第十二章《全等三角形》同步單元基礎與培優(yōu)高分必刷卷（全解全析）

第十二章《全等三角形》同步單元基礎與培優(yōu)高分必刷卷全解全析1．A【分析】根據(jù)全等三角形的性質依次判斷即可得出結果．【詳解】解：①全等三角形對應邊相等，正確，符合題意；②全等三角形對應角相等，正確，符合題意；③全等三角形對應中線、對應高線、對應角平分線相等，正確，符合題意；④全等三角形周長相等，正確，符合題意；⑤全等三角形面積相等，正確，符合題意．所以正確的有5個，故選：A．【點睛】本題主要考查全等三角形的性質，深刻理解全等三角形的性質是解題關鍵．2．C【分析】根據(jù)全等三角形的性質即可進行判斷．【詳解】∵△ABC≌△AEF，∴AC＝AF，EF＝BC，故①③正確；∵△ABC≌△AEF，∴∠EAF＝∠BAC，∴∠EAF-∠BAF＝∠BAC-∠BAF，∴∠EAB＝∠FAC，故④正確；∠FAB＝∠EAB不一定相等，故②不符合題意；綜上：正確的有3個，故選：C．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質，熟練掌握全等三角形對應邊相等，對應角相等是解題的關鍵．3．B【分析】過點D作DE⊥BC于點E，根據(jù)角平分線的性質得到DE=DA，然后利用三角形的面積公式求出的值，即可．【詳解】解：如圖，過點D作DE⊥BC于點E，∵，BD是∠ABC的平分線，∴DE=AD，∵，，∴．故選：B【點睛】本題考查了角平分線的性質，熟練掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關鍵．4．C【分析】根據(jù)角平分線的判定，先證AP是∠BAC的平分線，再證Rt△APR≌Rt△APS(HL)，可證得AS=AR，成立．【詳解】解：如圖：連接AP，∵PR=PS，∴AP是∠BAC的平分線，在Rt△APR與Rt△APS中，∴Rt△APR≌Rt△APS(HL)，∴AS=AR，故①正確；∵AQ=PQ，∴∠BAP=∠QAP=∠QPA，∴，②正確；BC只是過點P，并沒有固定，故△BRP≌△CSP③不成立．故選：C．【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定方法，以及角平分線的判定和平行線的判定，難度適中．5．B【分析】由題意先利用“角角邊”證明△ACD和△AED全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AC=AE，CD=DE，然后求出BD+DE=AE，進而可得△DEB的周長．【詳解】解：∵DE⊥AB，∴∠C=∠AED=90°，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠EAD，在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED（AAS），∴AC=AE，CD=DE，∴BD+DE=BD+CD=BC=AC=AE，BD+DE+BE=AE+BE=AB=5cm，所以△DEB的周長為5cm．故選：B．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質，關鍵是證明△ACD≌△AED．6．D【分析】首先分兩種情況：當E在線段AB上和當E在BN上，然后再分成兩種情況：AC＝BE和AB＝EB，分別進行計算，即可得出結果．【詳解】解：①當E在線段AB上，AC＝BE時，△ACB≌△BED，∵AC＝6米，∴BE＝6米，∴AE＝12﹣6＝6米，∴點E的運動時間為6÷2＝3（秒）；②當E在BN上，AC＝BE時，△ACB≌△BED，∵AC＝6米，∴BE＝6米，∴AE＝12+6＝18米，∴點E的運動時間為18÷2＝9（秒）；③當E在線段AB上，AB＝EB時，△ACB≌△BDE，這時E在A點未動，因此時間為0秒；④當E在BN上，AB＝EB時，△ACB≌△BDE，∵AB＝12米，∴BE＝12米，∴AE＝12+12＝24米，∴點E的運動時間為24÷2＝12（秒），綜上所述t的值為：0，3，9，12．共4中情況．故選D．【點睛】本題考查了全等三角形的綜合問題，解本題的關鍵在找到所有符合題意的情況．7．A【分析】延長交于H．利用全等三角形的性質，平行線的性質，三角形的外角的性質證明，再求出即可解決問題．【詳解】解：延長交于H．∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵∠BFC＝∠DBF+∠BDF，∠BDF＝∠CAD+∠ACD，∴，∵，∴，∴，∴∠BFC＝45°+45°＝90°，故選：A．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，三角形的外角的性質等知識，能熟記全等三角形的性質的內(nèi)容是解此題的關鍵．