高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 專題三 三角函數(shù) 3.2 解三角形基礎(chǔ)題練習(xí) 文-人教版高三數(shù)學(xué)試題

3.2解三角形基礎(chǔ)題高考命題規(guī)律1.與解三角形的解答題相互補(bǔ)充,按年份交替出現(xiàn).2.小題以填空題或選擇題形式出現(xiàn),5分,中高檔難度.3.全國(guó)高考有2種命題角度,分布如下表:2020年高考必備2015年2016年2017年2018年2019年Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷命題角度1利用正弦、余弦定理解三角形4159111615167111115命題角度2與三角形有關(guān)的最值和范圍、實(shí)際應(yīng)用題命題角度1利用正弦、余弦定理解三角形高考真題體驗(yàn)·對(duì)方向1.(2019全國(guó)Ⅰ·11)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知asinA-bsinB=4csinC,cosA=-14,則bc=(A.6 B.5 C.4 D.3答案A解析由已知及正弦定理,得a2-b2=4c2,由余弦定理的推論,得-14=cosA=b∴c2-4∴-3c2b∴bc=32×2.(2018全國(guó)Ⅱ·7)在△ABC中,cosC2=55,BC=1,AC=5,則A.42 B.30 C.29 D.25答案A解析∵cosC=2cos2C2-1=-3∴AB2=BC2+AC2-2BC·ACcosC=1+25+2×1×5×35=32.∴AB=423.(2018全國(guó)Ⅲ·11)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若△ABC的面積為a2+b2-A.π2 B.πC.π4 D.答案C解析由S=a2+b2-c24=12absinC,得c又由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,∴sinC=cosC,即C=π44.(2017全國(guó)Ⅰ·11)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知sinB+sinA(sinC-cosC)=0,a=2,c=2,則C=()A.π12 B.πC.π4 D.答案B解析由題意結(jié)合三角形的內(nèi)角和,可得sin(A+C)+sinA(sinC-cosC)=0,整理得sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0,則sinC(sinA+cosA)=0,因?yàn)閟inC>0,所以sinA+cosA=0,即tanA=-1,因?yàn)锳∈(0,π),所以A=3π4.由正弦定理asinA=c所以C=π6,故選B5.(2016全國(guó)Ⅰ·4)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知a=5,c=2,cosA=23,則b=(A.2 B.3 C.2 D.3答案D解析由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,即5=b2+4-4b×23,即3b2-8b-3=又b>0,解得b=3,故選D.6.(2019全國(guó)Ⅱ·15)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知bsinA+acosB=0,則B=.

答案3解析由正弦定理,得sinBsinA+sinAcosB=0.∵A∈(0,π),B∈(0,π),∴sinA≠0,∴sinB+cosB=0,即tanB=-1,∴B=3π7.(2018全國(guó)Ⅰ·16)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知bsinC+csinB=4asinBsinC,b2+c2-a2=8,則△ABC的面積為.

答案2解析由正弦定理及條件,得bc+cb=4absinC,所以csinC=2a,設(shè)△ABC的外接圓半徑為R,則csinC=2因?yàn)閎2+c2-a2=8>0,所以cosA>0,0<A<π2,因?yàn)閍sinA=2R,所以sinA=12,A=30°,所以cosA=b2+c2-a22bc=8.(2017全國(guó)Ⅲ·15)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知C=60°,b=6,c=3,則A=.

