新教材蘇教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊第六章冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù) 課時練習(xí)及章末綜合測驗 含解析

第六章幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)

1基函數(shù)................................................................-1-

2指數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)............................................-6-

3指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的應(yīng)用...............................................-13-

4對數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)...........................................-21-

5對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的應(yīng)用...............................................-29-

第六章綜合測驗.........................................................-37-

1嘉函數(shù)

基礎(chǔ)練習(xí)

1.下列結(jié)論正確的是（）

A.基函數(shù)圖象一定過原點

B.當(dāng)a<0時,基函數(shù)y=x0是減函數(shù)

C.當(dāng)a>1時,基函數(shù)y=x0是增函數(shù)

D.函數(shù)y=x2既是二次函數(shù),也是基函數(shù)

【解析】選D.函數(shù)y=x'的圖象不過原點，故A不正確；y=x-i在（-8,0）及（o,+8）

上是減函數(shù)，故B不正確；函數(shù)y=x?在（-8,o）上是減函數(shù)，在（0,+8）上是增函數(shù),

故C不正確.

2.已知基函數(shù)f（x）=kx"的圖象過點則k+a等于（）

1「3

A.-B.1C.-D.2

22

【解析】選A.因為賽函數(shù)f（x）=kx0（kGR,aGR）的圖象過點C，J2），

所以k=l,f⑶G）”即a=-i所以k+a=1.

1

3.在下列四個圖形中，y三屋5的圖象大致是（）

1

【解析】選D.函數(shù)y=%3的定義域為(0,+8),是減函數(shù).

4.幕函數(shù)的圖象過點(3,g)，則它的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.[-1,+8)B.[0,+8)

C.(-°°,+°°)D.(-°°,0)

【解析】選B.設(shè)幕函數(shù)為f(x)=x(1，因為賽函數(shù)的圖象過點(3,遍)，所以

1-1

f(3)=3'=百=33,解得a=_,所以f(x)=%5,所以賽函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為

2

[0,+8).

5.(2020?南京高一檢測)已知事函數(shù)f(%)過點(2,：),則fQ)在其定義域內(nèi)

()

A.為偶函數(shù)B.為奇函數(shù)

C.有最大值D.有最小值

【解析】選A.設(shè)寐函數(shù)為f(x)=xa,

代入點(2,；)，即2°=*

所以a=-2,f(%)=x一,定義域為(―8,Q)U(0,+8),

為偶函數(shù)且f(%)=x-G(0,+oo).

【補償訓(xùn)練】

已知2.4D2.5",則a的取值范圍是.

【解析】因為0<2.4<2.5,而2.4°>2.5。，

所以y=x°在(0,+8)上為減函數(shù)，故a<0.

答案：(-8,0)

2

6.已知暴函數(shù)f(x)=%-7n-2m+3(_2(m<2,mCZ)滿足:

①在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增；

②對任意的xWR,都有f(-x)-f(x)=0.

求毒函數(shù)f(x)的解析式,并求當(dāng)xe［0,4］時,f(x)的值域.

【解析】因為函數(shù)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以-mL2m+3>0,解得：-3<m<1.

因為-2<m<2,mWZ,所以m=-1或m=0.

又因為f(-x)=f(x)，所以f(x)是偶函數(shù)，所以-mL2m+3為偶數(shù).

當(dāng)m--1H;f,-m2-2m+3-4滿足題意，

當(dāng)m=0時,-mL2m+3=3不滿足題意，

所以f(x)=x(所以f(x)在［0,4］上遞增,

所以f(x)*n=f(0)=0,f(x)(4)=256,

所以值域是［0,256］.

提升訓(xùn)練

一、選擇題(每小題5分，共20分)

1.(2020?瓊海高一檢測)若函數(shù)f(x)=(*6m+9)%m2-3小+1是塞函數(shù)且為奇函數(shù),

則m的值為()

A.2B.3C.4D.2或4

【解析】選D.因為函數(shù)f(x)=(m2-6m+9)x“"-37幾+1為薪函數(shù)，所以n?-6m+9=l,所以

m=2或m=4,當(dāng)m=4時,f(x)=x,是奇函數(shù)，滿足題意,當(dāng)m=2時，f(x)=x1是奇函數(shù)，滿

足題意；所以m=2或4.

2.下列命題中，不正確的是()

A.幕函數(shù)y=x1是奇函數(shù)

B.幕函數(shù)Lx?是偶函數(shù)

C.基函數(shù)y=x既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

1

D.y=%5既不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)

111

【解析】選C.因為x"=--=一,所以A正確；

x-xX

(-X)2=x2,所以B正確；-X=X不恒成立，所以C不正確；

1

y=X2定義域為［0,+8),不關(guān)于原點對稱，所以D正確.

3.給出基函數(shù):①f(x)=x;②f(x)=x2;③f(x)=x3;@f(x)=近;⑤f(x)=-.

