高中數(shù)學二輪復習

集合與簡易邏輯

一、考點回顧

1、集合的含義及其表示法，子集，全集與補集，子集與并集的定義；

2、集合與其它知識的聯(lián)系，如一元二次不等式、函數(shù)的定義域、值域等；

3、邏輯聯(lián)結詞的含義，四種命題之間的轉化，了解反證法；

4、含全稱量詞與存在量詞的命題的轉化，并會判斷真假，能寫出一個命題的否定;

5、充分條件，必要條件及充要條件的意義，能判斷兩個命題的充要關系；

6、學會用定義解題，理解數(shù)形結合，分類討論及等價變換等思想方法。

二、經(jīng)典例題剖析

1、集合的概念：

(1)集合中元素特征，確定性，互異性，無序性；

(2)集合的分類：

①按元素個數(shù)分：有限集，無限集：

②按元素特征分；數(shù)集，點集。如數(shù)集｛y|y=x4,表示非負實數(shù)集，點集｛(x,y)|y=/｝表示開口向上，

以y軸為對稱軸的拋物線；

(3)集合的表示法：

①列舉法：用來表示有限集或具有顯著規(guī)律的無限集，如N+=｛0,1,2,3,?-?｝；②描述法。

2、兩類關系：

(1)元素與集合的關系，用e或代表示；

(2)集合與集合的關系，用仁,*,=表示，當A=B時；稱A是B的子集；當A^B時，稱A是B的真子集。

3、解答集合問題，首先要正確理解集合有關概念，特別是集合中元素的三要素；對于用描述法給出的集合

｛xhvP｝,要緊緊抓住豎線前面的代表元素x以及它所具有的性質P；要重視發(fā)揮圖示法的作用，通過數(shù)形結

合直觀地解決問題。

4、注意空集。的特殊性，在解題中，若未能指明集合非空時，要考慮到空集的可能性，如A=則有A=0

或兩種可能，此時應分類討論。

例1、下面四個命題正確的是

(A)10以內的質數(shù)集合是｛1,3,5,7｝(B)方程X?—4x+4=0的解集是｛2,2｝

(C)0與｛0｝表示同一個集合(D)由1,2,3組成的集合可表示為｛1,2,3｝或｛3,2,1)

解：選(D),最小的質數(shù)是2,不是1,故(A)錯；由集合的定義可知(B)(C)都錯。

例2、已知集合人={-1,3,2m-1},集合B={3,m2}.若B[A,則實數(shù)切=.

解：由BgA,FLm?不可能等于一1,可知旭2=2加一1,解得：m

1、交，并，補，定義：Af-lB={x|xGA且xGB},AUB={x|xGA,或xCB},CvA={x!xeU,且xeA),集合

U表示全集；

2、運算律，如AD(BUC)=(APB)U(AAC),G(APB)=(GA)U(GB),

G(AUB)=(CuA)A(CiB)等。

3、學會畫Venn圖，并會用Venn圖來解決問題。-----------

例3、設集合A={x|2x+1<3},B={x]-3<x<2},則AcB等于()

(A){x|—3<x<l}(B){x|l<x<2}(C){x|x>—3}(D){x|x<l}/.(j：

圖1

解：集合A=｛x2x+l<3｝=｛x）x<l｝,集合A和集合B在數(shù)軸上表示如圖1所示，AcB是指集合A和集

合B的公共部分，故選（A）o

例4、經(jīng)統(tǒng)計知，某村有電話的家庭有35家，有農用三輪車的家庭有65家，既有電話又有農用三輪車的家庭

有20家，則電話和農用三輪車至少有一種的家庭數(shù)為（）

A.60B.70C.80D.90

解：畫出Venn圖，如圖2,畫圖可得到有一種物品的家庭數(shù)為：15+20+45=80.故選

（C）。

例5、（2008廣東卷）第二十九屆夏季奧林匹克運動會將于2008年8月8日在北京

舉行，若集合A=｛參加北京奧運會比賽的運動員｝,集合B=｛參加北京奧運會比賽的男運動員｝。集合C=｛參

加北京奧運會比賽的女運動員｝，則下列關系正確的是（）

A.A^BB.BQ.CC.AC\B^CD.BU（=A

解：由題意可知，應選（D）。

考點3、邏輯聯(lián)結詞與四種命題

1、命題分類：真命題與假命題，簡單命題與復合命題；

2、復合命題的形式：p且q,p或q,非p；

3、復合命題的真假：對p且q而言，當q、p為真時，其為真；當p、q中有一個為假時，其為假。對p或

q而言，當p、q均為假時，其為假；當p、q中有一個為真時，其為真；當p為真時，非p為假；當p為假

時，非P為真。

4、四種命題：記“若q則p”為原命題，則否命題為“若非p則非q”,逆命題為“若q則p"，逆否命題

為”若非q則非p"。其中互為逆否的兩個命題同真假，即等價。因此，四種命題為真的個數(shù)只能是偶數(shù)個。

例6、（2008廣東高考）命題”若函數(shù)/（x）=log”x（a>在其定義域內是減函數(shù)，則log/vO”

