第05講 垂徑定理、圓心角、圓周角（6大考點(diǎn)）（解析版）

第05講垂徑定理、圓心角、圓周角（6大考點(diǎn)）考點(diǎn)考點(diǎn)考向一．垂徑定理（1）垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?）垂徑定理的推論推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。普?：弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．推論3：平分弦所對(duì)一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條?。箯蕉ɡ淼膽?yīng)用垂徑定理的應(yīng)用很廣泛，常見(jiàn)的有：（1）得到推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．（2）垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計(jì)算弦長(zhǎng)、半徑、弦心距等問(wèn)題．這類題中一般使用列方程的方法，這種用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題即幾何代數(shù)解的數(shù)學(xué)思想方法一定要掌握．三．圓心角、弧、弦的關(guān)系（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等．（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．說(shuō)明：同一條弦對(duì)應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧或劣?。?）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對(duì)的弧相等，③所對(duì)的弦相等，三項(xiàng)“知一推二”，一項(xiàng)相等，其余二項(xiàng)皆相等．這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖形完全重合．（4）在具體應(yīng)用上述定理解決問(wèn)題時(shí)，可根據(jù)需要，選擇其有關(guān)部分．四．圓周角定理（1）圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．注意：圓周角必須滿足兩個(gè)條件：①頂點(diǎn)在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．（3）在解圓的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑所對(duì)的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過(guò)作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形．利用等腰三角形的頂點(diǎn)和底角的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化．②圓周角和圓周角的轉(zhuǎn)化可利用其“橋梁”﹣﹣﹣圓心角轉(zhuǎn)化．③定理成立的條件是“同一條弧所對(duì)的”兩種角，在運(yùn)用定理時(shí)不要忽略了這個(gè)條件，把不同弧所對(duì)的圓周角與圓心角錯(cuò)當(dāng)成同一條弧所對(duì)的圓周角和圓心角．五．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)（1）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：①圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．②圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角（就是和它相鄰的內(nèi)角的對(duì)角）．（2）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通角相等關(guān)系的重要依據(jù)，在應(yīng)用此性質(zhì)時(shí)，要注意與圓周角定理結(jié)合起來(lái)．在應(yīng)用時(shí)要注意是對(duì)角，而不是鄰角互補(bǔ)．六．相交弦定理（1）相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等．（經(jīng)過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)引兩條線，各弦被這點(diǎn)所分成的兩段的積相等）．幾何語(yǔ)言：若弦AB、CD交于點(diǎn)P，則PA?PB＝PC?PD（相交弦定理）（2）推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)．幾何語(yǔ)言：若AB是直徑，CD垂直AB于點(diǎn)P，則PC2＝PA?PB（相交弦定理推論）．考點(diǎn)精講考點(diǎn)精講一．垂徑定理（共4小題）1．（2021秋?上城區(qū)期中）如圖，⊙O的半徑為5，C是弦AB的中點(diǎn)，OC＝3，則AB的長(zhǎng)是（）A．6 B．8 C．10 D．12【分析】先根據(jù)垂徑定理得出AB＝2AC，OC⊥AB，再根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)，故可得出結(jié)論．【解答】解：∵AB是⊙O的弦，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，∴AB＝2AC，∴OC⊥AB，在Rt△AOC中，∵OB＝5，OC＝3，∴BC＝＝＝4，∴AB＝2AC＝2×4＝8．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是垂徑定理及勾股定理，熟知“平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧”是解答此題的關(guān)鍵．2．（2022?西湖區(qū)校級(jí)一模）已知，⊙O的直徑CD＝10，弦AB＝8，AB⊥CD，垂足為M，則DM的長(zhǎng)為8或2．【分析】連接OA，先根據(jù)⊙O的直徑CD＝10求出半徑OA的長(zhǎng)，再根據(jù)垂徑定理求出AM的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理求出OM的長(zhǎng)，分兩種情況求出DM即可．【解答】解：①連接OA，如圖所示：∵⊙O的直徑CD＝10，∴OA＝5，∵弦AB＝8，AB⊥CD，∴AM＝AB＝×8＝4，在Rt△AOM中，由勾股定理得：OM＝＝＝3，∴DM＝OD+OM＝5+3＝8；②連接OA，如圖所示：同①得：OM＝3，∴DM＝OD﹣OM＝5﹣3＝2；綜上所述，DM的長(zhǎng)為8或2，故答案為：8或2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是垂徑定理及勾股定理等知識(shí)；根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此題的關(guān)鍵，注意分類討論．3．（2021秋?西湖區(qū)校級(jí)月考）如圖，CD為⊙O的直徑，CD⊥AB于E，CE＝8，DE＝2，求AB的長(zhǎng)．【分析】連接OA，如圖，先計(jì)算出OA＝5，OE＝3，再利用垂徑定理得到AE＝BE，然后利用勾股定理計(jì)算出AE，從而得到AB的長(zhǎng)．【解答】解：連接OA，如圖，∵CE＝8，DE＝2，∴CD＝10，∴OA＝OD＝5，OE＝OD﹣DE＝3，∵CD⊥AB，∴AE＝BE，在Rt△OAE中，AE＝＝＝4，∴AB＝2AE＝8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．也考查了勾股定理．4．（2021?柯橋區(qū)模擬）如圖，在⊙O中，過(guò)半徑OD的中點(diǎn)C作AB⊥OD交⊙O于A、B兩點(diǎn)，且AB＝2．（1）求OD的長(zhǎng)；（2）計(jì)算陰影部分的周長(zhǎng)．【分析】（1）先根據(jù)垂徑定理得到AC＝BC＝，再利用余弦的定義求出∠O＝60°，則根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系求出OC＝1，從而得到OD的長(zhǎng)；（2）利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算出的長(zhǎng)度，從而得到陰影部分的周長(zhǎng)．