江蘇省徐州市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期4月期中數(shù)學(xué)試題（含解析）

江蘇省徐州市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期4月期中數(shù)學(xué)試題（含解析）2022～2023學(xué)年度第二學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)試題注意事項考生在答題前請認(rèn)真閱讀本注意事項及各題答題要求1．本試卷共4頁包含單項選擇題(第1～8題、多項選擇題(第9～12題)、填空題(第13～16題)、解答題(第17～22題)．本卷滿分為150分，考試時間為120分鐘．考試結(jié)束后，請將答題卡交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．作答試題，必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．4．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．5．請保持答題卡卡面清潔不要折疊、破損．一律不準(zhǔn)使用膠帶紙、修正液、可擦洗的圓珠筆．第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知，，且，則x值為()A. B. C.6 D.－62.有4名學(xué)生報名參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競賽，每人限報一科，有()種不同報名方法．A.81 B.64 C.24 D.43.如圖，在平行六面體中，P是的中點，點Q在上，且，設(shè)，，．則()A. B.C. D.4.同時拋擲一枚紅骰子和一枚藍(lán)骰子，觀察向上的點數(shù)，記“紅骰子向上的點數(shù)為1”為事件，“兩枚骰子的點數(shù)之和等于6”為事件，則()A. B. C. D.5.已知，，，則向量在上的投影向量的坐標(biāo)是()A. B.C. D.6.已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布，有下列四個命題：甲：乙：丙：丁：若這四個命題中有且只有一個是假命題，則該假命題為()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁7.某次足球賽共8支球隊參加，分三個階段進(jìn)行．(1)小組賽：經(jīng)抽簽分成甲?乙兩組，每組4隊進(jìn)行單循環(huán)比賽，以積分和凈勝球數(shù)取前兩名；(2)半決賽：甲組第一名與乙組第二名，乙組第一名與甲組第二名進(jìn)行主?客場交叉淘汰賽(每兩隊主?客場各賽1場)，決出勝者；(3)決賽：兩個勝隊參加，比賽1場，決出勝負(fù)．則全部賽程共需比賽的場數(shù)為()A.15 B.16 C.17 D.188.在如圖所示的試驗裝置中，兩個正方形框架ABCD，ABEF的邊長都是2，且它們所在的平面互相垂直，活動彈子M，N分別在正方形對角線AC和BF上移動，且CM和BN的長度保持相等，記，其中．則MN的長的最小值為()A. B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列說法正確有()A.若，則B.在的展開式中，含的項的系數(shù)是－15C.被5除所得的余數(shù)是1D.現(xiàn)有壹圓、伍圓、拾圓、貳拾圓和伍拾圓的人民幣各一張，一共可以組成31種幣值10.下列說法正確的有()A.某學(xué)校有2023名學(xué)生，其中男生1012人，女生1011人，現(xiàn)選派10名學(xué)生參加學(xué)校組織的活動，記男生的人數(shù)為X，則X服從超幾何分布B.若隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，則C.若隨機(jī)變量X的方差，則D.隨機(jī)變量則11.從裝有5個紅球和4個藍(lán)球袋中，每次不放回地隨機(jī)摸出一球．記“第i(,2)次摸球時摸到紅球”為，“第j(,2)次摸球時摸到藍(lán)球”為，則()A. B.C. D.12.《九章算術(shù)·商功》：“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑．陽馬居二，鱉腳居一，不易之率也．合兩鱉臑三而一，驗之以基，其形露矣．文中“塹堵”是指底面是直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱；文中“陽馬”是指底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐；文中“鱉”是指四個面都是直角三角形的三棱錐.在塹堵中，如圖所示，若AC⊥BC，，．()A.四棱錐為陽馬B.三棱錐為鱉臑C.點P在側(cè)面及其邊界上運動，點M在棱AC上運動，若直線，AP是共面直線，則點P的軌跡長度為D.點N在側(cè)棱上運動，則的最小值為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．(16題第一空2分，第二空3分)13.