2020-2021學(xué)年黑龍江省齊齊哈爾鐵鋒區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2020-2021學(xué)年黑龍江省齊齊哈爾鐵鋒區(qū)九年級(jí)第一學(xué)期期末數(shù)

學(xué)試卷

一.選擇題(共10小題).

1.下列點(diǎn)位于反比例函數(shù)y=亙圖象上的是()

x

A.(1,2)B.(-1,-3)C.(1,-2)D.(-1,3)

2.下列圖形中，既是軸對(duì)稱又是中心對(duì)稱圖形的是()

B0c0“合

3.一元二次方程f+2x-1=0的根的情況是()

A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根D.沒(méi)有實(shí)數(shù)根

4.下列事件是確定事件的是()

A.陰天一定會(huì)下雨

B.黑暗中從5把不同的鑰匙中隨意摸出一把，用它打開(kāi)了門

C.打開(kāi)電視機(jī)，任選一個(gè)頻道，屏幕上正在播放新聞聯(lián)播

D.在學(xué)校操場(chǎng)上向上拋出的籃球一定會(huì)下落

5.在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線y=3f先向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，得

到的拋物線的解析式是()

A.y=3(x+1)2+2B.y=3(x+1)2-2

C.y=3(x-1)2+2D.y=3(x-1)2-2

6.如圖，△ABC的頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)上，則sinA的值為()

7.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有下列問(wèn)題“今有勾八步，股

十五步，問(wèn)勾中容圓徑幾何？”其意思是：”今有直角三角形，勾(短直角邊)長(zhǎng)為8

步，股（長(zhǎng)直角邊）長(zhǎng)為15步，問(wèn)該直角三角形能容納的圓形（內(nèi)切圓）直徑是多少？

（）

8.如圖，矩形48C。的邊AB在x軸上，反比例函數(shù)y=K（k#O）的圖象過(guò)。點(diǎn)和邊BC

x

的中點(diǎn)E,連接若△口）￡的面積是1,則上的值是（）

A.3B.4C.2炳D.6

9.如圖，△ABC內(nèi)接于。。，是。。的直徑，ZB=30°,CE平分NACB交。。于E,

交AB于點(diǎn)D,連接AE,則&ADE：SAOB的值等于（）

A.1：弧B.1：73C.1：2D.2：3

10.如圖，是二次函數(shù)>="2+加什。（a#0）的圖象的一部分，對(duì)稱軸為直線x=-l,下列

命題：@abc<0；@tr-4oc<0；③當(dāng)y<0時(shí)，-3<x<l；@a-2b+c>0；（5）m（ma+b）

+b^a（機(jī)為實(shí)數(shù)）.其中正確的命題有（）

v

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

二.填空題（共21分）

11.若關(guān)于x的方程（。-1）Xa?+1-7x+3=0是一元二次方程，則〃=.

12.為解決群眾看病貴的問(wèn)題，我市有關(guān)部門決定降低藥價(jià)，對(duì)某種原價(jià)為289元的藥品進(jìn)

行連續(xù)兩次降價(jià)后為256元.設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為無(wú)，則可列方程為.

13.已知AABC外接圓半徑為5,AB=AC,8c=8,求△ABC的高長(zhǎng).

14.一個(gè)圓錐的側(cè)面積是底面積的2倍，則圓錐側(cè)面展開(kāi)圖扇形的圓心角是.

15.已知直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0,1）且與x軸所夾銳角的正切值為弓，則直線/的解析式為_(kāi)____.

4

16.已知反比例函數(shù)的解析式為則當(dāng)y<2時(shí)，自變量x的取值范圍是.

x

17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，RtAOAiCi，RtAOA2C2,RtzXOA3c3,RtAOA4C4,-

O

的斜邊都在坐標(biāo)軸上，ZAiOCi=ZA2OC2=ZA3OC3=ZA4OC4=30,若點(diǎn)兒的坐標(biāo)

為（3,0）,OAI^OC2,OA2^OC3,O4=OC4,…，則依此規(guī)律，點(diǎn)A202i的坐標(biāo)為.

三.解答下列各題（共69分）

18.（1）計(jì)算：tan?45°-2cos60°+（2-it）0-（-春）-1；

（2）解方程：（龍+3）2=2（x+3）.

