高中數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)

集合與簡(jiǎn)易邏輯

一、考點(diǎn)回顧

1、集合的含義及其表示法，子集，全集與補(bǔ)集，子集與并集的定義；

2、集合與其它知識(shí)的聯(lián)系，如一元二次不等式、函數(shù)的定義域、值域等；

3、邏輯聯(lián)結(jié)詞的含義，四種命題之間的轉(zhuǎn)化，了解反證法；

4、含全稱量詞與存在量詞的命題的轉(zhuǎn)化，并會(huì)判斷真假，能寫(xiě)出一個(gè)命題的否定;

5、充分條件，必要條件及充要條件的意義，能判斷兩個(gè)命題的充要關(guān)系；

6、學(xué)會(huì)用定義解題，理解數(shù)形結(jié)合，分類討論及等價(jià)變換等思想方法。

二、經(jīng)典例題剖析

1、集合的概念：

(1)集合中元素特征，確定性，互異性，無(wú)序性；

(2)集合的分類：

①按元素個(gè)數(shù)分：有限集，無(wú)限集：

②按元素特征分；數(shù)集，點(diǎn)集。如數(shù)集｛y|y=x4,表示非負(fù)實(shí)數(shù)集，點(diǎn)集｛(x,y)|y=/｝表示開(kāi)口向上，

以y軸為對(duì)稱軸的拋物線；

(3)集合的表示法：

①列舉法：用來(lái)表示有限集或具有顯著規(guī)律的無(wú)限集，如N+=｛0,1,2,3,?-?｝；②描述法。

2、兩類關(guān)系：

(1)元素與集合的關(guān)系，用e或代表示；

(2)集合與集合的關(guān)系，用仁,*,=表示，當(dāng)A=B時(shí)；稱A是B的子集；當(dāng)A^B時(shí)，稱A是B的真子集。

3、解答集合問(wèn)題，首先要正確理解集合有關(guān)概念，特別是集合中元素的三要素；對(duì)于用描述法給出的集合

｛xhvP｝,要緊緊抓住豎線前面的代表元素x以及它所具有的性質(zhì)P；要重視發(fā)揮圖示法的作用，通過(guò)數(shù)形結(jié)

合直觀地解決問(wèn)題。

4、注意空集。的特殊性，在解題中，若未能指明集合非空時(shí)，要考慮到空集的可能性，如A=則有A=0

或兩種可能，此時(shí)應(yīng)分類討論。

例1、下面四個(gè)命題正確的是

(A)10以內(nèi)的質(zhì)數(shù)集合是｛1,3,5,7｝(B)方程X?—4x+4=0的解集是｛2,2｝

(C)0與｛0｝表示同一個(gè)集合(D)由1,2,3組成的集合可表示為｛1,2,3｝或｛3,2,1)

解：選(D),最小的質(zhì)數(shù)是2,不是1,故(A)錯(cuò)；由集合的定義可知(B)(C)都錯(cuò)。

例2、已知集合人={-1,3,2m-1},集合B={3,m2}.若B[A,則實(shí)數(shù)切=.

解：由BgA,FLm?不可能等于一1,可知旭2=2加一1,解得：m

1、交，并，補(bǔ)，定義：Af-lB={x|xGA且xGB},AUB={x|xGA,或xCB},CvA={x!xeU,且xeA),集合

U表示全集；

2、運(yùn)算律，如AD(BUC)=(APB)U(AAC),G(APB)=(GA)U(GB),

G(AUB)=(CuA)A(CiB)等。

3、學(xué)會(huì)畫(huà)Venn圖，并會(huì)用Venn圖來(lái)解決問(wèn)題。-----------

例3、設(shè)集合A={x|2x+1<3},B={x]-3<x<2},則AcB等于()

(A){x|—3<x<l}(B){x|l<x<2}(C){x|x>—3}(D){x|x<l}/.(j：

圖1

解：集合A=｛x2x+l<3｝=｛x）x<l｝,集合A和集合B在數(shù)軸上表示如圖1所示，AcB是指集合A和集

合B的公共部分，故選（A）o

例4、經(jīng)統(tǒng)計(jì)知，某村有電話的家庭有35家，有農(nóng)用三輪車(chē)的家庭有65家，既有電話又有農(nóng)用三輪車(chē)的家庭

有20家，則電話和農(nóng)用三輪車(chē)至少有一種的家庭數(shù)為（）

A.60B.70C.80D.90

解：畫(huà)出Venn圖，如圖2,畫(huà)圖可得到有一種物品的家庭數(shù)為：15+20+45=80.故選

（C）。

例5、（2008廣東卷）第二十九屆夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2008年8月8日在北京

舉行，若集合A=｛參加北京奧運(yùn)會(huì)比賽的運(yùn)動(dòng)員｝,集合B=｛參加北京奧運(yùn)會(huì)比賽的男運(yùn)動(dòng)員｝。集合C=｛參

加北京奧運(yùn)會(huì)比賽的女運(yùn)動(dòng)員｝，則下列關(guān)系正確的是（）

A.A^BB.BQ.CC.AC\B^CD.BU（=A

解：由題意可知，應(yīng)選（D）。

考點(diǎn)3、邏輯聯(lián)結(jié)詞與四種命題

1、命題分類：真命題與假命題，簡(jiǎn)單命題與復(fù)合命題；

2、復(fù)合命題的形式：p且q,p或q,非p；

3、復(fù)合命題的真假：對(duì)p且q而言，當(dāng)q、p為真時(shí)，其為真；當(dāng)p、q中有一個(gè)為假時(shí)，其為假。對(duì)p或

q而言，當(dāng)p、q均為假時(shí)，其為假；當(dāng)p、q中有一個(gè)為真時(shí)，其為真；當(dāng)p為真時(shí)，非p為假；當(dāng)p為假