的逆否命題是（）

A、若log.220,則函數(shù)/（乃=10§"尺4>0,。*1）在其定義域內不是減函數(shù)

B、若log“2<0,則函數(shù)/（x）=log〃〉0,。w1）在其定義域內不是減函數(shù)

C、若log”220,則函數(shù)/5）=108。尺。>0,。*1）在其定義域內是減函數(shù)

D、若log“2<0,則函數(shù)/。）=1隼〃苫（?！?,。=1）在其定義域內是減函數(shù)

解：逆否命題是將原命題的結論的否定作為條件，原命題的條件的否定作為結論，故應選（A）。

例7、已知命題p:方程x2+mx+l=0有兩個不相等的負數(shù)根；q:方程4f+4（機—2）x+l=0無實根.若

"p或q”為真，“p且q”為假，求實數(shù)機的取值范圍.

A=/n2-4>0,

p:<

解：[-m<0,m>2q:A=16（加一2）2—16=16（，/一46+3）<0,1<m<3,

??.p或4為真，夕旦4為假，'P真，勺假或P假，g真.

m>2,（機W2

.?Ji

"W或至3或,故機23或l<nzW2.

考點4、全稱量詞與存在量詞

1.全稱量詞與存在量詞

（1）全稱量詞：對應日常語言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任給”、“對每

一個”等詞，用符號“V”表示。

2

(2)存在量詞：對應日常語言中的“存在一個”、“至少有一個”、“有個”、“某個”、“有些”、“有

的”等詞，用符號“于'表示。

2.全稱命題與特稱命題

(1)全稱命題：含有全稱量詞的命題?！皩xe",有p(x)成立”簡記成“VxeM,p(x)”。

(2)特稱命題：含有存在量詞的命題。FxeM,有p(x)成立”簡記成“mxeM,p(x)”。3.同一

個全稱命題、特稱命題，由于自然語言的不同，可以有不同的表述方法，現(xiàn)列表如下，供

參考。

命題全稱命題VxeM,p(x)特稱命題mxwM,p(x)

①所有的xwM,使〃(x)成立①存在xe",使p(x)成立

表述②對一切xeM,使p(x)成立②至少有一個xeM,使p(X)成立

方法③對每一個xeM,使p(%)成立③對有些xeM,使p(X)成立

④任給一個xeM,使。(%)成立④對某個xeM,使0(X)成立

⑤若xeM,則p(x)成立⑤有一個xeM,使p(X)成立

4.常見詞語的否定如下表所示：

詞語是一定是都是大于小于

詞語的否定不是一定不是不都是小于或等于大于或等于

詞語且必有一個至少有?個至多有一個所有X成立

詞語的否定或一個也沒有至多有--1個至少有兩個存在一個X不成

立

例8、(2007山東)命題“對任意的的否定是()

A.不存在xe/?,x3-x*2+1<0B.存在xeR,1-/+1zo

C.存在xe-/+1>0D.對任意的xe—/+1>0

解：命題的否定與否命題不同，命題的否定是將全稱量詞改為特稱量詞，或將特稱量詞改為全稱量詞，再否

定結論即可，故選(C)。

例9、命題“It<0,有>0”的否定是.

解：將“存在”改為“任意”，再否定結論，注意存在與任意的數(shù)學符號表示法，答案：Vx<°，有-40

考點5、充分條件與必要條件

1、在判斷充分條件及必要條件時，首先要分清哪個命題是條件，哪個命題是結論，其次，結論要分四種情

況說明：充分不必要條件，必要不充分條件，充分且必要條件，既不充分又不必要條件。從集合角度看，理

解“越小越充分”的含義。

例10、(2008安徽卷)a<0是方程a/+2x+1=0至少有一個負數(shù)根的()

A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充分必要條件1).既不充分也不必要條件

1八

2x]x2=—<0

解當A=2-4。>0,得a<i時方程有根11a<0時，?，方程有負根，又a=l時，方程根為了=一1,

所以選(B)。

例：Ll、(2008湖北卷)若集合P={l,2,3,4},Q=1|0YxY5,xeH},則()

A.》6/?是了€。的充分條件，不是xeQ的必要條件

B.%6/?不是工€。的充分條件，是XC。的必要條件

Cx€R是xe。的充分條件，又是xe。的必要條件.

D.xeR既不是xe。的充分條件，又不是xe。的必要條件

解：xePnxeQ反之不然故選人

三、方法總結與高考預測

（-）思想方法總結

1.數(shù)形結合2.分類討論

（二）高考預測

1.集合是每年高考必考的知識點之一。題型一般是選擇和填空的形式，主要考查集合的運算和求有限

集合的子集及其個數(shù).

2.簡易邏輯是在高考中應一般在選擇題、填空題中出現(xiàn)，如果在解答題中出現(xiàn)，則只會是中低檔題.