19.如圖，△ABC在正方形格紙中，

（1）請(qǐng)?jiān)谡叫胃窦埳辖⑵矫嬷苯亲鴺?biāo)系，使A（2,3）,C（6,2）,并寫出點(diǎn)B

坐標(biāo)；

（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心，相似比為2,在第一象限內(nèi)將△A8C放大，畫出放大后

的圖形△A1B1G并寫出點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)4的坐標(biāo)；

（3）若線段A8繞原點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)90°后點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為民,寫出點(diǎn)外的坐標(biāo).

(1)若從中任取一個(gè)球，寫出球上的漢字剛好是“齊”的概率；

(2)從中任取一球，不放回，再?gòu)闹腥稳∫磺?，?qǐng)用樹(shù)狀圖或列表的方法，求取出的兩

個(gè)球上的漢字能組成“齊心”的概率.

21.環(huán)保局對(duì)某企業(yè)排污情況進(jìn)行檢測(cè)，當(dāng)所排污水中硫化物的濃度超標(biāo)，即硫化物的濃度

超過(guò)最高允許值1.0優(yōu)時(shí)，環(huán)保局要求該企業(yè)立即整改，必須在15天以內(nèi)(含15天)

排污達(dá)標(biāo).整改過(guò)程中，所排污水中硫化物的濃度y(mg//)與時(shí)間尤(天)的變化規(guī)律

如圖所示，其中線段A8表示前5天的變化規(guī)律，從第5天起，所排污水中硫化物的濃度

y與時(shí)間尤成反比例關(guān)系.

(1)求整改過(guò)程中硫化物的濃度y與時(shí)間x的函數(shù)表達(dá)式；

(2)該企業(yè)能否按期將排污整改達(dá)標(biāo)？為什么？

22.如圖，在Rt^ABC中，ZB=90°,平分/8AC交于點(diǎn)。，點(diǎn)E在AC上，以

AE為直徑的經(jīng)過(guò)點(diǎn)D.

(1)求證：是O。的切線；

(2)若NC=30°,且8=3代，試求陰影部分的面積.

B

D一

23.綜合與實(shí)踐

問(wèn)題情境：如圖1，在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師讓同學(xué)們畫了等腰RtaABC和等腰RtaAOE,

并連接CE,BD.

操作發(fā)現(xiàn)：（1）當(dāng)?shù)妊@點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，如圖2,勤奮小組發(fā)現(xiàn)了：

①線段CE與線段BD之間的數(shù)量關(guān)系是.

②直線CE與直線BD之間的位置關(guān)系是.

類比思考：（2）智慧小組在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了深入思考，如圖3,若△ABC與△AOE都為

直角三角形，ZBAC=ZDAE=90°，且AC=2AB,AE=2A。，請(qǐng)你寫出CE與的數(shù)

量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明.

拓展應(yīng)用：（3）創(chuàng)新小組在（2）的基礎(chǔ)上，又作了進(jìn)一步拓展研究，當(dāng)點(diǎn)E在直線A2

上方時(shí)，若。E〃AB,且48=&，AD=1,其他條件不變，試求出線段CE的長(zhǎng).（直

接寫出結(jié)論）

24.綜合與探究:

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象交坐標(biāo)軸于A（-1,0）,B（3,0）,C

（0,-4）三點(diǎn)，點(diǎn)P（m,n）是直線BC下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式;

（2）動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，APBC的面積最大，求出此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)及APBC面積

的最大值；

(3)在y軸上是否存在點(diǎn)Q,使以O(shè),B,。為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似？若存在,

請(qǐng)直接寫出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考答案

一.選擇題(共10小題).

1.下列點(diǎn)位于反比例函數(shù)y=|■圖象上的是()

A.(1,2)B.(-1,-3)C.(1,-2)D.(-1,3)

解：函數(shù)y=a,

x

3=盯，

只要把點(diǎn)的坐標(biāo)代入，上式成立即可，

代入得：A、C、。的坐標(biāo)都不成立，只有B的符合.

故選：B.

2.下列圖形中，既是軸對(duì)稱又是中心對(duì)稱圖形的是()

a?b0c(3?

解：4是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；

夙既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形，符合題意；

。、不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；

。、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意.

故選：B.

3.一元二次方程W+2元-1=0的根的情況是()

A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根D.沒(méi)有實(shí)數(shù)根

解：?.?在方程f+2x-1=0中，Z\=22-4X1X(-1)=8>0,

方程f+2x-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

故選：A.

