數(shù)學(xué)建模課件

目錄

數(shù)學(xué)建模第一單元：引言..........................................................1

第二單元初等數(shù)據(jù)分析方法......................................................9

第三章..................................................................37

應(yīng)用積分思想建模.......................................................37

第四章初等代數(shù)、幾何方法......................................................47

初等幾何方法...........................................................58

數(shù)學(xué)建模第一單元：引言

報告標(biāo)題

一何謂數(shù)學(xué)建模二確定性數(shù)學(xué)三不確定性數(shù)學(xué)四數(shù)

學(xué)與現(xiàn)實五數(shù)學(xué)建模與各學(xué)科六數(shù)學(xué)建模與各行業(yè)七

數(shù)學(xué)建模的多效性八變量識別

九數(shù)學(xué)建模的步驟十論文寫作要求

L何謂數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)建模應(yīng)用定量思維的方式探討自然現(xiàn)象工程技術(shù)、社會

現(xiàn)象日常生活實際問題的過程建立變量之間定量關(guān)系稱為數(shù)學(xué)

模型。

求解數(shù)學(xué)模型并解釋、驗證求解結(jié)果然后應(yīng)用于實際.

一方面建立數(shù)學(xué)模型另一方面建立數(shù)學(xué)理論體系并逐步遠(yuǎn)離

背景問題的研究確定性數(shù)學(xué)方法不確定性數(shù)學(xué)方法

2確定性數(shù)學(xué)方方法

一、初等數(shù)學(xué)方法最簡定量關(guān)系即

函數(shù)關(guān)系（相關(guān)性）建立函數(shù)關(guān)系的方法：數(shù)據(jù)散點圖自然

定律觀察并用初等方法建模擬合插值和回歸初等分析方

法函數(shù)論理論體系比如：蘋果從樹上自然掉下來影響它

運(yùn)動的就是重力作用位移與時間關(guān)系為s=lgt2

（1）數(shù)據(jù)擬合

（2）插值方法

（3）應(yīng)用積分思想

（4）導(dǎo)數(shù)思想（變化率）

（5）初等優(yōu)化方法（求極值）

變量之間呈現(xiàn)代數(shù)方程線性代數(shù)方程（組）（由投入

產(chǎn)出問題到填充問題）空間幾何方法建立起非線性代數(shù)

方程

二、離散動力學(xué)方法變量間呈現(xiàn)周期

的遞推關(guān)系差分方程方法變量間呈現(xiàn)函數(shù)方程的形式

三、連續(xù)動力學(xué)方法變量間呈現(xiàn)的函

數(shù)方程中還含有未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)一微分方程含有偏導(dǎo)數(shù)的

方程稱為偏微分方程

四、連續(xù)優(yōu)化方法變量之間具有優(yōu)化效應(yīng)：變分法與最優(yōu)控

五、離散優(yōu)化方法線性規(guī)劃建模整數(shù)規(guī)劃模型非線性規(guī)劃建

模動態(tài)規(guī)劃模型圖論模型

3.不確定性數(shù)學(xué)方法

一、概率與隨機(jī)數(shù)學(xué)

概率論隨機(jī)過程馬氏鏈模型蒙特卡羅模擬排隊論與隨機(jī)排

隊論存儲論與隨機(jī)存儲論

二、統(tǒng)計方法

統(tǒng)計數(shù)據(jù)描述和分析參數(shù)估計假設(shè)檢驗回歸分析：一元線性

回歸多元線性回歸逐步回歸非線性回歸方差分析：單因素方差

分析雙因素方差分析方差分析的模型檢驗聚類分析判別分析主

成分分析因子分析對應(yīng)分析典型相關(guān)分析時間序列分析季節(jié)模

型條件異方差模型

三、界限不分明的模糊性問題

模糊數(shù)學(xué)方法模糊關(guān)系模糊矩陣模糊聚類分析方法模糊模

式識別方法模糊綜合評判方法灰色系統(tǒng)分析方法

微分幾何在廣義相對論中的應(yīng)用拓?fù)鋵W(xué)在大數(shù)據(jù)分析中的應(yīng)

用偏微分方程在瓦斯爆炸的阻隔爆技術(shù)航空發(fā)動機(jī)推進(jìn)技術(shù)

4.數(shù)學(xué)與現(xiàn)實數(shù)學(xué)面對現(xiàn)實的困惑

問題：（1）公司是否上市（2）什么因素障礙相同企業(yè)的發(fā)展（3）

如何確定航空公司在業(yè)內(nèi)的份額如何確定航線大學(xué)數(shù)學(xué)課表：數(shù)

學(xué)分析1數(shù)學(xué)分析2數(shù)學(xué)分析3高等代數(shù)解析幾何實變函數(shù)泛

函分析抽象代數(shù)微分幾何運(yùn)籌學(xué)概率論數(shù)理統(tǒng)計常微分方程偏

微分方程

結(jié)論：大學(xué)所學(xué)數(shù)學(xué)都是理論部分

數(shù)學(xué)跟現(xiàn)實世界最初這樣：現(xiàn)實世界的問題大致三類自然現(xiàn)象

社會現(xiàn)象日常生活

數(shù)學(xué)家通過假設(shè)、簡化、分析建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)理論回

歸現(xiàn)實解釋預(yù)測后來數(shù)學(xué)家專著與理論研究不回歸現(xiàn)實了為什么？

三次數(shù)學(xué)成為獨立科學(xué)形式

主要根源：歷史上三次重大的哲學(xué)思潮，三次重大分離：（1）

第一次：畢達(dá)哥拉斯的“萬物皆數(shù)”形成了古希臘抽象數(shù)學(xué)體系；（2）

第二次：”文藝復(fù)興”時期“科學(xué)的本質(zhì)是數(shù)學(xué)”的哲學(xué)思想所主

宰，創(chuàng)建了微積分理論體系；（3）第三次：1900前后歐洲數(shù)學(xué)家信

奉自由建立純粹數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的思潮，形成現(xiàn)代純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)體

