第02講 立方根（知識(shí)解讀+真題演練+課后鞏固）（解析版）-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)（蘇科版）

第第頁(yè)第02講立方根 1.了解立方根的含義；2.會(huì)表示、計(jì)算一個(gè)數(shù)的立方根，求含參數(shù)的立方根.3.掌握立方根的有關(guān)運(yùn)算及實(shí)際應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)1：立方根的定義1.定義：如果一個(gè)數(shù)的立方等于，那么這個(gè)數(shù)叫做的立方根或三次方根.這就是說，如果，那么叫做的立方根.求一個(gè)數(shù)的立方根的運(yùn)算，叫做開立方.注意：一個(gè)數(shù)的立方根，用表示，其中是被開方數(shù)，3是根指數(shù).開立方和立方互為逆運(yùn)算.2.立方根的特征立方根的特征：正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，0的立方根是0.注意：任何數(shù)都有立方根，一個(gè)數(shù)的立方根有且只有一個(gè)，并且它的符號(hào)與這個(gè)非零數(shù)的符號(hào)相同.兩個(gè)互為相反數(shù)的數(shù)的立方根也互為相反數(shù).知識(shí)點(diǎn)2：立方根的性質(zhì)注意：第一個(gè)公式可以將求負(fù)數(shù)的立方根的問題轉(zhuǎn)化為求正數(shù)的立方根的問題.知識(shí)點(diǎn)3：立方根小數(shù)點(diǎn)位數(shù)移動(dòng)規(guī)律被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右或者向左移動(dòng)3位，它的立方根的小數(shù)點(diǎn)就相應(yīng)地向右或者向左移動(dòng)1位.例如，，，，.【題型1：立方根的概念及性質(zhì)】【典例1】（2023春?番禺區(qū)期末）立方根為8的數(shù)是（）A．512 B．64 C．2 D．±2【答案】A【解答】解：83＝512，故的立方根是8的數(shù)是512．故選：A．【變式1-1】（2023春?岳麓區(qū)校級(jí)月考）立方根等于它本身的有（）A．﹣1，0，1 B．0 C．0，﹣1 D．1【答案】A【解答】解：立方根等于它本身的有﹣1，0，1．故選：A．【變式1-2】（2022秋?萬(wàn)州區(qū)期末）4的算術(shù)平方根與的積是（）A．12 B．﹣12 C．6 D．﹣6【答案】D【解答】解：∵4的算術(shù)平方根是2，＝﹣3，∴2×（﹣3）＝﹣6．故選：D．【變式1-3】（2022秋?蘇州期末）若a3＝1，則a的值為（）A．﹣1 B．1 C．±1 D．0【答案】B【解答】解：∵a3＝1，∴a＝1．故選：B．【題型2：立方根的性質(zhì)】【典例2】（2023春?凱里市校級(jí)期中）若實(shí)數(shù)x，y，滿足+（y﹣4）2＝0，則xy的立方根是（）A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4【答案】D【解答】解：∵+（y﹣4）2＝0，∴x+16＝0，y﹣4＝0，解得x＝﹣16，y＝4，∴xy＝﹣64，∴xy的立方根是＝﹣4，故選：D．【變式2-1】（2023春?海珠區(qū)校級(jí)期中）若x、y為實(shí)數(shù)，且滿足，則xy的立方根為﹣3．【答案】﹣3．【解答】解：∵，∴x+3＝0，9﹣y＝0，∴x＝﹣3，y＝9，∴xy＝﹣3×9＝﹣27，∴，故答案為：﹣3．【變式2-2】（2022秋?臥龍區(qū)校級(jí)期末）已知實(shí)數(shù)a、b滿足|a+13|+（b+14）2＝0，則a+b的立方根是﹣3．【答案】﹣3．【解答】解：∵|a+13|+（b+14）2＝0，|a+13|≥0，（b+14）2≥0，∴a+13＝0，b+14＝0，解得a＝﹣13，b＝﹣14，∴a+b＝﹣27，∴a+b的立方根為＝﹣3，故答案為：﹣3．【變式2-3】（2022秋?渭濱區(qū)校級(jí)月考）如果一個(gè)有理數(shù)的平方根和立方根相同，那么這個(gè)數(shù)是（）A．