第05講 等腰三角形（知識解讀+真題演練+課后鞏固）（解析版）-2024學年八年級數學上冊（蘇科版）

第第頁第05講等腰三角形1.了解等腰三角形的概念.2.探索并證明等腰三角形的性質定理.3.探索并掌握等腰三角形的判定定理，能利用等腰三角形的性質證明兩個角相等或兩條線段相等.4.結合等腰三角形性質的探索與證明過程，體會軸對稱在研究幾何問題中的作用。知識點1等腰三角形的概念與性質等腰三角形概念有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的邊叫做腰，另一邊叫做底，兩條腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角．2.等腰三角形的性質如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊,∠A是頂角，∠B、∠C是底角．性質1：等腰三角形的兩個底角相等，簡稱“在同一個三角形中，等邊對等角”．性質2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上中線和高線互相重合.簡稱“等腰三角形三線合一”．知識點2等腰三角形的判定如果一個三角形有兩個角相等，那么這個三角形是等腰三角形.可以簡單的說成：在一個三角形中，等角對等邊.要點詮釋：(1)要弄清判定定理的條件和結論，不要與性質定理混淆．判定定理得到的結論是等腰三角形，性質定理是已知三角形是等腰三角形，得到邊和角關系.（2）不能說“一個三角形兩底角相等，那么兩腰邊相等”，因為還未判定它是一個等腰三角形．【題型1：等腰三角形的性質】【典例1】（東莞市）一個等腰三角形的兩邊長分別是3和7，則它的周長為（）A．17 B．15 C．13 D．13或17【答案】A【解答】解：①當等腰三角形的腰為3，底為7時，3+3＜7不能構成三角形；②當等腰三角形的腰為7，底為3時，周長為3+7+7＝17．故這個等腰三角形的周長是17．故選：A．【變式1-1】（陸川縣期末）等腰三角形有兩條邊長為5cm和9cm，則該三角形的周長是（）A．18cm B．19cm C．23cm D．19cm或23cm【答案】D【解答】解：當等腰三角形的腰長為5cm，底邊長為9cm時，∵5+5＞9，9﹣5＜5，∴能夠成三角形，∴三角形的周長＝5+5+9＝19cm；當等腰三角形的腰長為9cm，底邊長為5cm時，∵9+5＞9，9﹣5＜5，∴能夠成三角形，∴三角形的周長＝9+9+5＝23cm；∴該三角形的周長是19cm或23cm．故選：D．【變式1-2】（秋?惠安縣期末）若等腰△ABC的周長為20，AB＝8，則該等腰三角形的腰長為（）A．8 B．6 C．4 D．8或6【答案】D【解答】解：（1）當AB＝8為底邊時，BC為腰，由等腰三角形的性質，得BC＝（20﹣AB）＝6；（2）當AB＝8為腰時，①若BC為腰，則BC＝AB＝8；②若BC為底，則BC＝20﹣2AB＝4，綜上，該等腰三角形的腰長為8或6，故選：D．【變式1-3】（?？冢┑妊切蜛BC的周長為20cm，AB＝8cm，則該等腰三角形的腰長為（）A．8cm B．6cm C．4cm D．8cm或6cm【答案】D【解答】解：（1）當AB＝8cm為底邊時，BC為腰，由等腰三角形的性質，得BC＝（20﹣AB）＝6cm；（2）當AB＝8cm為腰時，①若BC為腰，則BC＝AB＝8cm；②若BC為底，則BC＝20﹣2AB＝4cm，故選：D．【典例2】（崇川區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線交AB于點D，交AC于點E，若∠BEC＝76°，則∠ABC＝（）A．70° B．71° C．74° D．76°【答案】B【解答】解：∵AB的垂直平分線MN交AC于點E，∴AE＝BE，∴∠ABE＝∠A＝∠BEC＝×76°＝38°，∵在△ABC中，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝＝＝71°；故選：B．【變式2-1】（祥云縣期末）已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線DE，分別交AB，AC于點D，E．若AD＝3，BC＝5，則△BEC的周長為（）A．8 B．10 C．11 D．13【答案】C【解答】解：∵AB的垂直平分線DE分別交AB、AC于點D、E，∴AE＝BE，∵AD＝3，∴AB＝6，∴AE+EC＝AC＝AB＝6，∵BC＝5，∴△EBC的周長＝BC+BE+CE＝BC+AE+CE＝BC+AC＝6+5＝11；故選：C．【變式2-2】（浉河區(qū)期末）如圖，已知AB＝AC，AB＝8，BC＝5，以A，B兩點為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N，連接MN與AC相交于點D，連接BD，則△BDC的周長為（）A．