江蘇省無錫市普通高中2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（含解析）

無錫市普通高中2023年春學(xué)期高二期終調(diào)研考試試題數(shù)學(xué)2023．06注意事項及說明：本卷考試時間為120分鐘，全卷滿分為150分．一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上．1.設(shè)集合，，則()A. B.C. D.2.已知一次降雨過程中，某地降雨量L(單位：mm)與時間t(單位：min)的函數(shù)關(guān)系可近似表示為，則在時的瞬時降雨強(qiáng)度(某一時刻降雨量的瞬時變化率)為()A. B.C. D.3.若，，其中，則()A. B.C. D.4.函數(shù)的圖象大致是()A. B.C. D.5.某工廠為研究某種產(chǎn)品的產(chǎn)量(噸)與所需某種原材料(噸)的相關(guān)性，在生產(chǎn)過程中收集了組對應(yīng)數(shù)據(jù)如下表所示：根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得出關(guān)于的回歸直線方程為.據(jù)此計算出在樣處的殘差為，則表中的值為()(注：稱為對應(yīng)樣本點(diǎn)的殘差)A. B. C. D.6.一批產(chǎn)品中有一等品若干件，二等品3件，三等品2件，若從中任取3件產(chǎn)品，至少有1件一等品的概率不小于，則該批產(chǎn)品中一等品至少有()A.3件 B.4件C5件 D.6件7.已知函數(shù)，在區(qū)間上任取兩個不相等的實(shí)數(shù)，，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.8.已知函數(shù)，若存在區(qū)間，使得在上的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B.C D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.若，其中為實(shí)數(shù)，則()A B.C. D.10.已知，則下列結(jié)論正確的是()A.的最小值為2 B.的最小值為C.的最大值為1 D.的最小值為11.從裝有2個紅球和3個藍(lán)球的袋中，每次隨機(jī)摸出一球，摸出的球不再放回．記“第一次摸出的是紅球”為事件，“第一次摸出的是藍(lán)球”為事件，“第二次摸出的是紅球”為事件，“第二次摸出的是藍(lán)球”為事件．則下列說法正確的是()A. B.C. D.12.記函數(shù)的圖象為，下列選項中正確的結(jié)論有()A.函數(shù)的極大值和極小值均有且只有一個B.有且僅有兩條直線與恰有兩個公共點(diǎn)C.不論實(shí)數(shù)為何值，方程一定存在實(shí)數(shù)根D.上存在三個點(diǎn)構(gòu)成的三角形為等腰三角形，且這樣的等腰三角形個數(shù)有限三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上．13.的展開式中常數(shù)項是________.14.某藥廠研制一種新藥，針對某種疾病的治愈率為，隨機(jī)選擇1000名患者，經(jīng)過使用該藥治療后治愈人的概率記為，則當(dāng)取最大值時，的值為____．15.不等式解集為________．16.將四個“0”和四個“1”按從左到右的順序排成一排，這列數(shù)有________種不同排法；若這列數(shù)前個數(shù)中的“0”的個數(shù)不少于“1”的個數(shù)，則這列數(shù)有________種不同排法．(用數(shù)字作答)四、解答題：本大題共6小題，共70分，請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知集合，，且為非空集合．(1)當(dāng)時，，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若“”是“”的充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，．(1)求時，的解析式；(2)求不等式的解集．19.海水養(yǎng)殖場進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比，收貨時各隨機(jī)抽取了50個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位：)，其箱產(chǎn)量如下表所示．養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量箱產(chǎn)量箱產(chǎn)量舊養(yǎng)殖法3020新養(yǎng)殖法1535(1)根據(jù)小概率的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法是否有關(guān)；(2)現(xiàn)需從抽取的新、舊網(wǎng)箱中各選1箱產(chǎn)品進(jìn)行進(jìn)一步檢測，記X為所選產(chǎn)品中箱產(chǎn)量不低于的箱數(shù)，求X的分布列和期望．附：，，．20.已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在處有極大值，求實(shí)數(shù)c的值；(2)若不等式對任意恒成立，求實(shí)數(shù)c取值范圍．21.某校擬對全校學(xué)生進(jìn)行體能檢測，并規(guī)定：學(xué)生體能檢測成績不低于分為合格，否則為不合格；若全年級不合格人數(shù)不超過總?cè)藬?shù)的，則該年級體能檢測達(dá)標(biāo)，否則該年級體能檢測不達(dá)標(biāo)，需加強(qiáng)鍛煉．