答案75°解析由正弦定理得bsin即sinB=bsin因?yàn)閎<c,所以B<C,所以B=45°,故A=180°-B-C=75°.9.(2017全國(guó)Ⅱ·16)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若2bcosB=acosC+ccosA,則B=.答案π解析由題意和正弦定理,可得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB,即cosB=12.又因?yàn)锽∈(0,π),所以B=π典題演練提能·刷高分1.(2019河北保定高三二模)△ABC中,內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊a、b、c依次成等差數(shù)列,且B=π3,則△ABC的形狀為(A.等邊三角形B.直角邊不相等的直角三角形C.等腰直角三角形D.鈍角三角形答案A解析因?yàn)閍、b、c依次成等差數(shù)列,所以b=a+c2,由余弦定理可得:cosB=a2+c2-b22ac=12,將b=a2.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若2bcosC+c=2a,且b=13,c=3,則a=()A.1 B.6 C.22 D.4答案D解析已知2bcosC+c=2a,由正弦定理可得2sinBcosC+sinC=2sinA=2sin(B+C)=2sinBcosC+2cosBsinC,∴sinC=2cosBsinC,∵sinC≠0,∴cosB=12.由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB,又知b=13,c=3,解得a=4.故選D3.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若b=5,C=60°,且△ABC的面積為53,則△ABC的周長(zhǎng)為()A.8+21 B.9+21C.10+21 D.14答案B解析由題意,根據(jù)三角形面積公式,得12absinC=53,即12a·5·32=53,解得a=4.根據(jù)余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC,即c2=16+25-2×4×5×12,c=21,所以△ABC的周長(zhǎng)為9+4.在△ABC中,A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若2cos2A+B2-cos2C=1,4sinB=3sinA,a-b=1,則cA.13 B.7 C.37 D.6答案A解析∵2cos2A+B2=2cos2π-C2=2cos2π2-C2=2sin2C2=1-cosC,∴cos2C=-cosC.∴2cos2C+cosC-1=0,解得cosC=12.因?yàn)閍-b=1,4b=35.(2019安徽合肥高三質(zhì)檢)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,若asinB=2bsinC,b=3,cosB=14,則△ABC的面積為(A.915 B.9C.31516 D答案B解析由asinB=2bsinC,結(jié)合正弦定理可得ab=2bc,則a=2c.由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,可得9=(2c)2+c2-2×2c×c×14,解得c=32,則a=3.又sinB=1-cos2B=154,所以S△ABC=12ac6.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且csinB+π3=32a,CA·CB=20,c=7,則△ABC的內(nèi)切圓的半徑為(A.2 B.1 C.3 D.3答案D解析由csinB+π3=32a及正弦定理得2sinC12sinB+32cosB=3sinA,整理得sinBsinC+3cosBsinC=3sinA.∵sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,∴sinBsinC+3cosBsinC=3sinBcosC+3cosBsinC,∴sinBsinC=3sinBcosC,又sinB≠0,∴sinC=3cosC,故tanC=3,C=π3∴CA·CB=abcosC=20,∴ab=由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC,即49=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=(a+b)2-120,解得a+b=13.∴a+b+c=20.設(shè)△ABC的內(nèi)切圓半徑為r,∵S△ABC=12absinC=12(a+b+c)∴r=3.選D.7.(2019安徽示范高中皖北協(xié)作區(qū)高三模擬)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若C=π3,a=6,1≤b≤4,則sinA的取值范圍為.答案39331,1解析C=π3,a=6,1≤b≤4,由余弦定理可得:c2=a2+b2-2abcosC=36+b2-6b=(b-3)2+∴c2=(b-3)2+27∈[27,31].∴c∈[33,31由正弦定理可得,asin即sinA=asinCc=6×32c=338.(2019山東棲霞高三模擬)若△ABC的面積為34(a2+c2-b2),則∠B=.答案π解析由三角形面積公式可得:S=12acsinB=34(a2+c2-b2),∴14sinB=3∴tanB=3.∵B∈(0,π),∴B=π39.(2019河北衡水二中高三三模)在銳角△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,c=2,A=π3,則a+b的取值范圍是.答案(1+3,4+23)解析由asin可得a=csinAsinC所以a+b=3sinC+3cosC+sinCsinC=1+由△ABC是銳角三角形,可得0則π6<C<π所以π12<C2<π4,2-3<tanC2<1.所以1+3<a+b<110.我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)書(shū)九章》卷五“田域類”里有一個(gè)題目:“問(wèn)有沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里.里法三百步.欲知為田幾何.”這道題講的是有一個(gè)三角形沙田,三邊長(zhǎng)分別為13里,14里,15里,假設(shè)1里按500米計(jì)算,則該三角形沙田外接圓的半徑為米.