【解答】解：（1）∵AB⊥OD，∴AC＝BC＝AB＝，∠BCO＝90°，∵C為OD的中點(diǎn)，∴OC＝OB，在Rt△OCB中，∵cosO＝＝，∴∠O＝60°，∴OC＝BC＝×＝1，∴OB＝1，∴OD＝2；（2）∵的長(zhǎng)度為＝π，∴陰影部分的周長(zhǎng)為1++π．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．也考查了勾股定理．二．垂徑定理的應(yīng)用（共5小題）5．（2022?富陽(yáng)區(qū)二模）往直徑為26cm的圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面如圖所示．若水面寬AB＝24cm，則水的最大深度為（）A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm【分析】連接OB，過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)C，先由垂徑定理求出BD的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求出OD的長(zhǎng)，進(jìn)而得出CD的長(zhǎng)即可．【解答】解：連接OB，過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)C，如圖所示：∵AB＝24cm，∴BD＝AB＝12（cm），∵⊙O的直徑為26cm，∴OB＝OC＝13（cm），在Rt△OBD中，OD＝＝＝5（cm），∴CD＝OC﹣OD＝13﹣5＝8（cm），即水的最大深度為8cm，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理、勾股定理等知識(shí)；根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．6．（2022?諸暨市模擬）有一圓柱形木材，埋在墻壁中，其橫截面如圖所示，測(cè)得木材的半徑為15cm，露在墻體外側(cè)的弦長(zhǎng)AB＝18cm，其中半徑OC垂直平分AB，則埋在墻體內(nèi)的弓形高CD＝3cm．【分析】在Rt△ADO中，AO＝15cm，AD＝9cm，利用勾股定理得出DO的長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案．【解答】解：在Rt△ADO中，DO＝＝＝12（cm），則CD＝CO﹣DO＝15﹣12＝3（cm），故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理、勾股定理等知識(shí)，正確運(yùn)用勾股定理是解題關(guān)鍵．7．（2020秋?衢州期中）如圖，有一座圓弧形拱橋，橋下水面寬度AB為12m，拱高CD為4m．（1）求拱橋的半徑；（2）有一艘寬為5m的貨船，船艙頂部為長(zhǎng)方形，并高出水面3.4m，則此貨船是否能順利通過(guò)此圓弧形拱橋，并說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)垂徑定理和勾股定理求解；（2）連接ON，OB，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）如圖，連接ON，OB．∵OC⊥AB，∴D為AB中點(diǎn)，∵AB＝12m，∴BD＝AB＝6m．又∵CD＝4m，設(shè)OB＝OC＝ON＝r，則OD＝（r﹣4）m．在Rt△BOD中，根據(jù)勾股定理得：r2＝（r﹣4）2+62，解得r＝6.5．（2）∵CD＝4m，船艙頂部為長(zhǎng)方形并高出水面3.4m，∴CE＝4﹣3.4＝0.6（m），∴OE＝r﹣CE＝6.5﹣0.6＝5.9（m），在Rt△OEN中，EN2＝ON2﹣OE2＝6.52﹣5.92＝7.44，∴EN＝（m）．∴MN＝2EN＝2×≈5.4m＞5m．∴此貨船能順利通過(guò)這座拱橋．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了垂徑定理的應(yīng)用．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．8．（2021秋?余杭區(qū)期中）如圖，有一座拱橋是圓弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．（1）求圓弧所在的圓的半徑r的長(zhǎng)；（2）當(dāng)洪水泛濫到跨度只有30米時(shí)，要采取緊急措施，若拱頂離水面只有4米，即PE＝4米時(shí)，是否要采取緊急措施？【分析】（1）連接OA，利用r表示出OD的長(zhǎng)，在Rt△AOD中根據(jù)勾股定理求出r的值即可；（2）連接OA′，在Rt△A′EO中，由勾股定理得出A′E的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出A′B′的長(zhǎng)，據(jù)此可得出結(jié)論．【解答】解：（1）連接OA，由題意得：AD＝AB＝30（米），OD＝（r﹣18）米，在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝302+（r﹣18）2，解得，r＝34（米）；（2）連接OA′，∵OE＝OP﹣PE＝30米，∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2＝A′O2﹣OE2，即：A′E2＝342﹣302，解得：A′E＝16（米）．∴A′B′＝32（米）．∵A′B′＝32＞30，∴不需要采取緊急措施．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此題的關(guān)鍵．9．（2021秋?柯橋區(qū)月考）某隧道施工單位準(zhǔn)備在雙向道路中間全程增加一個(gè)寬為1米的隔離帶，已知隧道截面是一個(gè)半徑為4米的半圓形，點(diǎn)O是其圓心，AE是隔離帶截面，問(wèn)一輛高3米，寬1.9米的卡車ABCD能通過(guò)這個(gè)隧道嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】根據(jù)題意直接構(gòu)造直角三角形進(jìn)而得出當(dāng)OB＝2.4m時(shí)求出BC的長(zhǎng)，即可得出答案．【解答】解：如圖所示：連接OC，∵OA＝AE＝0.5m，∴OB＝1.9+0.5＝2.4m，∴BC＝＝＝3.2＞3m∴一輛高3米，寬1.9米的卡車能通過(guò)隧道．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理，正確構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．三．圓心角、弧、弦的關(guān)系（共7小題）10．（2021?下城區(qū)校級(jí)四模）如圖，等腰△ABC的頂角∠CAB為50°，以腰AB為直徑作半圓，交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，則的度數(shù)為（）A．50° B．25° C．80° D．65°【分析】連接AD，取AB的中點(diǎn)O，連接OE，OD．利用等腰三角形的性質(zhì)以及圓周角定理求出∠DOE＝50°，可得結(jié)論．【解答】解：連接AD，取AB的中點(diǎn)O，連接OE，OD．∵AB是直徑，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥CB，∵AB＝AC，∴∠BAD＝∠DAC＝∠BAC＝25°，∴∠DOE＝2∠DAC＝50°，∴的度數(shù)為50°，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．11．（2021秋?瑞安市月考）已知點(diǎn)O，C在直線m的同一側(cè)，作⊙O交m于點(diǎn)A，B．連結(jié)AC，BC，OA，OB，若點(diǎn)C在⊙O外，∠AOB＝110°，則∠C的角度可能是（）A．50° B．55° C．60° D．65°【分析】如圖，設(shè)⊙O交AC于點(diǎn)T，連接BT．求出∠ATB＝55°，再利用三角形外角的性質(zhì)，判斷即可．【解答】解：如圖，設(shè)⊙O交AC于點(diǎn)T，連接BT．∵∠ATB＝∠AOB＝55°，又∵∠ATB＞∠C，∴∠C＜55°，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角定理，三角形的外角的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A周角定理，屬于中考?？碱}型．12．（2022?龍灣區(qū)模擬）一段長(zhǎng)為6π，弧度為60°的弧所在圓的半徑長(zhǎng)為18．【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)的公式l＝計(jì)算即可．【解答】解：設(shè)其半徑為r，根據(jù)題意，得6π＝，解得r＝18，故答案為：18．