如圖，我國古代珠算算具——算盤的每個檔(掛珠的桿)上有7顆算珠，用梁隔開，梁上面2顆叫上珠，每珠代表數(shù)值5，梁下面5顆叫下珠，每珠代表數(shù)值1，若從個位檔與十位檔靠梁撥3顆珠(每檔至少撥一珠，同一檔不可撥兩顆上珠)，表示兩位數(shù)，記所得的兩位數(shù)為X，則_____________．14.若，則_____________．15.如圖，將邊長的正方形沿對角線BD折起，連接AC，構(gòu)成一四面體，使得，則點到平面的距離為_____________．16.某地為貫徹習(xí)近平總書記關(guān)于“綠水青山就是金山銀山”的精神，鼓勵農(nóng)戶利用荒坡種植果樹．某農(nóng)戶種植樹苗的自然成活率為0.9．該農(nóng)戶決定種植棵樹苗，種植后沒有自然成活的樹苗中有75%的樹苗可經(jīng)過人工栽培技術(shù)處理，處理后成活的概率為0.8，其余的樹苗不能成活，則一棵樹苗最終成活的概率為_____________，若種植每棵樹苗最終成活后可獲利300元，不成活的每棵虧損50元，該農(nóng)戶為了獲利不低于25萬元，至少需要種植_____________棵樹苗．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17有六位同學(xué)A，B，C，D，E，F(xiàn)站成一排照相，如果：(1)A，B兩人不排在一起，有幾種排法？(2)C，D兩人必須排在一起，有幾種排法？(3)E不在排頭，F(xiàn)不在排尾，有幾種排法？18.已知在的展開式中，前3項的系數(shù)成等差數(shù)列，求：(1)展開式中二項式系數(shù)最大的項；(2)展開式中系數(shù)最大的項．19.如圖，內(nèi)接于⊙O，為⊙O的直徑，，，，為的中點，且平面平面．(1)證明：平面；(2)若，求二面角的正弦值．20.在一個袋子里有大小一樣的5個小球，其中有3個紅球和2個白球．(1)若有放回地每次從中摸出1個球，連摸3次，設(shè)摸到紅球的次數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的概率分布及期望；(2)若每次任意取出1個球，記錄顏色后放回袋中，直到取到兩次紅球就停止，設(shè)取球的次數(shù)為Y，求的概率．21.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，點E，F(xiàn)，N分別為側(cè)棱PD，PC，PB的中點，M為PD(不包含端點)上的點，，．(1)若，求證：平面；(2)若平面，求與平面所成角的最大值．22.電影《流浪地球2》中有許多可行駛、可作業(yè)、可變形的UEG地球聯(lián)合政府機(jī)械設(shè)備，均出自中國工程機(jī)械領(lǐng)導(dǎo)者品牌—徐工集團(tuán).電影中有很多硬核的裝備，其實并不是特效，而是用國產(chǎn)尖端裝備設(shè)計改造出來的，許多的裝備都能在現(xiàn)實中尋找到原型.現(xiàn)集團(tuán)某車間新研發(fā)了一臺設(shè)備，集團(tuán)對新設(shè)備的具體要求是：零件內(nèi)徑(單位：mm)在范圍之內(nèi)的產(chǎn)品為合格品，否則為次品；零件內(nèi)徑X滿足正態(tài)分布．(1)若該車間對新設(shè)備安裝調(diào)試后，試生產(chǎn)了5個零件，測量其內(nèi)徑(單位：mm)分別為：199.87，199.91，199.99，200.13，200.19，如果你是該車間的負(fù)責(zé)人，試根據(jù)3σ原則判斷這臺設(shè)備是否需要進(jìn)一步調(diào)試？并說明你的理由．(2)若該設(shè)備符合集團(tuán)的生產(chǎn)要求，現(xiàn)對該設(shè)備生產(chǎn)的10000個零件進(jìn)行跟蹤調(diào)查．①10000個零件中大約有多少個零件的內(nèi)徑可以超過200.12mm？②10000個零件中的次品的個數(shù)最有可能是多少個？參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量，則，，，，．

2022～2023學(xué)年度第二學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)試題注意事項考生在答題前請認(rèn)真閱讀本注意事項及各題答題要求1．本試卷共4頁包含單項選擇題(第1～8題、多項選擇題(第9～12題)、填空題(第13～16題)、解答題(第17～22題)．本卷滿分為150分，考試時間為120分鐘．考試結(jié)束后，請將答題卡交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．作答試題，必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．4．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．5．請保持答題卡卡面清潔不要折疊、破損．一律不準(zhǔn)使用膠帶紙、修正液、可擦洗的圓珠筆．第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知，，且，則x的值為()A. B. C.6 D.－6【答案】D【解析】【分析】空間中兩向量平行，其對應(yīng)坐標(biāo)成比例，故可求之.