X

其中滿足條件f(8Z)〉上等包(x〉x?0)的函數(shù)的個數(shù)是()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【解析】選A.①函數(shù)f(x)=x的圖象是一條直線，故當(dāng)x〉X2>0時，

fXi+x\f(Xj)+f(x)

r2?—2—2；

②函數(shù)f(x)=x2的圖象是凹形曲線，故當(dāng)X1>X2>O時,f(&詈)「［了①；

③在第一象限，函數(shù)千(x)=x3的圖象是凹形曲線，故當(dāng)X1>x2>0時，

，41+戈2、J(X1)+了(必)

/—2—；

④函數(shù)f(幻=近的圖象是凸形曲線，故當(dāng)x,>x2>0時,f?1產(chǎn))>卬衛(wèi)羅2；

1

⑤在第一象限，函數(shù)f(x)=-的圖象是一條凹形曲線，故當(dāng)>x>0時，

XXl2

故僅有函數(shù)fa)=正滿足當(dāng)Xl>X2>0時，

f(巧+戈2)'(41)+3伏2)

4.(多選題)下列函數(shù)中，其定義域和值域相同的函數(shù)是()

1_1

A.y=X3B.y=x2

52

C.y=X3D.y=X3

1二1

【解析】選A、B、C.A中y=X3=Vx,定義域、值域都為R;B中產(chǎn)》一5二五定義域與

523/一

值域都為(0,+8)；C中y=%5的定義域、值域也為R;D中y=%W="\/%2定義域為R,

而值域為［0,+8),

二、填空題(每小題5分，共10分)

5.已知函數(shù)f(x)=(m2-m-l)%小-2m-2是累函數(shù)，且在@+8)上單調(diào)遞減，則實數(shù)

m=.

【解析】在賽函1f(x)=(m2fl7)%m-2為-2中,

令mJn-l=1,得m2-m-2=0,

解得m-2或m--1;

當(dāng)m=2時，m-2m-2=-2,函數(shù)f(x)=x~2,

在(0,+8)上單調(diào)遞減，滿足題意；

當(dāng)m=-1時,m2-2m-2=1,函數(shù)千(x)=x,

在(0,+8)上單調(diào)遞增，不滿足題意；所以實數(shù)m=2.

答案：2

32

6.已知函數(shù)f=(x〉0),則滿足f(3-n)>0的n的取值范圍是

32

【解析】函數(shù)g(x)=%5在(0,+8)上單調(diào)遞減，函數(shù)t(x)=-%5在(0,+8)上單調(diào)遞

32

減，所以函數(shù)f(x)=g(x)+t(x)三t5-%石在(0,+8)上單調(diào)遞減.又千(1)=0,所以滿足

f(3-n)>0的n的取值范圍是0<3-n<1,即2<n<3.

答案：(2,3)

三、解答題

7.(10分)已知累函數(shù)f(x)=%(7n2+m)r(me")經(jīng)過點⑵&),試確定m的值，并

求滿足條件f(2-a)>f(a-l)的實數(shù)a的取值范圍.

【解析】因為幕函數(shù)f(x)經(jīng)過點(2,四)，

所以a=2(而+小)，即23=2(撈2+m).

所以012+01=2.解得m=1或m=~2.

又因為mWN*,所以m=1.

1

所以f(x)=X2,則函數(shù)的定義域為［0,+8),

并且在定義域上為增函數(shù).由f(2-a)>f(a-1),

(2-a>0,

a-1>0,解得1Wag.

(2-a>a_l,

所以a的取值范圍為1,

2指數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)

基礎(chǔ)練習(xí)

一15

1.(2020?邢臺高一檢測)設(shè)廳4叱丫2=8°弋y3=(|)?，貝U()

A.y!>y2>y3B.yi>y3>y2

C.y2>y!>y3D.y3>yi>y2

-1.5

【解析】選B.y產(chǎn)4°W,y^0^1'44,y=Q)

;i=21因為y=2'是增函數(shù),

所以yi>y：s>y2.

2.若函數(shù)f(x)=Qa-3)-a*是指數(shù)函數(shù),則f(g)的值為()

A.2B.2V2C.-2V2D.-2

【解析】選B.因為函數(shù)f(x)=C。-3?a*是指數(shù)函數(shù)，所以L-3=1,a>0,a于1,

2

xf=

解得a=8,所以千(x)=8,所以(1)V8=2V2.

3.若f(x)=(2a-l)'是增函數(shù)，那么a的取值范圍為()

B.—<a〈l

2

C.a>lD.a?l

【解析】選C.因為f(x)=(2a-1)”是增函數(shù),

所以2a-1>1,解得a>1.

X

4.已知函數(shù)f(x)二(T)

+2,則f(l)與f(T)的大小關(guān)系是)

A.f(l)>f(-1)B.f(l)<f(-l)

C.f(l)=f(-1)D.不確定

【解析】選B.因為f(x)=G)'+2是減函數(shù)，所以f(l)〈f(T).

f+2),x<0,則_1的值為

5.已知函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(75)

(2X,x>0,

【解析】由題意，得f(-7.5)=f(-5.5)=f(-3.5)=f(-1.5)=f(0.5)=2°三近.