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是弧長(zhǎng)的計(jì)算，掌握弧長(zhǎng)的公式l＝是解題的關(guān)鍵．13．（2018秋?東陽(yáng)市期末）點(diǎn)A、C為半徑是8的圓周上兩動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B為的中點(diǎn)，以線段BA、BC為鄰邊作菱形ABCD，頂點(diǎn)D恰在該圓半徑的中點(diǎn)上，則該菱形的邊長(zhǎng)為4或4．【分析】過(guò)B作直徑，連接AC交BO于E，如圖①，根據(jù)已知條件得到BD＝OB＝4，如圖②，BD＝12，求得OD、OE、DE的長(zhǎng)，連接OD，根據(jù)勾股定理得到結(jié)論．【解答】解：過(guò)B作直徑，連接AC交BO于E，∵點(diǎn)B為的中點(diǎn)，∴BD⊥AC，如圖①，∵點(diǎn)D恰在該圓直徑上，D為OB的中點(diǎn)，∴BD＝×8＝4，∴OD＝OB﹣BD＝4，∵四邊形ABCD是菱形，∴DE＝BD＝2，∴OE＝2+4＝6，連接OC，∵CE＝，在Rt△DEC中，由勾股定理得：DC＝；如圖②，OD＝4，BD＝8+4＝12，DE＝BD＝6，OE＝6﹣4＝2，由勾股定理得：CE＝，DC＝，故答案為：4或4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓心角，弧，弦的關(guān)系，勾股定理，菱形的性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．14．（2022?金華模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以點(diǎn)A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑作圓，交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，連接DE．（1）若∠ABC＝20°，求∠DEA的度數(shù)；（2）若AC＝3，AB＝4，求CD的長(zhǎng)．【分析】（1）連接AD，求出∠DAE，再利用等腰三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．（2）如圖，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CD，垂足為F．利用面積法求出AF，再利用勾股定理求出CF，可得結(jié)論．【解答】解：（1）如圖，連接AD．∵∠BAC＝90°，∠ABC＝20°，∴∠ACD＝70°．∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝70°，∴∠CAD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∴∠DAE＝90°﹣40°＝50°．又∵AD＝AE，∴．（2）如圖，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CD，垂足為F．∵∠BAC＝90°，AC＝3，AB＝4，∴BC＝5．又∵?AF?BC＝?AC?AB，∴，∴．∵AC＝AD，AF⊥CD，∴．【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理，圓心角，弧，弦之間的關(guān)系，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．15．（2021秋?開(kāi)化縣校級(jí)月考）如圖，⊙O的弦AB和弦CD相交于點(diǎn)E，AB＝CD，求證：AD＝CB．【分析】欲證明AD＝BC，只要證明＝．【解答】證明：∵AB＝CD，∴＝，∴+＝+，∴＝，∴AD＝BC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓心角，弧，弦之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．16．（2021秋?長(zhǎng)興縣期中）如圖，MB，MD是⊙O的兩條弦，點(diǎn)A，C分別在，上，且AB＝CD，M是的中點(diǎn)．求證：MB＝MD．【分析】欲證明BM＝DM，只要證明＝即可．【解答】證明：∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴＝，∵AB＝CD，∴＝，∴+＝+，即＝，∴MB＝MD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，能熟記圓心角、弧、弦之間的關(guān)系是解此題的關(guān)鍵．四．圓周角定理（共8小題）17．（2022?鹿城區(qū)校級(jí)三模）如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，為優(yōu)弧，已知＝50°，則∠C為（）A．25° B．35° C．40° D．50°【分析】直接根據(jù)圓周角定理即可得出結(jié)論．【解答】解：連接OA、OB．∵＝50°，∴∠AOB＝50°，∴∠C＝∠AOB＝25°．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半是解答此題的關(guān)鍵．18．（2022?拱墅區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）已知：如圖OA，OB是⊙O的兩條半徑，且OA⊥OB，點(diǎn)C在⊙O上，則∠ACB的度數(shù)為（）A．45° B．40° C．35° D．50°【分析】判斷出∠AOB＝90°，再利用圓周角定理求解．【解答】解：∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∴∠ACB＝∠AOB＝45°．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角定理，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A周角定理，屬于中考?？碱}型．19．（2022?嘉興）如圖，在⊙O中，∠BOC＝130°，點(diǎn)A在上，則∠BAC的度數(shù)為（）A．55° B．65° C．75° D．130°【分析】根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半即可得出∠BAC的度數(shù)．【解答】解：∵∠BOC＝130°，點(diǎn)A在上，∴∠BAC＝∠BOC＝＝65°，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓周角定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．20．（2022?蕭山區(qū)校級(jí)二模）如圖，在由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，一條弧經(jīng)過(guò)格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）A，B，D，點(diǎn)C為弧BD上一點(diǎn)．若∠CAD＝30°．則的長(zhǎng)為．【分析】先確定格點(diǎn)O是所在圓的圓心，連接OD，OC，再利用勾股定理求出OD的長(zhǎng)，然后根據(jù)圓周角定理求出∠COD60°，從而利用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：由題意得：格點(diǎn)O是所在圓的圓心，連接OD，OC，則OD＝＝，∵∠CAD＝30°，∴∠COD＝2∠CAD＝60°，∴的長(zhǎng)＝＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理，勾股定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．21．（2022?鄞州區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑作半圓O，交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E．若∠BAC＝44°，BD＝2，則弧AE的度數(shù)是92°，DC的長(zhǎng)為2．【分析】連接OE，AD，根據(jù)半徑相等，證得∠BAC＝∠OEA＝44°，從而求出圓心角∠AOE的度數(shù)，進(jìn)而得出弧的度數(shù)；根據(jù)圓周角定理得出∠ADB＝90°，再根據(jù)等腰三角形三線合一得出BD＝CD，根據(jù)BD求得CD．