(1)為準(zhǔn)備體能檢測，甲、乙兩位同學(xué)計劃每天開展一輪羽毛球比賽以提高體能，并約定每輪比賽均采用七局四勝制(一方獲勝四局則本輪比賽結(jié)束)．假設(shè)甲同學(xué)每局比賽獲勝的概率均為，求甲在一輪比賽中至少打了五局并獲勝的條件下，前3局比賽均獲勝的概率；(2)經(jīng)過一段時間的體能訓(xùn)練后，該校進(jìn)行了體能檢測，并從高二年級1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取了40名學(xué)生的成績作分析．將這40名學(xué)生體能檢測的平均成績記為，標(biāo)準(zhǔn)差記為，高二年級學(xué)生體能檢測成績近似服從正態(tài)分布．已知，，請估計該校高二年級學(xué)生體能檢測是否合格？附：若隨機(jī)變量，則，，．22.已知函數(shù)，．(1)若直線與函數(shù)的圖象相切，求實(shí)數(shù)k的值；(2)若不等式對定義域內(nèi)任意x都成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

無錫市普通高中2023年春學(xué)期高二期終調(diào)研考試試題數(shù)學(xué)2023．06注意事項及說明：本卷考試時間為120分鐘，全卷滿分為150分．一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上．1.設(shè)集合，，則()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先化簡集合B，再利用并集定義即可求得.【詳解】，則故選：A2.已知一次降雨過程中，某地降雨量L(單位：mm)與時間t(單位：min)的函數(shù)關(guān)系可近似表示為，則在時的瞬時降雨強(qiáng)度(某一時刻降雨量的瞬時變化率)為()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的概念，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，代入，可得答案.【詳解】∵，∴，∴在時的瞬時降雨強(qiáng)度為.故選：D．3.若，，其中，則()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用及對立事件的概率公式即可得解.【詳解】因?yàn)?，，，所以．故選：C.4.函數(shù)圖象大致是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由函數(shù)的奇偶性，導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系判斷，【詳解】，故為偶函數(shù)，，當(dāng)時，，且隨著增大而增大，故增長越來越快，故選：B5.某工廠為研究某種產(chǎn)品的產(chǎn)量(噸)與所需某種原材料(噸)的相關(guān)性，在生產(chǎn)過程中收集了組對應(yīng)數(shù)據(jù)如下表所示：根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得出關(guān)于的回歸直線方程為.據(jù)此計算出在樣處的殘差為，則表中的值為()(注：稱為對應(yīng)樣本點(diǎn)的殘差)A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)殘差可得回歸直線方程，再根據(jù)樣本中心可計算的值.【詳解】由殘差為可知，當(dāng)時，，即，解得，所以回歸直線方程為，又，，且樣本中心在回歸直線上，所以，解得，故選：A.6.一批產(chǎn)品中有一等品若干件，二等品3件，三等品2件，若從中任取3件產(chǎn)品，至少有1件一等品的概率不小于，則該批產(chǎn)品中一等品至少有()A.3件 B.4件C.5件 D.6件【答案】C【解析】【分析】利用對立事件的概率關(guān)系，求出至少有1件一等品的概率，列出不等式求解即可.【詳解】設(shè)該批產(chǎn)品共有件，，從中任取3件產(chǎn)品，均不是一等品的概率為，則至少有1件一等品的概率為，由題意，即，可得，則該批產(chǎn)品中一等品至少有件，故選：C.7.已知函數(shù)，在區(qū)間上任取兩個不相等的實(shí)數(shù)，，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)可知在上單調(diào)遞增，進(jìn)而由導(dǎo)數(shù)即可求解.【詳解】由可知在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，故，所以，故選：C8.已知函數(shù)，若存在區(qū)間，使得在上的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】在上單調(diào)遞增，根據(jù)題意有，即方程在有兩不同實(shí)數(shù)根，列出不等式組，求解即可．【詳解】函數(shù)開口向上且對稱軸為在上單調(diào)遞增．存在區(qū)間，使得在上的值域?yàn)椋瑒t有，即方程在有兩不同實(shí)數(shù)根．，解得，的取值范圍為.故選：D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.若，其中為實(shí)數(shù)，則()A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】令，將原式轉(zhuǎn)化為，利用賦值法求解A、C；寫出展開式的通項，即可計算B；兩邊求導(dǎo)，再用賦值法求解可判斷D.【詳解】令，則原式轉(zhuǎn)化，令，得，故A正確；展開式的通項為，則，，，故B正確；令，得，所以，故C正確；，兩邊求導(dǎo)得，令，得，故D錯誤.