時(shí)，非P為真。

4、四種命題：記“若q則p”為原命題，則否命題為“若非p則非q”,逆命題為“若q則p"，逆否命題

為”若非q則非p"。其中互為逆否的兩個(gè)命題同真假，即等價(jià)。因此，四種命題為真的個(gè)數(shù)只能是偶數(shù)個(gè)。

例6、（2008廣東高考）命題”若函數(shù)/（x）=log”x（a>在其定義域內(nèi)是減函數(shù)，則log/vO”

的逆否命題是（）

A、若log.220,則函數(shù)/（乃=10§"尺4>0,。*1）在其定義域內(nèi)不是減函數(shù)

B、若log“2<0,則函數(shù)/（x）=log〃〉0,。w1）在其定義域內(nèi)不是減函數(shù)

C、若log”220,則函數(shù)/5）=108。尺。>0,。*1）在其定義域內(nèi)是減函數(shù)

D、若log“2<0,則函數(shù)/。）=1隼〃苫（。〉0,。=1）在其定義域內(nèi)是減函數(shù)

解：逆否命題是將原命題的結(jié)論的否定作為條件，原命題的條件的否定作為結(jié)論，故應(yīng)選（A）。

例7、已知命題p:方程x2+mx+l=0有兩個(gè)不相等的負(fù)數(shù)根；q:方程4f+4（機(jī)—2）x+l=0無(wú)實(shí)根.若

"p或q”為真，“p且q”為假，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

A=/n2-4>0,

p:<

解：[-m<0,m>2q:A=16（加一2）2—16=16（，/一46+3）<0,1<m<3,

??.p或4為真，夕旦4為假，'P真，勺假或P假，g真.

m>2,（機(jī)W2

.?Ji

"W或至3或,故機(jī)23或l<nzW2.

考點(diǎn)4、全稱量詞與存在量詞

1.全稱量詞與存在量詞

（1）全稱量詞：對(duì)應(yīng)日常語(yǔ)言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任給”、“對(duì)每

一個(gè)”等詞，用符號(hào)“V”表示。

2

(2)存在量詞：對(duì)應(yīng)日常語(yǔ)言中的“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”、“有個(gè)”、“某個(gè)”、“有些”、“有

的”等詞，用符號(hào)“于'表示。

2.全稱命題與特稱命題

(1)全稱命題：含有全稱量詞的命題?！皩?duì)Vxe",有p(x)成立”簡(jiǎn)記成“VxeM,p(x)”。

(2)特稱命題：含有存在量詞的命題。FxeM,有p(x)成立”簡(jiǎn)記成“mxeM,p(x)”。3.同一

個(gè)全稱命題、特稱命題，由于自然語(yǔ)言的不同，可以有不同的表述方法，現(xiàn)列表如下，供

參考。

命題全稱命題VxeM,p(x)特稱命題mxwM,p(x)

①所有的xwM,使〃(x)成立①存在xe",使p(x)成立

表述②對(duì)一切xeM,使p(x)成立②至少有一個(gè)xeM,使p(X)成立

方法③對(duì)每一個(gè)xeM,使p(%)成立③對(duì)有些xeM,使p(X)成立

④任給一個(gè)xeM,使。(%)成立④對(duì)某個(gè)xeM,使0(X)成立

⑤若xeM,則p(x)成立⑤有一個(gè)xeM,使p(X)成立

4.常見(jiàn)詞語(yǔ)的否定如下表所示：

詞語(yǔ)是一定是都是大于小于

詞語(yǔ)的否定不是一定不是不都是小于或等于大于或等于

詞語(yǔ)且必有一個(gè)至少有?個(gè)至多有一個(gè)所有X成立

詞語(yǔ)的否定或一個(gè)也沒(méi)有至多有--1個(gè)至少有兩個(gè)存在一個(gè)X不成

立

例8、(2007山東)命題“對(duì)任意的的否定是()

A.不存在xe/?,x3-x*2+1<0B.存在xeR,1-/+1zo

C.存在xe-/+1>0D.對(duì)任意的xe—/+1>0

解：命題的否定與否命題不同，命題的否定是將全稱量詞改為特稱量詞，或?qū)⑻胤Q量詞改為全稱量詞，再否

定結(jié)論即可，故選(C)。

例9、命題“It<0,有>0”的否定是.

解：將“存在”改為“任意”，再否定結(jié)論，注意存在與任意的數(shù)學(xué)符號(hào)表示法，答案：Vx<°，有-40

考點(diǎn)5、充分條件與必要條件

1、在判斷充分條件及必要條件時(shí)，首先要分清哪個(gè)命題是條件，哪個(gè)命題是結(jié)論，其次，結(jié)論要分四種情

況說(shuō)明：充分不必要條件，必要不充分條件，充分且必要條件，既不充分又不必要條件。從集合角度看，理

解“越小越充分”的含義。

例10、(2008安徽卷)a<0是方程a/+2x+1=0至少有一個(gè)負(fù)數(shù)根的()

A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充分必要條件1).既不充分也不必要條件

1八

2x]x2=—<0

解當(dāng)A=2-4。>0,得a<i時(shí)方程有根11a<0時(shí)，?，方程有負(fù)根，又a=l時(shí)，方程根為了=一1,

所以選(B)。

例：Ll、(2008湖北卷)若集合P={l,2,3,4},Q=1|0YxY5,xeH},則()

A.》6/?是了€。的充分條件，不是xeQ的必要條件

B.%6/?不是工€。的充分條件，是XC。的必要條件

Cx€R是xe。的充分條件，又是xe。的必要條件.

D.xeR既不是xe。的充分條件，又不是xe。的必要條件

解：xePnxeQ反之不然故選人

三、方法總結(jié)與高考預(yù)測(cè)

（-）思想方法總結(jié)

1.數(shù)形結(jié)合2.分類討論

（二）高考預(yù)測(cè)

1.集合是每年高考必考的知識(shí)點(diǎn)之一。題型一般是選擇和填空的形式，主要考查集合的運(yùn)算和求有限

集合的子集及其個(gè)數(shù).