【解答】解：連接OE，AD，∵OA＝OE，∠BAC＝44°，∴∠BAC＝∠OEA＝44°，∴∠AOE＝92°，∴弧AE的度數(shù)是92°，∵AB為半圓O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵AB＝AC，∴AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，∵BD＝2，∴CD＝2．故答案為：92°，2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是添加適當(dāng)?shù)妮o助線從而利用圓周角定理解答．22．（2022?金東區(qū)二模）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，＝，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，連結(jié)OC，AD，交于點(diǎn)E，連結(jié)BE，BD．（1）求∠EBA的度數(shù)．（2）求證：AE＝BD．（3）若DE＝1，求⊙O的面積．【分析】（1）連接AC，先求出∠BOC＝90°，根據(jù)圓周角定理求出∠CAB的度數(shù)，再求出∠EAB即可；（2）由（1）知，OC垂直平分AB，得出AE＝BE，在直角三角形中BD＝sin45°BE，從而得出AE＝BD；（3）在Rt△ABD中，先求出OA2，然后代入圓的面積計(jì)算公式計(jì)算即可．【解答】解：（1）連接AC，∵＝，∴∠AOC＝∠BOC＝90°∴∠CAB＝45°，∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴，∴∠CAD＝∠EAB＝22.5°；（2）由（1）知，OC垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠DEB＝2∠EAB＝45°，∵AB是直徑，∴∠D＝90°，∴BD＝sin45°BE，∴BE＝BD，∴AE＝BD；（3）∵DE＝1∴BD＝DE＝1，∴AE＝BE＝，∴AD＝+1，在Rt△ABD中，AD2+BD2＝（2OA）2，∴（）2+1＝4OA2，∴OA2＝，∴圓的面積為πOA2＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理，勾股定理，垂徑定理，正確作出輔助線，熟練運(yùn)用圓周角定理是解題的關(guān)鍵．23．（2022?鹿城區(qū)校級(jí)一模）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，G是劣弧上一點(diǎn)，AG，DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．（1）求證：∠FGC＝∠AGD．（2）若G是的中點(diǎn)，CE＝CF＝2，求GF的長(zhǎng)．【分析】（1）如圖1，利用垂徑定理得到＝，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠ADC＝∠ACD，根據(jù)圓周角定理的推論得到∠AGD＝∠ACD＝∠ADC，再利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠FGC＝∠ADC，從而得到結(jié)論；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥DF于點(diǎn)H．證明△DAG≌△FCG，推出AD＝CF＝3，GD＝GF，利用勾股定理求出AE，AF，再利用平行線分線段成本定理定理求解即可．【解答】（1）證明：如圖1，連接AC，∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，∴＝，∴AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD，∵點(diǎn)A、D、C、G在⊙O上，∴∠FGC＝∠ADC，∵∠AGD＝∠ACD，∴∠FGC＝∠AGD；（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥DF于點(diǎn)H．∵∠DAG+∠DCG＝180°，∠DCG+∠FCG＝180°，∴∠DAC＝∠FCG，∵＝，∴AG＝CG，∵∠AGD＝∠FGC，∴△DAG≌△FCG（ASA），∴CF＝AD＝3，DG＝FG，∵GH⊥DF，∴DH＝FH，∵AB⊥CD，∴DE＝EC＝2，∴DF＝2+2+3＝7，∴DH＝HF＝3.5，∴AE＝＝＝，∴AF＝＝＝，∵GH∥AE，∴＝，∴＝，∴GF＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角定理，垂徑定理，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．24．（2021秋?仙居縣期末）如圖所示，AB是⊙O的一條弦，OD⊥AB，垂足為C，交⊙O于點(diǎn)D，點(diǎn)E在⊙O上，∠BED＝30°．（1）求∠AOD的度數(shù)；（2）若OA＝2，求AB的長(zhǎng)．【分析】（1）連接OB，由∠DEB＝30°，推出∠DOB＝60°，由OD⊥AB，根據(jù)垂徑定理即可推出∠AOD＝60°；（2）根據(jù)（1）所推出的結(jié)論，求出OC＝1，利用勾股定理求出AC，可得結(jié)論．【解答】解：（1）連接OB，則∠BOD＝2∠BED＝2×30°＝60°，∵OD⊥AB∴∠AOD＝∠BOD＝60°；（2）∵OD⊥AB，∠AOD＝60°，∴∠OAC＝30°，∴OC＝OA＝2＝1，∴AC＝，∴AB＝2AC＝2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓周角定理，垂徑定理等知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵在于正確的作出輔助線，推出OA的長(zhǎng)度和∠DOB的度數(shù)．五．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)（共6小題）25．（2022?鹿城區(qū)二模）如圖，點(diǎn)B在上，∠AOC＝100°，則∠ABC等于（）A．50° B．80° C．100° D．130°【分析】在圓O上取點(diǎn)D，連接AD、CD，根據(jù)圓周角定理求出∠ADC，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)計(jì)算，得到答案．【解答】解：在圓O上取點(diǎn)D，連接AD、CD，由圓周角定理得：∠ADC＝∠AOC＝50°，∵四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，∴∠ABC+∠AOC＝180°，∴∠ABC＝180°﹣50°＝130°，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．26．（2021秋?金東區(qū)期末）在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠D﹣∠B＝40°，則∠D的度數(shù)為110°．【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠D+∠B＝180°，根據(jù)題意列出方程組，解方程組得到答案．【解答】解：∵四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，∴∠D+∠B＝180°，則，解得：，故答案為：110°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、二元一次方程組的解法，掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．27．（2022?吳興區(qū)一模）如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC＝68°，則∠ADC的度數(shù)是112°．【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC＝68°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣68°＝112°，故答案為：112°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．28．（2022?河南模擬）定義：三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線和與另一個(gè)內(nèi)角相鄰的外角平分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個(gè)內(nèi)角的遙望角．（1）如圖1，∠E是△ABC中∠A的遙望角，若∠A＝α，請(qǐng)用含α的代數(shù)式表示∠E．（2）如圖2，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，＝，四邊形ABCD的外角平分線DF交⊙O于點(diǎn)F，連接BF并延長(zhǎng)交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．