故選：ABC.10.已知，則下列結(jié)論正確的是()A.的最小值為2 B.的最小值為C.的最大值為1 D.的最小值為【答案】BD【解析】【分析】由得，利用基本不等式可判斷A；利用“1的妙用”結(jié)合基本不等式可判斷B；由可得，代入化簡可判斷C；將代入并整理化簡，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷D．【詳解】對于A，由得，則，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，故A錯誤；對于B，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故B正確；對于C，，，故C錯誤；對于D，，，，則當(dāng)，即時，取最小值，故D正確.故選：BD．11.從裝有2個紅球和3個藍(lán)球的袋中，每次隨機(jī)摸出一球，摸出的球不再放回．記“第一次摸出的是紅球”為事件，“第一次摸出的是藍(lán)球”為事件，“第二次摸出的是紅球”為事件，“第二次摸出的是藍(lán)球”為事件．則下列說法正確的是()A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】求出，進(jìn)而得出，，即可判斷AB；根據(jù)條件概率公式計算可判斷CD．【詳解】由題意，事件有兩種情況，①第一次摸出紅球，第二次摸出紅球；②第一次摸出藍(lán)球，第二次摸出紅球，則，故A正確；，故B錯誤；∵，，∴，故C錯誤；∵，故D正確．故選：AD．12.記函數(shù)的圖象為，下列選項中正確的結(jié)論有()A.函數(shù)的極大值和極小值均有且只有一個B.有且僅有兩條直線與恰有兩個公共點(diǎn)C.不論實(shí)數(shù)為何值，方程一定存在實(shí)數(shù)根D.上存在三個點(diǎn)構(gòu)成的三角形為等腰三角形，且這樣的等腰三角形個數(shù)有限【答案】AC【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的奇偶性,作出函數(shù)的大致圖象,即可根據(jù)選項逐一判斷.【詳解】由,則，當(dāng)時，均為單調(diào)遞增函數(shù)，所以在單調(diào)遞增，由于,故存在唯一的實(shí)數(shù)，使得，而當(dāng),,又當(dāng)，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故當(dāng)時，取極小值，又，所以奇函數(shù)，由對稱性可知當(dāng)時，取極大值，故A正確，根據(jù)的單調(diào)性和奇偶性，作出的大致圖象如下：故經(jīng)過極值點(diǎn)且與軸平行的直線，及在極值點(diǎn)附近與曲線相切，與曲線另一側(cè)相交的直線均與點(diǎn)圖象有兩個交點(diǎn)，故B錯誤，由于當(dāng)趨于時趨于，且為奇函數(shù)，直線恒過定點(diǎn)，，所以與的圖象恒有交點(diǎn)，故恒有根，故C正確，對于D，任意經(jīng)過原點(diǎn)且與相交的直線,過弦中點(diǎn)作垂線交于于點(diǎn),則三角形即為等腰三角形,這樣的三角形有無數(shù)多個.故D錯誤，故選：AC【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求解曲線在某點(diǎn)處的切線方程；(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)；(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決函數(shù)的恒成立與有解問題，同時注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上．13.的展開式中常數(shù)項是________.【答案】15【解析】【分析】首先寫出二項式展開式的通項，令，即可求出，再代入計算可得.【詳解】二項式的展開式的通項公式為，令，求得.所以展開式中常數(shù)項為.故答案為：1514.某藥廠研制一種新藥，針對某種疾病的治愈率為，隨機(jī)選擇1000名患者，經(jīng)過使用該藥治療后治愈人的概率記為，則當(dāng)取最大值時，的值為____．【答案】800【解析】【分析】先求得解析式，列出關(guān)于的不等式組，解之即可求得當(dāng)取最大值時的值.【詳解】該新藥針對某種疾病的治愈率為，隨機(jī)選擇1000名患者，經(jīng)過使用該藥治療后治愈人的概率記為，則由，即，可得，解之得又，則則當(dāng)取最大值時，的值為800.故答案為：80015.不等式的解集為________．【答案】【解析】【分析】作出，(其中)的圖象，數(shù)形結(jié)合可得解.【詳解】作出，(其中)的圖象，如圖，時，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，兩個函數(shù)均過點(diǎn)，時，，，時，，，由圖可知，當(dāng)時，，則不等式的解集為.故答案為：.16.將四個“0”和四個“1”按從左到右的順序排成一排，這列數(shù)有________種不同排法；若這列數(shù)前個數(shù)中的“0”的個數(shù)不少于“1”的個數(shù)，則這列數(shù)有________種不同排法．(用數(shù)字作答)【答案】①.70②.25【解析】【分析】由組合數(shù)求解；根據(jù)前4個數(shù)中“0”的個數(shù)分類討論求解，【詳解】4個“0”和4個“1”排成一排，在8個位置中選4個位置排0即可，一共有種，若前個數(shù)中的“0”的個數(shù)不少于“1”的個數(shù)，則第1個數(shù)必為0，若第2個數(shù)為0，則在后6個位置中選2個位置排0，共有種，若第2個數(shù)為1，則第3個數(shù)必為0，則在后5個位置中選2個位置排0共有種，共有種，故答案為：70；25四、解答題：本大題共6小題，共70分，請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知集合，，且為非空集合．