±1 B．0 C．1 D．0和1【答案】B【解答】解：0的平方根和立方根相同．故選：B．【題型3：開立方運(yùn)算中小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)規(guī)律】【典例3】（2022秋?射洪市期末）如果≈1.333，≈2.872，那么約等于（）A．28.72 B．287.2 C．13.33 D．133.3【答案】A【解答】解：∵≈2.872，∴約等于28.72．故選：A．【變式3-1】（2023春?東至縣期末）若＝0.7160，＝1.542，＝﹣0.1542．【答案】﹣0.1542．【解答】解：∵0.003670＝3.670×10﹣3，∴＝﹣1.542×10﹣1＝﹣0.1542，故答案為：﹣0.1542．【變式3-2】（2023春?西城區(qū)校級(jí)月考）已知：，則（）A．﹣46800 B．﹣4680 C．﹣46.8 D．﹣4.68【答案】A【解答】解：，則，括號(hào)里應(yīng)為﹣46800，故選：A．【變式3-3】（2023春?青云譜區(qū)校級(jí)期中）已知，，，，則﹣10.38．【答案】﹣10.38．【解答】解：∵，∴﹣10.38．故答案為：﹣10.38．【題型4：利用開立方解方程】【典例4】（2022秋?南京期末）求下列各式中x的值：（2x﹣1）3﹣27＝0．【答案】x＝2．【解答】解：（2x﹣1）3﹣27＝0，（2x﹣1）3＝27，2x﹣1＝3，2x＝4，x＝2．【變式4-1】（2022秋?宿遷期末）解方程：（x﹣3）3﹣27＝0；【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）（x﹣3）3﹣27＝0（x﹣3）3＝27x﹣3＝3∴x＝6；【變式4-2】（2022春?林州市月考）求下列各式中的x：（x﹣3）3+27＝0．【答案】（2）x＝0．【解答】解：（x﹣3）3+27＝0，x﹣3＝﹣3，x＝0．【變式4-3】（2022春?曲阜市期中）求式中的x的值：（x+1）3＝﹣9．【答案】（2）x＝﹣4．【解答】解：（x+1）3＝﹣9．（x+1）3＝﹣27，x+1＝﹣3，x＝﹣4．【變式4-4】（2023春?大石橋市月考）求符合下列各條件中的x的值．（1）9x2＝4；（2）（x+3）3＝64；（3）（x﹣3）2﹣1＝24；（4）（x+2）3＝﹣25．【答案】（1）；（2）x＝1；（3）x＝8或﹣2；（4）x＝﹣7．【解答】解：（1）9x2＝4；（2）（x+3）3＝64，x+3＝4x＝1；（3）（x﹣3）2﹣1＝24（x﹣3）2＝25x﹣3＝±5x＝8或﹣2；（4），（x+2）3＝﹣125x+2＝﹣5x＝﹣7．【題型5：平方根與立方根的綜合】【典例5】（2023春?尋烏縣期末）正數(shù)x的兩個(gè)平方根分別為3﹣a和2a+7．（1）求a的值；（2）求44﹣x這個(gè)數(shù)的立方根．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵正數(shù)x的兩個(gè)平方根是3﹣a和2a+7，∴3﹣a+（2a+7）＝0，解得：a＝﹣10（2）∵a＝﹣10，∴3﹣a＝13，2a+7＝﹣13．∴這個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根是±13，∴這個(gè)正數(shù)是169．44﹣x＝44﹣169＝﹣125，﹣125的立方根是﹣5．【變式5-1】（2023春?定南縣期中）正數(shù)x的兩個(gè)平方根分別為2﹣a和2a+1．（1）求a的值；（2）求17﹣x這個(gè)數(shù)的立方根．【答案】（1）a＝﹣3；（2）﹣2．【解答】解：（1）∵正數(shù)x的兩個(gè)平方根是2﹣a和2a+1，∴2﹣a+（2a+1）＝0，解得：a＝﹣3；（2）∵a＝﹣3，∴2﹣a＝5，2a+1＝﹣5．∵這個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根是±5，∴這個(gè)正數(shù)是25，∴17﹣x＝17﹣25＝﹣8，∴﹣8的立方根是﹣2．【變式5-2】（2023春?敦化市期末）已知m+3的平方根是±1，3m+2n﹣6的立方根是4．（1）求m、n的值．