求證：∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角．【分析】（1）根據(jù)遙望角的定義得到∠EBC＝∠ABC，∠ECD＝∠ACD，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計(jì)算，得到答案；（2）延長(zhǎng)BC到點(diǎn)T，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠FDC+∠FBC＝180°，得到∠ABF＝∠FBC，根據(jù)圓周角定理得到∠ACD＝∠BFD，進(jìn)而得到∠ACD＝∠DCT，根據(jù)遙望角的定義證明結(jié)論．【解答】解：（1）∵∠E是△ABC中∠A的遙望角，∴∠EBC＝∠ABC，∠ECD＝∠ACD，∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A，∵∠A＝α，∴∠E＝α；（2）如圖2，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)T，∵四邊形FBCD內(nèi)接于⊙O，∴∠FDC+∠FBC＝180°，∵∠FDE+∠FDC＝180°，∴∠FDE＝∠FBC，∵DF平分∠ADE，∴∠ADF＝∠FDE，∵∠ADF＝∠ABF，∴∠ABF＝∠FBC，∴BE是∠ABC的平分線，∵＝，∴∠ACD＝∠BFD，∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，∴∠DCT＝∠BFD，∴∠ACD＝∠DCT，∴CE是△ABC的外角平分線，∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓心角、弧、弦的關(guān)系，掌握?qǐng)A周角定理、三角形外角性質(zhì)、熟練掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．29．（2021?杭州模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，圓內(nèi)接四邊形ACDE的邊CD與直徑AB交于點(diǎn)F，點(diǎn)G在DE延長(zhǎng)線上，EA平分∠CEG．（1）求證：AB⊥CD．（2）若AC＝CE，AF＝9，BF＝1，求△ACE的面積．【分析】（1）利用垂徑定理證明即可．（2）利用相似三角形的性質(zhì)求出DF，再證明△ACE≌△DAC（AAS），可得結(jié)論．【解答】（1）證明：∵AE平分∠CEG，∴∠AEG＝∠AEC，∵∠AEG+∠AED＝180°，∠AED+∠ACD＝180°，∴∠AEG＝∠ACD，∴∠AEC＝∠ACD，∴＝，∴AB⊥CD．（2）解：如圖，連接AD．BD．∴AB是直徑，∴∠ADB＝90°，∵DF⊥AB，∴∠AFD＝∠DFB＝90°，∵∠ADF+∠DAF＝90°，∠ADF+∠FDB＝90°，∴∠DAF＝∠FDB，∴△AFD∽△DFB，∴DF：FB＝AF：DF，∴DF2＝AF?BF＝9，∵DF＞0，∴DF＝3，∵AB⊥CD，∴DF＝CF＝3，∴AD＝AC，∴CD＝2DF＝6，∵AC＝CE，∴CA＝CE＝AD，∴∠CAE＝∠CEA＝∠ACD＝∠ADC，在△ACE和△DAC中，，∴△ACE≌△DAC（AAS），∴S△ACE＝S△ADC＝?CD?AF＝×6×9＝27．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，圓周角定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形或全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．30．（2021?杭州校級(jí)模擬）已知，如圖△ABC中，AB＝AC，D是邊BC上一點(diǎn)，BD＜DC，過(guò)點(diǎn)A、D、C三點(diǎn)的⊙O交AB于點(diǎn)F，點(diǎn)E在上，連接DF、AE、DE、CE．（1）求證：△BDF是等腰三角形；（2）若，請(qǐng)用題意可以推出的結(jié)論說(shuō)明命題：“一組對(duì)邊相等，且一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形”是假命題．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠ACB，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠BFD＝∠ACB，于是得到結(jié)論；（2）由＝，得到DE＝AC，等量代換得到AB＝DE，推出∠B＝∠E，得到＝，求得AE＝CD＞BD，于是得到結(jié)論．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠B＝∠ACB，∵四邊形AFDC是圓內(nèi)接四邊形，∴∠AFD+∠ACB＝∠BFD+∠AFD＝180°，∴∠BFD＝∠ACB，∴∠BFD＝∠B，∴BD＝DF，∴△BDF是等腰三角形；（2）如圖，已知AB＝DE，∠B＝∠AED，則四邊形ABDE是平行四邊形是假命題；∵＝，∴DE＝AC，∵AB＝AC，∴AB＝DE，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵∠ACB＝∠AED，∴∠B＝∠AED，﹣＝﹣，∴＝，∴AE＝CD＞BD，但四邊形ABDE不是平行四邊形，∴“一組對(duì)邊相等，且一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形”是假命題．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題與定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．六．相交弦定理（共2小題）31．（2021秋?東陽(yáng)市月考）已知四邊形ABCD兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)E，AB＝AC＝AD，AE＝3，EC＝1，則BE?DE的值為（）A．6 B．7 C．12 D．16【分析】由題意可知AB＝AC＝AD，點(diǎn)D、C、B在以點(diǎn)A為圓心的圓周上運(yùn)動(dòng)，由相交弦定理可得，BE?DE＝CE?EF即可求出答案．【解答】解：∵AB＝AC＝AD，∴點(diǎn)D、C、B在以點(diǎn)A為圓心的圓周上運(yùn)動(dòng)，AE＝3，EC＝1，∴AC＝AF＝AE+CE＝3+1＝4，EF＝AE+AF＝3+4＝7，由相交弦定理可得，BE?DE＝CE?EF＝1×7＝7，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相交弦定理，根據(jù)圓心和半徑構(gòu)建圓是解題的關(guān)鍵．32．（2021秋?余姚市期中）如圖，⊙O的弦AB、CD相交于點(diǎn)P，若AP＝6，BP＝8，CP＝4，則CD長(zhǎng)為（）A．16 B．24 C．12 D．不能確定【分析】由相交線定理可得出AP?BP＝CP?DP，再根據(jù)AP＝6，BP＝8，CP＝4，可得出PD的長(zhǎng)，從而得出CD即可．【解答】解：∵AP?BP＝CP?DP，∴PD＝，∵AP＝6，BP＝8，CP＝4，∴PD＝12，∴CD＝PC+PD＝12+4＝16．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相交線定理，圓內(nèi)兩條弦相交，被交點(diǎn)分成的兩條線段的積相等．