8．B【分析】根據(jù)角平分線的性質定理以及垂線段最短解決問題即可．【詳解】解：過點G作⊥AB于點，由尺規(guī)作圖步驟可得，BG平分∠ABC，∵∠C=90°，⊥AB，CG=4，∴GC==4，∵P為邊AB上一動點，∴，∴GP的最小值為4．故選：B．【點睛】本題考查了垂線段最短，角平分線的性質定理等知識，熟記垂線段最短是解題的關鍵．9．B【分析】根據(jù)全等三角形的性質可得∠EBC＝∠DCB，BE＝CD，∠BEC＝∠CDB，∠DBC＝∠ECB，易證△OEB≌△ODC（AAS），根據(jù)全等三角形的性質依次進行判斷即可．【詳解】解：∵△EBC≌△DCB，∴∠EBC＝∠DCB，BE＝CD，∠BEC＝∠CDB，∠DBC＝∠ECB，在△OEB和△ODC中，∴△OEB≌△ODC（AAS），故①選項符合題意；∵∠EBC＝∠DCB，∴AB＝AC，∵BE＝CD，∴AE＝AD，故②選項符合題意；沒有足夠的條件證明∠EBO＝∠OBC，∠DCO＝∠OCB，故③選項不符合題意；∵∠ECB＝∠DBC，∴OB＝OC，故④選項符合題意，綜上，符合題意的選項有①②④，共3個，故選：B．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．10．C【分析】需要分三種情況討論，根據(jù)全等三角形的判定和性質結合建立一元一次方程可求解．【詳解】解：當點在上，點在上時，以，，為頂點的三角形與全等，，，，當點在上，點第一次從點返回時，以，，為頂點的三角形與全等，，，，綜上所述：的值為1或．故選：C．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，一元一次方程，解題的關鍵是掌握全等三角形的判定和性質．11．2【分析】過點作于，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得．【詳解】解：如圖，過點作于，，平分，，即點到邊所在直線的距離是．故答案為：2．【點睛】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質，熟記性質是解題的關鍵．12．2##兩【分析】先根據(jù)已知條件，加上公共邊BD，則利用“SSS”可判斷△ADB≌△CBD；根據(jù)全等三角形的性質得到∠A=∠C，再加上∠AOD=∠COB，AD=BC，則根據(jù)“AAS”可判斷△AOD≌△COB．【詳解】解：∵AD=CB，AB=CD，DB=BD，∴根據(jù)“SSS”可判斷△ADB≌△CBD；∴∠A=∠C，∵∠AOD=∠COB，AD=BC，∴根據(jù)“AAS”可判斷△AOD≌△COB，綜上所述，圖中共有2對全等三角形．故答案為：2．【點睛】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．13．48【分析】過O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，連接OA，根據(jù)角平分線的性質可得OE=OF=OD=4，再由△ABC的面積是：，即可求解．【詳解】解：過O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，連接OA，∵OB，OC分別平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，∴OE=OD，OD=OF，即OE=OF=OD=4，∴△ABC的面積是：，故答案為：48.【點睛】本題主要考查了角平分線的性質，熟練掌握角平分線上點到角兩邊的距離相等是解題的關鍵．14．4【分析】過點D作DH⊥AC于H，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DE＝DH，然后利用“HL”證明Rt△DEF≌Rt△DHG，根據(jù)全等三角形的面積相等可得，然后根據(jù)求解即可得出答案．【詳解】解：如圖，過點D作DH⊥AC于H，∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DH⊥AC，∴DE＝DH，在Rt△DEF和Rt△DHG中，，∴Rt△DEF≌Rt△DHG（HL），∴，同理Rt△ADE≌Rt△ADH，∴＝10﹣3＝7，∴＝7﹣3＝4，故答案為：4．【點睛】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質，全等三角形的判定與性質，作輔助線構造出全等三角形并利用角平分線的性質是解題的關鍵．15．