概率與統(tǒng)計(jì) 01 回歸分析與概率分布列 突破專項(xiàng)訓(xùn)練-2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)解答題

臨澧一中2022屆高三數(shù)學(xué)解答題突破專項(xiàng)訓(xùn)練概率與統(tǒng)計(jì)01（回歸分析與概率分布列）1．某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出與銷售額（單位：萬(wàn)元）之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：245683040605070（1）畫出散點(diǎn)圖；（2）求回歸直線方程；（3）試預(yù)測(cè)廣告費(fèi)支出為10萬(wàn)元時(shí)，銷售額多大？2．人類社會(huì)正進(jìn)入數(shù)字時(shí)代，網(wǎng)絡(luò)成為了必不可少的工具，智能手機(jī)也給我們的生活帶來(lái)了許多方便．但是這些方便、時(shí)尚的手機(jī)，卻也讓你的眼睛離健康越來(lái)越遠(yuǎn)．為了了解手機(jī)對(duì)視力的影響程度，某研究小組在經(jīng)常使用手機(jī)的中學(xué)生中進(jìn)行了隨機(jī)調(diào)查，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行了換算，統(tǒng)計(jì)了中學(xué)生一個(gè)月中平均每天使用手機(jī)的時(shí)間（小時(shí)）和視力損傷指數(shù)的數(shù)據(jù)如表：平均每天使用手機(jī)的時(shí)間（小時(shí)）1234567視力損傷指數(shù)25812151923（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求關(guān)于的線性回歸方程；（2）該小組研究得知：視力的下降值與視力損傷指數(shù)滿足函數(shù)關(guān)系式，如果小明在一個(gè)月中平均每天使用9個(gè)小時(shí)手機(jī)，根據(jù)（1）中所建立的回歸方程估計(jì)小明視力的下降值（結(jié)果保留一位小數(shù)）．參考公式及數(shù)據(jù)：，．．3．研究某設(shè)備的使用年限與維修費(fèi)用之間的關(guān)系，測(cè)得一組數(shù)據(jù)如下值為觀察值）年限（年23456維修費(fèi)用（萬(wàn)元）34.455.66.2由數(shù)據(jù)可知與有明顯的線性相關(guān)關(guān)系，可以用一條直線的方程來(lái)反映這種關(guān)系．（1）將表中的數(shù)據(jù)畫成散點(diǎn)圖；（2）如果直線過(guò)散點(diǎn)圖中的最左側(cè)點(diǎn)和最右側(cè)點(diǎn)，求出直線的方程；（3）如果直線過(guò)散點(diǎn)圖中的中間點(diǎn)（即點(diǎn)，且使維修費(fèi)用的每一個(gè)觀察值與直線上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差的絕對(duì)值之和最小，求出直線的方程．4．為推動(dòng)實(shí)施健康中國(guó)戰(zhàn)略，樹(shù)立國(guó)家大衛(wèi)生、大健康觀念，手機(jī)也推出了多款健康運(yùn)動(dòng)軟件，如“微信運(yùn)動(dòng)”，某運(yùn)動(dòng)品牌公司140名員工均在微信好友群中參與了“微信運(yùn)動(dòng)”，且公司每月進(jìn)行一次評(píng)比，對(duì)該月內(nèi)每日運(yùn)動(dòng)都達(dá)到10000步及以上的員工授予該月“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”稱號(hào)，其余員工均稱為“參與者”，如表是該運(yùn)動(dòng)品牌公司140名員工2021年1月5月獲得“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”稱號(hào)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：月份12345“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”員工數(shù)1201051009580（1）由表中看出，可用線性回歸模型擬合“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”員工數(shù)與月份之間的關(guān)系，求關(guān)于的回歸直線方程，并預(yù)測(cè)該運(yùn)動(dòng)品牌公司6月份獲得“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”稱號(hào)的員工數(shù)；（2）為了進(jìn)一步了解員工們的運(yùn)動(dòng)情況，選取了員工們?cè)?