鞏固鞏固提升一、單選題1．（2022·浙江溫州·九年級(jí)期中）已知：如圖，在以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)圓中，大圓的弦AB和小圓交于點(diǎn)C，D，大圓的半徑是13，，，則OC的長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．8【答案】B【分析】過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，由垂徑定理求得AE=BE=12，根據(jù)勾股定理求出OE的長(zhǎng)度，設(shè)，則CE=12-x，在Rt△COE中，利用勾股定理即可求得OC的長(zhǎng)．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，∵大圓和小圓的圓心都為點(diǎn)O，OE⊥AB，∴AE=BE，CE=DE，∵，∴AE=BE=12，∵OA=13，∴，設(shè)，則CE=12-x，在Rt△COE中，，解得：，即OC的長(zhǎng)為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理和勾股定理，垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。箯蕉ɡ沓Ｅc勾股定理相結(jié)合來(lái)解題．2．（2022·浙江金華·九年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)A，B，C，D是⊙O上的四個(gè)點(diǎn)，且，OE⊥AB，OF⊥CD，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】在同圓中，根據(jù)圓心角、弧和弦之間的關(guān)系即可判斷．【詳解】解：在⊙O中，∵∴，故A、C選項(xiàng)正確，不符合題意；∵，OA=OD，OB=OC∴∴∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴∴OE=OF故B選項(xiàng)正確，不符合題意．故選D【點(diǎn)睛】本題考查圓的對(duì)稱性，理解同圓中圓心角、弧和弦之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．（2021·浙江·金華海亮外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，是的內(nèi)接三角形，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)是的內(nèi)接三角形，可得OA=OC，從而得到∠ACO=∠OAC=20°，進(jìn)而得到∠AOC=140°，再由圓周角定理，即可求解．【詳解】解：∵是的內(nèi)接三角形，∴OA=OC，∴∠ACO=∠OAC=20°，∴∠AOC=180°-∠OAC-∠ACO=140°，∴．故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的外接圓和外心，圓周角定理，熟練掌握同弧所對(duì)的圓周角是所對(duì)的圓心角的一半是解題的關(guān)鍵．4．（2022·浙江金華·九年級(jí)期末）在圓柱形油槽內(nèi)裝有一些油，截面如圖所示，已知截面⊙O半徑為5cm，油面寬AB為6cm，如果再注入一些油后，油面寬變?yōu)?cm，則油面AB上升了（）cmA．1 B．3 C．3或4 D．1或7【答案】D【分析】分兩種情況求解：①如圖1，寬度為8cm的油面，作與的交點(diǎn)為，可知，，，在中，由勾股定理得，解得的值，在中，由勾股定理得，解得的值，計(jì)算即可；②如圖2，寬度為8cm的油面，作與的交點(diǎn)為，連接，由題意知，，，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，計(jì)算即可．【詳解】解：分兩種情況求解：①如圖1，寬度為8cm的油面，作與的交點(diǎn)為由題意知，，在中，由勾股定理得在中，由勾股定理得∴②如圖2，寬度為8cm的油面，作與的交點(diǎn)為，連接由題意知，，在中，由勾股定理得在中，由勾股定理得∴∴油面AB上升到CD，上升了1cm，油面AB上升到EF，上升了7cm；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的垂徑定理，勾股定理．解題的關(guān)鍵在于對(duì)兩種情況全面考慮．5．（2022·浙江寧波·三模）已知的直徑，是的弦，，垂足為，且，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】先畫好一個(gè)圓，標(biāo)上直徑CD，已知AB的長(zhǎng)為8cm，可知分為兩種情況，第一種情況AB與OD相交，第二種情況AB與OC相交，利用勾股定理即可求出兩種情況下的AC的長(zhǎng)；【詳解】連接AC，AO，∵圓O的直徑CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm，當(dāng)C點(diǎn)位置如圖1所示時(shí)，∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，∴OM==3cm，∴CM=OC+OM=5+3=8cm，∴AC=cm；當(dāng)C點(diǎn)位置如圖2所示時(shí)，同理可得OM=3cm，∵OC=5cm，∴MC=5?3=2cm，在Rt△AMC中，AC=cm．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理和勾股定理，根據(jù)題意正確畫出圖形進(jìn)行分類討論，熟練運(yùn)用垂徑定理是解決本題的關(guān)鍵．6．（2021·浙江·杭州市天杭實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，⊙O的半徑為5，C是弦AB的中點(diǎn)，OC＝3，則AB的長(zhǎng)是（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】根據(jù)垂徑定理得AB=2BC，∠OCB=90°，利用勾股定理求出BC即可得到答案．【詳解】解：∵C是弦AB的中點(diǎn)，∴AB=2BC，∠OCB=90°，∵OC2+BC2=OB2，∴，∴AB=8，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了圓的垂徑定理的推論，勾股定理，熟記圓的垂徑定理推論是解題的關(guān)鍵．7．（2021·浙江衢州·九年級(jí)期中）如圖，在半徑為5的中，弦BC，DE所對(duì)的圓心角分別是，．若，，則弦BC的弦心距為（

）.A． B． C．4 D．3【答案】D【分析】作AH⊥BC于H，作直徑CF，連接BF，先利用等角的補(bǔ)角相等得到∠DAE=∠BAF，再利用圓心角、弧、弦的關(guān)系得到DE=BF=6，由AH⊥BC，根據(jù)垂徑定理得CH=BH，則AH為△CBF的中位線，然后根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得到AH=BF=3．【詳解】作AH⊥BC于H，作直徑CF，連接BF，如圖，∵∠BAC+∠EAD=180°，而∠BAC+∠BAF=180°，∴∠DAE=∠BAF，∴，∴DE=BF=6，∵AH⊥BC，∴CH=BH，而CA=AF，∴AH為△CBF的中位線，∴AH=BF=3,故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．也考查了垂徑定理和三角形中位線性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．8．（2022·浙江湖州·九年級(jí)期末）下列說(shuō)法正確的是（

）A．等弧所對(duì)的圓周角相等 B．平分弦的直徑垂直于弦C．相等的圓心角所對(duì)的弧相等 D．過(guò)弦的中點(diǎn)的直線必過(guò)圓心【答案】A【分析】根據(jù)圓周角定理，垂徑定理的推論，圓心角、弧、弦的關(guān)系，對(duì)稱軸的定義逐項(xiàng)排查即可．【詳解】解：A.

同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，所以A選項(xiàng)正確；B.平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系,軸對(duì)稱圖形，垂徑定理，圓周角定理等知識(shí)點(diǎn)．靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)成為解答本題的關(guān)鍵．9．（2022·浙江寧波·九年級(jí)期末）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是弦，，則的度數(shù)是（