4.下列事件是確定事件的是()

A.陰天一定會(huì)下雨

B.黑暗中從5把不同的鑰匙中隨意摸出一把，用它打開(kāi)了門

C.打開(kāi)電視機(jī)，任選一個(gè)頻道，屏幕上正在播放新聞聯(lián)播

D.在學(xué)校操場(chǎng)上向上拋出的籃球一定會(huì)下落

解：4陰天一定會(huì)下雨，是隨機(jī)事件；

8、黑暗中從5把不同的鑰匙中隨意摸出一把，用它打開(kāi)了門，是隨機(jī)事件;

C、打開(kāi)電視機(jī)，任選一個(gè)頻道，屏幕上正在播放新聞聯(lián)播，是隨機(jī)事件;

。、在學(xué)校操場(chǎng)上向上拋出的籃球一定會(huì)下落，是必然事件.

故選：D.

5.在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線y=3f先向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，得

到的拋物線的解析式是()

A.y—3(x+1)~+2B.y=3(x+1)2-2

C.y=3(x-1)2+2D.y=3(x-1)2-2

解：???拋物線y=3f的對(duì)稱軸為直線了=0,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),

拋物線y=3f向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得到的拋物線的對(duì)稱軸為直線

x=l,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),

平移后拋物線的解析式為y=3(x-1)2+2.

故選：C.

6.如圖，△ABC的頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)上，則sinA的值為()

R3歷1

D.------------------C.3D.

103

解：延長(zhǎng)48到。，連接C。，如右圖所示,

由題意可得,

AC=VI2+32=V10'CD=I,

..?CD-iv^To

..sinZA=-^-=—7==-----,

ACV1010

故選：A.

7.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有下列問(wèn)題“今有勾八步，股

十五步，問(wèn)勾中容圓徑幾何？”其意思是：”今有直角三角形，勾（短直角邊）長(zhǎng)為8

步，股（長(zhǎng)直角邊）長(zhǎng)為15步，問(wèn)該直角三角形能容納的圓形（內(nèi)切圓）直徑是多少？”

（）

B.5步C.6步D.8步

解：根據(jù)勾股定理得：斜邊為西可松=17,

則該直角三角形能容納的圓形（內(nèi)切圓）半徑r=*+l：［l7=3（步）,即直徑為6步,

故選：C.

k

8.如圖，矩形A8CD的邊48在無(wú)軸上，反比例函數(shù)y±（k#O）的圖象過(guò)。點(diǎn)和邊8c

x

的中點(diǎn)E,連接。E,若的面積是1,則上的值是（）

C.2代D.6

解：設(shè)E的坐標(biāo)是（m,n）,k—mn,

則。的坐標(biāo)是（m,2n）,

在丁=咽?中，令y=2〃，解得：

x2

,**S&CDE=1，

:.mn—4.

???左=4.

故選：B.

9.如圖，/XABC內(nèi)接于。0,A3是。0的直徑，N3=30°,CE平分NAC3交OO于區(qū)

交A3于點(diǎn)O,連接AE,則S^ADE：的值等于（）

A.1：我B.1：73C.1：2D.2：3

解：是。。的直徑，

ZACB=90°,

VZB=30°,

.ACV3

??,

BC3

,：CE平分NACB交O。于E,

.ACAD=-73

"Be"BD一"F'

A/O3

：.AD=/-AB,BD=l-A-

V3+3V3+3

過(guò)C作CF_LAB于F,連接OE,

,：CE平分NAC8交G)O于E,

-'-AE=BE>

：.OE±AB,

1A/Q

AOE=—AB,CF==AB,

24

??.SAADE：SDB=(^AD?OE)：(-^-BZ)?CF)（XAB，AB）：

&C1^31

2'看福咚觸=2：3-

故選D.

方法二：連接BE,易知BC=?AB,

22

由△AOEs/XcOB,

S/^ADE'S/\BDC=(AE：BC)2=2：3,

故選：D.