3.集合、簡易邏輯知識，作為一種數(shù)學工具，在函數(shù)、方程、不等式、排列組合及曲線與方程等方面

都有廣泛的運用，高考題中常以上面內容為載體，以集合的語言為表現(xiàn)形式，結合簡易邏輯知識考查學生的

數(shù)學思想、數(shù)學方法和數(shù)學能力，題型常以解答題的形式出現(xiàn).

四、復習建議

1.在復習中首先把握基礎性知識，深刻理解本單元的基本知識點、基本數(shù)學思想和基本數(shù)學方法.重

點掌握集合、充分條件與必要條件的概念和運算方法.要真正掌握數(shù)形結合思想一一用文氏圖解題.

2.涉及本單元知識點的高考題，綜合性大題不多.所以在復習中不宜做過多過高的要求，只要靈活掌

握小型綜合題型（如集合與映射，集合與自然數(shù)集，集合與不等式，集合與方程等，充分條件與必要條件與

三角、立幾、解兒中的知識點的結合等）映射的概念以選擇題型出現(xiàn)，難度不大。就可以了

3.活用“定義法”解題。定義是一切法則與性質的基礎，是解題的基本出發(fā)點。利用定義，可直接判

斷所給的對應是否滿足映射或函數(shù)的條件，證明或判斷函數(shù)的單調性與奇偶性并寫出函數(shù)的單調區(qū)間等。

4.重視“數(shù)形結合”滲透?！皵?shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”。當你所研究的問題較為抽象時，當

你的思維陷入困境時，當你對雜亂無章的條件感到頭緒混亂時，一個很好的建議便是：畫個圖!利用圖形的

直觀性，可迅速地破解問題，乃至最終解決問題。

5.實施“定義域優(yōu)先”原則。函數(shù)的定義域是函數(shù)最基本的組成部分，任何對函數(shù)性質的研究都離不

開函數(shù)的定義域。例如，求函數(shù)的單調區(qū)間，必須在定義域范圍內；通過求出反函數(shù)的定義域，可得到原函

數(shù)的值域；定義域關于原點對稱，是函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件。為此，應熟練掌握求函數(shù)定義域的

原則與方法，并貫徹到解題中去。

6.強化“分類思想”應用。指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質均與其底數(shù)是否大于1有關；對于根式的意義及

其性質的討論要分清n是奇數(shù)還是偶數(shù)等。

4

不等式

一、考點知識回顧

不等式的性質是證明不等式和解不等式的基礎。

不等式的基本性質有：

對稱性：a>b=b<a；傳遞性：若a>b,b>c,則a>c；可加性：a>b=>a+c>b+c；

可乘性：a>b,當c>0時，ac>bc；當c<0時，ac<bc?

不等式運算性質：

（1）同向相加：若a>b,c>d,則a+c>b+d；（2）異向相減：c<d=>a-c>b-d

（3）正數(shù)同向相乘：若a>b>0,c>d>0,則ac>bd。（4）乘方法則：若a>b>0,nGN+,則a">b"；

（5）開方法則：若a>b>0,nGN+,則板〉標；（6）倒數(shù)法則：若ab>0,a>b,則?］。

2、基本不等式（或均值不等式）；利用完全平方式的性質，可得a2+b2,2ab（a,bWR）,承砂式可推

廣為a2+b2>2|ab|；或變形為|ab|W立9I當a,b20時，a+b》2病或abW.（a+bY

3、不等式的證明：2‘2）

不等式證明的常用方法：比較法，公式法，分析法，反證法，換元法，放縮法：

在不等式證明過程中，應注重與不等式的運算性質聯(lián)合使用；

證明不等式的過程中，放大或縮小應適度。

不等式的解法：

解不等式是尋找使不等式成立的充要條件，因此在解不等式過程中應使每一步的變形都要恒等。

一元二次不等式（組）是解不等式的基礎，一元二次不等式是解不等式的基本題型。一元二次不等式與相應

的函數(shù)，方程的聯(lián)系

求一般的一元二次不等式辦2+汝+。>°或。/+法+。<0（。>0）的解集，要結合52+法+,=°的根及

二次函數(shù),=+6x+c圖象確定解集.