系。

5數(shù)學(xué)建模與各學(xué)科0701數(shù)學(xué)0702物理學(xué)0703化學(xué)0704天文

學(xué)多體問題（manybodyproblem）0705地理學(xué)0706大氣科學(xué)例如：

龍卷風(fēng)縣風(fēng)和臺風(fēng)是如何形成？0707海洋科學(xué)例如：海嘯是如

何形成的可以提前預(yù)測嗎？0708地球物理學(xué)0709地質(zhì)學(xué)例如：

地質(zhì)災(zāi)害如何形成的可以預(yù)測嗎？0710生物學(xué)如何減少實驗次數(shù)

0711系統(tǒng)科學(xué)早期從數(shù)學(xué)中分出。0712科學(xué)技術(shù)史0713生態(tài)學(xué)

數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)（mathematicalecology）0714統(tǒng)計學(xué)08工學(xué)09農(nóng)學(xué)10

醫(yī)學(xué)11軍事學(xué)12管理學(xué)1201管理科學(xué)與工程1202工商管理1203

農(nóng)林經(jīng)濟(jì)管理1204公共管理1205圖書情報與檔案管理13藝術(shù)學(xué)01

哲學(xué)02經(jīng)濟(jì)學(xué)03法學(xué)0301法學(xué)0302政治學(xué)0303社會學(xué)0304民族

學(xué)0305馬克思主義理論0306公安學(xué)04教育學(xué)0401教育學(xué)0402心

理學(xué)0403體育學(xué)05文學(xué)0501中國語言文學(xué)0502外國語言文學(xué)0503

新聞傳播學(xué)06歷史學(xué)

6數(shù)學(xué)建模與各行業(yè)

國家標(biāo)準(zhǔn)（GB/T4754-2002）規(guī)定國民經(jīng)濟(jì)行業(yè)分20個門類（A）

農(nóng)、林、牧、漁業(yè)；例如：中藥種植業(yè)發(fā)展中的三個關(guān)鍵問題：中

藥材資源的可持續(xù)發(fā)展中藥材基地建設(shè)中藥材規(guī)范化種植及GAP

認(rèn)證；例如：造林和更新問題；例如：漁業(yè)養(yǎng)殖與捕撈問題；例如：

農(nóng)業(yè)生產(chǎn)最佳灌溉系統(tǒng)問題。（B）采礦業(yè)；例如：煙煤和無煙煤開

采洗選合理配置問題；例如：對煤礦瓦斯氣（煤層氣）的開采問題

瓦斯爆炸的運(yùn)動方程與預(yù)防（C）制造業(yè)；例如：加工過程中的最

佳方案問題等（D）電力、燃?xì)饧八纳a(chǎn)和供應(yīng)業(yè)；例如：節(jié)能

問題污水治理問題；（E）建筑業(yè)；例如：建筑的抗震問題等；例

如：建筑設(shè)計中的問題伊拉克裔天才女設(shè)計師哈迪德最初選擇學(xué)

習(xí)數(shù)學(xué)而不是建筑學(xué)（F）批發(fā)和零售業(yè)；例如：煙草制品批發(fā)與

零售的精準(zhǔn)投放問題超市進(jìn)貨問題等；（G）交通運(yùn)輸、倉儲和郵政

業(yè)；例如：物流公司的最佳運(yùn)輸路徑問題最佳裝載問題最佳倉儲

問題等（H）住宿和餐飲業(yè)；

例如：酒店的評級問題；（I）信息傳輸計算機(jī)服務(wù)和軟件業(yè)；例

如：計算機(jī)是數(shù)學(xué)家發(fā)明的高新技術(shù)的本質(zhì)是數(shù)學(xué)數(shù)據(jù)處理存儲服

務(wù)問題軟件開發(fā)等（則）金融業(yè)；例如：金融保險證券行業(yè)定價

問題銀行系統(tǒng)（理財、財務(wù)分析師）保險公司（精算）風(fēng)險和損

失評估問題匯率問題等例如：金融衍生產(chǎn)品如何定價？如何估計

風(fēng)險？金融危機(jī)與經(jīng)濟(jì)危機(jī)如何預(yù)測？Black-Scholes公式是一個

偏微分方程！

（K）房地產(chǎn)業(yè)；例如：房地產(chǎn)價格評估問題等；（L）租賃和

商務(wù)服務(wù)業(yè)；例如：2005年高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽題

目B題DVD在線租賃（M）科學(xué)研究

技術(shù)服務(wù)和地質(zhì)勘查業(yè)；例如：自然災(zāi)害自然現(xiàn)象的

分析與預(yù)測（1）地震波的改變給我們什么信息？（2）臺風(fēng)、龍

卷風(fēng)和縣風(fēng)是怎樣形成的？能夠運(yùn)用流體運(yùn)動特征描述并預(yù)測它

們嗎？例如：工業(yè)與高新技術(shù)領(lǐng)域（1）石油開采模型（2）新材料的

合成（N）水利、環(huán)境和公共設(shè)施管理業(yè)；長江水質(zhì)的評價和預(yù)測

（0）居民服務(wù)和其他服務(wù)業(yè)；例如：菜市場選址問題；例如：大

型超市應(yīng)如何確定最佳進(jìn)貨；

（P）教育；例如：教育收費(fèi)問題（Q）衛(wèi)生、社會保障和社會

福利業(yè)；例如：眼科病床的合理安排例如：借助數(shù)學(xué)模型揭示

脂肪細(xì)胞形成的過程并解開肥胖之謎例如：如何準(zhǔn)確預(yù)報天氣或

者局部地區(qū)煙霧消散的預(yù)報？例如：人口問題例如：交通流問

題：例如：吸煙過程的數(shù)學(xué)描述：（R）文化、體育和娛樂業(yè)例

如：出版社的資源配置

（S）公共管理和社會組織；例如：統(tǒng)計局、規(guī)劃局城市高溫

屢屢刷新被忽略的城建

生態(tài)功能散熱的數(shù)學(xué)問題例如：評估部門：評估（風(fēng)險、教育

評估如高校評估）中心評估（房地產(chǎn)）所上市公司資產(chǎn)評估等大型

活動的評估國家或地區(qū)科技實力評估。例如：機(jī)場調(diào)度部門（如何

最優(yōu)？）（T）國際組織。例如：政策研究部門美國新英格蘭復(fù)雜系

統(tǒng)研究所和布蘭代斯大學(xué)的科學(xué)家小組發(fā)明了一個數(shù)學(xué)模型，能

以90%的準(zhǔn)確率預(yù)測何處可能發(fā)生不同種族或文化間的暴力沖突。

7數(shù)學(xué)建模的的多效性

人類的活動有兩種思路：（1）學(xué)習(xí)前人經(jīng)驗、知識，從而解決問

題，這就是“類比”的方法；（2）從源頭問題出發(fā)，創(chuàng)新思維。大數(shù)