(1)當(dāng)時，，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若“”是“”的充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)題意求解集合A，B，進(jìn)而結(jié)合運(yùn)算求解；(2)根據(jù)題意求解集合B，進(jìn)而結(jié)合充分條件運(yùn)算求解；【小問1詳解】由題意可得：，為非空集合，則，，當(dāng)時，，因?yàn)椋曰?，解得，故?shí)數(shù)的取值范圍.【小問2詳解】若“”，則，“”是“”的充分條件，則，所以或或，解得或或，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍.18.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，．(1)求時，的解析式；(2)求不等式的解集．【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由奇函數(shù)的性質(zhì)可得出，當(dāng)時，，即可得出在上的解析式；(2)分、、解不等式，綜合可得出不等式的解集.【小問1詳解】解：是定義在上的奇函數(shù)，則，當(dāng)時，，則，所以，．【小問2詳解】解：當(dāng)時，．當(dāng)時，，可得或，解得；當(dāng)時，，可得，解得．綜上所述，不等式的解集為.19.海水養(yǎng)殖場進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比，收貨時各隨機(jī)抽取了50個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位：)，其箱產(chǎn)量如下表所示．養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量箱產(chǎn)量箱產(chǎn)量舊養(yǎng)殖法3020新養(yǎng)殖法1535(1)根據(jù)小概率的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法是否有關(guān)；(2)現(xiàn)需從抽取的新、舊網(wǎng)箱中各選1箱產(chǎn)品進(jìn)行進(jìn)一步檢測，記X為所選產(chǎn)品中箱產(chǎn)量不低于的箱數(shù)，求X的分布列和期望．附：，，．【答案】(1)有關(guān)(2)分布列見解析，【解析】【分析】(1)根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù)計算，與參考數(shù)據(jù)比較可得結(jié)論；(2)，求出對應(yīng)概率，即可得X的分布列和期望．【小問1詳解】零假設(shè)：箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法無關(guān)．根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù)可得：．所以依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，不成立，即認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)．【小問2詳解】．，，，X的分布列為012．20.已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在處有極大值，求實(shí)數(shù)c的值；(2)若不等式對任意恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系列式求解，(2)由導(dǎo)數(shù)分類討論單調(diào)性后得最大值列式求解，【小問1詳解】．當(dāng)，即或時，函數(shù)可能有極值．由題意，函數(shù)在處有極大值，所以．所以，時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增；時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減；時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增；所以，當(dāng)時，取得極大值，此時，．【小問2詳解】若，時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，解得．所以符合題意．若即，由(1)可知，在區(qū)間上單調(diào)遞增所以，解得．所以，不合題意．若即，由(1)可知，在區(qū)間上的最大值為，所以只需，即，又，解得．綜上所述：．21.某校擬對全校學(xué)生進(jìn)行體能檢測，并規(guī)定：學(xué)生體能檢測成績不低于分為合格，否則為不合格；若全年級不合格人數(shù)不超過總?cè)藬?shù)的，則該年級體能檢測達(dá)標(biāo)，否則該年級體能檢測不達(dá)標(biāo)，需加強(qiáng)鍛煉．(1)為準(zhǔn)備體能檢測，甲、乙兩位同學(xué)計劃每天開展一輪羽毛球比賽以提高體能，并約定每輪比賽均采用七局四勝制(一方獲勝四局則本輪比賽結(jié)束)．假設(shè)甲同學(xué)每局比賽獲勝的概率均為，求甲在一輪比賽中至少打了五局并獲勝的條件下，前3局比賽均獲勝的概率；(2)經(jīng)過一段時間的體