）A．50° B．45° C．40° D．35°【答案】C【分析】根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角推出∠ACB=90°，再結(jié)合圖形由直角三角形的性質(zhì)得到∠ABC=90°-∠CAB=40°，進(jìn)而根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等推出∠D=∠B=40°．【詳解】解：∵AB是直徑，∴，∵，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，正確理解在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等是解題的關(guān)鍵．二、填空題10．（2022·浙江·淳安縣教育發(fā)展研究中心一模）如圖，在每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都為1的5×5網(wǎng)格中，有四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D，以其中任意三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的外接圓半徑長(zhǎng)是______．【答案】【分析】連接AB，BC，CD，AD，BD．根據(jù)勾股定理可求出AB，BC，CD，AD，BD的長(zhǎng)度，根據(jù)勾股定理逆定理和圓周角定理的推論可以確定以A，B，C，D中任意三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的外接圓是以BD為直徑的圓，進(jìn)而即可求出半徑．【詳解】解：如下圖所示，連接AB，BC，CD，AD，BD．∵每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，∴，，，，．∵，，∴，．∴∠BAD=90°，∠BCD=90°．∴點(diǎn)A和點(diǎn)C都在以BD為直徑的圓上．∴以A，B，C，D中任意三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的外接圓是以BD為直徑的圓．∴半徑為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查求特殊三角形的外接圓的半徑，勾股定理及其逆定理，圓周角定理的推論，綜合應(yīng)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．11．（2020·浙江·九年級(jí)期末）已知的半徑為，弦，且，則弦和之間的距離為_(kāi)______．【答案】14cm或2cm【分析】根據(jù)垂徑定理及勾股定理，可求出弦AB、CD的弦心距；由于兩弦的位置不確定，因此需要分類討論．【詳解】解：如圖①，連接OA，OC，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB，交CD于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)E，因?yàn)锳B//CD，所以O(shè)E⊥CD，∴Rt△OAE中，OA=10cm，AE=AB=6cm；OE==8cm；同理可得：OF=6cm；故EF=OE-OF=2cm；如圖②；同（1）可得：OE=8cm，OF=6cm；故EF=OE+OF=14cm；所以AB與CD的距離是14cm或2cm，故答案為：14cm或2cm．【點(diǎn)睛】此題主要考查的是垂徑定理以及勾股定理的應(yīng)用，需注意弦AB、CD的位置關(guān)系有兩種，需分類討論，不要漏解．12．（2021·浙江湖州·二模）如圖所示一個(gè)圓柱體容器內(nèi)裝入一些水，截面AB在圓心O下方，若⊙O的直徑為60cm，水面寬AB＝48cm，則水的最大深度為_(kāi)____cm．【答案】12【分析】連接OB，過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)C，先由垂徑定理求出BD的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求出OD的長(zhǎng)，進(jìn)而得出CD的長(zhǎng)即可．【詳解】解：連接OB，過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)C，如圖所示：∵AB＝48cm，∴BD＝AB＝×48＝24（cm），∵⊙O的直徑為60cm，∴OB＝OC＝30cm，在Rt△OBD中，OD＝＝＝18（cm），∴CD＝OC﹣OD＝30﹣18＝12（cm），即水的最大深度為12cm，故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理等知識(shí)；根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．13．（2021·浙江·九年級(jí)期末）如圖，已知點(diǎn)是圓上一點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，為半徑作弧，交圓于點(diǎn)，則的度數(shù)為_(kāi)_____度．【答案】60【分析】先判定△POQ是等邊三角形，然后根據(jù)圓心角的度數(shù)與它所對(duì)的弧的度數(shù)相等求解即可．【詳解】解：∵PQ=PO，PO=OQ，∴PQ=PO=OQ，∴△POQ是等邊三角形，∴∠POQ=60°，∴的度數(shù)為60度故答案為：60．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A心角的度數(shù)與它所對(duì)的弧的度數(shù)相等是解答本題的關(guān)鍵．14．（2021·浙江溫州·九年級(jí)階段練習(xí)）永嘉甌北第一中學(xué)是一所百年老校，屹立在校門口的雕塑激勵(lì)歷屆學(xué)子奮發(fā)向上．底座圓形圖案中，AB是⊙O的直徑，且BA＝BC，，DC∥AB，AC＝米，則該圓形圖案的直徑AB為_(kāi)________米．【答案】【分析】連接OD，根據(jù)由垂徑定理推論可知OD⊥AB，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB，即可構(gòu)造矩形ODCH，再利用雙勾股列方程求解AB即可．【詳解】解：連接OD，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB，∵，OD是半徑，∴OD⊥AB，即：∠DOA=90°，又∵，∴∠CDO=90°，∴四邊形ODCH是矩形，∴CH=OD，∵AB是⊙O的直徑，且BA＝BC，∴BC=2CH，設(shè)直徑AB為2x米，則BC=2x米，CH=x米，∴米，∴米，在中，，∴，解得：,（不合題意，舍去）∴直徑（米）．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理和用勾股定理解三角形，解題關(guān)鍵是過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB，得矩形ODCH，從而利用雙勾股模型列方程解三角形．15．（2022·浙江臺(tái)州·九年級(jí)期末）把一個(gè)球放入長(zhǎng)方體紙盒，球的一部分露出盒外，球與紙盒內(nèi)壁都剛好相切，其截面如圖所示，若露出部分的高度為6cm，AF=DE=3cm，則這個(gè)球的半徑是_____cm．【答案】15【分析】過(guò)作于，交于，連接，設(shè)半徑為，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．【詳解】解：過(guò)作于，交于，連接，，，設(shè)半徑為，則，，，根據(jù)勾股定理得，，解得：或3（舍，答：這個(gè)球的半徑為．故答案為：15．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理及勾股定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形．16．（2022·浙江寧波·九年級(jí)期末）如圖1，水車又稱孔明車，是我國(guó)最古老的農(nóng)業(yè)灌溉工具，是珍貴的歷史文化遺產(chǎn)．如圖2，圓心O在水面上方，且被水面截得的弦AB長(zhǎng)為8米，半徑為5米，則圓心O到水面AB的距離為_(kāi)______米．【答案】3【分析】過(guò)O作OD⊥AB于D，連接OA，由垂徑定理得AD=BD=AB=4（米），然后在Rt△AOD中，由勾股定理求出OD的長(zhǎng)即可．【詳解】解：過(guò)O作OD⊥AB于D，連接OA，如圖所示：則AD=BD=AB=4（米），在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD=（米），即圓心O到水面AB的距離為3米，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用和勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵．17．（2022·浙江湖州·九年級(jí)期末）如圖，四邊形ABCD是半圓O的內(nèi)接四邊形，其中AB是直徑，點(diǎn)C是弧DB的中點(diǎn)，若∠C＝110°，則∠ABC的度數(shù)=______．【答案】55°##55度【分析】連接OC，根據(jù)C是弧DB的中點(diǎn)，∠DCB＝110°，得出∠OCB的度數(shù)，然后證明OC和OB相等，即可使用等邊對(duì)等角求出∠ABC的度數(shù)．【詳解】連接OC，∵C是弧DB的中點(diǎn)，∠DCB＝110°，∴∠DCO=∠BCO=110°÷2=55°，∵AB是圓的直徑，O是圓心，∴OC=OB，∴∠ABC=∠OCB=55°，故答案為55°．【點(diǎn)睛】本題考查了與圓有關(guān)的性質(zhì)、等腰三角形相關(guān)的性質(zhì)，正確作出輔助線并使用該性質(zhì)進(jìn)行證明是解決本題的關(guān)鍵．18．