高三高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)練習(xí)26對數(shù)與對數(shù)函數(shù)

261．(2018·廣州一測)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋1，x≤0，,1－log2x，x>0，))則f(f(3))＝()A.eq\f(4,3)B.eq\f(2,3)C．－eq\f(4,3) D．－3【解析】因為f(3)＝1－log23＝log2eq\f(2,3)<0，所以f(f(3))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(2,3)))＝＝eq\f(4,3)，故選A.【答案】A2．設(shè)a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，則()A．b<a<c B．c<a<bC．c<b<a D．a(chǎn)<c<b【解析】∵a＝log37，∴1<a<2.∵b＝21.1，∴b>2.∵c＝0.83.1，∴0<c<1.即c<a<b，故選B.【答案】B3．函數(shù)f(x)＝ln(x2＋1)的圖象大致是()【解析】函數(shù)f(x)＝ln(x2＋1)是偶函數(shù)，排除C；當(dāng)x＝0時，f(x)＝0，排除B、D，故選A.【答案】A4．(2018·吉林模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2（5－x），x≤1，,f（x－1）＋1，x>1，))則f(2018)等于()A．2019B．2018C．2017D．2016【解析】由已知f(2018)＝f(2017)＋1＝f(2016)＋2＝f(2015)＋3＝…＝f(1)＋2017＝log2(5－1)＋2017＝2019.【答案】A5．(2017·全國Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)＝lnx＋ln(2－x)，則()A．f(x)在(0，2)單調(diào)遞增B．f(x)在(0，2)單調(diào)遞減C．y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱D．y＝f(x)的圖象關(guān)于點(1，0)對稱【解析】f(x)的定義域為(0，2)．f(x)＝lnx＋ln(2－x)＝ln[x(2－x)]＝ln(－x2＋2x)．設(shè)u＝－x2＋2x，x∈(0，2)，則u＝－x2＋2x在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，2)上單調(diào)遞減．又y＝lnu在其定義域上單調(diào)遞增，∴f(x)＝ln(－x2＋2x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，2)上單調(diào)遞減．∴選項A，B錯誤．∵f(x)＝lnx＋ln(2－x)＝f(2－x)，∴f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，∴選項C正確．∵f(2－x)＋f(x)＝[ln(2－x)＋lnx]＋[lnx＋ln(2－x)]＝2[lnx＋ln(2－x)]，不恒為0，∴f(x)的圖象不關(guān)于點(1，0)對稱，∴選項D錯誤．故選C.【答案】C6．(2017·全國Ⅰ卷)設(shè)x，y，z為正數(shù)，且2x＝3y＝5z，則()A．2x<3y<5zB．5z<2x<3yC．3y<5z<2xD．3y<2x<5z【解析】令t＝2x＝3y＝5z，∵x，y，z為正數(shù)，∴t>1.則x＝log2t＝eq\f(lgt,lg2)，同理y＝eq\f(lgt,lg3)，z＝eq\f(lgt,lg5).∴2x－3y＝eq\f(2lgt,lg2)－eq\f(3lgt,lg3)＝eq\f(lgt（2lg3－3lg2）,lg2×lg3)＝eq\f(lgt（lg9－lg8）,lg2×lg3)>0，∴2x>3y.又∵2x－5z＝eq\f(2lgt,lg2)－eq\f(5lgt,lg5)＝eq\f(lgt（2lg5－5lg2）,lg2×lg5)＝eq\f(lgt（lg25－lg32）,lg2×lg5)<0，∴2x<5z，∴3y<2x<5z.故選D.【答案】D7．lgeq\f(5,2)＋2lg2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－1)＝________．【解析】lgeq\f(5,2)＋2lg2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－1)＝lgeq\f(5,2)＋lg22－2＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)×4))－2＝1－2＝－1.【答案】－18．函數(shù)f(x)＝log2eq\r(x)·logeq\r(2)(2x)的最小值為________．【解析】f(x)＝log2eq\r(x)·logeq\r(2)(2x)＝eq\f(1,2)log2x·2log2(2x)＝log2x(1＋log2x)．設(shè)t＝log2x(t∈R)，則原函數(shù)可以化為y＝t(t＋1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(1,4)(t∈R)，故該函數(shù)的最小值為－eq\f(1,4)，故f(x)的最小值為－eq\f(1,4).【答案】－eq\f(1,4)9．