答案:企

6.求不等式a4xt5>a2xI(a>0且aW1)中x的取值范圍.

【解析】對于a4x+5>a2x-'(a>0,且a手1),

當(dāng)a>1時，有4x+5>2x-1,解得x>-3;

當(dāng)0<a<1時，有4x+5〈2x7,解得x<-3.

故當(dāng)a>1時,x的取值范圍為{x|x>-3};

當(dāng)0<a<1時，x的取值范圍為{x|x<-3}.

提升訓(xùn)練

一、單選題（每小題5分，共20分）

1.設(shè)x〉0,月.kbYa*則（）

A.0<b<a<lB.0<a<b<l

C.l<b<aD.l<a<b

【解析】選C.因為1<bx,所以b°<bx,

因為x>0,所以b>1,

因為b<a",所以

因為x>0,所以寫=>a>b,所以1<b<a.

b

2.函數(shù)f(x)=3M2的定義域為（）

A.(-8,o)B.[0,+8)

C.[2,+8)D.(-8,2)

【解析】選C.由x-220,得x22.

3.函數(shù)y=的值域是（）

A.(-8,0)B.(0,1]

C.[1,+8)D.(-8,1]

【解析】選B.由%—1，0且

4.（2020?衡水高一檢測）設(shè)f（x）是定義在實數(shù)集R上的函數(shù),滿足條件:y=f（x+1）

是偶函數(shù),且當(dāng)x》l吐f（x）=5、,則f（1）,的大小關(guān)系是（）

D嗚嗚嗚

【解析】選D.因為y=f(x+1)是偶函數(shù)，

所以y=f(X+1)的對稱軸為X=0,

所以y=f(x)的對稱軸為X=1.

又x21時，f(x)=5X,所以f(x)=5,在［1,+8)上是增函數(shù)，所以f(x)在(-8,1］上是

減函數(shù)，因為f(滬⑶吟芬

所以

即啕啕吒)

二、多選題(每小題5分，共10分,全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯

的得0分)

5.以x為自變量的四個函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的為()

A.y=(e-l)xB.y=(l-e)x

C.y=3x+1D.y=n*

【解析】選AD.由指數(shù)函數(shù)的定義可知選A,D.

6.已知c<0,則下列不等式中錯誤的是()

A.c>2"B.C>G)C

C.2?D.2?

【解析】選ABC.c<0,所以G),>1,0<2c<1,所以Q0>2c.

【補償訓(xùn)練】

設(shè)f(x)=6)，x￡R,則f(x)是()

A.奇函數(shù)且在(-8,0)上是增函數(shù)

B.偶函數(shù)且在(-8,0)上是增函數(shù)

C.奇函數(shù)且在(0,+8)上是減函數(shù)

D.偶函數(shù)且在(0,+8)上是減函數(shù)

z1\|x|

【解析】選BD.依題意，得f(-x)=6)=(-j=f(x),所以f(x)是偶函數(shù).當(dāng)x〉0

/1\xizi\/1\-x

時，f(x)=C)=0，該指數(shù)函數(shù)是減函數(shù)；當(dāng)x<0時,f(X)=(y)=0=2X,

該指數(shù)函數(shù)是增函數(shù).

三、填空題(每小題5分，共10分)

7.已知函數(shù)f(x)=ax(a>0且a#1),且f(-2)>f(-3),則a的取值范圍是.

【解析】由題意可得，函數(shù)f(x)=ar=G)"(a>0且a：#l)在R上是增函數(shù)，故乙>1,

解得0<a<l.

答案：(0,1)

8.若函數(shù)y=a*(a>0,a#D在區(qū)間口,2］上的最大值和最小值之和為12,則實數(shù)

a=.

【解析】無論函數(shù)y=a”是增函數(shù)，還是減函數(shù)，最大值和最小值的和總為a+a2=12,

解得a=3或a=-4(舍去).

答案：3

【補償訓(xùn)練】

(2020?阜陽高一檢測)已知函數(shù)y=G)”在上的最小值是m,最大值是

n,則m+n的值為.

【解析】因為丫=(；)在［-2,-1］上為減函數(shù)，所以m=O=3,n=O=9,所以

m+n=12.

答案：12

四、解答題(每小題10分，共20分)

9.已知函數(shù)f(x)=axYx已知.其中a>0且aWl.

(1)若f(x)的圖象經(jīng)過點(2,：),求a的值.

(2)求函數(shù)y=f(x)(x20)的值域.

1

【解析】(1)函數(shù)圖象過點2

11

所以a2-則a=-

22

(2)f(x)=a、T(x20),由x20得x-127,

當(dāng)0<a<1時，ax-'WaT,

所以f(x)的值域為(0,a」；

當(dāng)a>1時，aiNa，

所以千(x)的值域為［a',+oo).

10.已知指數(shù)函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點P(3,8),且函數(shù)g(x)的圖象與f(x)的圖象關(guān)

于y軸對稱.