2.簡(jiǎn)易邏輯是在高考中應(yīng)一般在選擇題、填空題中出現(xiàn)，如果在解答題中出現(xiàn)，則只會(huì)是中低檔題.

3.集合、簡(jiǎn)易邏輯知識(shí)，作為一種數(shù)學(xué)工具，在函數(shù)、方程、不等式、排列組合及曲線與方程等方面

都有廣泛的運(yùn)用，高考題中常以上面內(nèi)容為載體，以集合的語(yǔ)言為表現(xiàn)形式，結(jié)合簡(jiǎn)易邏輯知識(shí)考查學(xué)生的

數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)能力，題型常以解答題的形式出現(xiàn).

四、復(fù)習(xí)建議

1.在復(fù)習(xí)中首先把握基礎(chǔ)性知識(shí)，深刻理解本單元的基本知識(shí)點(diǎn)、基本數(shù)學(xué)思想和基本數(shù)學(xué)方法.重

點(diǎn)掌握集合、充分條件與必要條件的概念和運(yùn)算方法.要真正掌握數(shù)形結(jié)合思想一一用文氏圖解題.

2.涉及本單元知識(shí)點(diǎn)的高考題，綜合性大題不多.所以在復(fù)習(xí)中不宜做過(guò)多過(guò)高的要求，只要靈活掌

握小型綜合題型（如集合與映射，集合與自然數(shù)集，集合與不等式，集合與方程等，充分條件與必要條件與

三角、立幾、解兒中的知識(shí)點(diǎn)的結(jié)合等）映射的概念以選擇題型出現(xiàn)，難度不大。就可以了

3.活用“定義法”解題。定義是一切法則與性質(zhì)的基礎(chǔ)，是解題的基本出發(fā)點(diǎn)。利用定義，可直接判

斷所給的對(duì)應(yīng)是否滿足映射或函數(shù)的條件，證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性并寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間等。

4.重視“數(shù)形結(jié)合”滲透?！皵?shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”。當(dāng)你所研究的問(wèn)題較為抽象時(shí)，當(dāng)

你的思維陷入困境時(shí)，當(dāng)你對(duì)雜亂無(wú)章的條件感到頭緒混亂時(shí)，一個(gè)很好的建議便是：畫(huà)個(gè)圖!利用圖形的

直觀性，可迅速地破解問(wèn)題，乃至最終解決問(wèn)題。

5.實(shí)施“定義域優(yōu)先”原則。函數(shù)的定義域是函數(shù)最基本的組成部分，任何對(duì)函數(shù)性質(zhì)的研究都離不

開(kāi)函數(shù)的定義域。例如，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，必須在定義域范圍內(nèi)；通過(guò)求出反函數(shù)的定義域，可得到原函

數(shù)的值域；定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，是函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件。為此，應(yīng)熟練掌握求函數(shù)定義域的

原則與方法，并貫徹到解題中去。

6.強(qiáng)化“分類思想”應(yīng)用。指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)均與其底數(shù)是否大于1有關(guān)；對(duì)于根式的意義及

其性質(zhì)的討論要分清n是奇數(shù)還是偶數(shù)等。

4

不等式

一、考點(diǎn)知識(shí)回顧

不等式的性質(zhì)是證明不等式和解不等式的基礎(chǔ)。

不等式的基本性質(zhì)有：

對(duì)稱性：a>b=b<a；傳遞性：若a>b,b>c,則a>c；可加性：a>b=>a+c>b+c；

可乘性：a>b,當(dāng)c>0時(shí)，ac>bc；當(dāng)c<0時(shí)，ac<bc?

不等式運(yùn)算性質(zhì)：

（1）同向相加：若a>b,c>d,則a+c>b+d；（2）異向相減：c<d=>a-c>b-d

（3）正數(shù)同向相乘：若a>b>0,c>d>0,則ac>bd。（4）乘方法則：若a>b>0,nGN+,則a">b"；

（5）開(kāi)方法則：若a>b>0,nGN+,則板〉標(biāo)；（6）倒數(shù)法則：若ab>0,a>b,則?］。

2、基本不等式（或均值不等式）；利用完全平方式的性質(zhì)，可得a2+b2,2ab（a,bWR）,承砂式可推

廣為a2+b2>2|ab|；或變形為|ab|W立9I當(dāng)a,b20時(shí)，a+b》2病或abW.（a+bY

3、不等式的證明：2‘2）

不等式證明的常用方法：比較法，公式法，分析法，反證法，換元法，放縮法：

在不等式證明過(guò)程中，應(yīng)注重與不等式的運(yùn)算性質(zhì)聯(lián)合使用；

證明不等式的過(guò)程中，放大或縮小應(yīng)適度。

不等式的解法：

解不等式是尋找使不等式成立的充要條件，因此在解不等式過(guò)程中應(yīng)使每一步的變形都要恒等。

一元二次不等式（組）是解不等式的基礎(chǔ)，一元二次不等式是解不等式的基本題型。一元二次不等式與相應(yīng)

的函數(shù)，方程的聯(lián)系

求一般的一元二次不等式辦2+汝+。>°或。/+法+。<0（。>0）的解集，要結(jié)合52+法+,=°的根及

二次函數(shù),=+6x+c圖象確定解集.