8 B．10 C．11 D．13【答案】D【解答】解：根據作圖過程可知：MN是AB的垂直平分線，∴AD＝BD，∴△BDC的周長＝BD+DC+BC＝AD+DC+BC＝AC+BC＝AB+BC＝8+5＝13．故選：D．【典例3】（河西區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度數．【解答】解：設∠A＝x．∵AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝x；∵BD＝BC，∴∠BCD＝∠BDC＝∠ABD+∠A＝2x；∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠BCD＝2x，∴∠DBC＝x；∵x+2x+2x＝180°，∴x＝36°，∴∠A＝36°，∠ABC＝∠ACB＝72°．【變式3-1】（銅山區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝CD，點D在BC上，且AD＝BD．（1）求證：∠ADB＝∠BAC；（2）求∠B的度數．【解答】（1）證明：∵AB＝AC，AD＝BD∴∠B＝∠C，∠B＝∠1，∴∠C＝∠1，∵∠ADB＝∠2+∠C，∠BAC＝∠2+∠1∴∠ADB＝∠BAC；（2）∵AC＝CD，∴∠2＝∠ADC，又∵∠ADC＝∠B+∠1，∴∠2＝2∠B，在△ABC中，∠B+∠BAC+∠C＝5∠B＝180°，∴∠B＝36°．【典例4】（2022秋?長沙期中）如圖，一條船上午8時從海島A出發(fā)，以15海里/時的速度向正北方向航行，上午10時到達海島B處，分別從A，B處望燈塔C，測得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°．（1）求海島B到燈塔C的距離；（2）若這條船到達海島B處后，繼續(xù)向正北方向航行，問還要經過多長時間，小船與燈塔C的距離最短？【解答】解：（1）由題意得：AB＝15×2＝30（海里）．∵∠NBC＝60°，∠NAC＝30°，∴∠ACB＝∠NBC﹣∠NAC＝30°．∴∠ACB＝∠NAC．∴AB＝BC＝30（海里）．∴從海島B到燈塔C的距離為30海里．（2）如圖，過點C作CP⊥AB于點P．∴根據垂線段最短，線段CP的長為小船與燈塔C的最短距離，∠BPC＝90°．又∵∠NBC＝60°，∴∠PCB＝180°﹣∠BPC﹣∠CBP＝30°．在Rt△CBP中，∠BCP＝30°，∴（海里），∴AP＝AB+BP＝30+15＝45（海里）．∴航行的時間為45÷15＝3（時）．∴若這條船繼續(xù)向正北航行，上午11時小船與燈塔C的距離最短．【變式4】（2022秋?南崗區(qū)校級月考）上午8時，一條船從海島A出發(fā)，以15海里/時的速度向北航行，11時到達海島B處，從A、B望燈塔C，測得∠NAC＝40°，∠NBC＝80°，求從海島B到燈塔C的距離．【解答】解：由題意得：AB＝（11﹣8）×15＝3×15＝45（海里），∵∠NBC是△ABC的一個外角，∠NAC＝40°，∠NBC＝80°，∴∠C＝∠NBC﹣∠NAC＝40°，∴∠C＝∠NAC＝40°，∴AB＝BC＝45海里，∴從海島B到燈塔C的距離為45海里．【題型2：等腰三角形的判定】【典例5】（河北模擬）如圖，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，則圖中等腰三角形的個數是（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】D【解答】解：∵AB＝AC，∴△ABC為等腰三角形，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣36°）＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝×72°＝36°，∴∠ABD＝∠A，∴△ABD為等腰三角形，∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°，∴∠BDC＝∠C，∴△BDC為等腰三角形．故選：D．【變式5-1】（肥城市期末）如圖，△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，DE∥BC，則圖中等腰三角形的個數（）A．