10.如圖，是二次函數(shù)y=。￥+灰+。（aWO）的圖象的一部分，對(duì)稱軸為直線x=-l,下列

命題：①abc<。；@Z?2-4ac<0；③當(dāng)><。時(shí)，-3<x<l；（4）a-2b+c>0；（5）m（ma+b）

+b^a（機(jī)為實(shí)數(shù)）.其中正確的命題有（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

解：①：拋物線開(kāi)口向上，

.,.a>0,

:對(duì)稱軸為直線％=-1,

：.b>0,

拋物線與y軸交于負(fù)半軸，

.\c<0,

：.abc<Q,本小題說(shuō)法正確；

②???拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，

.'.b2-4ac>0,本小題說(shuō)法錯(cuò)誤；

③：拋物線與x軸的交點(diǎn)為（1,0）,對(duì)稱軸為直線x=-l,

...拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（-3,0）,

...當(dāng)y<0時(shí)，-3<x<l,本小題說(shuō)法正確；

④：對(duì)稱軸為直線x=-1,

:?b=2a,

???拋物線與工軸的交點(diǎn)為（1,0）,

a+b+c=0,

??c^~-3a,

.'.a-2b+c=a-4a-3a=-6“V0,本小題說(shuō)法錯(cuò)誤；

⑤：對(duì)稱軸為直線尤=-1,

...當(dāng)x=-1時(shí)，y有最小值，

an-T+bm+c^a-b+c,

'.m（jna+b）+b^a（機(jī)為實(shí)數(shù)），本小題說(shuō)法正確；

故選：B.

二.填空題（每題3分，共21分）

11.若關(guān)于x的方程（aT）Xa?+1-7x+3=0是一元二次方程，則a=-1.

解：：關(guān)于x的方程（?-1）xa?+l-7x+3=0是一元二次方程，

a2+1—2且a-1W0,

解得：a=-1.

故答案為：-L

12.為解決群眾看病貴的問(wèn)題，我市有關(guān)部門決定降低藥價(jià)，對(duì)某種原價(jià)為289元的藥品進(jìn)

行連續(xù)兩次降價(jià)后為256元.設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x,則可列方程為289（1-尤）

2=256.

解：設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為尤，則第一降價(jià)售價(jià)為289（1-x）,則第二次降價(jià)為289

（1-X）2,由題意得：

289（1-x）2=256.

故答案為：289（1-x）2=256.

13.已知△ABC外接圓半徑為5,AB=AC,BC=8,求ZXABC的高C￡）長(zhǎng)1或9.

解：當(dāng)△ABC是銳角三角形時(shí)，如圖1,

作AO_LBC于點(diǎn)。，則一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)圓心O,連接。B,

在直角△08。中，BD=^BC=^-X6=3,

'-OD=-\/OB2-BD2=V25-9=4，

則AD=OA+OD=5+4=9；

當(dāng)△ABC是鈍角三角形時(shí)，如圖2,

圖2

同理，。。=4,則AO=OA-。。=5-4=1,

故A。的長(zhǎng)為1或9,

故答案為1或9.

14.一個(gè)圓錐的側(cè)面積是底面積的2倍，則圓錐側(cè)面展開(kāi)圖扇形的圓心角是180°

解：設(shè)母線長(zhǎng)為R,底面半徑為廠，

，底面周長(zhǎng)=2nr,底面面積=豆/，側(cè)面面積=寺/廠=b水，

:側(cè)面積是底面積的2倍，

2irr2=irr7?,

:?R=2r,

設(shè)圓心角為小有1:心=2nr,

loU

?"=180.

故答案為:180°.

3

15.已知直線I經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0,1）且與x軸所夾銳角的正切值為會(huì)，則直線I的解析式為」

3、3

-=~4x-+-l--gj-（,-y-=---4-x-+-1-.

解：設(shè)直線/的解析式為y=fcc+6,

:直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0,1）,

直線/的解析式為了=丘+1,

令y=0,則x=-—,

k

?,?直線與x軸的交點(diǎn)為（-告，0）,

k

V直線/與無(wú)軸所夾銳角的正切值為

4

..1.4

??~~\=,

k3

,,.3

..k—±—,

4

,33

...直線/的解析式為〉=笳+1或>=-7+1，

33

故答案為y=-x+l或y=--x+1.

2

16.已知反比例函數(shù)的解析式為尸一，則當(dāng)y<2時(shí)，自變量x的取值范圍是x>l或x

x

<0

解：當(dāng)0<y<2時(shí)，%>1；

當(dāng)y<0時(shí)，x<0,

故當(dāng)y<2時(shí)，自變量x的取值范圍是：x>l或尤<0.

故答案為：x>l或尤<0.