據(jù)分析與建模因此，完成每一道案例分析

必須通過如下方式：（1）問題分析與識別識別出面前的問題；前

人有考慮過類似的問題嗎？需要查閱資料。（2）前人采用的方法你

熟悉嗎？（3）試給出你的獨特想法這就是創(chuàng)新性思維。8變量識別最

重要的一步：識別變量影響事件發(fā)展的因素，數(shù)學(xué)上稱為變量有哪

些？（1）所研究的現(xiàn)象或事件中所有變量明確，自變量和因變量都

明確，比如：蘋果從樹上掉下來，受地球引力作用開始自由落體，

掉落地點決定了重力加速度，另外掉落時間、

空氣阻力、掉落立移等變量都明確；（2）因變量明確，但自變量

不明確.比如高校的學(xué)風(fēng)好還是不好，決定學(xué)風(fēng)的是什么自變量呢?

比如：上課遲到、早退、缺席以及上課玩手機(jī)的人數(shù)多，還有嗎？

似乎我們說不全.（3）自變量明確，但因變量不明確.比如：一個

人每天上網(wǎng)瀏覽他喜歡的內(nèi)容或者留言，從這些能得出這個人的什

么結(jié)論？這類問題特別普遍.（4）因變量和自變量都不明確.比

如：偵察機(jī)在高空偵查，看到形形色色的事件，我們只能抽取軍事

或者商業(yè)方面的信息，其他信息不得不過濾.因此，我們的建模問

題就從變量的識別開始.比如：（1）單種群的總量增長.（2）怎樣

設(shè)計一個供大班級用的演講廳？（3）《海峽導(dǎo)報2013年6月21日》

上的新聞：這些年，為何總有“怪風(fēng)”來襲？說的是廈門同安蓮花

后埔村遭受冰雹和與別的地方不太一樣的威力不小的“怪風(fēng)”襲擊。

媒體希望揭開“怪風(fēng)”之謎。你認(rèn)為應(yīng)該怎樣研究這個問題？能否

迅速把握問題的理想狀態(tài)？

9數(shù)學(xué)建模的步驟：

第1步問題分析：抓住事件本質(zhì)想象“理想狀態(tài)”確定主要

變量做出合理假設(shè)如何確定主要變量，三點：（1）抓住事件本質(zhì)揭示

“理想狀態(tài)”確定主要變量。⑵頁著主要因素找出相應(yīng)的其他因

素把這些因素作為變量列出來完善變量體系。（3）忽略某些自變量:

首先，與其他因素相比，影響要小一點。其次，這個變量以幾乎相

同的方式影響其他各種因素，那么這個因素可以忽略，即使這個

因素對所研究的行為有很重要的影響?？紤]將大房間設(shè)計成報告廳

的問題。顯然黑板的立置投影儀的立置與清晰度前后排座立的高低

差安全通道顯然是重要因素。照明是關(guān)鍵因素，但可能會以幾乎同

樣的方式影響所有可能的形狀。因此可以不在此考慮，而是當(dāng)報告

廳的形狀確定后，在照明效果一致的情況下，使得成本最低的子模

型。

第2步模型構(gòu)建根據(jù)所作的假設(shè)，分析事件的內(nèi)在規(guī)律

第3步求解或解釋模型理論與Matlab和R軟件的使用

第4步模型檢驗（1）數(shù)學(xué)關(guān)系的正確性；（2）是否會有多解或

無解的情況出現(xiàn)；（3）數(shù)學(xué)方法的可行性以及算法的復(fù)雜性。該模

型在實際意義下有用嗎？我們確實能收集到必要的數(shù)據(jù)來運(yùn)作該模

型嗎?再次，該模型有普遍意義嗎？

最后，進(jìn)行誤差分析和靈敏度分析

第5步模型的改進(jìn)

第6步論文寫作

第7步應(yīng)用模型解決實際問題

10論文寫作要求學(xué)建模的論文當(dāng)做科技論文的要求來撰寫,

數(shù)學(xué)建模的訓(xùn)練過程就是一次科研訓(xùn)練的過程1、摘要2、問題的

重述3、問題的分析4、問題的假設(shè)與符號5、問題的解答6、結(jié)論7、

參考文獻(xiàn)8、附錄程序以及某些圖表可以放在附錄。

第二單元初等數(shù)據(jù)分析方法

1數(shù)學(xué)建模方法論：類比、創(chuàng)新

2最簡定量關(guān)系：人類建立起來的變量之間最簡單最直觀的定

量關(guān)系就是函數(shù)關(guān)系

⑴函數(shù)概念的力學(xué)來源.⑵1637年笛卡爾的《幾何學(xué)》首次涉

及到變量，也引入了函數(shù)思想.⑶1667年英國數(shù)學(xué)家格雷果里被

認(rèn)為是函數(shù)解析定義的開始⑷公認(rèn)最早提出函數(shù)概念的是17世紀(jì)

德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨.（5）為了得到變量之間的函數(shù)關(guān)系需要采集數(shù)

據(jù)，于是提出三個問題：（6）如何采集數(shù)據(jù)？采集什么數(shù)據(jù)？如何

分析數(shù)據(jù)

3建立函數(shù)關(guān)系的方法

由此產(chǎn)生建立變量之間函數(shù)關(guān)系三種基本方法觀察法：利用數(shù)