月份的運(yùn)動(dòng)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：運(yùn)動(dòng)達(dá)人參與者合計(jì)男員工6080女員工2060合計(jì)10040140請(qǐng)補(bǔ)充如表中的數(shù)據(jù)（直接寫出，得值），并根據(jù)如表判斷是否有的把握認(rèn)為獲得“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”稱號(hào)與性別有關(guān)？參考公式：（其中．0.100.050.0250.0102.7063.8415.0246.6355．已知，之間的一組數(shù)據(jù)如表：1367812345（1）分別從集合，3，6，7，8，，2，3，4，5中各取一個(gè)數(shù)，，求的概率；（2）對(duì)于表中數(shù)據(jù)，甲、乙兩同學(xué)給出的擬合直線分別為與，試根據(jù)殘差平方和：的大小，判斷哪條直線擬合程度更好．6．已知某校5個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成績(jī)?nèi)缦卤韺W(xué)生的編號(hào)12345數(shù)學(xué)8075706560物理7066686462（1）假設(shè)在對(duì)這5名學(xué)生成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)時(shí)，把這5名學(xué)生的物理成績(jī)搞亂了，數(shù)學(xué)成績(jī)沒(méi)出現(xiàn)問(wèn)題，問(wèn)：恰有2名學(xué)生的物理成績(jī)是自己的實(shí)際分?jǐn)?shù)的概率是多少？（2）通過(guò)大量事實(shí)證明發(fā)現(xiàn)，一個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)和物理成績(jī)具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系的，在上述表格是正確的前提下，用表示數(shù)學(xué)成績(jī)，用表示物理成績(jī)，求與的回歸方程；（3）利用殘差分析回歸方程的擬合效果，若殘差和在范圍內(nèi)，則稱回歸方程為“優(yōu)擬方程”，問(wèn)：該回歸方程是否為“優(yōu)擬方程”．參考數(shù)據(jù)和公式：，其中，；，殘差和公式為：．7．?dāng)?shù)獨(dú)是源自18世紀(jì)瑞士的一種數(shù)學(xué)游戲，玩家需要根據(jù)盤面上的已知數(shù)字，推理出所有剩余空格的數(shù)字，并滿足每一行、每一列、每一個(gè)粗線宮內(nèi)的數(shù)字均含，不重復(fù)．?dāng)?shù)獨(dú)愛(ài)好者小明打算報(bào)名參加“絲路杯”全國(guó)數(shù)獨(dú)大賽初級(jí)組的比賽．（1）賽前小明在某數(shù)獨(dú)上進(jìn)行一段時(shí)間的訓(xùn)練，每天的解題平均速度（秒與訓(xùn)練天數(shù)（天有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如表的數(shù)據(jù)：（天1234567（秒990990450320300240210現(xiàn)用作為回歸方程模型，請(qǐng)利用表中數(shù)據(jù)，求出該回歸方程，并預(yù)測(cè)小明經(jīng)過(guò)100天訓(xùn)練后，每天解題的平均速度約為多少秒？（2）小明和小紅在數(shù)獨(dú)上玩“對(duì)戰(zhàn)賽”，每局兩人同時(shí)開(kāi)始解一道數(shù)獨(dú)題，先解出題的人獲勝，兩人約定先勝4局者贏得比賽．若小明每局獲勝的概率為，已知在前3局中小明勝2局，小紅勝1局．若不存在平局，請(qǐng)你估計(jì)小明最終贏得比賽的概率．參考數(shù)據(jù)（其中18450.370.55參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，，，，，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，．8．噪聲污染已經(jīng)成為影響人們身體健康和生活質(zhì)量的嚴(yán)重問(wèn)題，為了解聲音強(qiáng)度（單位：與聲音能量（單位：之間的關(guān)系，將測(cè)量得到的聲音強(qiáng)度和聲音能量的數(shù)據(jù)作了初步處理，得到如圖所示的散點(diǎn)圖：參考數(shù)據(jù)：其中，，，，，，，，（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與哪一個(gè)適宜作為聲音強(qiáng)度關(guān)于聲音能量的回歸模型？（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）（2）求聲音強(qiáng)度關(guān)于聲音能量的回歸方程．