對于一元二次方程。/+/+。=0（?！?）,設公=。2—4四，它的解按照公>0,A=0A<0可分為三種

情況.相應地，二次函數(shù)y="x2+"x+c（a>°）的圖象與x軸的位置關系也分為三種情況.因此，我們分

三種情況討論對應的一元二次不等式。/+6%+。>09>（））的解集，注意三個“二次”的聯(lián)系。

含參數(shù)的不等式應適當分類討論。

5、不等式的應用相當廣泛，如求函數(shù)的定義域，值域，研究函數(shù)單調性等。在解決問題過程中，應當善于

發(fā)現(xiàn)具體問題背景下的不等式模型。

用基本不等式求分式函數(shù)及多元函數(shù)最值是求函數(shù)最值的初等數(shù)學方法之一。

研究不等式結合函數(shù)思想，數(shù)形結合思想，等價變換思想等。

6、線性規(guī)劃問題的解題方法和步驟

解決簡單線性規(guī)劃問題的方法是圖解法，即借助直線（線性目標函數(shù)看作斜率確定的一族平行直線）與平面

區(qū)域（可行域）有交點時.，直線在y軸上的截距的最大值或最小值求解。它的步驟如下：

（1）設出未知數(shù)，確定目標函數(shù)。

（2）確定線性約束條件，并在直角坐標系中畫出對應的平面區(qū)域，即可行域。，

（3）由目標函數(shù)z=ax+by變形為y=x+所以，求z的最值可看成是求直線y=-軸

上截距的最值（其中a、b是常數(shù)，z隨x,"y的姿化而變化）。bb

（4）作平行線：將直線ax+by=0平移（即作ax+by=O的平行線），使直線與可行域有交點，且觀察在可

行域中使我大（或最?。r所經(jīng)過的點，求出該點的坐標。

（5）求出最加解：將（4）中求出的坐標代入目標函數(shù)，從而求出z的最大（或最?。┲?。

7、絕對值不等式

（1）IxI<a（a>0）的解集為：｛xI—a<x<a｝；

IxI>a（a>0）的解集為：｛xIx>a或xV—a｝。

\\a\-\b\\^a±b\^a\+\b\

(2)

二、考點剖析

【命題規(guī)律】高考中，對本節(jié)內容的考查，主要放在不等式的性質上，題型多為選擇題或填空題，屬容易題。

例1、(2008廣東文)設若a—網(wǎng)>0,則下列不等式中正確的是()

A.b—a>。B。3+/73<0Q/?+6Z>0D-b-<0

解：由a—例>0知網(wǎng)2—/?,,所以8+〃>。，故選。

點評：本題考查絕對值的概念和絕對值的性質，如果用特殊值法也能求解。

例2、(2007上海理科)已知0，”為非零實數(shù)，且。<6,則下列命題成立的是()

1<1b<a

A、a2Vb?B、a2b<ab2c、加a2bab

解：取a=-3,b=2,由(A)(B)(D)都錯，故(C)。

點評：特殊值法是解選擇題的一種技巧，在應試時要時刻牢記有這么一種方法。這晨a,b沒有說明符號，

注意不要錯用性質。

考點二：一元二次不等式及其解法

【命題規(guī)律】高考命題中，對一元二次不等式解法的考查，若以選擇題、填空題出現(xiàn)，則會對不等式直接求

解，或經(jīng)常地與集合、充要條件相結合，難度不大。若以解答題出現(xiàn)，一般會與參數(shù)有關，或對參數(shù)分類討

論，或求參數(shù)范圍，難度以中檔題為主。

例3、(2007湖南)不等式x2>x的解集是()

A(—8,0)R(0,1)(-(L+oo)0(―8,0)，U(l+8)

解：原不等式可化為x2—x>0,即x(x—1)>0,所以x<0或x>1,選(D).

例4、(2007福建)“W<2?是"/_*_6<0，，的什么條件……()

A.充分而不必要B.必要而不充分C.充要D.既不充分也不必要

解：由|x|<2,得：-2<x<2,由/一x-6<°得：-2<X<3,

-2<xV2成立，則一2<x<3一定成立，反之則不一定成立，所以，選(A)。

點評：本題是不等式與充要條色結合的聲題，先解出不等式的解集來，再由充分必要條件的判斷方法可得。

例5、(2008江西文)不等式245的解集為.

解：原不等式變?yōu)?小+21由指數(shù)函數(shù)的增減性，得：

廠+2x-4?-1(x+3)(x—1)W0xG[-3,1]所以填.[—3,1]

點評：不等式與指數(shù)函數(shù)交匯、不等式與對數(shù)函數(shù)交匯、不等式與數(shù)列交匯是經(jīng)?？疾榈膬热?，應加強訓練。

例6、己知集合、={尤]一5龍+4刊，8=卜1--2公+4+2刊，若B5,求實數(shù)。的取值范圍.

解A=^x\x2-5x+4^^^xllx4}y4

設/(x)=x2-2ax+“+2,它的圖象是一條開口向上的拋物線.\兒,)/

(1)若8=°,滿足條件，此時即4/-4(a+2)<0,解得T<a<2；-J__心_?

。14%

(2)若8/。，設拋物線與X軸交點的橫坐標為與々，且占欲使8=4,應有

卜,《久x2|4}

6

1—2a+。+2>0,18

結合二次函數(shù)的圖象，得即解得2WW—

4：-8a+a+220,/(4)2。

1WW4,

]——4

4a2-4(a+2)20,2

△，0,

綜上，a的取值范圍是-1，了.