對(duì)于一元二次方程。/+/+。=0（?！?）,設(shè)公=。2—4四，它的解按照公>0,A=0A<0可分為三種

情況.相應(yīng)地，二次函數(shù)y="x2+"x+c（a>°）的圖象與x軸的位置關(guān)系也分為三種情況.因此，我們分

三種情況討論對(duì)應(yīng)的一元二次不等式。/+6%+。>09>（））的解集，注意三個(gè)“二次”的聯(lián)系。

含參數(shù)的不等式應(yīng)適當(dāng)分類討論。

5、不等式的應(yīng)用相當(dāng)廣泛，如求函數(shù)的定義域，值域，研究函數(shù)單調(diào)性等。在解決問(wèn)題過(guò)程中，應(yīng)當(dāng)善于

發(fā)現(xiàn)具體問(wèn)題背景下的不等式模型。

用基本不等式求分式函數(shù)及多元函數(shù)最值是求函數(shù)最值的初等數(shù)學(xué)方法之一。

研究不等式結(jié)合函數(shù)思想，數(shù)形結(jié)合思想，等價(jià)變換思想等。

6、線性規(guī)劃問(wèn)題的解題方法和步驟

解決簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題的方法是圖解法，即借助直線（線性目標(biāo)函數(shù)看作斜率確定的一族平行直線）與平面

區(qū)域（可行域）有交點(diǎn)時(shí).，直線在y軸上的截距的最大值或最小值求解。它的步驟如下：

（1）設(shè)出未知數(shù)，確定目標(biāo)函數(shù)。

（2）確定線性約束條件，并在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，即可行域。，

（3）由目標(biāo)函數(shù)z=ax+by變形為y=x+所以，求z的最值可看成是求直線y=-軸

上截距的最值（其中a、b是常數(shù)，z隨x,"y的姿化而變化）。bb

（4）作平行線：將直線ax+by=0平移（即作ax+by=O的平行線），使直線與可行域有交點(diǎn)，且觀察在可

行域中使我大（或最?。r(shí)所經(jīng)過(guò)的點(diǎn)，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)。

（5）求出最加解：將（4）中求出的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)，從而求出z的最大（或最小）值。

7、絕對(duì)值不等式

（1）IxI<a（a>0）的解集為：｛xI—a<x<a｝；

IxI>a（a>0）的解集為：｛xIx>a或xV—a｝。

\\a\-\b\\^a±b\^a\+\b\

(2)

二、考點(diǎn)剖析

【命題規(guī)律】高考中，對(duì)本節(jié)內(nèi)容的考查，主要放在不等式的性質(zhì)上，題型多為選擇題或填空題，屬容易題。

例1、(2008廣東文)設(shè)若a—網(wǎng)>0,則下列不等式中正確的是()

A.b—a>。B。3+/73<0Q/?+6Z>0D-b-<0

解：由a—例>0知網(wǎng)2—/?,,所以8+〃>。，故選。

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值的概念和絕對(duì)值的性質(zhì)，如果用特殊值法也能求解。

例2、(2007上海理科)已知0，”為非零實(shí)數(shù)，且。<6,則下列命題成立的是()

1<1b<a

A、a2Vb?B、a2b<ab2c、加a2bab

解：取a=-3,b=2,由(A)(B)(D)都錯(cuò)，故(C)。

點(diǎn)評(píng)：特殊值法是解選擇題的一種技巧，在應(yīng)試時(shí)要時(shí)刻牢記有這么一種方法。這晨a,b沒(méi)有說(shuō)明符號(hào)，

注意不要錯(cuò)用性質(zhì)。

考點(diǎn)二：一元二次不等式及其解法

【命題規(guī)律】高考命題中，對(duì)一元二次不等式解法的考查，若以選擇題、填空題出現(xiàn)，則會(huì)對(duì)不等式直接求

解，或經(jīng)常地與集合、充要條件相結(jié)合，難度不大。若以解答題出現(xiàn)，一般會(huì)與參數(shù)有關(guān)，或?qū)?shù)分類討

論，或求參數(shù)范圍，難度以中檔題為主。

例3、(2007湖南)不等式x2>x的解集是()

A(—8,0)R(0,1)(-(L+oo)0(―8,0)，U(l+8)

解：原不等式可化為x2—x>0,即x(x—1)>0,所以x<0或x>1,選(D).

例4、(2007福建)“W<2?是"/_*_6<0，，的什么條件……()

A.充分而不必要B.必要而不充分C.充要D.既不充分也不必要

解：由|x|<2,得：-2<x<2,由/一x-6<°得：-2<X<3,

-2<xV2成立，則一2<x<3一定成立，反之則不一定成立，所以，選(A)。

點(diǎn)評(píng)：本題是不等式與充要條色結(jié)合的聲題，先解出不等式的解集來(lái)，再由充分必要條件的判斷方法可得。

例5、(2008江西文)不等式245的解集為.

解：原不等式變?yōu)?小+21由指數(shù)函數(shù)的增減性，得：

廠+2x-4?-1(x+3)(x—1)W0xG[-3,1]所以填.[—3,1]

點(diǎn)評(píng)：不等式與指數(shù)函數(shù)交匯、不等式與對(duì)數(shù)函數(shù)交匯、不等式與數(shù)列交匯是經(jīng)常考查的內(nèi)容，應(yīng)加強(qiáng)訓(xùn)練。

例6、己知集合、={尤]一5龍+4刊，8=卜1--2公+4+2刊，若B5,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

解A=^x\x2-5x+4^^^xllx4}y4

設(shè)/(x)=x2-2ax+“+2,它的圖象是一條開(kāi)口向上的拋物線.\兒,)/

(1)若8=°,滿足條件，此時(shí)即4/-4(a+2)<0,解得T<a<2；-J__心_?

。14%

(2)若8/。，設(shè)拋物線與X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為與々，且占欲使8=4,應(yīng)有

卜,《久x2|4}

6

1—2a+。+2>0,18

結(jié)合二次函數(shù)的圖象，得即解得2WW—

4：-8a+a+220,/(4)2。

1WW4,

]——4

4a2-4(a+2)20,2

△，0,

綜上，a的取值范圍是-1，了.