1個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】D【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°∴△ABC是等腰三角形，∠ABC＝∠ACB＝＝72°，BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠DBC＝36°，∵ED∥BC，∴∠AED＝∠ADE＝72°，∠EDB＝∠CBC＝36°，∴在△ADE中，∠AED＝∠ADE＝72°，AD＝AE，△ADE為等腰三角形，在△ABD中，∠A＝∠ABD＝36°，AD＝BD，△ABD是等腰三角形，在△BED中，∠EBD＝∠EDB＝36°，ED＝BE，△BED是等腰三角形，在△BDC中，∠C＝∠BDC＝72°，BD＝BC，△BDC是等腰三角形，所以共有5個等腰三角形．故選：D．【變式5-2】（宜賓期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，∠B＝∠DAE＝36°，則圖中等腰三角形共有（）個．A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝36°，∵AD＝AE，∠DAE＝36°，∴∠ADE＝∠AED＝72°，∵∠ADE＝∠B+∠BAD，∠AED＝∠C+∠EAC，∴∠BAD＝∠EAC＝36°，∴∠BAE＝∠DAC＝72°，∴∠BAE＝∠BEA＝∠CDA＝∠CAD，∠B＝∠BAD＝∠C＝∠EAC，∴△ABD，△AEC，△BAE，△ADC，△ABC，△ADE都是等腰三角形，故選：D．【典例6】（蒙陰縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝36°，以C為原點，AC所在直線為y軸，BC所在直線為x軸建立平面直角坐標系，在坐標軸上取一點M使△MAB為等腰三角形，符合條件的M點有（）A．6個 B．7個 C．8個 D．9個【答案】C【解答】解：如圖，①以A為圓心，AB為半徑畫圓，交直線AC有二點M1，M2，交BC有一點M3，（此時AB＝AM）；②以B為圓心，BA為半徑畫圓，交直線BC有二點M5，M4，交AC有一點M6（此時BM＝BA）．③AB的垂直平分線交AC一點M7（MA＝MB），交直線BC于點M8；∴符合條件的點有8個．故選：C．【變式6-1】（西工區(qū)校級期中）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（4，﹣3），點P在x軸上，且使△AOP為等腰三角形，符合題意的點P的個數為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解答】解：如圖所示：點P在x軸上，且使△AOP為等腰三角形，符合題意的點P的個數共4個，故選：C．【變式6-2】（河東區(qū)期末）已知在正方形網格中，每個小方格都是邊長為1的正方形，A、B兩點在格點上，位置如圖，點C也在格點上，且△ABC為等腰三角形，則點C的個數為（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【解答】解：①以AB為底邊，符合點C的有5個；②以AB為腰，符合點C的有4個．所以符合條件的點C共有9個．故選：C．【題型3：等腰三角形的判定與性質】【典例7】（蒼溪縣期末）如圖，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點O，過點O作DE∥BC，分別交AB、AC于點D、E．（1）△BDO是等腰三角形嗎？請說明理由．（2）若AB＝10，AC＝6，求△ADE的周長．【解答】解：（1）△BDO是等腰三角形．∵BO平分∠ABC，∴∠DBO＝∠CBO，∵DE∥BC，∴∠CBO＝∠DOB，∴∠DBO＝∠DOB，∴BD＝DO，∴△BDO是等腰三角形．（2）同理△CEO是等腰三角形，∵BD＝OD，CE＝OE，∴△ADE的周長＝AD+AE+ED＝AB+AC＝10+6＝16．【變式7-1】（集賢縣期末）已知：如圖，△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，過D作直線平行于BC，交AB、AC于E、F．求證：（1）△DFC是等腰三角形；（2）EF＝BE+CF．【解答】證明：（1）∵CD平分∠ACB，∴∠FCD＝∠BCD，∵EF∥BC，∴∠FDC＝∠BCD，∴∠FCD＝∠FDC，∴DF＝FC，∴△DFC是等腰三角形；（2）∵BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠CBD，∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠CBD，∴∠EBD＝∠EDB，∴DE＝BE，由（1）得，DF＝FC，∴EF＝DE+DF＝BE+CF．【變式7-2】（長垣市期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D、E、F分別在AB、BC、AC邊上，且BE＝CF，BD＝CE．