(1)求函數(shù)g(x)的解析式.

(2)若g(x2-3x+l)>g(x2+2x-5),求x的取值范圍.

【解析】(1)設(shè)指數(shù)函數(shù)為f(x)=ax(a>0JLa=#1),

因為指數(shù)函數(shù)f(x)的圖象過點(3,8),

所以8=a,所以a-2,

所求指數(shù)函數(shù)為f(x)=2x.

因為函數(shù)g(x)的圖象與f(x)的圖象關(guān)于v軸對稱，所以g(x)=2'\

(2)由(1)得g(x)為減函數(shù),

因為g(2x?-3x+1)>g(x?+2x-5),

所以2x2-3x+1<X2+2X-5,

即X2-5X+6<0,

解得xG(2,3),

所以x的取值范圍為(2,3).

創(chuàng)新練習(xí)

1.若函數(shù)f(x)=a*(a>0,aW1)在［T,2］上的最大值為4,最小值為m,且函數(shù)

g(x)=(l-4m)x2在［0,+8)上是增函數(shù)，則a=.

【解析】當(dāng)a>1時，有a2=4,a-m,

1

所以a-2,m=-.

2

此時g(x)=-x?在［0,+8)上是減函數(shù)，不合題意.

當(dāng)0<a<1時，有a'=4,a2=m,

11

所以a——,m——.檢驗知符合題意.

416

答案:―

4

2.已知函數(shù)f(x)=b?a(a,b為常數(shù)且a>0,a71)的圖象經(jīng)過點A(l,8),B⑶32).

(1)試求a,b的值.

⑵若不等式6)”+(￡)在xe(-8,1］時恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.

【解析】⑴因為函數(shù)f(x)=b-ax的圖象經(jīng)過點A(1,8),B(3,32),

zy.b~~Q

所以3Jon解得a=2,b=4.

W?b=32,

⑵設(shè)g(x)=

y=g(x)在R上是減函數(shù),

3

所以當(dāng)XW1時，g(x)“i“=g(l)=-.

4

若不等式-m2。在x￡(-8,1］時恒成立，即mW*

【補償訓(xùn)練】

2aM+a-4

(2020?杭州高一檢測)已知函數(shù)f(x)=一--(a>0,aWl)是定義在R上的奇

2ax+a

函數(shù).

(1)求a的值；

⑵求函數(shù)f(x)的值域；

⑶當(dāng)xe(0,1］時，t?f(x)22*-2恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

2+a-4

［解析］⑴因為函數(shù)千(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)二-----二0,解得a=2.

2+a

2X2x-2_2x-l

(2)由⑴得，千(x)=

2X2x+22X+1

2

=1--------,又因為2、＞0,

2X+1

所以2X+1＞1,所以0＜二一＜2,

2X+1

2

所以-僅1-

2X+1

所以函數(shù)f(x)的值域為(T,1).

2X-1

⑶由(1)可得,f(x)=<一,當(dāng)0<xW1時,f(x)>0,

所以當(dāng)0<xW1時，t?f(x)22*-2恒成立，

等價于十2：-：一(2筌2)(2升1)對x￡(0J］恒成立

f(X)2X~1

22

令m=2x7,則--易知h(m)=m—H在(0,1］上單調(diào)遞增,

mm

所以當(dāng)m=1時，有最大值.所以120.

故所求的t的取值范圍是t20.

3指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的應(yīng)用

基礎(chǔ)練習(xí)

1.據(jù)報道,某淡水湖的湖水在50年內(nèi)減少了10%,若按此規(guī)律,設(shè)2019年的湖水量

為口,從2019年起，經(jīng)過x年后湖水量y與x的函數(shù)關(guān)系式為()

x/工\

A.y=0.95。B.y=(1—0.150)口

X

C.y=0.950mD.y=(l-0.I0,5x)m

1

【解析】選C.設(shè)每年湖水量為上一年的q%,則(q%"°=0.9,所以q%=0.9而，則x年后

X

的湖水量為y=0.950m.

2.若a>l,則函數(shù)尸a'與尸(l-a)x2的圖象可能是下列四個選項中的()

【解析】選C.因為a>l,所以函數(shù)丫=^在R上單調(diào)遞增，可排除選項B與D.y=(l-a)x2

是開口向下的二次函數(shù)，可排除選項A.

【補償訓(xùn)練】

已知函數(shù)f(x)=a，在(0,2)內(nèi)的值域是(a：1),則函數(shù)y=f(x)的圖象是()

【解析】選A.因為f(x)=a'在(0,2)內(nèi)的值域是(a?,1),所以f(x)在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞

減.所以0<a<l.

3.函數(shù)y=3-3+4x-/的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.(-°°,2]B.[2,+8)

C.[1,2]D.[1,3]

2

【解析】選A.令u=-3+4x-x；y=3"為增函數(shù)，所以y=3-3+4x-x的增區(qū)間就是

u=-3+4x-x2的增區(qū)間(-8,2］.