點(diǎn)評(píng)：本題是一元二次本等及集合結(jié)合的綜合題

4,考查含參數(shù)一元二次不等式的解法，注意分類討論思想

的應(yīng)用，分類時(shí)做到不遺漏。

【命題規(guī)律】線性規(guī)劃問(wèn)題時(shí)多以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，題型以容易題、中檔題為主，考查平面區(qū)域的

面積、最優(yōu)解的問(wèn)題；隨著課改的深入，近年來(lái)，以解答題的形式來(lái)考查的試題也時(shí)有出現(xiàn)，考查學(xué)生解決

實(shí)際問(wèn)題的能力。，

x<0

例7、（2008安徽文）若4為不等式組.表示的平面區(qū)域，則當(dāng)a從一2連續(xù)變化到1時(shí)，動(dòng)直線

,_y-x<2

x+y=a掃過(guò)A中的那部分區(qū)域的面被為（）

37

A.-B.1C.-D.5

解：如圖知段域的面積是去掉一個(gè)小直角三角形。

」2x2=2

sOAB

（陰影部分面積比1大，比2小，故選C,不需要算出來(lái)）

點(diǎn)評(píng)：給出不等式組，畫(huà)出平面區(qū)域，求平面區(qū)域的面積的問(wèn)題是經(jīng)常考查的試題之一，如果區(qū)域是不規(guī)節(jié)

圖形，將它分割成規(guī)節(jié)圖形分別求它的面積即可。

一.

2x+y<40,40：

例8、(2008廣東理)若變量x,y滿足x+2y<50,>則z=3x+2y的最大值是()

(10,20)

A.90B.80x>0,

C.70D.40

y>0,

3z人八一3及其平行線；如右圖，:+2y=50

解:做出可行域如圖所示.目標(biāo)函數(shù)化為:y=——x+—,令z=0,1E1y=——x,I

222

它經(jīng)過(guò)兩直線的交點(diǎn)時(shí)，取得取大值。

2x+y=40x=10

x+2y=50,得[y=20,所以Zmax=3x10+2x20=70,故答《

解方程組

點(diǎn)評(píng)：求最優(yōu)解，畫(huà)出可行域，將目標(biāo)函數(shù)化為斜截式，再令z=0,畫(huà)它的平行線，看y軸上的截距的最

值，就是最優(yōu)解。

例9、（2007山東）本公司計(jì)劃2008年在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)做總時(shí)間不超過(guò)300分鐘的廣告，廣告總費(fèi)用不

超過(guò)9萬(wàn)元，甲、乙電視臺(tái)的廣告收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分別為500元/分鐘和200元/分鐘，規(guī)定甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)為該

公司所做的每分鐘廣告，能給公司事來(lái)的收益分別為0.3萬(wàn)元和0.2萬(wàn)元.問(wèn)該公司如何分配在甲、乙兩個(gè)

電視臺(tái)的廣告時(shí)間，才能使公司的收益最大，最大收益是多少萬(wàn)元？

解：設(shè)公司在甲電視臺(tái)和乙電視臺(tái)做廣告的時(shí)間分別為％分鐘和>分鐘，總收益為Z元，由題意得

x+yW300

<500x+200yW90000目標(biāo)函數(shù)為z=3000x+2000y

x^O斗0.

x+yW300

二元一次不等式組等價(jià)于<5x+2yW900

與0.

y-

作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域.500

如圖：

400-

作直線/:3000x+2000〉=0即3x+2y=0

300

平移直線從圖中可知，當(dāng)直線/過(guò)M點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值.

200

x+y=300,

5x+2y=900.解得x=100,

聯(lián)立y=200???點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1°°,20°）\10

Zmax=3000x+2000y=700000

（元）

0100200300x

答：該公司在甲電視臺(tái)做100分鐘廣告,在乙電視臺(tái)做200分鐘廣告，公司的收益最大收益是70歷元.

點(diǎn)評(píng)：用線性規(guī)劃的方法解決實(shí)際問(wèn)題能提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，隨著課改的流入，這類試題

應(yīng)該是高考的熱點(diǎn)題型之一。

考點(diǎn)四：基本不等關(guān)系

【內(nèi)容解讀】了解基本不等式的證明過(guò)程，會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最值問(wèn)題，理解用綜合法、分析法、

比較法證明不等式。

利用基本不等式可以求函數(shù)或代數(shù)式的最值問(wèn)題：

合理拆分項(xiàng)或配湊因式是經(jīng)常用的解題技巧，而拆與湊的過(guò)程中，一要考慮定理使用的條件（兩數(shù)都為正）;

二要考慮必須使和或積為定值；三要考慮等號(hào)成立的條件（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí);等號(hào)成立），它具有一定的靈

活性和變形技巧，高考中常被設(shè)計(jì)為一個(gè)難點(diǎn).

【命題規(guī)律】高考命題重點(diǎn)考查均值不等式和證明不等式的常用方法，單純不等式的命題，主要出現(xiàn)在選擇

題或填空題，一般難度不太大。

例io、（2007上海理）已知為yeR*,且x+4）'=i,則的最大值是

解：xy=-x-4y<-（^lz）2=—,當(dāng)且僅當(dāng)x=4y=’時(shí)取等號(hào).

442162

點(diǎn)評(píng)：本題考查基本不等式求最值的問(wèn)題，注意變形后使用基本不等式。

例11、（2008浙江文）已知620,且a+6=2,則（）

,1,1

(C)a2>2(D)a2+b~<3

(A)ab<-(B)ah>-

2222

解：由“20/20,且a+b=2,.?.4=（。+6）2=/+/72+2”<H{a+b\Aa+b>2Q

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查不等式的重要不等式知識(shí)的運(yùn)用。

例12、（2008江蘇）已知，，X,y,zeR+則片的最小值_______.

解：由a2y+3z=°尸等得［_2），+3Z=0

2

y犬+9z2+6xz6xz+6xzo

代入XZ得4xz4xz,當(dāng)且僅當(dāng)x=3Z時(shí)取“=”.