（2）求m+n的算術(shù)平方根．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵m+3的平方根是±1，∴m+3＝12，∴m＝﹣2，∵3m+2n﹣6的立方根是4，∴3m+2n﹣6＝43，∴3×（﹣2）+2n﹣6＝64，∴n＝38，∴m，n的值分別是﹣2，38．（2）m+n＝﹣2+38＝36，∴m+n的算術(shù)平方根是＝6．【變式5-3】（2023春?瀘州期末）已知一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是2a+1和a﹣4，又b﹣4的立方根為﹣2．（1）求a，b的值；（2）求5a﹣b的算術(shù)平方根．【答案】（1）a＝1，b＝﹣4；（2）3．【解答】解：（1）∵一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是2a+1和a﹣4，b﹣4的立方根為﹣2，∴2a+1+a﹣4＝0，b﹣4＝﹣8，解得：a＝1，b＝﹣4；（2）∵a＝1，b＝﹣4，∴5a﹣b＝5×1+4＝9，∵32＝9，∴5a﹣b的算術(shù)平方根為3．【題型6：立方根的應(yīng)用】【典例6】（2023春?普蘭店區(qū)期中）已知一個(gè)正方體的體積是1000cm3，現(xiàn)在要在它的8個(gè)角上分別截去8個(gè)大小相同的小正方體，使截去后余下的體積是488cm3，問截得的每個(gè)小正方體的棱長(zhǎng)是多少？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：設(shè)截得的每個(gè)小正方體的棱長(zhǎng)xcm，依題意得1000﹣8x3＝488，∴8x3＝512，∴x＝4，答：截得的每個(gè)小正方體的棱長(zhǎng)是4cm．【變式6-1】（2022秋?南崗區(qū)期末）如圖所示的圓柱形容器的容積為81升，它的底面直徑是高的2倍．（π取3）（1）這個(gè)圓柱形容器的底面直徑為多少分米？（2）若這個(gè)圓柱形容器的兩個(gè)底面與側(cè)面都是用鐵皮制作的，則制作這個(gè)圓柱形容器需要鐵皮多少平方分米？（不計(jì)損耗）【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）設(shè)這個(gè)圓柱形容器的高為x分米，則它的底面直徑是2x分米，依題意得πx2×x＝81，解得x＝3，∴2x＝6，答：這個(gè)圓柱形容器的底面直徑為6分米；（2）2π×32+2π×3×3＝108（平方分米）．答：制作這個(gè)圓柱形容器需要鐵皮108平方分米．【變式6-2】（2022春?戚墅堰區(qū)校級(jí)期末）請(qǐng)根據(jù)如圖所示的對(duì)話內(nèi)容回答下列問題．（1）求該魔方的棱長(zhǎng)；（2）求該長(zhǎng)方體紙盒的長(zhǎng)．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）設(shè)魔方的棱長(zhǎng)為xcm，可得：x3＝216，解得：x＝6．答：該魔方的棱長(zhǎng)6cm．（2）設(shè)該長(zhǎng)方體紙盒的長(zhǎng)為ycm，6y2＝600，y2＝100，y＝10．答：該長(zhǎng)方體紙盒的長(zhǎng)為10cm．【變式6-3】（2022春?徐聞縣期中）一個(gè)正方體的體積是16cm3，另一正方體的體積是這個(gè)正方體體積的4倍，求另一個(gè)正方體的表面積．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：另一個(gè)正方體的體積＝4×16＝64cm3，則邊長(zhǎng)＝＝4cm，故另一個(gè)正方體的表面積＝6×（4×4）＝96cm2．1．（2023?大連）下列計(jì)算正確的是（）A．（）0＝ B．＝9 C．＝4 D．（﹣）＝3﹣【答案】D【解答】解：A．（）0＝1，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；B.＝3，該該選項(xiàng)不正確，不符合題意；C.＝2，該該選項(xiàng)不正確，不符合題意；D.