（3）假定當(dāng)聲音強(qiáng)度大于時(shí)，會(huì)產(chǎn)生噪聲污染．城市中某點(diǎn)處共受到兩個(gè)聲源的影響，這兩個(gè)聲通的聲音能量分別是和，且．已知點(diǎn)處的聲音能量等于與之和．請(qǐng)根據(jù)（2）中的回歸方程，判斷點(diǎn)處是否受到噪聲污染，并說(shuō)明理由．參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，，，，，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，．9．為了研究一種昆蟲(chóng)的產(chǎn)卵數(shù)和溫度是否有關(guān)，現(xiàn)收集了7組觀測(cè)數(shù)據(jù)列于下表中，并作出了散點(diǎn)圖，發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)并沒(méi)有分布在某個(gè)帶狀區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)變量并不呈線性相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)分別用模型①：與模型②：作為產(chǎn)卵數(shù)和溫度的回歸方程來(lái)建立兩個(gè)變量之間的關(guān)系．溫度20222426283032產(chǎn)卵數(shù)個(gè)61021246411332240048457667678490010241.792.303.043.184.164.735.7726692803.571157.540.430.320.00012其中，，，，附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，，，，，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：，．（1）分別畫出關(guān)于的散點(diǎn)圖、關(guān)于的散點(diǎn)圖，根據(jù)散點(diǎn)圖判斷哪一個(gè)模型更適宜作為回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）．（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，分別建立兩個(gè)模型下建立關(guān)于的回歸方程；并在兩個(gè)模型下分別估計(jì)溫度為時(shí)的產(chǎn)卵數(shù)．，，，與估計(jì)值均精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位）（參考數(shù)據(jù)：，，（3）若模型①、②的相關(guān)指數(shù)計(jì)算分別為，，請(qǐng)根據(jù)相關(guān)指數(shù)判斷哪個(gè)模型的擬合效果更好．10．為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，減少污染物排放，某廠用“循環(huán)吸附降污法”減少污水中有害物，每次吸附后污水中有害物含量（單位：與吸附前的含量（單位：有關(guān)，該有害物的排放標(biāo)準(zhǔn)是不超過(guò)．現(xiàn)有一批污水，其中該有害物含量為，5次循環(huán)吸附降污過(guò)程中的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)如表：第1次第2次第3次第4次第5次吸附前的含量27108802909030吸附后的含量880290903010（1）已知關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為．請(qǐng)你預(yù)測(cè)首次達(dá)到排放標(biāo)準(zhǔn)時(shí)有害物的含量；（2）視（1）中所求的預(yù)測(cè)含量為實(shí)際排放含量，排放前，取份處理后的污水樣品檢測(cè)該有害物的含量．已知檢測(cè)結(jié)果的誤差，單位：，至少要取多少份樣品檢測(cè)，才能確保檢測(cè)結(jié)果符合排放標(biāo)準(zhǔn)的概率不小于0.9987．附：若，則．11．區(qū)塊鏈技術(shù)被認(rèn)為是繼蒸汽機(jī)、電力、互聯(lián)網(wǎng)之后，下一代顛覆性的核心技術(shù)區(qū)塊鏈作為構(gòu)造信任的機(jī)器，將可能徹底改變整個(gè)人類社會(huì)價(jià)值傳遞的方式，2015年至2019年五年期間，中國(guó)的區(qū)塊鏈企業(yè)數(shù)量逐年增長(zhǎng)，居世界前列現(xiàn)收集我國(guó)近5年區(qū)塊鏈企業(yè)總數(shù)量相關(guān)數(shù)據(jù)，如表：年份20152016201720182019編號(hào)12345企業(yè)總數(shù)量（單位：千個(gè)）2.1563.7278.30524.27936.224注：參考數(shù)據(jù)，，，（其中．