據(jù)的比例性質(zhì)擬合方法、插值方法統(tǒng)稱初等數(shù)據(jù)分析方法

數(shù)據(jù)及其品質(zhì)⑴有的提供數(shù)據(jù)：2008年“奧運(yùn)場館設(shè)計〃⑵有

的不給數(shù)據(jù)：2010年世博會的影響力⑶有的問你需要什么數(shù)據(jù)：

2008年重金屬污染源頭問題⑷有的需要你自己判明應(yīng)該采集什么

數(shù)據(jù)才能說明這件事情：2015年“出租車〃試建立合理的指標(biāo)并分析

不同時空出租車資源的“供求匹配”程度因此，需要評估數(shù)據(jù)的精

確性，由于收集數(shù)據(jù)時精確度不高比如記錄或報告一個數(shù)據(jù)時的人

為錯誤，或測量精度限制等多種情況。比如在繪制地圖時是按比例

縮小的但測量時總有誤差在分析一個數(shù)據(jù)集合時，可能遇到的問題

是：（1）根據(jù)收集的數(shù)據(jù)進(jìn)行建模.要么數(shù)據(jù)具有明顯特征要么插值⑵

按照選出的一個或多個模型（函數(shù)）類型對數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合.⑶從已經(jīng)

擬合模型中選取最合適的例：判斷指數(shù)與多項式模型哪個擬合更好

4觀察法和初等數(shù)學(xué)方法

通過大量數(shù)據(jù)利用變量之間的比例性質(zhì)得到自然規(guī)律：

⑴Kepler（開普勒）第三定律開普勒曾幫第谷（TychoBrahe）收集了13

年火星的相對運(yùn)動的觀察資料到1609年開普勒已經(jīng)形成了頭兩條

定律：a）每個行星都沿一條橢圓軌道運(yùn)行太陽在該橢圓的一個焦點

處.b）對每個行星來說，在相等的時間里該行星和太陽的聯(lián)線掃

過相等的面積.開普勒花了許多年來驗證并形成了第三定律T=

3

CR5其中T是周期（天數(shù)）而R是行星到太陽的平均距離他建立了軌

道周期與從太陽到行星平均距離之間的關(guān)系.如表2.1中的數(shù)據(jù)

表2.1

周期（天數(shù)）平均

星距離（百

萬英里）

88.036

星

224.767.2

星5

365.393

球

687.0141.

星75

4331.8483.

星80

10760.0887.

任取過原點的這條直線上的兩點，易估計其斜率（比例常

夾八

數(shù):A斜'l率=-9-0-4-6-6.-8-—-8-8?0.441.0c

，220869.1-216

3

估計其模型為T=0.410R2

⑵（波義耳定律（Boyle'slaw）1662年）一定量的理想氣體的壓強(qiáng)P

體積V和絕對溫度T之間具有關(guān)系P=與R是普適氣體常量.

⑶(虎克定律(Hooke)1678年)一個線性彈簧的形變(x)與彈力(F)

之間的關(guān)系F=-Kx負(fù)號表示形變的方向與彈力方向相反.

⑷(牛頓(Newton)萬有引力公式1687年)兩個物體之間相互作用

F=kmm

時的相互吸引「2

來表示吸引力與其他因素之間的規(guī)律.

⑸(歐姆定律(Ohm'slaw)1826年)在同一電路中，通過某一導(dǎo)體

的電流跟這段導(dǎo)體兩端的電壓成正比跟這段導(dǎo)體的電阻成反比

/=與U=IRfR=U

I：(電流)的單位是安培(A)U：(電壓)的單位是伏特(V)

R：(電阻)的單位是歐姆(Q).

觀察法與初等數(shù)學(xué)知識結(jié)合：案例2.L：：半徑為1的輪子置

于平地上輪子邊緣一點4與地面相接觸。求當(dāng)輪子滾動時，4點

運(yùn)動的函數(shù)表示.

解：建立坐標(biāo)系Oxy,設(shè)輪子滾動時4點的坐標(biāo)為4(x,y),當(dāng)

輪子滾動到P點著地時，線段0P的長度等于圓弧AP的長度，也

等于輪子轉(zhuǎn)過的角度(以弧度為單位).令參數(shù)t表示輪子轉(zhuǎn)過的角度,

得至|J（X=t-sint,y=1-cost.此即為旋輪線的參數(shù)表示.

案例2.2：：：一船由甲地逆水勻速行駛到乙地，甲乙兩地相距

s（千米），水速為常數(shù)p（千米/時），船在靜水中的最大速度為q（千米/

時一，其中q>p）,已知船每小時的燃料費(fèi)用（以元為單位）與船在水

中的速度v（千米/小時一）的平方成正比，比例系數(shù)為k.

⑴將全程燃料費(fèi)用V（元）表示為船在靜水中的速度也千米/小時）

的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域；（2）為了使全程燃料費(fèi)用最少，

船的實際前進(jìn)速度應(yīng)為多少？

解：⑴由題意知，船由甲地逆水勻速行駛到乙地，且水速p,

而船在靜水中的速度v.因此，船在實際前進(jìn)時的速度v-p為變

量，

再由船在靜水中的最大速度q為常量，知v的范圍是p<v<q,

由此，船由甲地均勻行駛到乙地。所用的時間為

由于每小時燃料費(fèi)用為，=股2（其中k為常數(shù)）.因此，所求全程

燃料費(fèi)用函數(shù)為：

y=As?當(dāng)ve（p,q）

（2）將船的實際前進(jìn)速度v-p用m表示，則由￡（p,q）可知，

mG（0,q-p）>v=p+m,得到

V=ks,/=ks（m+需+2p）

由題意可知，k,s,m都是正數(shù)，由算術(shù)平均值不小于幾何平

均值得：y2ks（2p+2P）=4ksp當(dāng)且僅當(dāng)71唧m=p時取等號.

①當(dāng)p（0,q-p],0<pWq-p,0<2pWq,即q22p,

即當(dāng)m=p時，全程燃料費(fèi)用y最少.