（1）求證：△DEF是等腰三角形；（2）當∠A＝40°時，求∠DEF的度數．【解答】證明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，在△DBE和△ECF中，∴△DBE≌△ECF，∴DE＝EF，∴△DEF是等腰三角形；（2）∵△DBE≌△ECF，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B＝（180°﹣40°）＝70°∴∠1+∠2＝110°∴∠3+∠2＝110°∴∠DEF＝70°【變式7-3】（2022春?雁塔區(qū)校級期末）如圖，已知AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，BE＝CF．（1）求證：△ABC是等腰三角形；（2）若AB＝5，BC＝6，求DE的長．【解答】（1）證明：∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD＝90°，DE＝DF，在Rt△AED和Rt△AFD中，，∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），∴AE＝AF，∵BE＝CF，∴AE+BE＝AF+CD，即AB＝AC，即△ABC是等腰三角形；（2）解：由（1）可知△ABC是等腰三角形，又∵AD是△ABC的角平分線，BC＝6，∴BD＝CD＝3，AD⊥BC，∵AB＝5，AD＝，∴AD＝＝4，∵DE⊥AB，AD⊥BC，∴S△ABD＝BD?AD＝AB?DE，∴DE＝＝＝2.4．1．（2023?眉山）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，則∠ACD的度數為（）A．70° B．100° C．110° D．140°【答案】C【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵∠A＝40°，∴∠B＝∠ACB＝，∵∠ACD是△ABC的一個外角，∴∠ACD＝∠A+∠B＝40°+70°＝110°，故選：C．2．（2023?內蒙古）如圖，直線a∥b，直線l與直線a，b分別相交于點A，B，點C在直線b上，且CA＝CB．若∠1＝32°，則∠2的度數為（）A．32° B．58° C．74° D．75°【答案】C【解答】解：∵CA＝CB，∴△ABC是等腰三角形，∴∠CBA＝∠CAB＝（180°﹣32°）÷2＝74°，∵a∥b，∴∠2＝∠CBA＝74°．故選：C．3．（2023?河北）在△ABC和△A'B'C′中，∠B＝∠B'＝30°，AB＝A'B'＝6，AC＝A'C′＝4，已知∠C＝n°，則∠C′＝（）A．30° B．n° C．n°或180°﹣n° D．30°或150°【答案】C【解答】解：當BC＝B′C′時，△ABC≌△A′B′C′（SSS），∴∠C′＝∠C＝n°，當BC≠B′C′時，如圖，∵A′C′＝A′C″，∴∠A′C″C′＝∠C′＝n°，∴∠A′C″B′＝180°﹣n°，∴∠C′＝n°或180°﹣n°，故選：C．4．（2023?河北）四邊形ABCD的邊長如圖所示，對角線AC的長度隨四邊形形狀的改變而變化．當△ABC為等腰三角形時，對角線AC的長為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解答】解：∵△ABC為等腰三角形，∴AB＝AC或AC＝BC，當AC＝BC＝4時，AD+CD＝AC＝4，此時不滿足三角形三邊關系定理，當AC＝AB＝3時．滿足三角形三邊關系定理，∴AC＝3．故選：B．5．（2022?淄博）某城市幾條道路的位置關系如圖所示，道路AB∥CD，道路AB與AE的夾角∠BAE＝50°．城市規(guī)劃部門想新修一條道路CE，要求CF＝EF，則∠E的度數為（）A．23° B．25° C．27° D．30°【答案】B【解答】解：∵AB∥CD，∴∠DFE＝∠BAE＝50°，∵CF＝EF，∴∠C＝∠E，∵∠DFE＝∠C+∠E，∴∠C＝∠DFE＝×50°＝25°，故選：B．6．（2022?鞍山）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝24°，延長BC到點D，使CD＝AC，連接AD，則∠D的度數為（）A．39° B．40° C．49° D．51°【答案】A【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝24°，∴∠B＝∠ACB＝78°．∵CD＝AC，∠ACB＝78°，∠ACB＝∠D+∠CAD，∴∠D＝∠CAD＝∠ACB＝39°．故選：A．7．（2021?淄博）如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線交AC于點D，過點D作DE∥BC交AB于點E．