點評：本題是一元二次本等及集合結合的綜合題

4,考查含參數(shù)一元二次不等式的解法，注意分類討論思想

的應用，分類時做到不遺漏。

【命題規(guī)律】線性規(guī)劃問題時多以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，題型以容易題、中檔題為主，考查平面區(qū)域的

面積、最優(yōu)解的問題；隨著課改的深入，近年來，以解答題的形式來考查的試題也時有出現(xiàn)，考查學生解決

實際問題的能力。，

x<0

例7、（2008安徽文）若4為不等式組.表示的平面區(qū)域，則當a從一2連續(xù)變化到1時，動直線

,_y-x<2

x+y=a掃過A中的那部分區(qū)域的面被為（）

37

A.-B.1C.-D.5

解：如圖知段域的面積是去掉一個小直角三角形。

」2x2=2

sOAB

（陰影部分面積比1大，比2小，故選C,不需要算出來）

點評：給出不等式組，畫出平面區(qū)域，求平面區(qū)域的面積的問題是經(jīng)?？疾榈脑囶}之一，如果區(qū)域是不規(guī)節(jié)

圖形，將它分割成規(guī)節(jié)圖形分別求它的面積即可。

一.

2x+y<40,40：

例8、(2008廣東理)若變量x,y滿足x+2y<50,>則z=3x+2y的最大值是()

(10,20)

A.90B.80x>0,

C.70D.40

y>0,

3z人八一3及其平行線；如右圖，:+2y=50

解:做出可行域如圖所示.目標函數(shù)化為:y=——x+—,令z=0,1E1y=——x,I

222

它經(jīng)過兩直線的交點時，取得取大值。

2x+y=40x=10

x+2y=50,得[y=20,所以Zmax=3x10+2x20=70,故答《

解方程組

點評：求最優(yōu)解，畫出可行域，將目標函數(shù)化為斜截式，再令z=0,畫它的平行線，看y軸上的截距的最

值，就是最優(yōu)解。

例9、（2007山東）本公司計劃2008年在甲、乙兩個電視臺做總時間不超過300分鐘的廣告，廣告總費用不

超過9萬元，甲、乙電視臺的廣告收費標準分別為500元/分鐘和200元/分鐘，規(guī)定甲、乙兩個電視臺為該

公司所做的每分鐘廣告，能給公司事來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元.問該公司如何分配在甲、乙兩個

電視臺的廣告時間，才能使公司的收益最大，最大收益是多少萬元？

解：設公司在甲電視臺和乙電視臺做廣告的時間分別為％分鐘和>分鐘，總收益為Z元，由題意得

x+yW300

<500x+200yW90000目標函數(shù)為z=3000x+2000y

x^O斗0.

x+yW300

二元一次不等式組等價于<5x+2yW900

與0.

y-

作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域.500

如圖：

400-

作直線/:3000x+2000〉=0即3x+2y=0

300

平移直線從圖中可知，當直線/過M點時，目標函數(shù)取得最大值.

200

x+y=300,

5x+2y=900.解得x=100,

聯(lián)立y=200???點M的坐標為（1°°,20°）\10

Zmax=3000x+2000y=700000

（元）

0100200300x

答：該公司在甲電視臺做100分鐘廣告,在乙電視臺做200分鐘廣告，公司的收益最大收益是70歷元.

點評：用線性規(guī)劃的方法解決實際問題能提高學生分析問題、解決問題的能力，隨著課改的流入，這類試題

應該是高考的熱點題型之一。

考點四：基本不等關系

【內容解讀】了解基本不等式的證明過程，會用基本不等式解決簡單的最值問題，理解用綜合法、分析法、

比較法證明不等式。

利用基本不等式可以求函數(shù)或代數(shù)式的最值問題：

合理拆分項或配湊因式是經(jīng)常用的解題技巧，而拆與湊的過程中，一要考慮定理使用的條件（兩數(shù)都為正）;

二要考慮必須使和或積為定值；三要考慮等號成立的條件（當且僅當a=b時;等號成立），它具有一定的靈

活性和變形技巧，高考中常被設計為一個難點.

【命題規(guī)律】高考命題重點考查均值不等式和證明不等式的常用方法，單純不等式的命題，主要出現(xiàn)在選擇

題或填空題，一般難度不太大。

例io、（2007上海理）已知為yeR*,且x+4）'=i,則的最大值是

解：xy=-x-4y<-（^lz）2=—,當且僅當x=4y=’時取等號.

442162

點評：本題考查基本不等式求最值的問題，注意變形后使用基本不等式。

例11、（2008浙江文）已知620,且a+6=2,則（）

,1,1

(C)a2>2(D)a2+b~<3

(A)ab<-(B)ah>-

2222

解：由“20/20,且a+b=2,.?.4=（。+6）2=/+/72+2”<H{a+b\Aa+b>2Q

點評：本小題主要考查不等式的重要不等式知識的運用。

例12、（2008江蘇）已知，，X,y,zeR+則片的最小值_______.

解：由a2y+3z=°尸等得［_2），+3Z=0

2

y犬+9z2+6xz6xz+6xzo

代入XZ得4xz4xz,當且僅當x=3Z時取“=”.