（答案不唯一）【分析】根據(jù)三角形全等的判定條件，邊角邊或邊邊邊，即可解得答案【詳解】由題可知，,,若，則（ASA）；若，則（AAA）故答案為：或【點睛】本題考查三角形全等的判定，熟練掌握其判定條件即可16．①②##②①【分析】通過證明△APR≌△APS，可得AS=AR，∠BAP=∠PAS，可證QPAR，可求解．【詳解】解：如圖，連接AP，①∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，∴點P在∠BAC的平分線上，∠ARP=∠ASP=90°，∴∠SAP=∠RAP，又AP=AP，∠ARP=∠ASP=90°，∴△APR≌△APS（AAS），∴AR=AS，∴①正確；②∵AQ=QP，∴∠QAP=∠QPA，∵∠QAP=∠BAP，∴∠QPA=∠BAP，∴QPAR，∴②正確；③④在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS，不滿足三角形全等的條件，故③④錯誤；故答案為：①②【點睛】本題考查了全等三角形的性質和判定，平行線的判定，角平分線性質的應用，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．17．0，3，9，12【分析】首先分兩種情況：當E在線段AB上和當E在BN上，然后再分成兩種情況：AC＝BE和AB＝EB，分別進行計算，即可得出結果．【詳解】解：①當E在線段AB上，AC＝BE時，△ACB≌△BED，∵AC＝6米，∴BE＝6米，∴AE＝12﹣6＝6米，∴點E的運動時間為6÷2＝3（秒）；②當E在BN上，AC＝BE時，△ACB≌△BED，∵AC＝6米，∴BE＝6米，∴AE＝12+6＝18米，∴點E的運動時間為18÷2＝9（秒）；③當E在線段AB上，AB＝EB時，△ACB≌△BDE，這時E在A點未動，因此時間為0秒；④當E在BN上，AB＝EB時，△ACB≌△BDE，∵AB＝12米，∴BE＝12米，∴AE＝12+12＝24米，∴點E的運動時間為24÷2＝12（秒），故答案為：0，3，9，12．【點睛】本題考查了全等三角形的綜合問題，解本題的關鍵在找到所有符合題意的情況．18．見解析【分析】由AB=CD，得AC=BD，再利用SAS證明△AEC≌△DFB，即可得結論．【詳解】證明：，，．在和中，，．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．19．(1)見解析(2)見解析(3)△ABE的面積為40【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定定理判斷△ACE≌△BCD即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質解答即可；（3）根據(jù)全等三角形的面積公式即可得到結論．（1）證明：∵∠ACB=90°，E是BC延長線上一點，∴∠ACE=∠ACB=90°，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS）；（2）證明：∵△ACE≌△BCD，∴∠FBE=∠CAE，∵∠CAE+∠E=90°，∴∠FBE+∠E=90°，∴∠BFE=180°-（∠FBE+∠E）=180°-90°=90°，∴BF⊥AE；（3）解：∵BD=8，DF=2，∴BF=10，∵△ACE≌△BCD，∴AE=BD=8，∴△ABE的面積=AE?BF=×8×10=40．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質．解題的關鍵是證明△ACE≌△BCD．20．(1)見解析(2)AF的長為1【分析】（1）先證明△AGE≌△AFE，即有EG=EF，結合EB=EC，即可得Rt△EGB≌Rt△EFC；（2）根據(jù)Rt△EGB≌Rt△EFC，△AGE≌△AFE，可得BG=FC，AG=AF，根據(jù)AC=5，AC=AF+FC，BG=AB+AG，可得AF+FC=AF+BG=AF+AB+AG=2AF+AB=5，即可得2AF+3=5，AF可求．（1）解：∵EG⊥AD，EF⊥AC，∴∠EGB=90°=∠EFC，∴△EGB和△EFC是直角三角形，∵AE平分∠CAD，∴∠EAG=∠EAF，∵EA=EA，∴△AGE≌△AFE，∴EG=EF，∵EB=EC，∴Rt△EGB≌Rt△EFC(HL)，得證；（2）解：∵在（1）中證得：Rt△EGB≌Rt△EFC，△AGE≌△AFE，∴BG=FC，AG=AF，∵AC=5，AC=AF+FC，BG=AB+AG，∴AF+FC=AF+BG=AF+AB+AG=2AF+AB=5，∵AB=3，∴2AF+3=5，∴AF=1，即AF的長為1．【點睛】本題主要考查了角平分線的性質、全等三角形的判定與性質等知識，證明△AGE≌△AFE是解答本題的關鍵．