②當(dāng)pe/(O,q-p],即q<2p,設(shè)"ks?嚼或=，⑺)先

證明當(dāng)mG(0,q-p]時，全程燃料費(fèi)用函數(shù)y=/(m)是減函數(shù).

設(shè)0<g<m2<q-p,有f(mJ-f(m2)

=ks.(m+py

mimi

=+P2m2-TU1期-p2mi)

=^；(m2-mi)(p2-7nlm2)

2

由0<nh<m2<q-p且q-p<p得：m2-mt>0,p-

mig>0

=尚(m-m)(p、m]g)>°所以故y=f

(m)在區(qū)間(0,q-p)上是減函數(shù).當(dāng)q<2p時有f(m)>/(q-p),當(dāng)

且僅當(dāng)m=q-p時取等號，

即當(dāng)m=q-p時全程燃料費(fèi)用最少

綜上所述，為使全程燃料費(fèi)用最少，

當(dāng)q22p時，船的實際前進(jìn)速度應(yīng)為p(千米/小時)；當(dāng)qv2P

時，

船的實際前進(jìn)速度應(yīng)為q-p(千米/小時).

案例2.3：：：

市場均衡問題.商晶的價格是由其供需關(guān)系決定的.如果市場

上某種商晶的價格使得該種商晶的總需求等于總供給，則稱這一商

晶市場達(dá)到均衡，這時的價格稱為均衡價格，在此價格下，商晶的

供給量也就是需求量稱為均衡數(shù)量.首先建立供需與價格關(guān)系的數(shù)

學(xué)模型.市場對該種商晶的需求量總是隨著價格的上揚(yáng)而有所下降,

即商晶的需求量Qd是價格P的遞減函數(shù)，記為Q，P)；但是，生產(chǎn)

廠商的積極性會隨著價格的上揚(yáng)而上升，即商晶的供應(yīng)量Qs是價

格P的遞增函數(shù)，記為Qs(P).因此，經(jīng)濟(jì)學(xué)中需求和供給函數(shù)模

型

最簡單的是線性函數(shù)分別為Q，P)=~aP+bQs(P)=cP-d其

中a,b,c,d均為非負(fù)常數(shù).顯然Q/P)和Qs(P)分別是P的遞減

和遞增函數(shù).注意到當(dāng)P=0時，Qd=b,

即當(dāng)該商晶為免費(fèi)時的需求量為b.因此，b稱為社會極大需求

量.

而當(dāng)Qs(P)=cP-。=0時-，可解得P=g即當(dāng)價格為*寸，

該商晶的產(chǎn)量為0

此為生產(chǎn)商能夠承受的最低價格.所謂均衡價格，就是使得

Qd(P)=Q”)的價格P.Q，P)和Qs(P)的表達(dá)式，應(yīng)有PP+b=cP

-d.由此解得均衡價格「=贅和相應(yīng)的均衡供求量Q=嗡型

這就解決了均衡價格的問題.

還有一些更加復(fù)雜的非線性模型.比如需求函數(shù)模型有

Qd(P)=~aP2+b

Q女P)=be—"

Qd(尸)=—as/P+b

它們分別稱為二次函數(shù)模型指數(shù)函數(shù)模型根式函數(shù)模型以及

Qd（尸）P+C-的分式函數(shù)模型.

供給與價格關(guān)系的函數(shù)模型還有分式函數(shù)模型

Qd（尸）=篝*

以上各模型中的a,b,c,d均為非

負(fù)常數(shù).

經(jīng)濟(jì)學(xué)中運(yùn)用計量方法建立了許多經(jīng)濟(jì)量之間的關(guān)系：等成本

線也叫企業(yè)預(yù)算線成本函數(shù)與平均函數(shù)收益函數(shù)和利潤函數(shù)（與產(chǎn)

量）

案例2.4：：：將4條腿長相同的方椅子放在不平的地上，怎樣

才能放平？如何才能把它抽象成數(shù)學(xué)問題？

【問題分析】假定椅子中心不動，每條腿的著地點用A、B、C、

D表示，把AC和BD連線看做坐標(biāo)系中的x軸和y軸，把轉(zhuǎn)動椅子

看做坐標(biāo)的旋轉(zhuǎn)，如圖

用9表示對角線4c轉(zhuǎn)動后與初始位置x軸正向的夾角.設(shè)虱見

表示4C兩腿旋轉(zhuǎn)。角度后與地面距離之和.

/（切表示8,。兩腿旋轉(zhuǎn)9角度后與地面距離之和.當(dāng)?shù)孛?/p>

形成的曲面為連續(xù)函數(shù)時,

/(刃，虱切皆為連續(xù)函數(shù).因為三條腿總能同時著地，即對任

意。，總有〃切?g⑼=0.

不妨設(shè)初始位置9=0時g(0)=0,/(0>0,于是問題轉(zhuǎn)化為：

是否存在一個名，/(%)=g(a)=0.這樣椅子問題就抽象成如下數(shù)學(xué)

問題：

已知/(訓(xùn)，式切連續(xù),g(o)=o,/(0)>o,且對任意的9都有/

倒?g⑻=0.求證：存在仇，

使得，(a)=g(聞=0.數(shù)學(xué)問題的證明：令/1(見=式中-〃切,

則6(0)=g(0)-/(0)<0將椅子轉(zhuǎn)動梟即將4c與8D位置互換，

則有。居)>0,/(5)=0,所以

拉倍)=￡/(5)一〉0?而加切是連續(xù)函數(shù)，根據(jù)連續(xù)函數(shù)的

零點定理知

必存在的6(0,倒,使得加名)=0,即g(a)=/(%)；又由條件

對任意。恒有/(刃?g⑻=0,所以式仇))=/(a))=();既存在仇

方向，四條腿能同時著地.所以椅子問題的答案是：如果地面為光

滑曲面，椅子中心不動最多轉(zhuǎn)動1角度.則四條腿一定可以同時著

地.

5數(shù)據(jù)擬合方法

一、源頭問題：

實驗測得如下一列數(shù)據(jù)

-3-2-10123

-8.-3.-0.0.-0.-3.-8.