點評：本小題考查二元基本不等式的運用.題目有有三個未知數(shù)，通過已知代數(shù)式，對所求式子消去一個未

知數(shù)，用基本不等式求解。

【內容解讀】掌握絕對值不等式IxIVa,IxI>a（a>0）的解法，了解絕對值不等式與其它內容的綜合。

【命題規(guī)律】本節(jié)內容多以選擇、填空題為主，有時與充分必要條件相結合來考查，難度不大。

8

例13、（2008湖南文）“卜一1|V2”是“x<3”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.即不充分也不必要條件

解：由—得一1<x<3,在一1VxV3的數(shù)都有x<3,但當x<3時，不一定有一1VxV3,

如x=-5,所以選（A）.

點評：本題考查絕對值不等式的解法和充分條件必要條件，可以用特殊值法來驗證，充分性與必要性的成立。

例14、（2008四川文）不等式卜2_耳<2的解集為（）

（A）（T2）（B）（TO（C）（D）（-2,2）

IV*2-rl<2c2cx2—X+2>0XGR/.

解：■IA-2<x-x<2即彳2“n即...XG（—1,2）故選人；

點評：此題重點考察絕對值不等式的解法；正確進行不等式的轉化去掉絕對值符號為解題的關鍵，可用公式

法，平方法，特值驗證淘汰法;

考點六：不等式的綜合應用

【命題規(guī)律】不等式的綜合應用多以應用題為主，屬解答題，有一定的難度。

例15、（2008江蘇模擬）如圖，某單位用木料制作如圖所示的框架，框架的下部是邊長分別為X，）'（單位:

米）的矩形，上部是斜邊長為％的等腰直角三角形，要求框架圍成的總面積為8平方米.

（I）求羽'的關系式，并求x的取值范圍；

（11）問乙y分別為多少時用料最??？

]x8x

解：（I）由題意得：x,yH—x,—=8（x>0,y>0）,y------,

22x4

(H)設框架用料長度為，，則/=2x+2y+瓜=(|+0)x+/24,6+4&=8+4近

(}十yplx=—,x=8—4^2./T1―

當且僅當2xy=2A/2,滿足°<x<4j2.

答：當工=8-4亞米，y=2亞米時，用料最少.

點評：本題考查利用基本不等式解決實際問題，是面積固定，求周長最省料的模型，解題時，列出一個面積

的等式，代入周長所表示的代數(shù)式中，消去一個未知數(shù)，這是常用的解題方法。

例16、（2008江蘇模擬）某化工企業(yè)2007年底投入100萬元，購入一套污水處理設備.該設備每年的

運轉費用是0.5萬元，此外每年都要花費一定的維護費，第一年的維護費為2萬元，由于設備老化，以后每

年的維護費都比上一年增加2萬元.

（1）求該企業(yè)使用該設備％年的年平均污水處理費用V（萬元）;

（2）問為使該企業(yè)的年平均污水處理費用最低，該企業(yè)幾年后需要重新更換新的污水

處理設備？

100+0.5x+(2+4+6+…+2x)100,「八

解⑴y即y=x-----H1.5(x>0).

xx

（2）由均值不等式得：

100，八,I~100……

y—x----F1.522.x-----h1.5=21.51

xvX(萬元)，當且僅當了=——，即x=10時取到等號.

X

答：該企業(yè)10年后需要重新更換新設備.

點評：本題又是基本不等式的一個應用，第一問求出函數(shù)關系式是關鍵，第二問難度不大。

考點七：不等式的證明

【內容解讀】證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法仍是證明不等式的最基本方法.要依

據(jù)題設、題斷的結構特點、內在聯(lián)系，選擇適當?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應的

步驟，技巧和語言特點.比較法的一般步驟是：作差（商）f變形f判斷符號（值）.

【命題規(guī)律】不等式的證明多以解答題的形式出現(xiàn)，屬中等偏難的試題。文科考查的可能性不大。

例17、已知“2—AN—,且a+b=l,求證,2a+1+飛2b+142近

22________

證明：只需證：（2a+1）+（2b+1）+2y[2a+iy[2b+l<8

???a+b=l；?即證：V2^TiV2FZT<2?.?7^71揚7142。+1）+儂+1）=2成立

2

???原不等式成立.