21．(1)證明見解析，(2)BC=4．【分析】（1）證明△ADF≌△ACE即可；（2）易證△FDG≌△BCG，則可得出CD的長度，由（1）可得△ADF≌△ACE，點E為BC中點則點D為AC中點，求出AC即可得到BC的長度．（1）∵AF⊥AE，∴∠EAF=90°，即∠FAD+∠CAE=90°，∵∠ACB＝90°，∴∠AEC+∠CAE=90°，∴∠AEC=∠FAD，∵FD⊥AC，∴∠FAD=90°，在△ADF和△ACE中，∠AEC=∠FAD，∠FAD=∠ACB，AF＝AE，∴△ADF≌△ACE，∴FD＝AC．（2）由（1）可知，F(xiàn)D=AC，∵AC=BC，∴FD=BC，在△FDG和△BCG中，∠FGD=∠BGC，∠FDG=∠GCB，F(xiàn)D=BC，∴△FDG≌△BCG，∴CG=DG，則CD=2CG=2，∵△ADF≌△ACE，∴AD=CE，∵AC=BC，點E為BC中點，∴點D為AC中點，則AC=2CD=4，∴BC=AC=4．【點睛】本題主要考查了三角形全等的性質和判定，熟練掌握全等三角形對應邊和對應角相等以及用AAS和ASA判定三角形全等是解題的關鍵．22．(1)證明見解析(2)【分析】（1）過點作于點，先根據(jù)角平分線的性質可得，再根據(jù)定理證出，根據(jù)全等三角形的性質可得，由此即可得證；（2）過點作于點，先根據(jù)全等三角形的性質可得，設，則，，再根據(jù)定理證出，根據(jù)全等三角形的性質可得，據(jù)此建立方程，解方程即可得．（1）證明：如圖，過點作于點，∵平分，，∴，在與中，，∴，，，．（2）解：如圖，過點作于點，由（1）已證：，，設，則，，，在和中，，，，，解得，即的長為．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質、角平分線的性質等知識點，通過作輔助線，構造全等三角形是解題關鍵．23．(1)AM=DE，AM⊥DE，(2)成立，證明見詳解；(3)成立，證明見詳解．【分析】（1）延長MA交DE于F，證明△ABC≌△AED（SAS），得出DE=BC=2AM，∠ABC=∠AED，得出AM=DE，證出∠AFE=90°，即可得出AM⊥DE；（2）延長AM至N，使MN=AM，連接BN、CN，延長MA交DE于F，則四邊形ABNC是平行四邊形，得出BN=AC=AD，BN∥AC，證明△ABN≌△EAD（SAS），得出AN=DE，∠BAN=∠AED，得出AM=DE，證出∠AFE=90°，即可得出AM⊥DE；（3）由（1）的結論，當∠BAC=90°，可得AM=DE，AM⊥DE；當∠BAC≠90°時，延長CA到F，使AF=AC，連接BF，延長AM交DE于G，則AM是△BCF的中位線，得出AM=BF，AM∥BF，得出∠MAC=∠F，證明△ABF≌△AED(SAS)，得出BF=DE，∠F=∠ADE，得出AM=DE，證出∠AGD=90°，即可得出AM⊥DE．（1）AM=DE，AM⊥DE，理由如下：延長MA交DE于F，如圖1所示：∵∠BAC=90°，M是BC中點，∴AM=BC，∵∠BAE=∠CAD=90°，∠BAC=90°，∴∠EAD=90°，在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△AED(SAS)，∴DE=BC，∠ABC=∠AED，∴AM=DE，∵∠BAE=90°，∴∠BAM+∠EAF=90°，∴∠AED+∠EAF=90°，∴∠AFE=90°，∴AM⊥DE；（2）（1）中的結論成立，AM=DE，AM⊥DE，理由如下：延長AM至N，使MN=AM，連接BN、CN，延長MA交DE于F，如圖2所示：∵M是BC中點，∴BM=CM，∴四邊形ABNC是平行四邊形，∴BN=AC=AD，BN∥AC，∴∠NBA+∠BAC=180°，∵∠BAE=∠CAD=90°，∴∠DAE+∠BAC=180°，∴∠NBA=∠DAE，在△ABN和△EAD中，，∴△ABN≌△EAD(SAS)，∴AN=DE=2AM，∠BAN=∠AED，∴AM=DE，∵∠BAE=90°，∴∠BAN+∠EAF=90°，∴∠AED+∠EAF=90°，∴∠AFE=90°，∴AM⊥DE；（3）（1）中的結論成立，理由如下：由（1）的結論，當∠BAC=90°，可得AM=DE，AM⊥DE，當∠BAC≠90°時，延長CA到F，使AF=AC，連接BF，延長AM交DE于G，如圖3所示：則AF=AC=AD，∵M是BC中點，∴AM是△BCF的中位線，∴AM=BF，AM∥BF，∴∠MAC=∠F，∵∠BAE=∠DAC=90°，∴∠DAF=90°，∴∠BAE=∠DAF，∴∠BAF=∠EAD，在△ABF和△AED中，，∴△ABF≌△AED(SAS)，∴BF=DE，∠F=∠ADE，∴AM=DE，∴∠GAC=∠ADE，∵∠MAC+∠DAM=