0942094209429058094209420942

散點圖為

問題1：請找出一個函數(shù)經(jīng)過所有的數(shù)據(jù)點.問題2：請預(yù)測

當(dāng)x=3.5時，y的值.

作為數(shù)據(jù)處理的基本方法，擬合和插值都是要求通過已知的觀

測數(shù)據(jù)去尋求某個近似函數(shù)，使得近似函數(shù)與已知數(shù)據(jù)有較高的

擬合精度。

具體來說：⑴擬合：求過已知有限個數(shù)據(jù)點的近似函數(shù)，不

要求過所有的已知數(shù)據(jù)點，

只要求在某種意義下它在這些點上的總偏差最小.主要用來

反應(yīng)數(shù)據(jù)的基本趨勢.⑵插值：求過已知有限個數(shù)據(jù)點的近似函

數(shù)，要求所求的近似函數(shù)過已知的數(shù)據(jù)點.

二、數(shù)學(xué)思想與建模方方法法假設(shè)想要對數(shù)據(jù)點集擬合一條

直線

y=ax+b,應(yīng)如何選擇a和b,使直線最好地擬合數(shù)據(jù)？數(shù)據(jù)

點和直線間總存在一些縱向差異，稱這些縱向差異為絕對偏差.

定義2.1給定m個數(shù)據(jù)點(X"必)的集合，用直線y=ax+b擬合

該集合，確定參數(shù)a和b,使任一數(shù)據(jù)點(x〃％)和其對應(yīng)的直線上的

點(X"aXi+b)間的距離之和最小，即：極小化絕對偏差/%-y(x,)/

的和.可以將直線的極小化絕對偏差之和準(zhǔn)則推廣到給定曲線情

形：

給定某一函數(shù)y=/(x),以及m個數(shù)據(jù)點d必)的集合，極小化

絕對偏差/%-y(x,)/的和，

也就是確定函數(shù)類型y=/(x)的參數(shù)，極小化

m

E\yt-

i=l

再看另一種選擇定義2.2給定m個數(shù)據(jù)點的集合(x>%),i=1,

2,???,m,用直線y=ax+b擬合該集合，確定參數(shù)a和b,

使任一數(shù)據(jù)點例,力)和其對應(yīng)的直線上的

點dax,+b)間的距離最小，也就是對整個數(shù)據(jù)點集極小化最

大絕對

偏差/%-y(x,)/.現(xiàn)將直線的極小化最大絕對偏差準(zhǔn)則推廣到

給定曲線的情形：給定某種函數(shù)y=/(x)和m個數(shù)據(jù)點心力)的一個集

合，對整個集合極小化最大絕對偏差從-y(x,)/,

即確定函數(shù)類型y=f(x)的參數(shù)從而極小化數(shù)量Max/%-

y(Xi)li=1,2,???，/這一準(zhǔn)則稱為Chebyshev近似準(zhǔn)則

Chebyshev準(zhǔn)則的困難在于求解這個最優(yōu)化問題需要高級的數(shù)

學(xué)方法.

三、案例分析案例2.5：：：設(shè)要度量直線段A8,8C和AC,假

定測量的結(jié)果為AB=13,BC=7,AC=19.這時，AB和BC值加起

來是20而不是測出的AC=19.問各自真值？

解：假定對每一次測量有相同的信任度，這樣每一測量值有

相等的權(quán)值.

這種情況下，差異應(yīng)均等地分配到每一線段，令X1代表線段AB

長度的真值，X2代表BC的真值.令小小,3表示真值和測量值

間的差異.即線段AB：q=X1-13線段BC：

r2=X2-7,線段AC：,3=Xi+X2-19數(shù)值r1、七、,3稱為殘

差.如果用Chebyshev準(zhǔn)則，應(yīng)指定小小Q的值使三個數(shù)值"J、

〃2人/的最大者達(dá)到最小.

如果記最大的數(shù)為r,那么我們要求最小化r,約束有三個條

件"J或一rWqWr,MlWr或一rWr?Wr,同《

r或-rW「3Wr

問題則敘述為經(jīng)典的數(shù)學(xué)問題：最小化r滿足約束條件

r-Xi+130(r-rx20),r+xx-1320(r+q20),

r-Xi+70(r-r220),r+x2-70(r+r220),r-Xi

-x2+190(r-r320)r+x1+x2-1920(r+r320)這

一問題稱為線性規(guī)劃問題.

推廣這一過程，給定某一函數(shù)類型y=/(x),其參數(shù)侍定，給

定m個數(shù)據(jù)點(X"力)的一個集合，并確定出殘差為r,=y,-f(x,)o

如果r代表這些殘差的最大絕對值，

那么問題表示成最小化r滿足約束條件r—n20,r+〃2

0,對，=1,2,???,m

最小二乘準(zhǔn)則問題：確定函數(shù)類型y=/(x)的參數(shù)，極小化和

in

_E\yi-f(^)l2

數(shù)1=1

案例2.6：：：某蟲子產(chǎn)卵數(shù)與溫度有關(guān)的實驗觀察值:

散點圖為

看起來兩者呈指數(shù)關(guān)系，可設(shè)產(chǎn)卵數(shù)y與溫度x的關(guān)系為

y=6eax,任務(wù)是確定常數(shù)％6.上式兩邊取對數(shù)，令2=/“

a=a,b=In6,則原式變成了線性關(guān)系z=ax+b而原來的表格

變?yōu)?/p>

2222233

1357925

1.2.3.3.4.4.5.