(2018·沈陽一監(jiān))已知函數(shù)f(x)＝|log3x|，實數(shù)m，n滿足0<m<n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在[m2，n]上的最大值為2，則eq\f(n,m)＝________．【解析】f(x)＝|log3x|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－log3x（0<x<1），,log3x（x≥1），))所以f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，由0<m<n且f(m)＝f(n)，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<m<1，,n>1，,log3n＝－log3m，))則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<m<1，,n>1，,mn＝1，))所以0<m2<m<1，則f(x)在[m2，1)上單調(diào)遞減，在(1，n]上單調(diào)遞增，所以f(m2)>f(m)＝f(n)，則f(x)在[m2，n]上的最大值為f(m2)＝－log3m2＝2，解得m＝eq\f(1,3)，則n＝3，所以eq\f(n,m)＝9.【答案】910．(2018·南昌模擬)關(guān)于函數(shù)f(x)＝lgeq\f(x2＋1,|x|)(x≠0，x∈R)有下列命題：①函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱；②在區(qū)間(－∞，0)上，函數(shù)y＝f(x)是減函數(shù)；③函數(shù)f(x)的最小值為lg2；④在區(qū)間(1，＋∞)上，函數(shù)f(x)是增函數(shù)．其中是真命題的序號為________．【解析】∵函數(shù)f(x)＝lgeq\f(x2＋1,|x|)(x≠0，x∈R)，顯然f(－x)＝f(x)，即函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，故①正確；當(dāng)x>0時，f(x)＝lgeq\f(x2＋1,|x|)＝lgeq\f(x2＋1,x)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))，令t(x)＝x＋eq\f(1,x)，x>0，則t′(x)＝1－eq\f(1,x2)，可知當(dāng)x∈(0，1)時，t′(x)<0，t(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(1，＋∞)時，t′(x)>0，t(x)單調(diào)遞增，即在x＝1處取得最小值為2.由偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知②錯誤，③正確，④正確，故答案為①③④.【答案】①③④11．已知函數(shù)f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.(1)當(dāng)x∈[1，4]時，求函數(shù)h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；(2)如果對任意的x∈[1，4]，不等式f(x2)·f(eq\r(x))＞k·g(x)恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．【解析】(1)h(x)＝(4－2log2x)·log2x＝－2(log2x－1)2＋2，因為x∈[1，4]，所以log2x∈[0，2]，故函數(shù)h(x)的值域為[0，2]．(2)由f(x2)·f(eq\r(x))＞k·g(x)，得(3－4log2x)(3－log2x)＞k·log2x，令t＝log2x，因為x∈[1，4]，所以t＝log2x∈[0，2]，所以(3－4t)(3－t)＞k·t對一切t∈[0，2]恒成立，①當(dāng)t＝0時，k∈R；②當(dāng)t∈(0，2]時，k＜eq\f(（3－4t）（3－t）,t)恒成立，即k＜4t＋eq\f(9,t)－15，因為4t＋eq\f(9,t)≥12，當(dāng)且僅當(dāng)4t＝eq\f(9,t)，即t＝eq\f(3,2)時取等號，所以4t＋eq\f(9,t)－15的最小值為－3.綜上，實數(shù)k的取值范圍為(－∞，－3)．12．(2018·廈門月考)已知函數(shù)f(x)＝lneq\f(x＋1,x－1).(1)求函數(shù)f(x)的定義域，并判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；(2)對于x∈[2，6]，f(x)＝lneq\f(x＋1,x－1)>lneq\f(m,（x－1）（7－x）)恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．【解析】(1)由eq\f(x＋1,x－1)>0，解得x<－1或x>1，∴函數(shù)f(x)的定義域為(－∞，－1)∪(1，＋∞)，當(dāng)x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)時，f(－x)＝lneq\f(－x＋1,－x－1)＝lneq\f(x－1,x＋1)＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋1,x－1)))eq\s\up12(－1)＝－lneq\f(x＋1,x－1)＝－f(x)，∴f(x)＝lneq\f(x＋1,x－1)是奇函數(shù)．(2)由于x∈[2，6]時，f(x)＝lneq\f(x＋1,x－1)>lneq