點評：用分析法證明不等式也是常用的證明方法，通過分析法，能夠找到證明的思路。

三、方法總結與高考預測

（一）方法總結

1.熟練掌握不等式的基本性質，常見不等式（如一元二次不等式，絕對值不等式等）的解法，不等式在實際

問題中的應，不等式的常用證明方法

2.數(shù)學中有許多相似性，如數(shù)式相似，圖形相似，命題結論的相似等，利用這些相似性，通過構造輔助模

型，促進轉化，以期不等式得到證明?？梢詷嬙旌瘮?shù)、方程、數(shù)列、向量、復數(shù)和圖形等數(shù)學模型，針對欲

證不等式的構特點，選擇恰當?shù)哪Ｐ?，將不等式問題轉化為上述數(shù)學模型問題，順利解決不等式的有關問題。

（二）高考預測

在近年的高考中，不等式的考查有選擇題、填空題、解答題都有，不僅考查不等式的基礎知識，基本技能，

基本方法，而且還考查了分析問題、解決問題的能力。解答題以函數(shù)、不等式、數(shù)列導數(shù)相交匯處命題，函

數(shù)與不等式相結合的題多以導數(shù)的處理方式解答，函數(shù)不等式相結合的題目，多是先以直覺思維方式定方向,

以遞推、數(shù)學歸納法等方法解決，具有一定的靈活性。

由上述分析，預計不等式的性質，不等式的解法及重要不等知識將以選擇題或填空的形式出現(xiàn)；解答題可能

出現(xiàn)解不等與證不等式。如果是解不等式含參數(shù)的不等式可能性比較大，如果是證明題將是不等式與數(shù)列、

函數(shù)、導數(shù)、向量等相結合的綜合問題，用導數(shù)解答這類問題仍然值得重視。

五、復習建議

1.在復習中應掌握證明不等式的常用思想方法：比較思想；綜合思想；分析思想；放縮思想；反證思想：

函數(shù)思想；換元思想；導數(shù)思想.

2、在復習解不等式過程中，注意培養(yǎng)、強化與提高函數(shù)與方程、等價轉化、分類討論、數(shù)形結合的數(shù)學思

想和方法，逐步提升數(shù)學素養(yǎng)，提高分析解決綜合問題的能力.能根據(jù)各類不等式的特點，變形的特殊性，

歸納出各類不等式的解法和思路以及具體解法。

10

函數(shù)

一、考點回顧

1.理解函數(shù)的概念，了解映射的概念.

2.了解函數(shù)的單調性和奇偶性的概念，掌握判斷一些簡單函數(shù)的單調性和奇偶性的方法，并能利用函數(shù)的

性質簡化函數(shù)圖像的繪制過程.

3.了解反函數(shù)的概念及互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關系.

4.理解分數(shù)指數(shù)基的概念，掌握有理指數(shù)幕的運算性質，掌握指數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質.

5.理解對數(shù)的概念，掌握對數(shù)的運算性質，掌握對數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質.

6.能夠運用函數(shù)的性質、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質解決某些簡單的實際問題.

7、掌握函數(shù)零點的概念，用二分法求函數(shù)的近似解，會應用函數(shù)知識解決一些實際問題。

二、經(jīng)典例題剖析

考點一：函數(shù)的性質與圖象

函數(shù)的性質是研究初等函數(shù)的基石，也是高考考查的重點內容.在復習中要對定義深入理解.

復習函數(shù)的性質，可以從"數(shù)"和"形"兩個方面，從理解函數(shù)的單調性和奇偶性的定義入手，在判斷和證明函

數(shù)的性質的問題中得以鞏固，在求復合函數(shù)的單調區(qū)間、函數(shù)的最值及應用問題的過程中得以深化.具體要

求是：

1.正確理解函數(shù)單調性和奇偶性的定義，能準確判斷函數(shù)的奇偶性，以及函數(shù)在某一區(qū)間的單調性，能熟

練運用定義證明函數(shù)的單調性和奇偶性.

2.從數(shù)形結合的角度認識函數(shù)的單調性和奇偶性，深化對函數(shù)性質幾何特征的理解和運用，歸納總結求函

數(shù)最大值和最小值的常用方法.

3.培養(yǎng)學生用變化的觀點分析問題，提高學生用換元、轉化、數(shù)形結合等數(shù)學思想方法解決問題的能力.

函數(shù)的圖象是函數(shù)性質的直觀載體，函數(shù)的性質可以通過函數(shù)的圖像直觀地表現(xiàn)出來。

因此，掌握函數(shù)的圖像是學好函數(shù)性質的關鍵，這也正是“數(shù)形結合思想”的體現(xiàn)。復習函數(shù)圖像要注意以

下方面。

1.掌握描繪函數(shù)圖象的兩種基本方法一一描點法和圖象變換法.

2.會利用函數(shù)圖象，進一步研究函數(shù)的性質，解決方程、不等式中的問題.

3.用數(shù)形結合的思想、分類討論的思想和轉化變換的思想分析解決數(shù)學問題.

4.掌握知識之間的聯(lián)系，進一步培養(yǎng)觀察、分析、歸納、概括和綜合分析能力.