點(diǎn)評(píng)：本小題考查二元基本不等式的運(yùn)用.題目有有三個(gè)未知數(shù)，通過(guò)已知代數(shù)式，對(duì)所求式子消去一個(gè)未

知數(shù)，用基本不等式求解。

【內(nèi)容解讀】掌握絕對(duì)值不等式IxIVa,IxI>a（a>0）的解法，了解絕對(duì)值不等式與其它內(nèi)容的綜合。

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容多以選擇、填空題為主，有時(shí)與充分必要條件相結(jié)合來(lái)考查，難度不大。

8

例13、（2008湖南文）“卜一1|V2”是“x<3”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.即不充分也不必要條件

解：由—得一1<x<3,在一1VxV3的數(shù)都有x<3,但當(dāng)x<3時(shí)，不一定有一1VxV3,

如x=-5,所以選（A）.

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法和充分條件必要條件，可以用特殊值法來(lái)驗(yàn)證，充分性與必要性的成立。

例14、（2008四川文）不等式卜2_耳<2的解集為（）

（A）（T2）（B）（TO（C）（D）（-2,2）

IV*2-rl<2c2cx2—X+2>0XGR/.

解：■IA-2<x-x<2即彳2“n即...XG（—1,2）故選人；

點(diǎn)評(píng)：此題重點(diǎn)考察絕對(duì)值不等式的解法；正確進(jìn)行不等式的轉(zhuǎn)化去掉絕對(duì)值符號(hào)為解題的關(guān)鍵，可用公式

法，平方法，特值驗(yàn)證淘汰法;

考點(diǎn)六：不等式的綜合應(yīng)用

【命題規(guī)律】不等式的綜合應(yīng)用多以應(yīng)用題為主，屬解答題，有一定的難度。

例15、（2008江蘇模擬）如圖，某單位用木料制作如圖所示的框架，框架的下部是邊長(zhǎng)分別為X，）'（單位:

米）的矩形，上部是斜邊長(zhǎng)為％的等腰直角三角形，要求框架?chē)傻目偯娣e為8平方米.

（I）求羽'的關(guān)系式，并求x的取值范圍；

（11）問(wèn)乙y分別為多少時(shí)用料最??？

]x8x

解：（I）由題意得：x,yH—x,—=8（x>0,y>0）,y------,

22x4

(H)設(shè)框架用料長(zhǎng)度為，，則/=2x+2y+瓜=(|+0)x+/24,6+4&=8+4近

(}十yplx=—,x=8—4^2./T1―

當(dāng)且僅當(dāng)2xy=2A/2,滿足°<x<4j2.

答：當(dāng)工=8-4亞米，y=2亞米時(shí)，用料最少.

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題，是面積固定，求周長(zhǎng)最省料的模型，解題時(shí)，列出一個(gè)面積

的等式，代入周長(zhǎng)所表示的代數(shù)式中，消去一個(gè)未知數(shù)，這是常用的解題方法。

例16、（2008江蘇模擬）某化工企業(yè)2007年底投入100萬(wàn)元，購(gòu)入一套污水處理設(shè)備.該設(shè)備每年的

運(yùn)轉(zhuǎn)費(fèi)用是0.5萬(wàn)元，此外每年都要花費(fèi)一定的維護(hù)費(fèi)，第一年的維護(hù)費(fèi)為2萬(wàn)元，由于設(shè)備老化，以后每

年的維護(hù)費(fèi)都比上一年增加2萬(wàn)元.

（1）求該企業(yè)使用該設(shè)備％年的年平均污水處理費(fèi)用V（萬(wàn)元）;

（2）問(wèn)為使該企業(yè)的年平均污水處理費(fèi)用最低，該企業(yè)幾年后需要重新更換新的污水

處理設(shè)備？

100+0.5x+(2+4+6+…+2x)100,「八

解⑴y即y=x-----H1.5(x>0).

xx

（2）由均值不等式得：

100，八,I~100……

y—x----F1.522.x-----h1.5=21.51

xvX(萬(wàn)元)，當(dāng)且僅當(dāng)了=——，即x=10時(shí)取到等號(hào).

X

答：該企業(yè)10年后需要重新更換新設(shè)備.

點(diǎn)評(píng)：本題又是基本不等式的一個(gè)應(yīng)用，第一問(wèn)求出函數(shù)關(guān)系式是關(guān)鍵，第二問(wèn)難度不大。

考點(diǎn)七：不等式的證明

【內(nèi)容解讀】證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法仍是證明不等式的最基本方法.要依

據(jù)題設(shè)、題斷的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的

步驟，技巧和語(yǔ)言特點(diǎn).比較法的一般步驟是：作差（商）f變形f判斷符號(hào)（值）.

【命題規(guī)律】不等式的證明多以解答題的形式出現(xiàn)，屬中等偏難的試題。文科考查的可能性不大。

例17、已知“2—AN—,且a+b=l,求證,2a+1+飛2b+142近

22________

證明：只需證：（2a+1）+（2b+1）+2y[2a+iy[2b+l<8

???a+b=l；?即證：V2^TiV2FZT<2?.?7^71揚(yáng)7142。+1）+儂+1）=2成立

2

???原不等式成立.