答案4062.5解析由題意畫(huà)出圖象,如圖所示,且AB=13里=6500米,BC=14里=7000米,AC=15里=7500米.在△ABC中,由余弦定理有cosB=AB2+BC2-AC22AB·BC=132+142-15命題角度2與三角形有關(guān)的最值和范圍、實(shí)際應(yīng)用題高考真題體驗(yàn)·對(duì)方向(2014全國(guó)Ⅰ·16)如圖,為測(cè)量山高M(jìn)N,選擇A和另一座山的山頂C為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn).從A點(diǎn)測(cè)得M點(diǎn)的仰角∠MAN=60°,C點(diǎn)的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;從C點(diǎn)測(cè)得∠MCA=60°.已知山高BC=100m,則山高M(jìn)N=m.

答案150解析在Rt△ABC中,由于∠CAB=45°,BC=100m,所以AC=1002m.在△MAC中,∠AMC=180°-75°-60°=45°,由正弦定理可得ACsin∠AMC=MAsin∠MCA,于是MA=1002×3222=1003(m).在Rt△MNA中,∠典題演練提能·刷高分1.某觀察站C與兩燈塔A,B的距離分別為300米和500米,測(cè)得燈塔A在觀察站北偏東30°,燈塔B在觀察站C正西方向,則兩燈塔A,B間的距離為()A.500米 B.600米 C.700米 D.800米答案C解析由題意,△ABC中,AC=300米,BC=500米,∠ACB=120°,利用余弦定理可得:AB2=3002+5002-2×300×500×cos120°,∴AB=700(米).2.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若2bcosB=acosC+ccosA,b=2,則△ABC面積的最大值是()A.1 B.3 C.2 D.4答案B解析∵2bcosB=acosC+ccosA,由正弦定理得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA,∴2sinBcosB=sin(A+C)=sinB,∴cosB=12∴B=60°,由余弦定理,得ac=a2+c2-4,故ac=a2+c2-4≥2ac-4,有ac≤4,故S△ABC=12acsinB≤33.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若A=π3,a=22,則△ABC面積的最大值為(A.2 B.23 C.6 D.3答案B解析在△ABC中,由余弦定理知a2=b2+c2-2bccosA,即8=b2+c2-2bccosπ3=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc,即bc≤8,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí),等號(hào)成立,所以△ABC面積的最大值為S=12bcsinA=12×8sinπ3=4.如圖所示,從氣球A測(cè)得正前方河流的兩岸B,C的俯角分別為75°,30°,此時(shí)氣球的高度是60m,則河流的寬度BC等于()A.240(3-1)m B.180(2-1)mC.120(3-1)m D.30(3+1)m答案C解析如圖所示,在△ABC中,∠C=30°,∠ABC=180°-75°-30°=105°.在Rt△ADC中,AC=ADsin30°=由正弦定理可得BCsin45故BC=602sin(60°+455.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知△ABC的面積為3,且cos(A+B)A.2 B.22 C.23 D.4答案C解析∵cos(A+B)∴根據(jù)正弦定理可得-cosC即-2sinAcosC=sinA.∵sinA≠0,∴cosC=-12∵C∈(0,π),∴C=2π∵△ABC的面積為3,∴S△ABC=12absinC=3,即ab=4∵cosC=a2+b∴c2=a2+b2+ab≥2ab+ab=3ab=12,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).∴cmin=23,故選C.6.已知平面四邊形ABCD中,AB=AD=2,BC=CD,∠BCD=90°,則四邊形ABCD面積的最大值為()A.6 B.2+23 C.2+22 D.4答案C解析如圖,設(shè)∠DAB=θ,BC=CD=x,則BD=2x.在△ABD中,由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cosθ,即(2x)2=4+4-8cosθ=8-8cosθ,∴x2=4-4cosθ.∴四邊形ABCD的面積為S=12×22×sinθ+12x2=2sinθ+(2-2cosθ)=22sinθ-π4+2∵0<θ<π,∴-π4<θ-π∴當(dāng)θ-π4=π2,即θ=3π4時(shí),S有最大值,且Smax=27.在△ABC中,AB=2,C=π6,則AC+3BC的最大值為(A.7 B.27 C.37 D.47答案D解析由正弦定理可得,ABsinC∴A+B=5π∴AC+3BC=4sinB+43sinA=4sinB+43sin5π6-B=