=lny9459397904451781189765407838

散點圖變?yōu)?/p>

于是，問題化為找一直線y=ax+b,即尋找a,b使得上表中

的數(shù)據(jù)基本滿足這個函數(shù)關(guān)系.使得所有觀測值勿與函數(shù)值axj+b

之偏差的平方和Q=￡21（"一。①，一'）2最小.確定常數(shù)a,

b用的就是二元函數(shù)求極值的方法，顯然Q是a,b的函數(shù).令

器=一2七（幼一axi-b）Xi

1=1

nnn

=2Q￡婢-2￡4徹+2b￡g=0

i=li=li=l

黑=一2￡（加一axi-b）

i=l

nn

=2a￡g—2￡m+2nb=0

i=1Z=1

就得到線性方程組

nn

EAExi

i=lz=l

n

Exin

_〃=1_

解這個方程組,

nnn

n￡x^-￡g￡協(xié)

f=l1=11=1

nn

i=li=l

nrinn

￡叫￡yi-￡g￡Xiyi

￡=1i=li=li=l

nn

?￡?i-(Eg)2

i=li=l

由問題知，Q在（a,b）上取最小值。通過計算可得a=0.26921,b

=-3.784948

于是，表的擬合直線方程為y=0.26921X-3.784948,紅鈴蟲的產(chǎn)

卵數(shù)與溫度的關(guān)系為

z=0.02271e026921x.

總結(jié)：數(shù)據(jù)擬合有三種判別準(zhǔn)則：使偏差的絕對值之和最小,

使偏差的最大絕對值最小使偏差的平方和最小(即最小二乘法).

6插值方法

一、源頭問題已知某未知函數(shù)y=/(x)的一組觀測或試驗數(shù)據(jù)

(xi,y,)(/=0,1,2,???,n),

要尋求一個函數(shù)W(x),使得w(x,J=y”/=0,1,2,???,n,

則(p(x)Q/(x).即：在不知道函數(shù)v=/(x)的具體表達(dá)式的情況下,

對于x=x,有實驗測量值v=y#=0,1,2,???,n),尋求另一函

數(shù)卬使?jié)M足：＜p(xz)-y,=f(x,)/=0,1,2,???，八，稱此問題為一

維插值問題.此外，還有二維插值問題.并稱函數(shù)W(x)為/(x)的插

值函數(shù)，Xa,X”???,Xn

稱為插值結(jié)點，(p(Xj)=y,(/=0,1,2,???稱為插值條件，

則W(x)=/(x).

幾種基本的、常用的插值方法：拉格朗日插值法牛頓插值法

Hermite插值法分段線性插值法三次樣條插值法

二、數(shù)學(xué)思想與建模方方法法拉格朗日(((Lagrange)))插值：(1)

插值多項式一般提法為：

已知函數(shù)y=/(x),在n+l個相異點XQ,X》???,x〃上

的函數(shù)值為

Yo,yvy-b,?,,Vn，要求一個次數(shù)不超過n的多項式Pn(x)=

a0+5x++??,+aM使在結(jié)點x,上成立pn(Xi)=y,(/=0,1,

2,???,n),稱pjx)為插值多項式。則/(x)的n+1個待定系

數(shù)a。，alf???,%滿足

a0+aix()+。2若H------+a”解，=yQ

\a。+即叫+a2xfH------+a?x"=如

a0+aixn+a2x^H--------anx^=yn

1X0…穌

1JE1…17

det(A)=

記此方程組的系數(shù)矩陣為4則

是范德蒙(Vandermonde)行列式.當(dāng)xQ,xlf???,xn互不

相同時，此行列式值不為零.因此，方程組有唯一解.這表明只要

〃+1個插值節(jié)點x。,X1,???，小互異,滿足插值條件的插值

多項式存在唯一.從幾何上看，n次多項式插值就是過n+1個點/

X/)

作一條多項式曲線y=pjx)來近似曲線y=f(x),可以證明n次

插值問題的解是惟一的.

當(dāng)xe[a,b]且X/=M(/=0,1,???，小時，f(x)pn(x),

稱被插函數(shù)f(x)與插值多項式p/x)之間的差Rjx)=/(x)-pn(x)為

插值多項式pjx)的截斷誤差，或插值余項.

即：用多項式函數(shù)p/x)作為插值函數(shù)時，希望通過解方程組而

得到待定系數(shù)見，見,???，明的做法當(dāng)〃比較大時是不現(xiàn)實

的。因此，我們采用(2)拉格朗日插值多項式首先構(gòu)造一組基函數(shù):

n

X—Xj

(1)nif_0j

j=U，j#

_(a;_a：o)…(a;_g_i)(a:-勺+i)…(a;_;rn)

一(g-;To)…(g-g_i)(內(nèi)一把計1)…(g-a?n)

(z=0,1,???,n)

壬

以叼)=(oji

[13=i

n

令En(l)=52?/也(4)

z=0

n

X—Xj

=EyiIIXi-Xj

顯然從M是n次多項式，且滿足:，=0

多項式LJx)顯然滿足插值條件LJx,J=y”=O,L,??,n),

我們稱b為n次拉格朗日插值多項式，同樣由唯一性，n+1個節(jié)點

的n次拉格朗日插值多項式存在且唯一.

當(dāng)/(x)在[a,切上充分光滑時，利用羅爾(Rolle)定理可推出:對于任

意xe[a,b],插值多項式p?(x)l的余項Rn(x)=f(x)-pjx)

n

了(計1)⑹n(^-

5+1)!g)gG(a,b).

i=0

例題設(shè)了,)=形,取結(jié)點為x=l、1.728、2.744求/(x)的二次

拉格朗日插值多項式pjx)及其余項的表達(dá)式，并計算P2(2)(6=

1.2599210???).

解：取X。=1,Xi=1.728,x2=2.744為插值結(jié)點，則函數(shù)f(x)

=改為的相應(yīng)的函數(shù)值為/(X0)=1，/(XI)=1.2,/(X2)=1.4.