（1）求證：BE＝DE；（2）若∠A＝80°，∠C＝40°，求∠BDE的度數．【答案】（1）見證明；（2）∠BDE的度數為30°．【解答】解：（1）證明：在△ABC中，∠ABC的平分線交AC于點D，∴∠ABD＝∠CBD，∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠CBD，∴∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE．（2）∵∠A＝80°，∠C＝40°∴∠ABC＝60°，∵∠ABC的平分線交AC于點D，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝30°，由（1）知∠EDB＝∠EBD＝30°，故∠BDE的度數為30°．8．（2022?溫州）如圖，BD是△ABC的角平分線，DE∥BC，交AB于點E．（1）求證：∠EBD＝∠EDB．（2）當AB＝AC時，請判斷CD與ED的大小關系，并說明理由．【答案】（1）見解析；（2）CD＝ED，理由見解析．【解答】（1）證明：∵BD是△ABC的角平分線，∴∠CBD＝∠EBD，∵DE∥BC，∴∠CBD＝∠EDB，∴∠EBD＝∠EDB．（2）解：CD＝ED，理由如下：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠ABC，∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，∴CD＝BE，由（1）得，∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE，∴CD＝ED1．（2023?武威一模）一個等腰三角形的頂角是50°，則它的底角的大小是（）A．50° B．65° C．100° D．130°【答案】B【解答】解：（180°﹣50°）÷2＝130°÷2＝65°．故選：B．2．（2023春?廣西期末）等腰三角形的兩條邊長分別為15和7，則它的周長等于（）A．22 B．29 C．37 D．29或37【答案】C【解答】解：當7是腰時，則7+7＜15，不能組成三角形，應舍去；當15是腰時，則三角形的周長是7+15×2＝37．故選：C．3．（2022秋?防城港期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC邊的中點，下列結論不一定正確的是（）A．AD⊥BC B．∠B＝∠C C．AD平分∠BAC D．AB＝BC【答案】D【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，∴∠B＝∠C，∵D為BC邊的中點，∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，故選項A、B、C正確，AB＝BC不一定成立，故選：D．4．（2023?碑林區(qū)一模）已知等腰△ABC中，∠A＝50°，則∠B的度數為（）A．50° B．65° C．50°或65° D．50°或80°或65°【答案】D【解答】解：當∠A為頂角時，則；當∠B為頂角時，則∠B＝180°﹣2∠A＝80°；當∠A、∠B為底角時，則∠B＝∠A＝50°．故選：D．5．（2022秋?天元區(qū)校級期末）等腰三角形的周長為20cm，其中一邊長為5cm，則其腰長為（）A．5cm B．5cm或7.5cm C．7.5cm D．以上都不對【答案】C【解答】解：若5cm為等腰三角形的腰長，則底邊長為：20﹣2×5＝10（cm），此時三角形的三邊長分別為5cm，5cm，10cm，不符合三角形的三邊關系；若5cm為等腰三角形的底邊，則腰長為：（20﹣5）÷2＝7.5（cm），此時三角形的三邊長分別為7.5cm，7.5cm，5cm，符合三角形的三邊關系；∴該等腰三角形的腰長為7.5cm，故選：C．6．（2023?蚌埠模擬）在如圖的網格中，在網格上找到點C，使△ABC為等腰三角形，這樣的點有幾個（）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【解答】解：如圖，∵AB＝＝2，∴①若BA＝BC，則符合要求的有：C1，C2共2個點；②若AB＝AC，則符合要求的有：C3，C4共2個點；③若CA＝CB，則符合要求的有：C5，C6，C7，C8，C9，C10共6個點．∴這樣的C點有10個．故選：C．7．（2022秋?