×（﹣）＝3﹣，該選項(xiàng)正確，符合題意．故選：D．2．（2023?威海）面積為9的正方形，其邊長(zhǎng)等于（）A．9的平方根 B．9的算術(shù)平方根 C．9的立方根 D．的算術(shù)平方根【答案】B【解答】解：∵正方形的面積為9，∴其邊長(zhǎng)＝．故選：B．3．（2023?浙江）﹣8的立方根是（）A．﹣2 B．2 C．±2 D．不存在【答案】A【解答】解：﹣8的立方根是＝＝﹣2，故選：A．4．（2023?郴州）計(jì)算＝3．【答案】3．【解答】解：＝3．故答案為：3．5．（2023?邵陽(yáng)）的立方根是2．【答案】2．【解答】解：＝8，＝2．故答案為：2．1．（2022秋?法庫(kù)縣期末）立方根等于本身的數(shù)是（）A．﹣1 B．0 C．±1 D．±1或0【答案】D【解答】解：∵立方根是它本身有3個(gè)，分別是±1，0．故選：D．2．（2023春?同江市期末）下列計(jì)算正確的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：＝﹣2，因此選項(xiàng)A正確；＝|﹣3|＝3，因此選項(xiàng)B不正確；＝2，因此選項(xiàng)C不正確；無(wú)意義，因此選項(xiàng)D不正確；故選：A．3．（2023春?鹿邑縣期末）若a2＝16，＝﹣2，則a+b＝（）A．﹣4 B．﹣12 C．﹣4或﹣12 D．±4或±12【答案】C【解答】解：∵a2＝16，＝﹣2，∴a＝±4，b＝﹣8．∴當(dāng)a＝4，b＝﹣8時(shí)，a+b＝﹣4；當(dāng)a＝﹣4，b＝﹣8時(shí)，a+b＝﹣12．故選：C．4．（2023春?蜀山區(qū)校級(jí)期中）﹣64的立方根是（）A．﹣4 B．±4 C．﹣8 D．±8【答案】A【解答】解：∵（﹣4）3＝﹣64，∴﹣64的立方根是﹣4．故選：A．5．（2022秋?市北區(qū)校級(jí)期末）下列說法：①如果一個(gè)實(shí)數(shù)的立方根等于它本身，這個(gè)數(shù)只有0或1；②a2的算術(shù)平方根是a；③﹣8的立方根是±2；④的算術(shù)平方根是4；其中，不正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【解答】解：①如果一個(gè)實(shí)數(shù)的立方根等于它本身，這個(gè)數(shù)只有0或1或﹣1，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；②當(dāng)a≥0時(shí)，a2的算術(shù)平方根是a，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；③﹣8的立方根是﹣2，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；④因?yàn)?，所以的算術(shù)平方根是2，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．所以不正確的有4個(gè)．故選：D．6．（2023春?江油市期末）一個(gè)正方體的體積擴(kuò)大為原來的8倍，則它的棱長(zhǎng)為原來的（）A．2倍 B．4倍 C．3倍 D．8倍【答案】A【解答】解：設(shè)原正方體的棱長(zhǎng)為a，則體積為a3，∴將體積擴(kuò)大為原來的8倍，為8a3，∴擴(kuò)大后的正方體的棱長(zhǎng)為，∴它的棱長(zhǎng)為原來的2倍，故選：A．7．（2023?匯川區(qū)三模）某同學(xué)在用計(jì)算器估算6的算術(shù)平方根時(shí)，需要用到以下哪個(gè)鍵（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：根據(jù)計(jì)算器的相關(guān)知識(shí)，可知答案為A．故選：A．8．（2023春?望奎縣期末）如果＝﹣，那么a，b的關(guān)系是（）A．a(chǎn)＝b B．a(chǎn)＝±b C．a(chǎn)＝﹣b D．無(wú)法確定【答案】C【解答】解：∵＝﹣，∴a＝﹣b，故選：C．9．（2022春?寶清縣期中）若，則的值為（）A．5 B．15 C．25 D．