于是,由拉格朗日插值公式,

f(x)Qp2(x)

_-J(i-L728)(a:-2.744)

=1?(1-1.728)(1-2.744)

?〔c\.[x—1)(1—2.744)

'.(1.728-1)(1.728-2.744)

1d—一1)(1.728)

(2.744-1)(2.744-1.728)

=-0.0447X2+0.3965X+0.6481將x=2代入就得到海的近似

值游qp2(2)=1.2626

它與準(zhǔn)確值的差的絕對值(稱為絕對誤差)約為0.0027,而由插值

余項估計公式，

ID⑸||且.(2-1)(2-1.728)(2-2.744)1

其誤差約為14-181/1W0.0125思考

題：回顧帶拉格朗日余項的Taylor公式，其中的Taylor多項式與

n次拉格朗日插值多項式有什么區(qū)別？

并用函數(shù)形在x=l處的二次Taylor多項式計算方的近似值,

并將結(jié)果與上述例題比較。

牛頓(((Newton)))插值：⑴函數(shù)的差商及其性質(zhì)設(shè)有函數(shù)，(x),

其中XjX*???,x〃表示一系列互不相同的節(jié)點，可定義以

下差商：

亂十.丁.]―—―)一了(叼)

一階差商：jJ-g—叼

二階差商：JL?，叼，秋」-戒二￡

n階差商：力加，叫，…，廝]=小。皿，…?北匕，叩…?加

注意差商有下列性質(zhì)：

⑴差商的可力口性：

磔)

f[xo,?i,??,“72」1一_乙Vn1(

k=on由一叼)

(II)差商的對稱性：在f%XL???,Xn]中任意調(diào)換與x

期的次序其值不變.即有"Xo,??,,Xi,???,X則,???,

X?]=f[Xa,???,X????,X"???,xn]

(2)牛頓插值公式由各階差商的定義，依次可得如下結(jié)果：/(x)

=/(x0)+(X-x0)f[x,x0]

fix,X0]=f[XQ,XI]+(x-X1)/[x,XQ,X1],f[x,XQ,X1]=f[Xo,XvX2]+(X

Mx,X,,,,,x_i]=f[x,Xi,??

-*2)/[x,XQ,XyX2]0n0

xn]+(x-xn)f[x,X0,?,?,Xn]將以上各式分別乘以1,(X-Xo),(X

-XO)(X-Xi),??,,(x-x0)(x-Xi)???(X-Xn-1),然

后等式兩邊相加可得：f(x)=f(Xo)+(x-Xo)f風(fēng),xj+???++(x

-Xo)(X-Xi)???(X-Xn_1)f[x0,X"???，Xn]+(X-Xo)(X-X1)???(X

一Xn)f[x,X0,Xi,???,Xn]記Nn(x)=f(xo)+(X-X0)f[x0,

X11+,??++(X-XO)(X-X1)???(X—X*i)f[Xo,Xi,???,Xn]

顯然Nn(x)是至多n次多項式，且滿足插值條件Nn(Xj)=f(Xj)o

稱此插值多項式為牛頓插值多項式。優(yōu)點:每增加一個節(jié)點，插

值多項式只增加一項，即A/?+i(x)=/V?(x)+(x-x0)(x-Xi)???(X-Xn)f

[XQ,XV???,Xn+1]

從而便于進(jìn)行遞推運(yùn)算，且計算量小于Lagrange插值.其余

項為：

R(x)=(x-XoHx-Xi)???[XQ,XV???,xwx],

埃爾米特(((Hermite)))插值：如果對插值函數(shù)，不僅要求它在節(jié)

點處與函數(shù)同值，而且要求它與函數(shù)有相同的一階、二階甚至更

高階的導(dǎo)數(shù)值，這就是Hermite插值問題.

本節(jié)主要討論在節(jié)點處插值函數(shù)與函數(shù)的值及一階導(dǎo)數(shù)值

均相等的Hermite插值.

其一般提法為：設(shè)已知函數(shù)v=/(x)在n+1個互異節(jié)點x0

Xv???,x"上的函數(shù)值力=/(x,J和導(dǎo)數(shù)值/=(，=0,

1,,,?,n)要求一個至多2n+1次多項式H(X),使得：H(x,)=%

II

H(xi)=y(i=0

滿足上述條件的多項式H(x)稱為Hermite插值多項式，其具

體形式如下所示：口...，叨

n

H(1)=E3［(g一Z)(2Q你一y。+yi］

z=0

n

na；=>----------

h.—n(X~XjI2.n-,-xi-x3

—li\-Xj)，J=04尹

其中j=0.j^iXi3

高次插值多項式的龍格(Runge)現(xiàn)象：用拉格朗日插值多項式

Pn(xl作為區(qū)間［a,切上

連續(xù)函數(shù)/(X)的近似函數(shù)，在大多數(shù)情況下，P/X)的次數(shù)越高，

逼近f(x)的效果就越好.

但是對于高階多項式插值問題而言，往往會造成P/X)的收斂

性與穩(wěn)定性變差，逼近效果不理想，甚至發(fā)生龍格現(xiàn)象，這是龍格

(Runge)在20世紀(jì)初所發(fā)現(xiàn)的：在［-1,1］上用〃+1個等距節(jié)點作

f(X)=]

函數(shù)一的插值多項式為(x),則隨著〃的增大，p/x)振

蕩越來越大計算結(jié)果與理論證明表明，當(dāng)〃趨于無窮大時，pjx)

在區(qū)間中部收斂于/(x),但對滿足條件0.726???lx/<1

的x,pn(x)并不收斂于/(x).因此：我們將每兩個相鄰的節(jié)點用直

線連起來，如此形成的一條折線就是分段線性插值函數(shù)記作ln(x)

它滿足以刈=%,且/Jx)在每個小區(qū)間[xMj+J上是線性函數(shù).具

體表示如下：

n

/幾(冗)=52

i=0,

其中

2,(")=

5x

xi-^he

<一旌㈤"

o,其他

這樣構(gòu)造的“X)有良好的收斂性，即對于XW[a,b]有

lim/?(x)=/(x).

n-*0°

我們可以看出用Mx)計算x點的插值時，只用到其左右的兩個節(jié)

點，所以計算量與節(jié)點個數(shù)n無關(guān).但是n越大，分段越多，則

插值的誤差越小.分段線性插值函數(shù)在節(jié)點處的一階導(dǎo)數(shù)一般不存

在，光滑性不高.許多工程技術(shù)中提出的計算問題對插值函數(shù)的

光滑性有較高要求.機(jī)翼外形，內(nèi)燃機(jī)的進(jìn)、排氣門的凸輪曲線，都

要求曲線具有較高的光滑程度，要有連續(xù)的曲率。繪圖員的做法是

首先將這些數(shù)據(jù)點描繪在平面圖紙上,再把一根富有彈性的細(xì)直