巴州區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠A＝36°，∠B＝72°，CD平分∠ACB，DE∥AC，則圖中共有等腰三角形（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】D【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B，∵∠A＝36°，∴∠ACB＝∠B＝（180°﹣∠A）＝72°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝36°，∴∠CDB＝∠A+∠ACD＝72°，∵DE∥AC，∴∠EDB＝∠A＝36°，∠DEB＝∠ACB＝72°，∠CDE＝∠ACD＝36°，∴∠A＝∠ACD＝∠BCD＝∠CDE＝36°，∠B＝∠ACD＝∠DEB＝∠CDB＝72°，∴△ACB、△ACD、△CDB、△CDE、△DEB都是等腰三角形，共5個，故選：D．8．（2023?西湖區(qū)校級二模）如圖，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，BD是△ABC的平分線，DE∥BC，則∠BDE的度數為（）A．20° B．35° C．40° D．70°【答案】B【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵∠A＝40°，∴∠ABC＝×（180°﹣40°）＝70°，∵BD是△ABC的平分線，∴∠DBC＝∠ABC＝35°，∵DE∥BC，∴∠BDE＝∠DBC＝35°，故選：B．9．（2022秋?輝縣市校級期末）如圖，△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點F，過點F作DE∥BC交AB于點．D，交AC于點E，那么下列結論：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③BC＝BD+CE；④△ADE的周長＝AB+AC；⑤BF＝CF．其中正確的有（）A．①②③ B．①②④ C．①②④⑤ D．②④⑤【答案】B【解答】解：∵DE∥BC，∴∠DFB＝∠FBC，∠EFC＝∠FCB，∵BF是∠ABC的平分線，CF是∠ACB的平分線，∴∠FBC＝∠DFB，∠FCE＝∠FCB，∵∠DBF＝∠DFB，∠EFC＝∠ECF，∴△DFB，△FEC都是等腰三角形．∴DF＝DB，FE＝EC，即有DE＝DF+FE＝DB+EC，∴△ADE的周長AD+AE+DE＝AD+AE+DB+EC＝AB+AC，①②④正確，故選：B．10．（2023?吉林）如圖，在△ABC中，AB＝AC．分別以點B和點C為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點D，作直線AD交BC于點E．若∠BAC＝110°，則∠BAE的大小為55度．【答案】55°．【解答】解：∵AB＝AC．∴△ABC是等腰三角形，∵分別以點B和點C為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點D，作直線AD交BC于點E．∴AE垂直平分BC，∴AE是∠BAC的平分線，∴∠BAE＝∠BAC＝55°．故答案為：55°．11．（2023?新疆）如圖，在△ABC中，若AB＝AC，AD＝BD，∠CAD＝24°，則∠C＝52°．【答案】52．【解答】解：∵AB＝AC，AD＝BD，∴∠B＝∠C，∠B＝∠BAD，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝∠CAD+∠BAD，∴180°﹣2∠C＝24°+∠C，∴∠C＝52°，故答案為：52．12．（2023?重慶）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊的中線，若AB＝5，BC＝6，則AD的長度為4．【答案】4．【解答】解：∵AB＝AC，AD是BC邊的中線，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵AB＝5，BC＝6，∴BD＝CD＝3，在Rt△ABD中，根據勾股定理，得AD＝＝＝4，故答案為：4．13．（2023?沙依巴克區(qū)模擬）已知：一等腰三角形的兩邊長x、y滿足方程組，則此等腰三角形的周長為5．【答案】見試題解答內容【解答】解：解方程組得所以，等腰三角形的兩邊長為2，1．若腰長為1，底邊長為2，由1+1＝2知，這樣的三角形不存在．若腰長為2，底邊長為1，則三角形的周長為5．所以這個等腰三角形的周長為5．故答案為：5．14．（2022秋?岳陽期末）如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線交AC于點D，過點D作DE∥BC交AB于點E．（1）求證：BE＝DE；（2）若∠A＝75°，∠C＝37°，求∠BDE的度數．【答案】（1）見解析；（2）34°．【解答】（1）證明：∵BD平分∠ABC，∴，∵DE∥BC，∴∠CBD＝∠EDB，∴∠EBD＝∠ED