【詳解】因為，所以，解得.故選：D.2.有4名學(xué)生報名參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競賽，每人限報一科，有()種不同的報名方法．A.81 B.64 C.24 D.4【答案】A【解析】【分析】利用分步乘法計數(shù)原理可得共有種報名方法.【詳解】根據(jù)題意可知，需分四步進(jìn)行，每一步中每名同學(xué)都有數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三種科目可報，所以共有種.故選：A3.如圖，在平行六面體中，P是的中點，點Q在上，且，設(shè)，，．則()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用空間向量的線性運算即可求解.【詳解】因為P是的中點，所以，又因為點Q在上，且，所以，所以，故選：C.4.同時拋擲一枚紅骰子和一枚藍(lán)骰子，觀察向上的點數(shù)，記“紅骰子向上的點數(shù)為1”為事件，“兩枚骰子的點數(shù)之和等于6”為事件，則()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件概率公式，即可求解.【詳解】事件包含6種基本事件，事件包含1個基本事件，所以.故選：B5.已知，，，則向量在上的投影向量的坐標(biāo)是()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先求，再由投影向量的定義，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運算，模的坐標(biāo)運算公式求解.【詳解】因為，，，所以，所以，，，所以向量在上的投影向量是，所以向量在上的投影向量的坐標(biāo)是，故選：D.6.已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布，有下列四個命題：甲：乙：丙：丁：若這四個命題中有且只有一個是假命題，則該假命題為()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布對稱性相關(guān)知識，判斷A正確，并得到乙和丙都是真命題，再利用均值，驗證D即可.【詳解】對于甲，取任何值，都有，所以甲真命題；對于乙，若，則該正態(tài)分布的均值；對于丙，若，則該正態(tài)分布的均值；乙和丙至少有一個真命題，又因為乙和丙等價，所以乙和丙都是真命題；對于丁，，丁為假命題．故選：D7.某次足球賽共8支球隊參加，分三個階段進(jìn)行．(1)小組賽：經(jīng)抽簽分成甲?乙兩組，每組4隊進(jìn)行單循環(huán)比賽，以積分和凈勝球數(shù)取前兩名；(2)半決賽：甲組第一名與乙組第二名，乙組第一名與甲組第二名進(jìn)行主?客場交叉淘汰賽(每兩隊主?客場各賽1場)，決出勝者；(3)決賽：兩個勝隊參加，比賽1場，決出勝負(fù)．則全部賽程共需比賽的場數(shù)為()A.15 B.16 C.17 D.18【答案】C【解析】【分析】首先理解題意，分別計算小組賽，半決賽和決賽的比賽場數(shù)，再求和.【詳解】.故選：C．8.在如圖所示的試驗裝置中，兩個正方形框架ABCD，ABEF的邊長都是2，且它們所在的平面互相垂直，活動彈子M，N分別在正方形對角線AC和BF上移動，且CM和BN的長度保持相等，記，其中．則MN的長的最小值為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)面面垂直性質(zhì)可證得平面，則以為坐標(biāo)原點可建立空間直角坐標(biāo)系；利用空間中兩點間距離公式可表示出；將整理為，由二次函數(shù)最值可得結(jié)果.【詳解】平面平面，平面平面，，平面，平面，則以為坐標(biāo)原點，為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，；則，當(dāng)時，最小，最小值為.故選：A.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列說法正確的有()A.若，則B.在的展開式中，含的項的系數(shù)是－15C.被5除所得的余數(shù)是1D.現(xiàn)有壹圓、伍圓、拾圓、貳拾圓和伍拾圓的人民幣各一張，一共可以組成31種幣值【答案】BCD【解析】【分析】

根據(jù)組合數(shù)公式計算可判斷A；根據(jù)二項展開式計算可判斷B；根據(jù)二項式系數(shù)性質(zhì)計算可判斷C；根據(jù)組合數(shù)公式和二項展開式性質(zhì)計算可判斷D.【詳解】對于A，若，則或，解得或，故A不正確；對于B，含的項是由的5個括號中4個出僅1個括號出常數(shù)，所以含的項的系數(shù)是，故B正確；對于C，，所以被5除所得的余數(shù)是1，故C正確；對于D，壹圓、伍圓、拾圓、貳拾圓和伍拾圓的人民幣各一張，一共可以組成種幣值，故D正確.故選：BCD.10.下列說法正確的有()A.某學(xué)校有2023名學(xué)生，其中男生1012人，女生1011人，現(xiàn)選派10名學(xué)生參加學(xué)校組織的活動，記男生的人數(shù)為X，則X服從超幾何分布B.若隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，則C.若隨機(jī)變量X的方差，則D.隨機(jī)變量則【答案】AC【解析】【分析】A選項由超幾何分布的定義可判斷；B選項，利用公式可得；C選項，利用公式可得；D選項，利用二項分布和組合數(shù)的對稱性可得.【詳解】A選項：根據(jù)超幾何分布的定義，可知A正確；B選項：，故B錯誤；C選項：，故C正確；D選項：因所以，根據(jù)組合數(shù)的對稱性可知，，故D錯誤.故選：AC11.從裝有5個紅球和4個藍(lán)球的袋中，每次不放回地隨機(jī)摸出一球．記“第i(,2)次摸球時摸到紅球”為，“第j(,2)次摸球時摸到藍(lán)球”為，則()A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)古典概型的概率公式求得，繼而根據(jù)不放回取球時的概率計算可判斷A，B；根據(jù)條件概率的計算公式可判斷C，D.【詳解】由題意可得,則，A正確；，故，B正確；由于，故，同理,故，C錯誤；,所以，D正確，故選：ABD12.《九章算術(shù)·商功》：“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑．陽馬居二，鱉腳居一，不易之率也．合兩鱉臑三而一，驗之以基，其形露矣．文中“塹堵”是指底面是直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱；文中“陽馬”是指底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐；文中“鱉”是指四個面都是直角三角形的三棱錐.在塹堵中，如圖所示，若AC⊥BC，，．()A.四棱錐為陽馬B.三棱錐為鱉臑C.點P在側(cè)面及其邊界上運動，點M在棱AC上運動，若直線，AP是共面直線，則點P的軌跡長度為D.點N在側(cè)棱上運動，則的最小值為【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)陽馬定義利用線面垂直判斷A，根據(jù)題意及A分析棱錐各面三角形判斷B，根據(jù)直線共面判斷P點軌跡并求線段長判斷C，利用側(cè)面展開圖求最小值判斷D.【詳解】對A，直三棱柱中，，，又AC⊥BC，平面，所以平面，底面為矩形，故四棱錐為陽馬，正確；對B，在三棱錐中，由題意及A知都為直角三角形，故正確；對C，如圖，當(dāng)在面對角線上運動時，平面，平面，即直線，AP是共面直線，即點P的軌跡長度為，故正確；對D，直三棱柱側(cè)面與側(cè)面展開在同一平面上可得長為，寬為4的矩形，如圖，連接交于，此時有最小值，故錯誤.故選：ABC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．(16題第一空2分，第二空3分)13.如圖，我國古代珠算算具——算盤的每個檔(掛珠的桿)上有7顆算珠，用梁隔開，梁上面2顆叫上珠，每珠代表數(shù)值5，梁下面5顆叫下珠，每珠代表數(shù)值1，若從個位檔與十位檔靠梁撥3顆珠(每檔至少撥一珠，同一檔不可撥兩顆上珠)，表示兩位數(shù)，記所得的兩位數(shù)為X，則_____________．【答案】##【解析】【分析】列出隨機(jī)試驗的樣本空間，利用古典概型概率公式求.【詳解】由已知隨機(jī)試驗從個位檔與十位檔靠梁撥3顆珠，表示兩位數(shù)，可得下列結(jié)果：，共8個結(jié)果，其中隨機(jī)事件包含下列結(jié)果，，所以.故答案為：.14.若，則_____________．【答案】【解析】【分析】求出，利用賦值法，令即可求得答案.【詳解】由可得，令，則，故，故答案為：15.如圖，將邊長的正方形沿對角線BD折起，連接AC，構(gòu)成一四面體，使得，則點到平面的距離為_____________．【答案】##【解析】【分析】設(shè)點到平面的距離為，則，求可得結(jié)論.詳解】由已知可得，，，取的中點，連接，因為，，所以，因為，，所以，又，所以，因為，點為的中點，所以，由平面，，所以平面，所以點到平面的距離為，又的面積為，所以三棱錐的體積為，設(shè)點到平面的距離為，則，又，因為，所以的面積為，所以，所以.所以點到平面的距離為.故答案為：.16.某地為貫徹習(xí)近平總書記關(guān)于“綠水青山就是金山銀山”的精神，鼓勵農(nóng)戶利用荒坡種植果樹．某農(nóng)戶種植樹苗的自然成活率為0.9．該農(nóng)戶決定種植棵樹苗，種植后沒有自然成活的樹苗中有75%的樹苗可經(jīng)過人工栽培技術(shù)處理，處理后成活的概率為0.8，其余的樹苗不能成活，則一棵樹苗最終成活的概率為_____________，若種植每棵樹苗最終成活后可獲利300元，不成活的每棵虧損50元，該農(nóng)戶為了獲利不低于25萬元，至少需要種植_____________棵樹苗．【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)全概率公式即可求得一棵樹苗最終成活的概率；根據(jù)題意求出獲利的表達(dá)式，進(jìn)而可得出答案.【詳解】一棵樹苗最終成活的概率為，根據(jù)題意可得，解得，因為，所以的最小值為，即至少需要種植棵樹苗．故答案為：；.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.