4.若函數(shù)f(x)=a，(a>0,aWl)的值域為［1,+8),則f(-4)與f(l)的大小關(guān)系是

()

A.f(-4)>f(l)B.f(-4)=f(l)

C.f(-4)<f(l)D.不能確定

【解析】選A.因為|x+1|函數(shù)f(x)=a"i(a>0,a/1)的值域為［1,+8),所以

a>1.

由函數(shù)f(x)=ai"”在(-1,+8)上是增函數(shù)，且它的圖象關(guān)于直線x=7對稱，可得函

數(shù)f(x)在(-8,7)上是減函數(shù).再由f(1)=f(-3),可得f(-4)X(1).

2

5.若函數(shù)y=2-x+6-1在區(qū)間(-8,3)上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是

.若在區(qū)間卜1,“上不單調(diào),則實數(shù)a的取值范圍是.

2

【解析】丫二2一'+6-1在(-8,3)上遞增，

即二次函數(shù)y=-x^ax-l在(-8,3)上遞增,

因此需要對稱軸x=-^3,解得a26.

2

若函數(shù)在卜1,1］上不單調(diào)，則

解得-2WaW2.

答案:a26-2WaW2

10-ax

6.設(shè)函數(shù)f(x)=《)，a是不為零的常數(shù).

1

⑴若f(3)=-,求使f(x)24的x值的取值范圍.

2

⑵當(dāng)xe［-1,2］時,f(x)的最大值是16,求a的值.

1/110-3a1

【解析】⑴由千⑶二-，即(-、)=",

2\2J2

所以10-3a=1,解得"3.由f(x)=M，即10-3xW-2,解得x24.

^xlQ-ax

⑵當(dāng)a>0時，函數(shù)千(x)=6)在乂￡［7,2］時為增函數(shù)，則x=2時，函數(shù)取最大

10-2a

值(3=16,即10-2a=-4,解得a=7,

當(dāng)a<0時，函數(shù)f(x)=(y)在xG［-1,2］時為減函數(shù)，則x=-1時，函數(shù)取最大值

/l、10+a

(-J=16,即10+a=-4,解得a=T4,

綜上可得：a-7或a=T4.

提升訓(xùn)練

一、單選題（每小題5分，共20分）

X

1.（2。2。.新余高一檢測）函數(shù)尸》（?！贝ǖ膱D象的大致形狀是（）

【解析】選D.當(dāng)x>0時，y=a"（0<a<l）,故可排除A、B項；當(dāng)x<0時，y=-a”與

y=ax（0<a<l,x<0）的圖象關(guān)于x軸對稱.

z-|\x2+2x

2.（2020?玉溪高一檢測）函數(shù)f（x）=《）的單調(diào)遞減區(qū)間為（）

A.(0,+8)B.(-1,+8)

C.(-8,-1)D.(-8,1)

/I、X2+2X

【解析】選B.由函數(shù)f（x）=（j）,結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知識可知，它的減區(qū)間，

即為y=x2+2x的增區(qū)間.由二次函數(shù)的性質(zhì)可得y=x2+2x的增區(qū)間為（-1,+°°）.

（）

3.已知函數(shù)f（x）f={l-_3ax+10a,x<7,是定義在R上的減函數(shù),則實數(shù)a

,ax~7,x>7

的取值范圍是（）

【解析】選B.因為f（x）是R上的減函數(shù),

?1~3CL<0,

所以10VQ<1,解得乂aW2.

i311

V7(l-3a)+10tz>1,

p~x%v0

4.已知函數(shù)f(x)=｛；一'若f(a-l)Nf(-a),則實數(shù)a的取值范

-x2-2x+1,x>0,

圍是（）

【解析】選A.當(dāng)xWO時，f(x)=e-"是減函數(shù)，且f(x)21,當(dāng)x>0時,

f(x)=-X2-2X+1的對稱軸為x=-l,拋物線開口向下，

此時f(x)在(0,+8)上是減函數(shù)且f(x)<1,

綜上千(x)在(-8,+8)上是減函數(shù)，

1

若f(a-1)(~a),貝Ua-1W-a,即aW—,

2

則實數(shù)a的取值范圍是

二、多選題(每小題5分，共10分,全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯

的得0分)

5.函數(shù)f(x)=a~>的圖象如圖所示,其中a,b為常數(shù),則下列結(jié)論正確的是()

-1O

-1

A.a>lB.b>0

C.0<a<lD.b<0

【解析】選CD.從題干曲線的變化趨勢可以得到函數(shù)f(x)為減函數(shù)，從而有0〈a〈l;

從題干曲線位置看，是由函數(shù)丫=工(0代〈1)的圖象向左平移|-b|個單位而得到的，所

以-b>0,即b<0.

6.關(guān)于函數(shù)f(%)=—y-的說法中,正確的是

A.偶函數(shù)B.奇函數(shù)

C.在(0,+8)上是增函數(shù)

D.在(0,+8)上是減函數(shù)

一4_XX_~x

【解析】選BC.f~=-f(%),所以函數(shù)f(%)為奇函數(shù)；

當(dāng)x增大時,e*-e'增大,故f(%)增大,故函數(shù)f(%)為增函數(shù).