附：樣本，，2，，的最小二乘法估計(jì)公式為，．（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)判斷，與（其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），哪一個(gè)回歸方程類型適宜預(yù)測(cè)未來(lái)幾年我國(guó)區(qū)塊鏈企業(yè)總數(shù)量？（給出結(jié)果即可，不必說(shuō)理）（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，求關(guān)于的回歸方程；（3）為了促進(jìn)公司間的合作與發(fā)展，區(qū)塊鏈聯(lián)合總部決定進(jìn)行一次信息化技術(shù)比賽，邀請(qǐng)甲、乙、丙三家區(qū)塊鏈公司參賽比賽規(guī)則如下：①每場(chǎng)比賽有兩個(gè)公司參加，并決出勝負(fù)；②每場(chǎng)比賽獲勝的公司與未參加此場(chǎng)比賽的公司進(jìn)行下一場(chǎng)的比賽；③在比賽中，若有一個(gè)公司首先獲勝兩場(chǎng)，則本次比賽結(jié)束，該公司就獲得此次信息化比賽的“優(yōu)勝公司”．已知在每場(chǎng)比賽中，甲勝乙的概率為，甲勝丙的概率為，乙勝丙的概率為，若首場(chǎng)由甲乙比賽，則求甲公司獲得“優(yōu)勝公司”的概率．12．經(jīng)觀測(cè)，某昆蟲(chóng)的產(chǎn)卵數(shù)與溫度有關(guān)，現(xiàn)將收集到的溫度和產(chǎn)卵數(shù)，2，，的10組觀測(cè)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到如圖的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量表．275731.121.71502368.3630表中，（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，，與哪一個(gè)適宜作為與之間的回歸方程模型？（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)．①試求關(guān)于回歸方程；②已知用人工培養(yǎng)該昆蟲(chóng)的成本與溫度和產(chǎn)卵數(shù)的關(guān)系為，當(dāng)溫度取整數(shù)）為何值時(shí)，培養(yǎng)成本的預(yù)報(bào)值最?。扛剑簩?duì)于一組數(shù)據(jù)，，，，，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，．13．某投資公司2012年至2021年每年的投資金額（單位：萬(wàn)元）與年利潤(rùn)增量（單位：萬(wàn)元）的散點(diǎn)圖如圖：該投資公司為了預(yù)測(cè)2022年投資金額為20萬(wàn)元時(shí)的年利潤(rùn)增量，建立了關(guān)于的兩個(gè)回歸模型；模型①：由最小二乘公式可求得與的線性回歸方程：；模型②：由圖中樣本點(diǎn)的分布，可以認(rèn)為樣本點(diǎn)集中在曲線：的附近，對(duì)投資金額做交換，令，則，且有，，，．（1）根據(jù)所給的統(tǒng)計(jì)量，求模型②中關(guān)于的回歸方程；（2）分別利用這兩個(gè)回歸模型，預(yù)測(cè)投資金額為20萬(wàn)元時(shí)的年利潤(rùn)增量（結(jié)果保留兩位小數(shù)）；（3）根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)比較兩種模型相關(guān)指數(shù)，并說(shuō)明誰(shuí)的預(yù)測(cè)值精度更高、更可靠．回歸模型模型①模型②回歸方程102.2836.19附：樣本，，2，，的最小乘估計(jì)公式為，；相關(guān)指數(shù)．參考數(shù)據(jù)：，．14．某企業(yè)新研發(fā)了一種產(chǎn)品，產(chǎn)品的成本由原料成本及非原料成本組成．每件產(chǎn)品的非原料成本（元與生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量（千件）有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如下數(shù)據(jù)：1234567856.53122.7517.815.9514.51312.5根據(jù)以上數(shù)據(jù)繪制了散點(diǎn)圖觀察散點(diǎn)圖，兩個(gè)變量間關(guān)系考慮用反比例函數(shù)模型和指數(shù)函數(shù)模型分別對(duì)兩個(gè)變量的關(guān)系進(jìn)行擬合．已求得用指數(shù)函數(shù)模型擬合的回歸方程為，與的相關(guān)系數(shù)．