數(shù)值符號的判定例4（1）

若α為第四象限角，則下列結(jié)論正確的是（

D

）A.cos

2α＞0B.cos

2α＜0C.sin

2α＞0D.sin

2α＜0

D

{－1，3}

[對點訓練]6.若角α滿足

sin

α·

cos

α＜0，

cos

α－

sin

α＜0，