17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，RtAOAiG,RtZXOA2c2,RtAOA3C3,RtZXCM4c4,…

O

的斜邊都在坐標(biāo)軸上，ZAiOCi=ZA2OC2=ZA3OC3=ZA4OC4=30,若點(diǎn)4的坐標(biāo)

為（3,0），。41=。。2,。42=。。3,…，則依此規(guī)律，點(diǎn)42021的坐標(biāo)為（3

解：：NA20c2=30°,OAI=OC2=3,

OA2=-7-OC2=3X—0A3=-^OQ=3義(—OA4=kOC4=3X

V33V33V33

3

.'.OA2021=3X(§1)2021,

;點(diǎn)A202i與Al位置相同，在無(wú)軸的正半軸上，

，點(diǎn)人2021(3X(^^)2021-0),

故答案為：(3X(2烏)2021.0).

三.解答下列各題(共69分)

18.(1)計(jì)算：tan?45°-2cos60°+(2-it)0-(-[)1

(2)解方程：(尤+3)2=2(尤+3).

解：(1)原式=1-2X-^-+l-(-2)

=1-1+1+2

=3；

(2)方程整理得：(x+3)2-2(x+3)=0,

分解因式得：(尤+3)(x+3-2)=0,

可得尤+3=0或x+l=0,

解得：尤1=-3,必=-1.

19.如圖，△ABC在正方形格紙中，

(1)請(qǐng)?jiān)谡叫胃窦埳辖⑵矫嬷苯亲鴺?biāo)系，使A(2,3),C(6,2),并寫出點(diǎn)B

坐標(biāo)；

(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)。為位似中心，相似比為2,在第一象限內(nèi)將△ABC放大，畫出放大后

的圖形△AiBiG并寫出點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Ai的坐標(biāo)；

(3)若線段繞原點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)90°后點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為反,寫出點(diǎn)星的坐標(biāo).

B

解：（1）建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示,

由圖形可得：B（2,1）；

由圖形可得：A（4,6）；

（3）若線段AB繞原點(diǎn)。順時(shí)針（或逆時(shí)針）旋轉(zhuǎn)90°后點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為&'（或&）,

則點(diǎn)&的坐標(biāo)為（1,-2）或（-1,2）.

20.一個(gè)不透明的口袋里裝有分別標(biāo)有漢字“齊”“心”“抗”“疫”的四個(gè)小球，除漢字

不同之外，小球沒(méi)有任何區(qū)別，每次摸球前先攪拌均勻.

（1）若從中任取一個(gè)球，寫出球上的漢字剛好是“齊”的概率；

（2）從中任取一球，不放回，再?gòu)闹腥稳∫磺?，?qǐng)用樹(shù)狀圖或列表的方法，求取出的兩

個(gè)球上的漢字能組成“齊心”的概率.

解：（1）從中任取一個(gè)球，球上的漢字剛好是“齊”的概率為《；

（2）畫樹(shù)狀圖如圖:

心抗疫弁抗疫齊心疫弁心抗

共有12種等可能的結(jié)果，其中取出的兩個(gè)球上的漢字能組成“齊心”的結(jié)果數(shù)為2,

???取出的兩個(gè)球上的漢字能組成“齊心”的概率為497=:1.

12b

21.環(huán)保局對(duì)某企業(yè)排污情況進(jìn)行檢測(cè)，當(dāng)所排污水中硫化物的濃度超標(biāo)，即硫化物的濃度

超過(guò)最高允許值LOmg〃時(shí)，環(huán)保局要求該企業(yè)立即整改，必須在15天以內(nèi)（含15天）

排污達(dá)標(biāo).整改過(guò)程中，所排污水中硫化物的濃度y（mg/D與時(shí)間x（天）的變化規(guī)律

如圖所示，其中線段A8表示前5天的變化規(guī)律，從第5天起，所排污水中硫化物的濃度

y與時(shí)間x成反比例關(guān)系.

（1）求整改過(guò)程中硫化物的濃度y與時(shí)間無(wú)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）該企業(yè)能否按期將排污整改達(dá)標(biāo)？為什么？

解：（1）由圖象知，點(diǎn)A、8的坐標(biāo)分別為（0,14）、（4,5）,

當(dāng)0WxW5時(shí)，設(shè)AB的表達(dá)式為y=kx+b,

fb=14k=-2

將點(diǎn)A、8的坐標(biāo)代入上式得,解得?