【補償訓(xùn)練】

若方程a-x-a=0有兩個解,則a的值可以是()

13

A.-B.1C.-D.2

22

【解析】選CD.當(dāng)a>l時，y=x+a與y=a'的圖象有兩個交點；當(dāng)0〈a〈l時，y=x+a與

yua11的圖象有一個交點.

三、填空題(每小題5分，共10分)

7.若函數(shù)y=ax-,n+n-3(a>0且a#1)的圖象恒過定點⑶2),則m+n=.

【解析】因為對于函數(shù)y=axm+n-3(a>0且a于1)的圖象恒過定點，令x-m=0,可得

x=m,y=n-2,可得函數(shù)的圖象經(jīng)過定點(m,n-2).再根據(jù)函數(shù)的圖象恒過定點⑶2),

所以m=3,n-2=2,解得m=3,n=4,則m+n=7.

答案：7

8.若函數(shù)y=0.5,x+m的圖象與x軸有公共點，則m的取值范圍是.

【解析】因為函數(shù)y=0.5”r+m的圖象與x軸有公共點，

所以就是求函數(shù)m=-0.的值域問題.

所以m=-0.的值域為［-1,0).

故實數(shù)m的取值范圍是［7,0).

答案：［7,0)

【補償訓(xùn)練】

已知函數(shù)f(x)=2*-"(a為常數(shù))，若f(x)在區(qū)間［1,+8)上是增函數(shù),則a的取

值范圍是.

2k-aY>C

'-'可得，當(dāng)x2a時，函數(shù)f(x)為增函數(shù)，

(2~x+a,x<a

而已知函數(shù)f(x)在區(qū)間［1,+8)上為增函數(shù)，所以aW1,

即a的取值范圍為

答案：(-8,1]

四、解答題(每小題10分，共20分)

9.(2020?貴陽高一檢測)函數(shù)￡&)=才-=：是奇函數(shù).

2X

⑴求f(x)的解析式；

(2)當(dāng)xW(0,+8)時f(x)>m-2r4恒成立，求m的取值范圍.

【解析】⑴因為函數(shù)f(x)=2"-三是奇函數(shù)，

2X

所以f(-x)=2"*--—=-2xa+-^-2x+—=-f(x),古攵a=1,故f(x)=2X——;

2TX2X2X2X

(2)當(dāng)x6(0,+8)時,f(x)>m?2-x+4恒成立，

即m+1<(2*)"4?2”在xe(0,+°°)上恒成立，

令h(x)=(2，)2-4?T,(x>0),

顯然h(x)在(0,+8)的最小值是h(1)=-4,

故m+1<-4,解得m<-5.

10.(2020?北京高一檢測)已知奇函數(shù)f(x)的定義域為當(dāng)xG[-1,0)

時,f(x)=-G).

(1)求函數(shù)f(x)在(0,1]上的值域；

⑵若xe(0,1]時，函數(shù)y=±f2(x)/f(x)+l的最小值為-2,求實數(shù)X的值.

42

【解析】(1)設(shè)xC(0,1],則-xG[7,0),

所以f(-x)=-(：)=~2\

又因為f(x)為奇函數(shù)，

所以有f(-X)=-f(x),

所以當(dāng)xe(0,1]時，千(x)=-f(-X)=2\

所以f(X)在(0,1]上的值域為(1,2].

⑵由⑴知當(dāng)xE(0,1]時f(x)G(1,2],

1/i

所以-f(x)e"1.

2\2

11

令t=-f(x),則YtW1,

22

令g(t)=-f2(x)--f(x)+1=t?-入t+1=(￡-+1-

①當(dāng)-W-,即入＜1時,g(t)＞g(-),無最小值；

22\2j

②當(dāng)出2wi,即1＜入W2Ht,g(t)ffli=gf-Vl-i-2,解得入二±2百(舍去).

22\2J4

③當(dāng)勺1,即入＞2時,g(t)min=g(1)=-2,解得人二4,綜上所述，入二4.

2

創(chuàng)新練習(xí)

1.若力兀②/+兀二則有()

A.a+bWOB.a-b^O

C.a-b^OD.a+bNO

［解析］選D.方法一：取特殊值排除，當(dāng)a=0,b=1時，1+n2匕1,成立,排除A,B.當(dāng)

e

1

a-1,b-0,e+121+一成立,排除C.

n

方法二：構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性：令千(x)=ex-4一工,則f(x)是增函數(shù)，因為ea-7T-a2

e~b-n\所以f(a)(-b),即a+b^O.

2.定義在D上的函數(shù)f(x),如果滿足:對任意xGD,存在常數(shù)M>0,都有|f(x)|WM

成立，則稱f(x)是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f(x)的上界.已知函數(shù)

f(x)=l+a

⑴當(dāng)a=l時，求函數(shù)f(x)在(-8,o)上的值域，并判斷函數(shù)f(x)在(-8,0)上是否

為有界函數(shù),請說明理由.