點(diǎn)評(píng)：用分析法證明不等式也是常用的證明方法，通過(guò)分析法，能夠找到證明的思路。

三、方法總結(jié)與高考預(yù)測(cè)

（一）方法總結(jié)

1.熟練掌握不等式的基本性質(zhì)，常見(jiàn)不等式（如一元二次不等式，絕對(duì)值不等式等）的解法，不等式在實(shí)際

問(wèn)題中的應(yīng)，不等式的常用證明方法

2.數(shù)學(xué)中有許多相似性，如數(shù)式相似，圖形相似，命題結(jié)論的相似等，利用這些相似性，通過(guò)構(gòu)造輔助模

型，促進(jìn)轉(zhuǎn)化，以期不等式得到證明?？梢詷?gòu)造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量、復(fù)數(shù)和圖形等數(shù)學(xué)模型，針對(duì)欲

證不等式的構(gòu)特點(diǎn)，選擇恰當(dāng)?shù)哪Ｐ?，將不等式?wèn)題轉(zhuǎn)化為上述數(shù)學(xué)模型問(wèn)題，順利解決不等式的有關(guān)問(wèn)題。

（二）高考預(yù)測(cè)

在近年的高考中，不等式的考查有選擇題、填空題、解答題都有，不僅考查不等式的基礎(chǔ)知識(shí)，基本技能，

基本方法，而且還考查了分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。解答題以函數(shù)、不等式、數(shù)列導(dǎo)數(shù)相交匯處命題，函

數(shù)與不等式相結(jié)合的題多以導(dǎo)數(shù)的處理方式解答，函數(shù)不等式相結(jié)合的題目，多是先以直覺(jué)思維方式定方向,

以遞推、數(shù)學(xué)歸納法等方法解決，具有一定的靈活性。

由上述分析，預(yù)計(jì)不等式的性質(zhì)，不等式的解法及重要不等知識(shí)將以選擇題或填空的形式出現(xiàn)；解答題可能

出現(xiàn)解不等與證不等式。如果是解不等式含參數(shù)的不等式可能性比較大，如果是證明題將是不等式與數(shù)列、

函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、向量等相結(jié)合的綜合問(wèn)題，用導(dǎo)數(shù)解答這類問(wèn)題仍然值得重視。

五、復(fù)習(xí)建議

1.在復(fù)習(xí)中應(yīng)掌握證明不等式的常用思想方法：比較思想；綜合思想；分析思想；放縮思想；反證思想：

函數(shù)思想；換元思想；導(dǎo)數(shù)思想.

2、在復(fù)習(xí)解不等式過(guò)程中，注意培養(yǎng)、強(qiáng)化與提高函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思

想和方法，逐步提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提高分析解決綜合問(wèn)題的能力.能根據(jù)各類不等式的特點(diǎn)，變形的特殊性，

歸納出各類不等式的解法和思路以及具體解法。

10

函數(shù)

一、考點(diǎn)回顧

1.理解函數(shù)的概念，了解映射的概念.

2.了解函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的概念，掌握判斷一些簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的方法，并能利用函數(shù)的

性質(zhì)簡(jiǎn)化函數(shù)圖像的繪制過(guò)程.

3.了解反函數(shù)的概念及互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關(guān)系.

4.理解分?jǐn)?shù)指數(shù)基的概念，掌握有理指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)，掌握指數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì).

5.理解對(duì)數(shù)的概念，掌握對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì).

6.能夠運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決某些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.

7、掌握函數(shù)零點(diǎn)的概念，用二分法求函數(shù)的近似解，會(huì)應(yīng)用函數(shù)知識(shí)解決一些實(shí)際問(wèn)題。

二、經(jīng)典例題剖析

考點(diǎn)一：函數(shù)的性質(zhì)與圖象

函數(shù)的性質(zhì)是研究初等函數(shù)的基石，也是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容.在復(fù)習(xí)中要對(duì)定義深入理解.

復(fù)習(xí)函數(shù)的性質(zhì)，可以從"數(shù)"和"形"兩個(gè)方面，從理解函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的定義入手，在判斷和證明函

數(shù)的性質(zhì)的問(wèn)題中得以鞏固，在求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、函數(shù)的最值及應(yīng)用問(wèn)題的過(guò)程中得以深化.具體要

求是：

1.正確理解函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的定義，能準(zhǔn)確判斷函數(shù)的奇偶性，以及函數(shù)在某一區(qū)間的單調(diào)性，能熟

練運(yùn)用定義證明函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性.

2.從數(shù)形結(jié)合的角度認(rèn)識(shí)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，深化對(duì)函數(shù)性質(zhì)幾何特征的理解和運(yùn)用，歸納總結(jié)求函

數(shù)最大值和最小值的常用方法.

3.培養(yǎng)學(xué)生用變化的觀點(diǎn)分析問(wèn)題，提高學(xué)生用換元、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題的能力.

函數(shù)的圖象是函數(shù)性質(zhì)的直觀載體，函數(shù)的性質(zhì)可以通過(guò)函數(shù)的圖像直觀地表現(xiàn)出來(lái)。

因此，掌握函數(shù)的圖像是學(xué)好函數(shù)性質(zhì)的關(guān)鍵，這也正是“數(shù)形結(jié)合思想”的體現(xiàn)。復(fù)習(xí)函數(shù)圖像要注意以

下方面。

1.掌握描繪函數(shù)圖象的兩種基本方法一一描點(diǎn)法和圖象變換法.

2.會(huì)利用函數(shù)圖象，進(jìn)一步研究函數(shù)的性質(zhì)，解決方程、不等式中的問(wèn)題.

3.用數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論的思想和轉(zhuǎn)化變換的思想分析解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.

4.掌握知識(shí)之間的聯(lián)系，進(jìn)一步培養(yǎng)觀察、分析、歸納、概括和綜合分析能力.