15k+b=4b=14

故、=-2x+14；

當(dāng)尤>5時(shí)，設(shè)函數(shù)的表達(dá)式為>=上，

X

把點(diǎn)B的坐標(biāo)（4,5）代入上式并解得：上=20,

故加、=——20

x

-2x+14（0<x^5）

故函數(shù)的表達(dá)式為y=,

學(xué)x>5）

（2）不能，理由：

*2020.

當(dāng)x=15時(shí)，y==-；r>l1,

x15

故不能按期完成排污整改達(dá)標(biāo).

22.如圖，在Rt^ABC中，/B=90：AD平分/8AC交8C于點(diǎn)。，點(diǎn)E在AC上，以

AE為直徑的。。經(jīng)過(guò)點(diǎn)D.

（1）求證：8C是O。的切線;

(2)若NC=30°,且。。=3日，試求陰影部分的面積.

TA。是N8AC的平分線，

：.ZDAB=ZDAOf

???OD=OAf

：.ZDAO=ZODAf

則ND4B=NOD4,

J.DO//AB,而N3=90°,

：.ZODB=90°,

???5C是。。的切線；

(2)連接OE、OD、DF、OF,設(shè)圓的半徑為幾

VZC=30°,。。=3日，

OD=C￡>>tan30°=3?X返=3,

3

u：ZDAB=ZDAE=30°,

-'-DE=DF，

'：ZDOE=60°,

：.ZDOF=60°,

：.ZFOA=60°,

:AOFD、△0E4是等邊三角形，

：.DF//ACf

60Xnx323K

?*?5陰影=S扇形。尸o

23.綜合與實(shí)踐

問(wèn)題情境：如圖1,在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師讓同學(xué)們畫了等腰Rt^ABC和等腰Rt^AOE,

并連接CE,BD.

操作發(fā)現(xiàn)：（1）當(dāng)?shù)妊黂t^AOE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，如圖2,勤奮小組發(fā)現(xiàn)了：

①線段CE與線段BD之間的數(shù)量關(guān)系是EC=BD.

②直線CE與直線BD之間的位置關(guān)系是BDLEC.

類比思考：（2）智慧小組在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了深入思考，如圖3,若△ABC與△AOE都為

直角三角形，ZBAC=ZDAE=90°,且AC=2AB,AE=2AD,請(qǐng)你寫出CE與8。的數(shù)

量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明.

拓展應(yīng)用：（3）創(chuàng)新小組在（2）的基礎(chǔ)上，又作了進(jìn)一步拓展研究，當(dāng)點(diǎn)E在直線A8

上方時(shí)，若DE〃AB,且42=遍，AD=1,其他條件不變，試求出線段CE的長(zhǎng).（直

接寫出結(jié)論）

/R4X/\

解：（1）如圖2中，延長(zhǎng)5。交AC于點(diǎn)0,交EC于H.

：AE=AD,AC=AB,ZEAD=ZCAB=90

：.ZEAC=ZDABf

：./\EAC^ADAB(SAS),

：.EC=BD,ZECA=ZABDf

VZABD+ZAOB^90°,/AOB=/COH,

：.ZECA+ZCOH=90°,

：.ZCHO=90°,

:.BDJLEC,

故答案為EC=BD,BDLEC.

(2)結(jié)論：CE=2BD,CELBD.

理由：如圖3中，延長(zhǎng)友)交AC于點(diǎn)O,交EC于點(diǎn)H.

ZBAD=ZCAEf

AC=2ABfAE=2ADf

AB=AD=1

AC-AE-7,

△ABD^AACE,

BDAD2

EC-=AE=-7,

CE=2BD,/ABD=NACE,

NABQ+NAO8=90°,/AOB=/COH,

ZECA+ZCOH=90°,

NCHO=90°,

BD±EC.

(3)如圖4中，當(dāng)時(shí)，設(shè)。石交AC于H,易證AC_LZ)E.

：.AE=2,DE=^,AH=^^,EH=^^-,

55

?：AC^2AB,AB=心

：.CH=AC-AH=^^-

5_________________

在RtAECH中，EC=而蒜/J￥)2+(手)2=4

24.綜合與探究:

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象交坐標(biāo)軸于A(-1,0),8(3,0),C

(0,-4)三點(diǎn)，點(diǎn)P(加，n)是直線8C下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式;

(2)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，MBC的面積最大，求出此時(shí)尸點(diǎn)坐標(biāo)及APBC面積

的最大值；

(3)在y軸上是否存在點(diǎn)Q,使以O(shè),B,。為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似？若存在，

請(qǐng)直接寫出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：(1)