例1、（2008廣東汕頭二模）設集合A={x|x<-1.或X>1},B={x|log2x>0},則ADB=（）

A.{x|x>l}B.{x|x>0}C.{x|x<-l}D.{x|x<-l或x>l}

【解析】：由集合B得ACB={x|x>l},故選（A）o

［點評］本題主要考查對數(shù)函數(shù)圖象的性質，是函數(shù)與集合結合的試題，難度不大，屬基礎題。

例2、（2008廣東惠州一模）“龜兔賽跑”講述了這樣的故事：領先的兔子看著慢慢爬行的烏龜，驕傲起來,

睡了一覺，當它醒來時，發(fā)現(xiàn)烏龜快到終點了，于是急忙追趕，但為時已晚，烏龜還是先到達了終點…用

SI、S2分別表示烏龜和兔子所行的路程，t為時間，則下圖與故事情節(jié)相吻合的是（）

【解析】：選（B）,在（B）中，烏龜?shù)竭_終點時，兔子在同一時間的路程比烏龜短。

［點評］函數(shù)圖象是近年高考的熱點的試題，考查函數(shù)圖象的實際應用，考查學生解決問題、分析問題的能

力，在復習時應引起重視。

例3、（2008全國一）汽車經(jīng)過啟動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一過程中汽車的行

駛路程S看作時間t的函數(shù)，其圖像可能是（）

例4、（2008福建文）函數(shù)/（x）=x3+sinx+l（xeR），若/⑷=2,則/（一。）的值為（）

A.3B.OC.-lD.-2

/(x)-l=x3+sinx為奇函數(shù)，又/(?)=2.../⑷-1=1故/(-a)-l=-l即0

【解析】：f(-a)=

［點評］本題考查函數(shù)的奇偶性，考查學生觀察問題的能力，通過觀察能夠發(fā)現(xiàn)如何通過變換式子與學過的

知識相聯(lián)系，使問題迎刃而解。，

1

,x<1

例5、（2008廣東高考試題）設％eR,函數(shù),/（%）=.l-x

、—Jx—1,云1

F(x)=f(x)-kxxeR,試討論函數(shù),（X）的單調性.

1

-k.x<1,

【解析】------kx,x<1,(1)2

F(x)=f(x)-kx=<l-x尸a)=<

1

—yjX-1-kx>X>1,-k,x>1,

2y]x-i

履當％<時，函數(shù)”⑴在（一上是增函數(shù);

對于，F(xiàn)（x）J__（X<1）08,1）

1-X

（-oo,l--4=）（1-_7=3）

當%>°時，函數(shù),（X）在7k上是減函數(shù)，在7k上是增函數(shù):

對于戶（x）=——^=_女。21）當上20時，函數(shù)/（劃在『'+8）上是減函數(shù)；

2心-1

1,1H---|1---T，+0°］

當人<0時，函數(shù)/（燈在L上是減函數(shù)，在L4k-J上是增函數(shù)。

［點評］在處理函數(shù)單調性的證明時，可以充分利用基本函數(shù)的性質直接處理，但學習了導數(shù)后，函數(shù)的單

調性就經(jīng)常與函數(shù)的導數(shù)聯(lián)系在一起,利用導數(shù)的性質來處理函數(shù)的單調進性，顯得更加簡單、方便。

考點二：二次函數(shù)

二次函數(shù)是中學代數(shù)的基本內容之一，它既簡單又具有豐富的內涵和外延.作為最基本的初等函數(shù)，可以以

它為素材來研究函數(shù)的單調性、奇偶性、最值等性質，還可建立起函數(shù)、方程、不等式之間的有機聯(lián)系：作

為拋物線，可以聯(lián)系其它平面曲線討論相互之間關系.這些縱橫聯(lián)系，使得圍繞二次函數(shù)可以編制出層出

不窮、靈活多變的數(shù)學問題.同時，有關二次函數(shù)的內容又與近、現(xiàn)代數(shù)學發(fā)展緊密聯(lián)系，是學生進入高

校繼續(xù)深造的重要知識基礎.因此，從這個意義上說，有關二次函數(shù)的問題在高考中頻繁出現(xiàn)，也就不足為

奇了.學習二次函數(shù)，可以從兩個方面入手：一是解析式，二是圖像特征.從解析式出發(fā)，可以進行純粹的

代數(shù)推理，這種代數(shù)推理、論證的能力反映出一個人的基本數(shù)學素養(yǎng)；從圖像特征出發(fā)，可以實現(xiàn)數(shù)與形的

自然結合，這正是中學數(shù)學中一種非常重要的思想方法.

例6.若函數(shù)/（x）=（x+a）（bx+2a）（常數(shù)a,beR）是偶函數(shù)，且它的值域為（—8,4卜

則該函數(shù)的解析式/（x）=

12

【解析】/（x）=（x+a）Sx+2a）=A：2+（2a+ab）x+2］是偶函數(shù)，則其圖象關于y軸對稱,

：.2a+ab-0=>a-0（不合題意）或6=-2,

.?./（x）=—2/+2/,且值域為（一00,4］,2a2=4,/（x）=-2x2+4.

考點三：指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)

指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)是兩類重要的基本初等函數(shù)，高考中既考查雙基，又考查對蘊含其中的函數(shù)思想、等價轉

化、分類討論等思想方法的理解與運用.因此應做到能熟練掌握它們的圖象與性質并能進行一定的綜合運用.

例8、（2008山東文科高考試題）已