例1、（2008廣東汕頭二模）設(shè)集合A={x|x<-1.或X>1},B={x|log2x>0},則ADB=（）

A.{x|x>l}B.{x|x>0}C.{x|x<-l}D.{x|x<-l或x>l}

【解析】：由集合B得ACB={x|x>l},故選（A）o

［點(diǎn)評(píng)］本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的性質(zhì)，是函數(shù)與集合結(jié)合的試題，難度不大，屬基礎(chǔ)題。

例2、（2008廣東惠州一模）“龜兔賽跑”講述了這樣的故事：領(lǐng)先的兔子看著慢慢爬行的烏龜，驕傲起來(lái),

睡了一覺(jué)，當(dāng)它醒來(lái)時(shí)，發(fā)現(xiàn)烏龜快到終點(diǎn)了，于是急忙追趕，但為時(shí)已晚，烏龜還是先到達(dá)了終點(diǎn)…用

SI、S2分別表示烏龜和兔子所行的路程，t為時(shí)間，則下圖與故事情節(jié)相吻合的是（）

【解析】：選（B）,在（B）中，烏龜?shù)竭_(dá)終點(diǎn)時(shí)，兔子在同一時(shí)間的路程比烏龜短。

［點(diǎn)評(píng)］函數(shù)圖象是近年高考的熱點(diǎn)的試題，考查函數(shù)圖象的實(shí)際應(yīng)用，考查學(xué)生解決問(wèn)題、分析問(wèn)題的能

力，在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)引起重視。

例3、（2008全國(guó)一）汽車(chē)經(jīng)過(guò)啟動(dòng)、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車(chē)，若把這一過(guò)程中汽車(chē)的行

駛路程S看作時(shí)間t的函數(shù)，其圖像可能是（）

例4、（2008福建文）函數(shù)/（x）=x3+sinx+l（xeR），若/⑷=2,則/（一。）的值為（）

A.3B.OC.-lD.-2

/(x)-l=x3+sinx為奇函數(shù)，又/(?)=2.../⑷-1=1故/(-a)-l=-l即0

【解析】：f(-a)=

［點(diǎn)評(píng)］本題考查函數(shù)的奇偶性，考查學(xué)生觀察問(wèn)題的能力，通過(guò)觀察能夠發(fā)現(xiàn)如何通過(guò)變換式子與學(xué)過(guò)的

知識(shí)相聯(lián)系，使問(wèn)題迎刃而解。，

1

,x<1

例5、（2008廣東高考試題）設(shè)％eR,函數(shù),/（%）=.l-x

、—Jx—1,云1

F(x)=f(x)-kxxeR,試討論函數(shù),（X）的單調(diào)性.

1

-k.x<1,

【解析】------kx,x<1,(1)2

F(x)=f(x)-kx=<l-x尸a)=<

1

—yjX-1-kx>X>1,-k,x>1,

2y]x-i

履當(dāng)％<時(shí)，函數(shù)”⑴在（一上是增函數(shù);

對(duì)于，F(xiàn)（x）J__（X<1）08,1）

1-X

（-oo,l--4=）（1-_7=3）

當(dāng)%>°時(shí)，函數(shù),（X）在7k上是減函數(shù)，在7k上是增函數(shù):

對(duì)于戶（x）=——^=_女。21）當(dāng)上20時(shí)，函數(shù)/（劃在『'+8）上是減函數(shù)；

2心-1

1,1H---|1---T，+0°］

當(dāng)人<0時(shí)，函數(shù)/（燈在L上是減函數(shù)，在L4k-J上是增函數(shù)。

［點(diǎn)評(píng)］在處理函數(shù)單調(diào)性的證明時(shí)，可以充分利用基本函數(shù)的性質(zhì)直接處理，但學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)后，函數(shù)的單

調(diào)性就經(jīng)常與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)聯(lián)系在一起,利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)來(lái)處理函數(shù)的單調(diào)進(jìn)性，顯得更加簡(jiǎn)單、方便。

考點(diǎn)二：二次函數(shù)

二次函數(shù)是中學(xué)代數(shù)的基本內(nèi)容之一，它既簡(jiǎn)單又具有豐富的內(nèi)涵和外延.作為最基本的初等函數(shù)，可以以

它為素材來(lái)研究函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、最值等性質(zhì)，還可建立起函數(shù)、方程、不等式之間的有機(jī)聯(lián)系：作

為拋物線，可以聯(lián)系其它平面曲線討論相互之間關(guān)系.這些縱橫聯(lián)系，使得圍繞二次函數(shù)可以編制出層出

不窮、靈活多變的數(shù)學(xué)問(wèn)題.同時(shí)，有關(guān)二次函數(shù)的內(nèi)容又與近、現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展緊密聯(lián)系，是學(xué)生進(jìn)入高

校繼續(xù)深造的重要知識(shí)基礎(chǔ).因此，從這個(gè)意義上說(shuō)，有關(guān)二次函數(shù)的問(wèn)題在高考中頻繁出現(xiàn)，也就不足為

奇了.學(xué)習(xí)二次函數(shù)，可以從兩個(gè)方面入手：一是解析式，二是圖像特征.從解析式出發(fā)，可以進(jìn)行純粹的

代數(shù)推理，這種代數(shù)推理、論證的能力反映出一個(gè)人的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)；從圖像特征出發(fā)，可以實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的

自然結(jié)合，這正是中學(xué)數(shù)學(xué)中一種非常重要的思想方法.

例6.若函數(shù)/（x）=（x+a）（bx+2a）（常數(shù)a,beR）是偶函數(shù)，且它的值域?yàn)椋ā?,4卜

則該函數(shù)的解析式/（x）=

12

【解析】/（x）=（x+a）Sx+2a）=A：2+（2a+ab）x+2］是偶函數(shù)，則其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,

：.2a+ab-0=>a-0（不合題意）或6=-2,

.?./（x）=—2/+2/,且值域?yàn)椋ㄒ?0,4］,2a2=4,/（x）=-2x2+4.

考點(diǎn)三：指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)是兩類重要的基本初等函數(shù)，高考中既考查雙基，又考查對(duì)蘊(yùn)含其中的函數(shù)思想、等價(jià)轉(zhuǎn)

化、分類討論等思想方法的理解與運(yùn)用.因此應(yīng)做到能熟練掌握它們的圖象與性質(zhì)并能進(jìn)行一定的綜合運(yùn)用.

例8、（2008山東文科高考試題）已