（1）用反比例函數(shù)模型求關(guān)于的回歸方程；（2）用相關(guān)系數(shù)判斷上述兩個(gè)模型哪一個(gè)擬合效果更好（精確到，并用其估計(jì)產(chǎn)量為10千件時(shí)每件產(chǎn)品的非原料成本；（3）根據(jù)企業(yè)長(zhǎng)期研究表明，非原料成本服從正態(tài)分布，用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值，若非原料成本在之外，說(shuō)明該成本異常，并稱落在之外的成本為異樣成本，此時(shí)需尋找出現(xiàn)異樣成本的原因．利用估計(jì)值判斷上述非原料成本數(shù)據(jù)是否需要尋找出現(xiàn)異樣成本的原因？參考數(shù)據(jù)（其中0.340.1151.531845777.55593.0630.70513.9參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，，，，，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，，相關(guān)系數(shù)．參考答案1．（1）根據(jù)表中所列數(shù)據(jù)可得散點(diǎn)圖如下：（2），又已知，．于是可得：因此，所求回歸直線方程為：（3）根據(jù)上面求得的回歸直線方程，當(dāng)廣告費(fèi)支出為10萬(wàn)元時(shí)，（萬(wàn)元）即這種產(chǎn)品的銷售收入大約為82.5萬(wàn)元2．（1）由表格數(shù)據(jù)得：，，，，所以線性回歸方程為．（2）小明的視力損傷指數(shù)，所以，估計(jì)小明視力的下降值為0.3．3．（1）如圖所示．（2）因?yàn)樯Ⅻc(diǎn)圖中的最左側(cè)點(diǎn)和最右側(cè)點(diǎn)分別是，，所以直線的方程是：，即．（3）由題意可設(shè)直線的方程為．則維修費(fèi)用的每一個(gè)觀察值與直線上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差的絕對(duì)值之和，因?yàn)榈膯握{(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值0.8，此時(shí)直線的方程是．4．（1）由題意，，又，，則，故，故，所以預(yù)測(cè)該運(yùn)動(dòng)品牌公司6月份獲得“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”稱號(hào)的員工數(shù)為人；（2）由題意，，，所以，故沒(méi)有的把握認(rèn)為獲得“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”稱號(hào)與性別有關(guān)．5．（1）由題意知：試驗(yàn)發(fā)生包含的所有事件是分別從集合，中各取一個(gè)數(shù)組成數(shù)對(duì)，共有25對(duì)，其中滿足的有，，，，，，，，，共9對(duì)。故使的概率為．（2）用作為擬合直線時(shí)，所得的實(shí)際值與的估計(jì)值的差的平方和為：．用作為擬合直線時(shí)，所得的實(shí)際值與的估計(jì)值的差的平方和為：．，故用直線擬合程度更好．6．（1）由題意知：試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是，滿足條件的事件是恰好有兩個(gè)是自己的實(shí)際分，共有，恰有兩個(gè)人是自己的實(shí)際分的概率是（2），，，，回歸直線方程為．（3）殘差和公式為：，，回歸方程為優(yōu)擬方程．7．（1）由題意，，令，設(shè)關(guān)于的線性回歸方程為，則，，，又，關(guān)于的回歸方程為故時(shí)，．經(jīng)過(guò)100天訓(xùn)練后，每天解題的平均速度約為140秒，（2）設(shè)比賽再繼續(xù)進(jìn)行局小明最終贏得比賽，則最后一局一定是小明獲勝，由題意知，最多再進(jìn)行4局就有勝負(fù)．當(dāng)時(shí)，小明勝，，當(dāng)時(shí)，小明勝，，當(dāng)時(shí)，小明勝，，小明最終贏得比賽的概率為．8．（1）更適合．（2）令，則，，，關(guān)于的回歸方程是，則關(guān)于的回歸方程是．（3）設(shè)點(diǎn)處的聲音能量為，則，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，所以點(diǎn)處會(huì)受噪聲污染．9．（1）畫出關(guān)于的散點(diǎn)圖如圖1，畫出關(guān)于的散點(diǎn)圖如圖2；根據(jù)散點(diǎn)圖可以判斷模型②更適宜作為回歸方程類型；（2）對(duì)于模型①，設(shè)，則，計(jì)算，，所求回歸方程為，當(dāng)時(shí)，估計(jì)溫度為；對(duì)于模型②，設(shè)，則，計(jì)算，，所求回歸方程為，即；當(dāng)時(shí)，估計(jì)溫度為；（3），，，模型②的擬合效果更好．10．（1）由題意可得，，所以，所以．當(dāng)時(shí)，，達(dá)到排