有六位同學(xué)A，B，C，D，E，F(xiàn)站成一排照相，如果：(1)A，B兩人不排在一起，有幾種排法？(2)C，D兩人必須排在一起，有幾種排法？(3)E不在排頭，F(xiàn)不在排尾，有幾種排法？【答案】(1)種(2)種(3)種【解析】【分析】(1)利用插空法可以求解；(2)利用捆綁法可以求解；(3)分兩種情況討論，①若E在排尾，②若E不在排尾，分別求出排法種數(shù)，即可求得答案.【小問1詳解】先排除A，B外的四個人，再將A，B插入到其余4人所形成的5個空中，因此，排法種數(shù)為；【小問2詳解】將C，D兩人捆綁一起看作一個復(fù)合元素和其他4人去安排，因此，排法種數(shù)為；【小問3詳解】E不在排頭，F(xiàn)不在排尾，分以下兩種情況討論：①若E在排尾，則剩下的5人全排列，故有種排法；②若E不在排尾，則E有4個位置可選，B有4個位置可選，將剩下的4人全排列，安排在其它4個位置即可，此時，共有種排法．綜上所述，共有種不同的排法種數(shù)．18.已知在的展開式中，前3項的系數(shù)成等差數(shù)列，求：(1)展開式中二項式系數(shù)最大的項；(2)展開式中系數(shù)最大的項．【答案】(1)(2)和【解析】【分析】(1)根據(jù)二項展開式的通項公式和等差中項的性質(zhì)求出，再根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)可求出結(jié)果；(2)設(shè)第項的系數(shù)最大，由，解出，進(jìn)而求解.【小問1詳解】的展開式的通項為，(，1，…，n)，因為前3項的系數(shù)成等差數(shù)列，所以，化簡得，解得或(舍)．展開式共有9項，二項式系數(shù)最大的項為.【小問2詳解】由(1)知，展開式的通項為，(，1，…，8)，設(shè)第項的系數(shù)最大，則，即，解得，則或，所以展開式的第3項與第4項系數(shù)最大，即和.19.如圖，內(nèi)接于⊙O，為⊙O的直徑，，，，為的中點，且平面平面．(1)證明：平面；(2)若，求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】(1)通過面面垂直的性質(zhì)，找到后證明線面垂直，從而證明線線垂直，通過兩組線線垂直即可得證；(2)通過已知條件以為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，通過二面角向量方法計算公式求解即可.【小問1詳解】因為是⊙O的直徑，所以，因為，，所以，又因為，為的中點，所以，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，因為平面，所以，又因為平面ACD，，所以平面【小問2詳解】因為，，，所以，所以，因為平面，平面，所以，以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz，則，，，．顯然，是平面的一個法向量，設(shè)是平面的一個法向量，則令，則，所以，設(shè)二面角所成角為，，則，所以二面角的正弦值為20.在一個袋子里有大小一樣的5個小球，其中有3個紅球和2個白球．(1)若有放回地每次從中摸出1個球，連摸3次，設(shè)摸到紅球的次數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的概率分布及期望；(2)若每次任意取出1個球，記錄顏色后放回袋中，直到取到兩次紅球就停止，設(shè)取球的次數(shù)為Y，求的概率．【答案】(1)分布列見解析，(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)二項分布列出分布列，求出數(shù)學(xué)期望；(2)即是“前3次只有1次取到紅球，其余2次取到白球，第4次取到紅球”，求出概率即可.【小問1詳解】由題意分析，X的可能值為0，1，2，3所以，，，．分布列：X0123P．【小問2詳解】依題意，每次取到紅球的概率為，取到白球的概率為．即是“前3次只有1次取到紅球，其余2次取到白球，第4次取到紅球”，所以．21.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，點E，F(xiàn)，N分別為側(cè)棱PD，PC，PB的中點，M為PD(不包含端點)上的點，，．(1)若，求證：平面；(2)若平面，求與平面所成角的最大值．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】(1)延長FM和CD交于點Q，連BQ交AD于點H，連FH，F(xiàn)N，先證明H為AD的中點，再證明四邊形為平行四邊形，則，再根據(jù)線面平行的判定定理即可得證；(2)以D為原點，DA，DC，DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【小問1詳解】延長FM和CD交于點Q，連BQ交AD于點H，連FH，F(xiàn)N，由，故，所以，即H為AD的中點，此時，，且，所以四邊形為平行四邊形，故，又平面，平面，所以平面；【小問2詳解】以D為原點，DA，DC，DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，所以，，，設(shè)平面BMF的法向量，則有，令