⑵若函數(shù)f(x)在［0,+8)上是以3為上界的有界函數(shù),求實數(shù)a的最大值.

【解析】⑴當(dāng)a=1時,f(x)=1+(T)+Q.令，

由x<0可得t>1,

f(x)=h(t)=t2+t+1=?+g)3

+一,

4

因為h(t)在(1,+8)上單調(diào)遞增，故f(t)>f(1)=3,故不存在常數(shù)M>0,使懺(x)IWM

恒成立，

故函數(shù)f(x)在(-8,0)上不是有界函數(shù).

(2)若函數(shù)f(x)在［0,+8)上是以3為上界的有界函數(shù)，則當(dāng)x20時，|f(x)|W3恒

成立.

故有-3Wf(x)W3,

即-啕飛)、啕:

所以一4?2%一(3)WaW2?2"(獷

所以a的最大值為函數(shù)y=2-2乂-(：)1的最小值,

因為函數(shù)y=2?在［0,+8)上是增函數(shù),

0

咆

所以y*=2X2=2-1=1,故a的最大值為1.

4對數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)

基礎(chǔ)練習(xí)

L已知頭數(shù)a=log23,,c=logo.32,則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.b<c<aB.b<a<c

C.c<a<bD.c<b<a

【角簞析】選D.因為a=log23>log22=l,b=(g)=1,c=log0.32<logo,3l=0,所以c<b<a.

2

2.若loga-<l,則a的取值范圍是()

A-(0>I)B.&+8)

c(”)D.(O,|)U(i)

【解析】選D.由loga1<1得：loga4ogaa.

2

當(dāng)a>1時，有a>-,即a>1;

3

2

當(dāng)0<a<1時,則有0<a<-.

3

綜上可知，a的取值范圍是(0,§U(1,+8).

2Q+l/ix%>1

一一2；的值域為R,則實數(shù)a的取值范圍是

{a+l-xz,x<1

【解析】由題意知，當(dāng)x>l時，f(x)=2a+lnx>2a;當(dāng)xWl時，f(x)=a+l-x'Wa+L要

使函數(shù)f(x)的值域為R,需滿足2aWa+l,即a/L

答案：(-8,1]

4.已知函數(shù)f(x)=loga(x+2),若圖象過點(6,3),則f(x)=______,

f(30)=.

【解析】代入(6,3),^3=loga(6+2)=loga8,

3

即a=8,所以a=2,所以f(x)=log2(x+2),

所以f(30)=1ogz32=5.

答案：log2(x+2)5

5.(2020?濰坊高一檢測)已知直線mx+ny-3=0經(jīng)過函數(shù)g(x)=logax+l(a>0且aW

1i

1)的定點，其中mn>0,則一+一的最小值為.

mn

[解析】由題意可得定點A(l,1),又點A在直線mx+ny-3=0上，所以m+n=3,

則LL2f-+(m+n)

mn3\mnJ

(一+—+2)2-(2+2)=—,當(dāng)且僅當(dāng)一二一且m+n=3,即m二n二一時取等號.

3\mnJ33mn2

答案《

6.已知函數(shù)f(x)=loga(l+x),g(x)=loga(l-x),(a>0,aH1).

(1)設(shè)a=2,函數(shù)g(x)的定義域為［T5,T］,求g(x)的最大值.

⑵當(dāng)0<a<l時,求使f(X)-g(X)>0的x的取值范圍.

【解析】⑴當(dāng)a=2時,g(%)=log2(l-％)，在卜15,-1］上為減函數(shù)，

因此當(dāng)x=-15時g(x)的最大值為4.

(2)f(X)-g(X)>0,即千(%)>g(%),所以

當(dāng)0<a<1時loga(l+X)>loga(l-X),

(1+X<1-X,

滿足+所以-1<x<0,

(1-x>0,

故當(dāng)0<a<1時千(x)-g(x)>0的解集為{無一1V1<0}.

提升訓(xùn)練

一、單選題(每小題5分，共20分)

1.已知a=logs2,b=log0.50.2,c=0.5°,~,則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.a<c<bB.a<b<c

C.b<c<aD.c<a<b

【解析】選A.0<a=log52〈log5^J,

2

b二Iogo5O.2>Iogo5O.5—1,

1

1=0.5°>c=0.502>0.5J所以a<c<b.

2

2.若log(a-o(2x-l)>log(a-i)(x-1),貝I」有()

A.Ka<2,x>0B,l<a<2,x>l

C.a>2,x>0D.a>2,x>l

【解析】選D.當(dāng)a>2時，

(2x-l>x~l,

由.解得X>1;

>0,

當(dāng)1<a<2時

2x-l<x~l,

由(無解.