（2021·浙江·溫州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，是半圓的直徑，且，在半圓上取一點(diǎn)，使得，則________．【答案】30【分析】如下圖，連接OD，先求得∠COD=50°，進(jìn)而得∠CBD=∠COD=25°，由得∠OBA=，即可求解．【詳解】解：如下圖，連接OD，∵，∴∠COD=50°，∴∠CBD=∠COD=25°，∵，OA=OB，∴∠OBA=，∴，故答案為：30．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，圓心角的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．19．（2022·浙江溫州·九年級(jí)期中）如圖，在圓的內(nèi)接△ABC中，，，于點(diǎn)D，則________°．【答案】25【分析】根據(jù)弧的度數(shù)指的是該弧所對(duì)的圓心角的大小，再結(jié)合圓周角定理即可求出，從而由等腰三角形的定義和三角形內(nèi)角和定理求出．由，可求出，最后由求解即可．【詳解】∵，∴．∵，∴．∵，∴，∴．故答案為：25．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，等腰三角形的定義，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．20．（2021·浙江溫州·九年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）如圖，扇形OAB中，∠AOB＝60°，OA＝4+8，點(diǎn)E為弧AB的中點(diǎn)，C為半徑OA上一點(diǎn)，將線段CE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE′，若點(diǎn)E′恰好落在半徑OB上，則OE′＝_____．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于，連接，如圖，設(shè)，利用得到，，再利用點(diǎn)為弧的中點(diǎn)得到，所以，，接著證明△，則，，則可列方程，然后解方程求出，從而得到的長(zhǎng)．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于，連接，如圖，設(shè)，，，，點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，，，，線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，，，，，，在和△中，△，，，，，解得，．故答案為4．【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．21．（2021·浙江·杭州市建蘭中學(xué)一模）在⊙O中，AB是直徑，AB＝2，C是上一點(diǎn)，D、E分別是、的中點(diǎn)，M是弦DE的中點(diǎn)，則CM的取值范圍是__________________．【答案】1﹣≤CM＜【分析】如圖，連接OD、OC、OE，先計(jì)算出∠DOC+∠COE＝90°，則可判斷△ODE為等腰直角三角形，所以DE＝OD＝，則OM＝DE＝；由C點(diǎn)在弧DE上，則0≤∠COM＜45°，根據(jù)三角形的性質(zhì)，∠COM越大，CM越長(zhǎng)，當(dāng)O、M、C共線時(shí)CM最小，C在點(diǎn)A或點(diǎn)B時(shí)CM最長(zhǎng)，即OC-OM≤CM＜ME；【詳解】解：如圖，連接OD、OC，∵AB為直徑，∴∠AOC+∠BOC＝180°，∵D、E分別是、的中點(diǎn)，∴∠AOD＝∠COD，∠COE＝∠BOE，∴∠DOC+∠COE＝（∠AOC+∠BOC）＝90°，∴△ODE為等腰直角三角形，∴DE＝OD＝，∵M(jìn)是弦DE的中點(diǎn)，∴OM＝DE＝，∵C點(diǎn)在弧DE上，∴0≤∠COM＜45°，△OMC中，OM，OC的長(zhǎng)度確定，∴∠COM越大，CM越長(zhǎng)，∴O、C、M共線時(shí)CM最小，C在點(diǎn)A或點(diǎn)B時(shí)CM最長(zhǎng)；∴CM≥1﹣，當(dāng)C點(diǎn)在A點(diǎn)或B點(diǎn)時(shí)，CM＝，∴CM的取值范圍是1﹣≤CM＜．【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角的概念，三角形的三邊關(guān)系；根據(jù)三角形的性質(zhì)判斷CM的長(zhǎng)度是解題關(guān)鍵．22．（2022·浙江溫州·九年級(jí)期中）如圖1，玉帶橋拱高而薄，形若玉帶，弧形的線條十分流暢．如圖2，橋拱關(guān)于水面AB反射的影子經(jīng)過(guò)孤所在的圓心O，已知水面寬米，則水面AB與該橋拱的最高點(diǎn)P之間的距離是________米，在離水面AB相同高度的C，D處安裝兩盛景觀燈，若點(diǎn)C是的中點(diǎn)，則點(diǎn)C離水面AB的距離是________米．【答案】

##【分析】連接OA、OP、OC，OP分別與AB、CD交于點(diǎn)E、N，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AB于點(diǎn)M，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)求得，根據(jù)勾股定理求得，根據(jù)即可求得水面AB與該橋拱的最高點(diǎn)P之間的距離，證明是等邊三角形，進(jìn)而可得根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理求得，根據(jù)即可求解．【詳解】連接OA、OP、OC，OP分別與AB、CD交于點(diǎn)E、N，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AB于點(diǎn)M，如圖，與關(guān)于直線AB對(duì)稱，點(diǎn)P與點(diǎn)O關(guān)于直線AB對(duì)稱，∴，，∴，∵，∴，在中，，所以解得（負(fù)值已舍）∴，∴，即水面AB與該橋拱的最高點(diǎn)P之間的距離是米，∵∴是等邊三角形∴，∵點(diǎn)C是的中點(diǎn)，∴，∴∵，在中，，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，垂徑定理，勾股定理，弧與弦的關(guān)系，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．三、解答題23．（2021·浙江·金華海亮外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，，，AD不平行于BC，過(guò)點(diǎn)C作交的外接圓O于點(diǎn)E，連接AE．(1)求證：四邊形AECD為平行四邊形(2)連接CO，求證：CO平分．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得到∠B=∠E，得到∠E=∠D，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)定理得到AE/CD，證明結(jié)論；（2）作OM⊥BC于M，ON⊥CE于N，根據(jù)垂徑定理、角平分線的判定定理證明．（1）證明：∵∠B=∠E，∠B=∠D，∴∠E=∠D，∵，∴∠D+∠ECD=180°，∴∠E+∠ECD=180°，∴，∴四邊形AECD為平行四邊形；（2）證明：作OM⊥BC于M，ON⊥CE于N，如圖，∵四邊形AECD為平行四邊形，∴AD=CE，又∵AD=BC，∴CE=CB，∵OM⊥BC，ON⊥CE，∴∠ONC=∠OMC=90°，，∴，∵OC=OC，∴，∴ON=OM，∵OM⊥BC，ON⊥CE，∴CO平分∠BCE．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握平行四邊形的判定定理、垂徑定理、圓周角定理是解題的關(guān)鍵．24．（2022·浙江紹興·九年級(jí)期末）學(xué)習(xí)完《垂徑定理》這一節(jié)內(nèi)容后，同學(xué)們學(xué)到了如何用直尺和圓規(guī)來(lái)平分一條已知弧的方法，老師接下來(lái)請(qǐng)小亮同學(xué)做如下四等分圓弧問(wèn)題的操作：小亮的作法如下：如圖，（1）連接AB；（2）作AB的垂直平分線CD交弧AB于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)T；（3）分別作線段AT，線段BT的垂直平分線EF，CH，交弧AB于N，P兩點(diǎn)；那么N，M，P三點(diǎn)把弧AB四等分．(1)小明否定了小亮四等分弧AB作法的正確性，請(qǐng)你幫小明簡(jiǎn)要說(shuō)明判斷小亮作法錯(cuò)誤的理由；(2)請(qǐng)你利用直尺和圓規(guī)四等分