、2%-1>0,

3.(2020?寧波高一檢測)已知函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,+8)上是增函數(shù)，且

g(x)=-f(|x|).若g(lgx)〉g⑴，則x的取值范圍是()

A.[1,10)+°°

KMD.g,1U(10,+8)

【解析】選C.由題意，

因為g(-X)=-f(IXI)=g(x),

所以g(x)為偶函數(shù)，

又因為f(x)是［0,+8)上的增函數(shù)，

所以g(x)是［0,+8)上的減函數(shù)，

又因為g(lgx)>g⑴，所以g(|lgx|)>g(1),

1

所以Ilgx|<1,解得一<x<10.

10

4.已知函數(shù)f(x)=|ln(x-L)|,滿足足a)>f(4-a),則實數(shù)a的取值范圍是()

A.(1,2)B.(2,3)C.(1,3)D.(2,4)

【解析】選A.函數(shù)f(x)=|In(x-l)|的定義域為(1,+8),由f(a)>f(4-a)可

得:|In(a-1)|>|In(4-a—1)|-1In(3-a)|,兩邊平方：[In(a-1)]2>[In(3-a)]2=

[In(a-1)-In(3-a)][In(a-1)+ln(3-a)]>0,

In(a~l)-In(3~a)>0,

則〈In(a-1)+In(3-a)>0,⑴或

a-1>0,

>0,

7n(a-l)-Zn(3-a)<0,

Zn(a-l)4-ln(3-a)<0,

<(2)

CL-1>0,

<3-(1>0,

解⑴得a無解，解⑵得：1<a<2,

所以實數(shù)a的取值范圍是(1,2).

二、多選題(每小題5分，共10分,全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯

的得0分)

5.下列函數(shù)表達(dá)式中，是對數(shù)函數(shù)的有()

A.y=lognxB.y=lnx

C.y=21og,xD.y=log2(x+l)

【解析】選AB.按對數(shù)函數(shù)的定義式判斷.

6.已知0<a<b,a+b=l,則下列不等式中，正確的是()

1

a-b

A.log2a<0B.2<-

2

b.a

C.2ab<4D.log2a+log2b<-2

【解析】選AD.因為0<a<b且a+b=1,

所以0<a<b<1,-1<a-b<0,

ab

所以Iog2a<0,A正確;2>2-'=-,B錯誤；

2

因為ZfW2-?￡=2(當(dāng)且僅當(dāng)2=［即a=b時取等號)，又0<a<b,

abyabab

所以^+￡>2,所以2￡+5>2~4,C錯誤；

ab

2

因為abW(F)=；(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號)，又0<a<b,所以0<ab<；,

1

所以Ioga+log2b=Iogab<Iog-=-2,D正確.

2224

【補償訓(xùn)練】

(2020?荷澤高一檢測)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D,VxeD,3y￡D,使得

乳丫)二-乳制成立,則稱f(x)為“美麗函數(shù)”.下列所給出的函數(shù),其中是“美麗函數(shù)”

的是()

,1

A.y=xB.y=---

x-1

C.y=ln(2x+3)D.y=2x+3

【解析】選BCD.由題意知，函數(shù)f(x)的定義域為D,VxeD,myGD,使得f(y)=-f(x)

成立，所以函數(shù)f(x)的值域關(guān)于原點對稱，

對于A中，函數(shù)y=x?的值域為[0,+8),不關(guān)于原點對稱，不符合題意；

1

對于B中，函數(shù)y=的值域為(-8,0)U(0,+8),關(guān)于原點對稱，符合題意；

x-1

對于C中，函數(shù)y=ln(2x+3)的值域為R,關(guān)于原點對稱，符合題意；

對于D中，函數(shù)y=2x+3的值域為R,關(guān)于原點對稱，符合題意.

三、填空題(每小題5分，共10分)

7.設(shè)f(x)=(恪'>:’則f作(-2))=______.

(10x,x<0,

【解析】因為f(-2)=10今0,千(1(T)=lg10",

令lg10'2=a,則10=0-2,

所以a=-2,所以千(f(-2))=-2.

答案：-2

2

「心，、\x+(4a-3)x+3a,x<0,,?、_^，必、舊…

8.已知函數(shù)f(x)=(a>0且aWl)在R上單調(diào)遞

(loga(x+1)+1,%>0

減,則a的取值范圍是.

【解析】由分段函數(shù)在R上單調(diào)遞減可得0<a<1,

4a-3

又因為二次函數(shù)圖象開口向上，所以-----20,

2

3

解得a^-,JL[x2+(4a-3)x+3a](x<0)>[Iog(x+1)+1](x^0),#=0代入可得

4minaMXx

113'

3a，1,解得a2-,所以a的取值范圍是

334.

“A「13]

答案：一，一

L34」

四、解答題(每小題10分，共20分)

9.(2020?鄂爾多斯高一檢測)設(shè)函數(shù)f(x)二

ri

(logzx+2)(logzx+l)的定義域為4.

14

(1)若t=log2x,求t的取值范圍；

⑵求y=f(x)的最大值與最小值,并求出取得最值時對應(yīng)的x的值.

1■

【解析】(1)因為Iogx,而xW4.

214